高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點精講精練(新高考專用)第09講函數(shù)模型及其應(yīng)用(分層精練)(原卷版+解析)

第09講函數(shù)模型及其應(yīng)用(精練（分層練習(xí)）A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·江蘇·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在一次實驗中，某小組測得一組數(shù)據(jù)，并由實驗數(shù)據(jù)得到下面的散點圖.由此散點圖，在區(qū)間上，下列四個函數(shù)模型為待定系數(shù)）中，最能反映函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·湖南張家界·高二統(tǒng)考期末）“每天進步一點點”可以用數(shù)學(xué)來詮釋：假如你今天的數(shù)學(xué)水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，經(jīng)過天之后，你的數(shù)學(xué)水平與之間的函數(shù)關(guān)系式為（

）A． B． C． D．3．（2023秋·浙江·高一期末）某市的電費收費實行峰平谷標(biāo)準(zhǔn)，如下表所示：時間段電價峰期14：00-17：0019：00-22：001.02元/度平期8：00-14：0017：00-19：0022：00-24：000.63元/度谷期0：00-8：000.32元/度該市市民李丹收到11月的智能交費賬單顯示：電量520度（其中谷期電量170度），電費333.12元．請你根據(jù)以上信息計算李丹家的峰期用電量大約為（精確到整數(shù)）（

）A．149度 B．179度 C．199度 D．219度4．（2023春·海南·高一統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某地有一片長期被污染水域，經(jīng)過治理后生態(tài)環(huán)境得到恢復(fù)，在此水域中生活的魚類數(shù)量可以采用阻滯增長模型進行預(yù)測，其中為年后的魚類數(shù)量，為自然增長率，（單位：萬條）為飽和量，（單位：萬條）為初始值.已知2022年底該水域的魚類數(shù)量為20萬條，以此為初始值，若自然增長率為，飽和量為1600萬條，那么預(yù)計2032年底該水域的魚類數(shù)量約為（參考數(shù)據(jù)）（

）A．68萬條 B．72萬條 C．77萬條 D．83萬條5．（2023·江西南昌·南昌十中?？家荒＃?022年6月5日上午10時44分，我國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心使用長征二號F運載火箭，將神舟十四號載人飛船和3名中國航天員送入太空這標(biāo)志著中國空間站任務(wù)轉(zhuǎn)入建造階段后的首次載人飛行任務(wù)正式開啟.火箭在發(fā)射時會產(chǎn)生巨大的噪音，已知聲音的聲強級（單位：）與聲強（單位：）滿足.若人交談時的聲強級約為，且火箭發(fā)射時的聲強與人交談時的聲強的比值約為，則火箭發(fā)射時的聲強級約為（

）A． B． C． D．6．（2023春·湖北·高一隨州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，假定兩點P、Q以相同的初速度運動，分別同時從A、C出發(fā)，點Q沿射線做勻速運動，；點P沿線段（長度為單位）運動，它在任何一點的速度值等于它尚未經(jīng)過的距離，那么定義x為y的納皮爾對數(shù)，對應(yīng)關(guān)系為（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，），則P從靠近A的第一個四等分點移動到靠近B的三等分點經(jīng)過的時間約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．0.7秒 B．0.8秒 C．1.1秒 D．1.2秒7．（2023春·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2023年1月底，由馬斯克、彼得泰爾等人創(chuàng)立的人工智能研究公司openAI發(fā)布的名為“ChatGTP”的人工智能聊天程序進入中國，迅速以其極高的智能化水平引起國內(nèi)關(guān)注．深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度．已知某個指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為，衰減速度為18，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時，學(xué)習(xí)率衰減為，則學(xué)習(xí)率衰減到以下（不含）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．72 B．74 C．76 D．788．（2023秋·廣東·高一統(tǒng)考期末）三星堆遺址被稱為20世紀(jì)人類最偉大的考古發(fā)現(xiàn)之一.考古學(xué)家在測定遺址年代的過程中，利用“生物死亡后體內(nèi)碳14含量按確定的比率衰減”這一規(guī)律，建立了樣本中碳14含量隨時間（單位：年）變化的數(shù)學(xué)模型：表示碳14的初始量）.2020年考古學(xué)家對三星堆古遺址某文物樣本進行碳14年代學(xué)檢測，檢測出碳14的含量約為初始量的，據(jù)此推測三星堆古遺址存在的時期距今大約是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．2796年 B．3152年 C．3952年 D．4480年二、多選題9．（2023秋·四川眉山·高一?？计谀┫铝姓f法正確的是（

