專題7 曲線的公切線問題2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊同步教學(xué)設(shè)計 (人教B版2019)

專題7曲線的公切線問題2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊同步教學(xué)設(shè)計(人教B版2019)課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容為曲線的公切線問題，該部分內(nèi)容出自2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊同步教學(xué)設(shè)計（人教B版2019）的專題7。本節(jié)課的內(nèi)容主要包括：

1.曲線的公切線定義及性質(zhì)

2.公切線的求法及應(yīng)用

3.曲線與切線的關(guān)系

教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識的聯(lián)系：

學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，應(yīng)已掌握函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、曲線的切線等基礎(chǔ)知識。本節(jié)課的內(nèi)容與這些已有知識緊密相關(guān)，學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課的過程中，可以借助已有知識更好地理解和掌握公切線的相關(guān)概念和性質(zhì)。同時，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以進(jìn)一步深化對曲線與切線關(guān)系的理解，提高解決問題的能力。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)主要包括：

1.邏輯推理：通過學(xué)習(xí)曲線的公切線問題，培養(yǎng)學(xué)生運用邏輯推理能力，從已知條件出發(fā)，推導(dǎo)出公切線的性質(zhì)和求法。

2.數(shù)學(xué)建模：培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，將公切線問題應(yīng)用于解決曲線與切線的相關(guān)問題。

3.直觀想象：通過圖形演示和實例分析，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，更好地理解曲線與切線之間的關(guān)系。

4.數(shù)學(xué)運算：在學(xué)習(xí)公切線求法的過程中，培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)運算能力，準(zhǔn)確計算出公切線的方程。

5.數(shù)學(xué)抽象：引導(dǎo)學(xué)生從具體曲線的實例中，抽象出公切線的概念和性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的能力。三、教學(xué)難點與重點1.教學(xué)重點：

-曲線的公切線定義及性質(zhì)：理解公切線的概念，掌握公切線與曲線的關(guān)系，以及公切線的性質(zhì)。

-公切線的求法及應(yīng)用：學(xué)會使用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，并能應(yīng)用于解決實際問題。

-曲線與切線的關(guān)系：理解曲線在某點的切線與曲線本身的相互關(guān)系，以及如何利用切線性質(zhì)分析曲線特征。

2.教學(xué)難點：

-公切線的求法：引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握利用導(dǎo)數(shù)求曲線在某點的切線方程的方法，特別是如何正確求出導(dǎo)數(shù)并判斷單調(diào)性。

-應(yīng)用公切線解決實際問題：學(xué)生往往難以將理論知識應(yīng)用于解決實際問題，需要通過實例分析和練習(xí)題讓學(xué)生加深理解。

-理解切線與曲線的交點性質(zhì)：學(xué)生可能對切線與曲線交點坐標(biāo)的求法感到困惑，需要通過圖形演示和步驟講解來幫助學(xué)生理解。

舉例說明：

重點舉例：在學(xué)習(xí)公切線性質(zhì)時，強調(diào)公切線與曲線在切點處的切線平行，以及公切線與曲線在該點的切線斜率相等。

難點舉例：在求解公切線方程時，引導(dǎo)學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在某點的切線斜率，然后結(jié)合切點坐標(biāo)求出切線方程。四、教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.引導(dǎo)法：通過提出問題，引導(dǎo)學(xué)生思考和探索曲線的公切線問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲。

2.案例分析法：通過分析具體的曲線實例，讓學(xué)生直觀地理解公切線的性質(zhì)和應(yīng)用。

3.小組討論法：鼓勵學(xué)生分組討論，共同解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和交流能力。

教學(xué)手段：

1.多媒體演示：利用多媒體設(shè)備展示曲線的圖形和公切線的動態(tài)演示，增強學(xué)生的直觀感受。

2.教學(xué)軟件應(yīng)用：利用教學(xué)軟件進(jìn)行動畫演示和互動練習(xí)，提高學(xué)生的參與度和興趣。

3.在線學(xué)習(xí)平臺：利用在線學(xué)習(xí)平臺提供豐富的學(xué)習(xí)資源和解題工具，方便學(xué)生自主學(xué)習(xí)和鞏固知識。五、教學(xué)過程設(shè)計1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：引起學(xué)生對曲線公切線問題的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過程：

開場提問：“你們知道曲線的公切線是什么嗎？它與我們的生活有什么關(guān)系？”

展示一些關(guān)于曲線和切線的圖片或視頻片段，讓學(xué)生初步感受曲線公切線的魅力或特點。

簡短介紹曲線公切線的基本概念和重要性，為接下來的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.曲線公切線基礎(chǔ)知識講解（10分鐘）