）A．若，則：B．若，則的最小值為2C．若都是正數(shù)，且，則的最小值是3D．下列選項是四種生意預(yù)期的收益關(guān)于時間的函數(shù)，從足夠長遠的角度看，更有前途的生意是：②；①

②

③

④10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙兩位股民以相同的資金進行股票投資，在接下來的交易時間內(nèi)，甲購買的股票先經(jīng)歷了一次漲停（上漲10%），又經(jīng)歷了一次跌停（下跌10%），乙購買的股票先經(jīng)歷了一次跌停（下跌10%），又經(jīng)歷了一次漲停（上漲10%），則甲，乙的盈虧情況（不考慮其他費用）為（

）A．甲、乙都虧損 B．甲盈利，乙虧損 C．甲虧損，乙盈利 D．甲、乙虧損的一樣多三、填空題11．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）我們可以用下面的方法在線段上構(gòu)造出一個特殊的點集：如圖，取一條長度為1的線段，第1次操作，將該線段三等分，去掉中間一段，留下兩段；第2次操作，將留下的兩段分別三等分，各去掉中間一段，留下四段；按照這種規(guī)律一直操作下去.若經(jīng)過次這樣的操作后，去掉的所有線段的長度總和大于，則的最小值為__________.（參考數(shù)據(jù)：）12．（2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高級中學(xué)校考期末）在不考慮空氣阻力的情況下火箭的最大速度v（單位：m/s）和燃料的質(zhì)量M（單位：kg），火箭（除燃料外）的質(zhì)量m（單位：kg）滿足（e為自然對數(shù)的底）．當(dāng)燃料質(zhì)量M為火箭（除燃料外）質(zhì)量m的______倍時，火箭的最大速度可以達到8000m/s（結(jié)果精確到0.1）．四、解答題13．（2023春·上海嘉定·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）2023年某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，經(jīng)過市場分析，全年需投入固定成本2500萬元，每生產(chǎn)百輛新能源汽車需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，每一百輛車售價800萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.(1)求出2023年的利潤（單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（單位：百輛）的函數(shù)關(guān)系；（利潤＝銷售額－成本）(2)當(dāng)2023年的年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.14．（2023·全國·高三對口高考）廣富林,原稱皇甫林、廣福林,位于上海松江城西北6公里,辰山塘東岸．廣富林地區(qū)地處上海市松江大學(xué)城,古代屬于華亭谷范疇,孕育了燦爛的廣富林古文化,是上古時期東吳東部文化、政治、經(jīng)濟和交通中心．廣富林古墓中發(fā)掘的隨葬品有上百件之多,包括石器生產(chǎn)工具、陶器生活用品和禮器、獨具文化象征意義的動物類骨骼等．(1)生物體死亡后,它的機體內(nèi)原有的碳14會按確定的規(guī)律衰減,大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半,這個時間叫做“半衰期”．設(shè)生物體死亡時體內(nèi)碳14的含量為1,根據(jù)上述規(guī)律,寫出生物體內(nèi)碳14的含量p與死亡年數(shù)t的函數(shù)關(guān)系式;(2)某考古研究團隊對廣富林出土的動物遺骸進行了碳14年代檢測,測出的碳14的殘留量約為初始量的48.5%,請你推斷這些動物遺骸距今大約有多少年？（精確到1年）15．（2023秋·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）黨的二十大報告提出，積極穩(wěn)妥推進碳達峰碳中和，立足我國能源資源稟賦，堅持先立后破，有計劃分步驟實施碳達峰行動，深入推進能源革命，加強煤炭清潔高效利用，加快規(guī)劃建設(shè)新型能源體系，積極參與應(yīng)對氣候變化全球治理．在碳達峰、碳中和背景下，光伏發(fā)電作為我國能源轉(zhuǎn)型的中堅力量發(fā)展迅速．在可再生能源發(fā)展政策的支持下，今年前8個月，我國光伏新增裝機達到4447萬千瓦，同比增長2241萬千瓦．某公司生產(chǎn)光伏發(fā)電機的全年固定成本為1000萬元，每生產(chǎn)x（單位：百臺）發(fā)電機組需增加投入y（單位：萬元），其中，該光伏發(fā)電機年產(chǎn)量最大為10000臺．每臺發(fā)電機的售價為16000元，全年內(nèi)生產(chǎn)的發(fā)電機當(dāng)年能全部售完．(1)將利潤P（單位：萬元）表示為年產(chǎn)量x（單位：百臺）的函數(shù)；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少萬元？（總收入＝總成本＋利潤）．B能力提升1．（2023·河南洛陽·洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）黨的二十大報告將“完成脫貧攻堅、全面建成小康社會的歷史任務(wù)，實現(xiàn)第一個百年奮斗目標(biāo)”作為十年來對黨和人民事業(yè)具有重大現(xiàn)實意義和深遠歷史意義的三件大事之一．某企業(yè)積極響應(yīng)國家號召，對某經(jīng)濟欠發(fā)達地區(qū)實施幫扶，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品．經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)A產(chǎn)品的固定成本為200萬元，每生產(chǎn)x萬件，需可變成本萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足50萬件時，；當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬件時，．每件A產(chǎn)品的售價為100元，通過市場分析，生產(chǎn)的A產(chǎn)品可以全部銷售完．欲使得生產(chǎn)該產(chǎn)品能獲得最大利潤，則產(chǎn)量應(yīng)為（

）A．40萬件 B．50萬件 C．60萬件 D．80萬件2．（2023秋·湖南婁底·高一?？计谀┤鐖D，假定P，Q兩點以相同的初速度（單位：單位/秒），分別同時從A，C出發(fā)，點Q沿射線做勻速運動，，點P沿線段（長度為單位）運動，它在任何一點的速度值等于它尚未經(jīng)過的距離，那么定義x為y的納皮爾對數(shù)，函數(shù)表達式為，則P從靠近A的第一個五等分點移動到靠近B的三等分點經(jīng)過的時間約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．0.7秒 B．0.9秒 C．1.1秒 D．1.3秒3．（2023秋·浙江湖州·高一期末）蒙牛成為2022年卡塔爾世界杯的奶制品供應(yīng)商．該廠商計劃臨時租用總面積為3000平方米的生產(chǎn)廠區(qū)，其中涵蓋臨時搭建牛奶類和酸奶類共計60間生產(chǎn)車間及綠化改造．每間牛奶類車間的面積為50平方米，租金為每月x萬元；每間酸奶類車間的面積為30平方米，租金為每月0.5萬元．現(xiàn)要求所有車間的面積之和不低于總面積的，又不能超過總面積的，則牛奶類生產(chǎn)車間的搭建方案有______種，為保證任何一種搭建方案平均每個車間租用費用不低于每間牛奶類車間月租費的，則x的最大值為_____________萬元．C綜合素養(yǎng)1．（2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）已知通過某種圓筒型保溫層的熱流量，其中，分別為保溫層的內(nèi)外半徑（單位：mm），，分別為保溫層內(nèi)外表面的溫度（單位：℃），l為保溫層的長度（單位：m），為保溫層的導(dǎo)熱系數(shù)（單位：）．某電廠為了減少熱損失，準(zhǔn)備在直徑為120mm、外壁面溫度為250℃的蒸汽管道外表面覆蓋這種保溫層，根據(jù)安全操作規(guī)定，保溫層外表面溫度應(yīng)控制為50℃．經(jīng)測試，當(dāng)保溫層的厚度為30mm時，每米長管道的熱損失為300W．若要使每米長管道的熱損失不超過150W，則覆蓋的保溫層厚度至少為（

）A．60mm B．65mm C．70mm D．75mm2．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）某公司通過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，工人工作效率與工作年限（），勞累程度（），勞動動機（）相關(guān)，并建立了數(shù)學(xué)模型.已知甲?乙為該公司的員工，則下列說法正確的有（