目標(biāo)：讓學(xué)生了解曲線公切線的基本概念、組成部分和原理。

過程：

講解曲線公切線的定義，包括其主要組成元素或結(jié)構(gòu)。

詳細(xì)介紹曲線公切線的組成部分或功能，使用圖表或示意圖幫助學(xué)生理解。

通過實例或案例，讓學(xué)生更好地理解曲線公切線在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中的應(yīng)用或作用。

3.曲線公切線案例分析（20分鐘）

目標(biāo)：通過具體案例，讓學(xué)生深入了解曲線公切線的特性和重要性。

過程：

選擇幾個典型的曲線公切線案例進(jìn)行分析。

詳細(xì)介紹每個案例的背景、特點和意義，讓學(xué)生全面了解曲線公切線的多樣性或復(fù)雜性。

引導(dǎo)學(xué)生思考這些案例對實際數(shù)學(xué)問題解決的影響，以及如何應(yīng)用曲線公切線解決實際問題。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問題的能力。

過程：

將學(xué)生分成若干小組，每組選擇一個與曲線公切線相關(guān)的主題進(jìn)行深入討論。

小組內(nèi)討論該主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)以及可能的解決方案。

每組選出一名代表，準(zhǔn)備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點評（15分鐘）

目標(biāo)：鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力，同時加深全班對曲線公切線的認(rèn)識和理解。

過程：

各組代表依次上臺展示討論成果，包括主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)及解決方案。

其他學(xué)生和教師對展示內(nèi)容進(jìn)行提問和點評，促進(jìn)互動交流。

教師總結(jié)各組的亮點和不足，并提出進(jìn)一步的建議和改進(jìn)方向。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強調(diào)曲線公切線的重要性和意義。

過程：

簡要回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，包括曲線公切線的基本概念、組成部分、案例分析等。

強調(diào)曲線公切線在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問題解決中的價值和作用，鼓勵學(xué)生進(jìn)一步探索和應(yīng)用曲線公切線。

布置課后作業(yè)：讓學(xué)生撰寫一篇關(guān)于曲線公切線應(yīng)用的短文或報告，以鞏固學(xué)習(xí)效果。六、學(xué)生學(xué)習(xí)效果1.知識掌握：學(xué)生能夠準(zhǔn)確理解和掌握曲線的公切線的定義、性質(zhì)和求法，以及曲線與切線之間的關(guān)系。

2.邏輯推理能力：通過解決曲線公切線問題，學(xué)生的邏輯推理能力得到鍛煉，能夠從已知條件出發(fā)，推導(dǎo)出正確的結(jié)論。

3.數(shù)學(xué)應(yīng)用能力：學(xué)生能夠?qū)⒐芯€的理論知識應(yīng)用于解決實際問題，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

4.直觀想象能力：通過圖形演示和實例分析，學(xué)生的直觀想象能力得到提升，能夠更好地理解曲線與切線之間的關(guān)系。

5.數(shù)學(xué)抽象能力：學(xué)生能夠從具體曲線的實例中，抽象出公切線的概念和性質(zhì)，提高數(shù)學(xué)抽象能力。

6.合作能力：通過小組討論和合作解決曲線公切線問題，學(xué)生的合作能力得到培養(yǎng)，學(xué)會與他人共同解決問題。

7.自主學(xué)習(xí)能力：學(xué)生能夠在教師的引導(dǎo)下，自主學(xué)習(xí)曲線公切線的相關(guān)知識，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力。

8.表達(dá)能力：通過課堂展示和點評，學(xué)生的表達(dá)能力得到鍛煉，能夠清晰地表達(dá)自己的觀點和思路。

9.問題解決能力：學(xué)生能夠運用所學(xué)的曲線公切線知識，解決實際問題，提高問題解決能力。

10.創(chuàng)新思維：學(xué)生在解決曲線公切線問題的過程中，能夠提出創(chuàng)新的思路和方法，培養(yǎng)創(chuàng)新思維。七、板書設(shè)計1.重點知識點：

-曲線的公切線定義及性質(zhì)

-公切線的求法及應(yīng)用

-曲線與切線的關(guān)系

2.關(guān)鍵詞：

-曲線

-公切線

-切線

-導(dǎo)數(shù)