）A．甲與乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，勞動動機低，則甲比乙勞累程度強B．甲與乙勞動動機相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，則甲比乙勞累程度弱C．甲與乙勞累程度相同，且甲比乙工作年限長，勞動動機高，則甲比乙工作效率高D．甲與乙勞動動機相同，且甲比乙工作年限長，勞累程度弱，則甲比乙工作效率高3．（多選）（2023秋·山東臨沂·高一山東省臨沂第一中學(xué)?？计谀┻呺H函數(shù)是經(jīng)濟學(xué)中一個基本概念，在國防、醫(yī)學(xué)、環(huán)保和經(jīng)濟管理等許多領(lǐng)域都有十分廣泛的應(yīng)用，函數(shù)的邊際函數(shù)定義為．某公司每月最多生產(chǎn)75臺報警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)臺的收入函數(shù)（單位：元），其成本的數(shù)（單位：元），利潤是收入與成本之差，設(shè)利潤函數(shù)為，則以下說法正確的是（

）A．取得最大值時每月產(chǎn)量為臺B．邊際利潤函數(shù)的表達式為C．利潤函數(shù)與邊際利潤函數(shù)不具有相同的最大值D．邊際利潤函數(shù)說明隨著產(chǎn)量的增加，每臺利潤與前一臺利潤差額在減少4．（2023春·湖南長沙·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）為響應(yīng)國家“降碳減排”號召，新能源汽車得到蓬勃發(fā)展，而電池是新能源汽車最核心的部件之一.湖南某企業(yè)為抓住新能源汽車發(fā)展帶來的歷史性機遇，決定開發(fā)生產(chǎn)一款新能源電池設(shè)備.生產(chǎn)這款設(shè)備的年固定成本為200萬元，每生產(chǎn)臺需要另投入成本（萬元），當(dāng)年產(chǎn)量不足45臺時，萬元，當(dāng)年產(chǎn)量不少于45臺時，萬元.若每臺設(shè)備的售價與銷售量的關(guān)系式為萬元，經(jīng)過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)新能源電池設(shè)備能全部售完.(1)求年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（臺）的函數(shù)關(guān)系式；(2)年產(chǎn)量為多少臺時，該企業(yè)在這一款新能源電池設(shè)備的生產(chǎn)中獲利最大？最大利潤是多少萬元？5．（2023春·安徽馬鞍山·高一安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）諾貝爾獎發(fā)放方式為：每年一發(fā)，把獎金總額平均分成份，獎勵給分別在項（物理、化學(xué)、文學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、生理學(xué)和醫(yī)學(xué)、和平）為人類作出最有益貢獻的人，每年發(fā)放獎金的總金額是基金在該年度所獲利息的一半，另一半利息作基金總額，以便保證獎金數(shù)逐年增加．假設(shè)基金平均年利率為．資料顯示：年諾貝爾獎發(fā)放后基金總額約為萬美元．設(shè)表示第年諾貝爾獎發(fā)放后的基金總額（年記為，年記為，，依次類推）．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)分別求出、與的關(guān)系式；(2)根據(jù)（1）所求的結(jié)果歸納出函數(shù)的解析式（無需證明）．(3)若，試求出年諾貝爾獎每位獲獎?wù)叩莫劷痤~是多少．第09講函數(shù)模型及其應(yīng)用(精練（分層練習(xí)）A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·江蘇·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在一次實驗中，某小組測得一組數(shù)據(jù)，并由實驗數(shù)據(jù)得到下面的散點圖.由此散點圖，在區(qū)間上，下列四個函數(shù)模型為待定系數(shù)）中，最能反映函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由散點圖的定義域可排除C、D選項，由散點圖的增長方式可知函數(shù)模型為指數(shù)型.故選：B2．（2023秋·湖南張家界·高二統(tǒng)考期末）“每天進步一點點”可以用數(shù)學(xué)來詮釋：假如你今天的數(shù)學(xué)水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，經(jīng)過天之后，你的數(shù)學(xué)水平與之間的函數(shù)關(guān)系式為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】經(jīng)過1天后數(shù)學(xué)水平為，經(jīng)過2天后數(shù)學(xué)水平為，經(jīng)過3天后數(shù)學(xué)水平為，以此類推，經(jīng)過天后，數(shù)學(xué)水平與之間的函數(shù)關(guān)系式為，故選:D.3．（2023秋·浙江·高一期末）某市的電費收費實行峰平谷標(biāo)準(zhǔn)，如下表所示：時間段電價峰期14：00-17：0019：00-22：001.02元/度平期8：00-14：0017：00-19：0022：00-24：000.63元/度谷期0：00-8：000.32元/度該市市民李丹收到11月的智能交費賬單顯示：電量520度（其中谷期電量170度），電費333.12元．請你根據(jù)以上信息計算李丹家的峰期用電量大約為（精確到整數(shù)）（

）A．149度 B．179度 C．199度 D．219度【答案】A【詳解】設(shè)峰期電量x度，則平期電量度，從而有，解得．故選：A.4．（2023春·海南·高一統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某地有一片長期被污染水域，經(jīng)過治理后生態(tài)環(huán)境得到恢復(fù)，在此水域中生活的魚類數(shù)量可以采用阻滯增長模型進行預(yù)測，其中為年后的魚類數(shù)量，為自然增長率，（單位：萬條）為飽和量，（單位：萬條）為初始值.已知2022年底該水域的魚類數(shù)量為20萬條，以此為初始值，若自然增長率為，飽和量為1600萬條，那么預(yù)計2032年底該水域的魚類數(shù)量約為（參考數(shù)據(jù)）（

）A．68萬條 B．72萬條 C．77萬條 D．83萬條【答案】C【詳解】根據(jù)題中所給函數(shù)模型，代入有關(guān)數(shù)據(jù)，以2022年的數(shù)量為初始值，所以有，所以預(yù)計2032年底該水域的魚類數(shù)量約為77萬條，故選：C5．（2023·江西南昌·南昌十中?？家荒＃?022年6月5日上午10時44分，我國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心使用長征二號F運載火箭，將神舟十四號載人飛船和3名中國航天員送入太空這標(biāo)志著中國空間站任務(wù)轉(zhuǎn)入建造階段后的首次載人飛行任務(wù)正式開啟.火箭在發(fā)射時會產(chǎn)生巨大的噪音，已知聲音的聲強級（單位：）與聲強（單位：）滿足.若人交談時的聲強級約為，且火箭發(fā)射時的聲強與人交談時的聲強的比值約為，則火箭發(fā)射時的聲強級約為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)人交談時的聲強為，則火箭發(fā)射時的聲強為，則，解得：，則火箭發(fā)射時的聲強為，將其代入中，得：，故火箭發(fā)射時的聲強級約為.故選：B6．（2023春·湖北·高一隨州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，假定兩點P、Q以相同的初速度運動，分別同時從A、C出發(fā)，點Q沿射線做勻速運動，；點P沿線段（長度為單位）運動，它在任何一點的速度值等于它尚未經(jīng)過的距離，那么定義x為y的納皮爾對數(shù)，對應(yīng)關(guān)系為（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，），則P從靠近A的第一個四等分點移動到靠近B的三等分點經(jīng)過的時間約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．0.7秒 B．0.8秒 C．1.1秒 D．1.2秒【答案】B【詳解】由題意可知，、兩點的初速度為單位/秒，設(shè)點運動到靠近點的第一個四等分點時，，則，可得，設(shè)點運動到靠近點的三等分點時，，則，可得，故所求時間為（秒），故選：B.7．（2023春·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2023年1月底，由馬斯克、彼得泰爾等人創(chuàng)立的人工智能研究公司openAI發(fā)布的名為“ChatGTP”的人工智能聊天程序進入中國，迅速以其極高的智能化水平引起國內(nèi)關(guān)注．深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度．已知某個指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為，衰減速度為18，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時，學(xué)習(xí)率衰減為，則學(xué)習(xí)率衰減到以下（不含）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．72 B．74 C．76 D．78【答案】B【詳解】根據(jù)題意得該指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，當(dāng)時，，代入得，，解得，由學(xué)習(xí)率衰減到以下（不含），得，，，，因為，所以，故G取74，故選：B．8．（2023秋·廣東·高一統(tǒng)考期末）三星堆遺址被稱為20世紀(jì)人類最偉大的考古發(fā)現(xiàn)之一.考古學(xué)家在測定遺址年代的過程中，利用“生物死亡后體內(nèi)碳14含量按確定的比率衰減”這一規(guī)律，建立了樣本中碳14含量隨時間（單位：年）變化的數(shù)學(xué)模型：表示碳14的初始量）.2020年考古學(xué)家對三星堆古遺址某文物樣本進行碳14年代學(xué)檢測，檢測出碳14的含量約為初始量的，據(jù)此推測三星堆古遺址存在的時期距今大約是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．2796年 B．3152年 C．3952年 D．4480年【答案】B【詳解】設(shè)三星堆古遺址存在的時期距今大約是x年，則，即，所以，解得，所以推測三星堆古遺址存在的時期距今大約是年.故選：B二、多選題9．（2023秋·四川眉山·高一?？计谀┫铝姓f法正確的是（