-切點

-單調(diào)性

3.板書句子：

-“曲線的公切線：曲線在某點的切線?！?/p>

-“公切線的求法：利用導(dǎo)數(shù)求曲線在某點的切線方程?！?/p>

-“曲線與切線的關(guān)系：切線是曲線的局部性質(zhì)，曲線是由無數(shù)切線組成的?！?/p>

4.藝術(shù)性和趣味性：

-使用圖形和符號來表示曲線、切線和公切線，增加直觀性。

-在板書設(shè)計中加入曲線和切線的示意圖，讓學(xué)生更直觀地理解概念。

-使用不同顏色或字體來突出重點知識點，增加板書的吸引力。

-通過提問和互動的方式，引導(dǎo)學(xué)生參與課堂討論，增加趣味性。八、典型例題講解1.例題1：求曲線y=x^3在點(1,1)處的公切線方程。

解答：首先求出曲線在點(1,1)處的導(dǎo)數(shù)，即y'=3x^2。然后求出該點的切線方程，即y-1=3(x-1)。整理得到公切線方程為y=3x-2。

2.例題2：已知曲線y=sin(x)在點(π/2,1)處的公切線斜率為1，求該公切線方程。

解答：由于公切線斜率為1，所以曲線在點(π/2,1)處的導(dǎo)數(shù)為1。因此，切線方程為y-1=x-π/2。整理得到公切線方程為y=x+1-π/2。

3.例題3：求曲線y=e^x在點(1,e)處的公切線方程。

解答：首先求出曲線在點(1,e)處的導(dǎo)數(shù)，即y'=e^x。然后求出該點的切線方程，即y-e=e(x-1)。整理得到公切線方程為y=ex-e。

4.例題4：已知曲線y=x^2-2x+1在點(1,-1)處的公切線方程為y=2x-3，求該曲線的另一個方程。

解答：由于公切線方程為y=2x-3，所以曲線在點(1,-1)處的導(dǎo)數(shù)為2。因此，切線方程為y+1=2(x-1)。整理得到曲線的另一個方程為y=2x-3。

5.例題5：求曲線y=ln(x)在點(e,1)處的公切線方程。

解答：首先求出曲線在點(e,1)處的導(dǎo)數(shù)，即y'=1/x。然后求出該點的切線方程，即y-1=(1/e)(x-e)。整理得到公切線方程為y=(1/e)x+1-1/e。作業(yè)布置與反饋-題目1：求曲線y=x^3在點(1,1)處的公切線方程。

-題目2：已知曲線y=sin(x)在點(π/2,1)處的公切線斜率為1，求該公切線方程。

-題目3：求曲線y=e^x在點(1,e)處的公切線方程。

-題目4：已知曲線y=x^2-2x+1在點(1,-1)處的公切線方程為y=2x-3，求該曲線的另一個方程。

-題目5：求曲線y=ln(x)在點(e,1)處的公切線方程。

2.作業(yè)反饋：

-對學(xué)生提交的作業(yè)進(jìn)行批改，檢查解題步驟是否正確，答案是否準(zhǔn)確。

-對于錯誤的解題步驟，指出錯誤的原因，并提供正確的解題方法。

-對于答案不準(zhǔn)確的情況，指出計算錯誤的地方，并指導(dǎo)學(xué)生如何進(jìn)行正確的計算。

-對于解題思路不清晰的學(xué)生，提供解題思路的指導(dǎo)，幫助他們理解和掌握解題方法。

-對于作業(yè)中表現(xiàn)優(yōu)秀的學(xué)生，給予表揚和鼓勵，增強他們的學(xué)習(xí)動力。

-對于作業(yè)中存在共性問題，在課堂上進(jìn)行集體講解和答疑，幫助全班學(xué)生共同提高。

-鼓勵學(xué)生相互交流和討論，共同解決作業(yè)中的問題，提高合作能力。

-針對不同學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，提供個性化的學(xué)習(xí)建議和輔導(dǎo)，幫助每個學(xué)生提高學(xué)習(xí)效果。教學(xué)反思與總結(jié)在教學(xué)反思方面，我認(rèn)為自己在教學(xué)方法和策略上做得比較好。通過引入實際案例，讓學(xué)生更好地理解公切線在實際問題中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動性。同時，通過小組討論和合作，培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問題的能力。但是，在教學(xué)管理方面，我發(fā)現(xiàn)自己在課堂紀(jì)律的維持上存在不足，有時候?qū)W生的注意力不夠集中，影響了教學(xué)效果。

在教學(xué)總結(jié)方面，我認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué)效果總體上是好的。學(xué)生能夠理解和掌握公切線的概念、性質(zhì)和求法，通過案例分析和小組討論，學(xué)生能夠?qū)⒗碚撝R應(yīng)用于解決實際問題。同時，通過課堂展示和點評，學(xué)生的表達(dá)能力和問題解決能力得到鍛煉。但是，在教學(xué)過程中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)