）A．若，則：B．若，則的最小值為2C．若都是正數(shù)，且，則的最小值是3D．下列選項是四種生意預(yù)期的收益關(guān)于時間的函數(shù)，從足夠長遠的角度看，更有前途的生意是：②；①

②

③

④【答案】AC【詳解】對于A，因為，所以，所以，A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)即不成立，所以，無最小值，B錯誤；對于C，因為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)即時取得等號，所以的最小值是3，C正確；對于D，指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于1，隨著時間的推移增長速度越來越快，所以最有前途的生意是①，D錯誤，故選:AC.10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙兩位股民以相同的資金進行股票投資，在接下來的交易時間內(nèi)，甲購買的股票先經(jīng)歷了一次漲停（上漲10%），又經(jīng)歷了一次跌停（下跌10%），乙購買的股票先經(jīng)歷了一次跌停（下跌10%），又經(jīng)歷了一次漲停（上漲10%），則甲，乙的盈虧情況（不考慮其他費用）為（

）A．甲、乙都虧損 B．甲盈利，乙虧損 C．甲虧損，乙盈利 D．甲、乙虧損的一樣多【答案】AD【詳解】解：設(shè)投資總額為a元，甲先經(jīng)歷一次漲停，再經(jīng)歷一次跌停后的資金為：元，乙先經(jīng)歷一次跌停，再經(jīng)歷一次漲停后的資金為：元，故選：AD.三、填空題11．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）我們可以用下面的方法在線段上構(gòu)造出一個特殊的點集：如圖，取一條長度為1的線段，第1次操作，將該線段三等分，去掉中間一段，留下兩段；第2次操作，將留下的兩段分別三等分，各去掉中間一段，留下四段；按照這種規(guī)律一直操作下去.若經(jīng)過次這樣的操作后，去掉的所有線段的長度總和大于，則的最小值為__________.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】12【詳解】設(shè)每次操作留下的長度為，則，，且每次操作留下的長度均為上一次操作留下長度的，所以為等比數(shù)列，公比為，首項為，故，所以經(jīng)過次這樣的操作后，去掉的所有線段長度總和為，故，即，兩邊取對數(shù)得：，因為，所以，則n的最小值為12.故答案為：1212．（2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高級中學(xué)?？计谀┰诓豢紤]空氣阻力的情況下火箭的最大速度v（單位：m/s）和燃料的質(zhì)量M（單位：kg），火箭（除燃料外）的質(zhì)量m（單位：kg）滿足（e為自然對數(shù)的底）．當(dāng)燃料質(zhì)量M為火箭（除燃料外）質(zhì)量m的______倍時，火箭的最大速度可以達到8000m/s（結(jié)果精確到0.1）．【答案】53.6【詳解】由得，，，，故答案為：53.6.四、解答題13．（2023春·上海嘉定·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）2023年某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，經(jīng)過市場分析，全年需投入固定成本2500萬元，每生產(chǎn)百輛新能源汽車需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，每一百輛車售價800萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.(1)求出2023年的利潤（單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（單位：百輛）的函數(shù)關(guān)系；（利潤＝銷售額－成本）(2)當(dāng)2023年的年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.【答案】(1)(2)當(dāng)2023年的年產(chǎn)量為100百輛時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為1600萬元.【詳解】（1）由題意得，當(dāng)年產(chǎn)量為百輛時，全年銷售額為萬元，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以所求函數(shù)關(guān)系為：.（2）當(dāng)時，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，不等式中等號成立；當(dāng)時，，即.當(dāng)且僅當(dāng)，即時，不等式中等號成立.因為，所以當(dāng)時，即當(dāng)2023年的年產(chǎn)量為100百輛時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為1600萬元.14．（2023·全國·高三對口高考）廣富林,原稱皇甫林、廣福林,位于上海松江城西北6公里,辰山塘東岸．廣富林地區(qū)地處上海市松江大學(xué)城,古代屬于華亭谷范疇,孕育了燦爛的廣富林古文化,是上古時期東吳東部文化、政治、經(jīng)濟和交通中心．廣富林古墓中發(fā)掘的隨葬品有上百件之多,包括石器生產(chǎn)工具、陶器生活用品和禮器、獨具文化象征意義的動物類骨骼等．(1)生物體死亡后,它的機體內(nèi)原有的碳14會按確定的規(guī)律衰減,大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半,這個時間叫做“半衰期”．設(shè)生物體死亡時體內(nèi)碳14的含量為1,根據(jù)上述規(guī)律,寫出生物體內(nèi)碳14的含量p與死亡年數(shù)t的函數(shù)關(guān)系式;(2)某考古研究團隊對廣富林出土的動物遺骸進行了碳14年代檢測,測出的碳14的殘留量約為初始量的48.5%,請你推斷這些動物遺骸距今大約有多少年？（精確到1年）【答案】(1)(2)5982年【詳解】（1）解:由題意生物體死亡后,它的機體內(nèi)原有的碳14會按確定的規(guī)律衰減,所以設(shè),根據(jù)半衰期可知,解得,代入得,所以生物體內(nèi)碳14的含量p與死亡年數(shù)t的函數(shù)關(guān)系式為．（2）由(1)得,令,解得,所以這些動物遺骸距今大約有5982年．15．（2023秋·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）黨的二十大報告提出，積極穩(wěn)妥推進碳達峰碳中和，立足我國能源資源稟賦，堅持先立后破，有計劃分步驟實施碳達峰行動，深入推進能源革命，加強煤炭清潔高效利用，加快規(guī)劃建設(shè)新型能源體系，積極參與應(yīng)對氣候變化全球治理．在碳達峰、碳中和背景下，光伏發(fā)電作為我國能源轉(zhuǎn)型的中堅力量發(fā)展迅速．在可再生能源發(fā)展政策的支持下，今年前8個月，我國光伏新增裝機達到4447萬千瓦，同比增長2241萬千瓦．某公司生產(chǎn)光伏發(fā)電機的全年固定成本為1000萬元，每生產(chǎn)x（單位：百臺）發(fā)電機組需增加投入y（單位：萬元），其中，該光伏發(fā)電機年產(chǎn)量最大為10000臺．每臺發(fā)電機的售價為16000元，全年內(nèi)生產(chǎn)的發(fā)電機當(dāng)年能全部售完．(1)將利潤P（單位：萬元）表示為年產(chǎn)量x（單位：百臺）的函數(shù)；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少萬元？（總收入＝總成本＋利潤）．【答案】(1)；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為3000臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤為800萬元.【詳解】（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，，即；（2）當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即時取等號，∵，∴當(dāng)年產(chǎn)量為3000臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤為800萬元．B能力提升1．（2023·河南洛陽·洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）黨的二十大報告將“完成脫貧攻堅、全面建成小康社會的歷史任務(wù)，實現(xiàn)第一個百年奮斗目標(biāo)”作為十年來對黨和人民事業(yè)具有重大現(xiàn)實意義和深遠歷史意義的三件大事之一．某企業(yè)積極響應(yīng)國家號召，對某經(jīng)濟欠發(fā)達地區(qū)實施幫扶，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品．經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)A產(chǎn)品的固定成本為200萬元，每生產(chǎn)x萬件，需可變成本萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足50萬件時，；當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬件時，．每件A產(chǎn)品的售價為100元，通過市場分析，生產(chǎn)的A產(chǎn)品可以全部銷售完．欲使得生產(chǎn)該產(chǎn)品能獲得最大利潤，則產(chǎn)量應(yīng)為（

）A．40萬件 B．50萬件 C．60萬件 D．80萬件【答案】D【詳解】由題意得，銷售收入為100x萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足50萬件時，利潤；當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬件時，利潤．所以利潤因為當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則．當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．又，所以當(dāng)時，所獲利潤最大，最大值為1000萬元．故選:D．2．（2023秋·湖南婁底·高一?？计谀┤鐖D，假定P，Q兩點以相同的初速度（單位：單位/秒），分別同時從A，C出發(fā)，點Q沿射線做勻速運動，，點P沿線段（長度為單位）運動，它在任何一點的速度值等于它尚未經(jīng)過的距離，那么定義x為y的納皮爾對數(shù)，函數(shù)表達式為，則P從靠近A的第一個五等分點移動到靠近B的三等分點經(jīng)過的時間約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．0.7秒 B．0.9秒 C．1.1秒 D．1.3秒【答案】B【詳解】P，Q兩點的初速度為單位/秒．設(shè)P運動到靠近的第一個五等分點時，，則，得．設(shè)P運動到靠近B的三等分點時，，則，得．故所求的時間為秒．故選：B3．（2023秋·浙江湖州·高一期末）蒙牛成為2022年卡塔爾世界杯的奶制品供應(yīng)商．該廠商計劃臨時租用總面積為3000平方米的生產(chǎn)廠區(qū)，其中涵蓋臨時搭建牛奶類和酸奶類共計60間生產(chǎn)車間及綠化改造．每間牛奶類車間的面積為50平方米，租金為每月x萬元；每間酸奶類車間的面積為30平方米，租金為每月0.5萬元．現(xiàn)要求所有車間的面積之和不低于總面積的，又不能超過總面積的，則牛奶類生產(chǎn)車間的搭建方案有______種，為保證任何一種搭建方案平均每個車間租用費用不低于每間牛奶類車間月租費的，則x的最大值為_____________萬元．【答案】

16

##0.625【詳解】設(shè)牛奶類m間，酸奶類間，則有，解得，又，故方案有16種；由，得，又，故在上恒成立，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性易得在上單調(diào)遞增，所以，所以，即x的最大值為.故答案為：16；.C綜合素養(yǎng)1．（2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）已知通過某種圓筒型保溫層的熱流量，其中，分別為保溫層的內(nèi)外半徑（單位：mm），，分別為保溫層內(nèi)外表面的溫度（單位：℃），l為保溫層的長度（單位：m），為保溫層的導(dǎo)熱系數(shù)（單位：）．某電廠為了減少熱損失，準(zhǔn)備在直徑為120mm、外壁面溫度為250℃的蒸汽管道外表面覆蓋這種保溫層，根據(jù)安全操作規(guī)定，保溫層外表面溫度應(yīng)控制為50℃．經(jīng)測試，當(dāng)保溫層的厚度為30mm時，每米長管道的熱損失為300W．若要使每米長管道的熱損失不超過150W，則覆蓋的保溫層厚度至少為（

）A．60mm B．65mm C．70mm D．75mm【答案】D【詳解】由題意可得，，，設(shè)覆蓋的保溫層厚度至少為，則，，整理可得，即，解得，故選：D．2．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）某公司通過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，工人工作效率與工作年限（），勞累程度（），勞動動機（）相關(guān)，并建立了數(shù)學(xué)模型.已知甲?乙為該公司的員工，則下列說法正確的有（

）A．甲與乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，勞動動機低，則甲比乙勞累程度強B．甲與乙勞動動機相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，則甲比乙勞累程度弱C．甲與乙勞累程度相同，且甲比乙工作年限長，勞動動機高，則甲比乙工作效率高D．甲與乙勞動動機相同，且甲比乙工作年限長，勞累程度弱，則甲比乙工作效率高【答案】BCD【詳解】設(shè)甲與乙的工人工作效率，工作年限，勞累程度，勞動動機，對于A，，，，，∴，，，所以，即甲比乙勞累程