人教版八年級數(shù)學(xué)上冊《分式》全章教案

第十五章分式

15.1分式

15.1.1從分?jǐn)?shù)到分式

教與目標(biāo)：?<

1.以描述實際問題中的數(shù)量關(guān)系為背景抽象出分式的概念,

建立數(shù)學(xué)模型，并理解分式的概念.

2.能夠通過分式的定義理解和掌握分式有意義的條件.

后＜

重點

理解分式有意義的條件及分式的值為零的條件.

難點

能熟練地求出分式有意義的條件及分式的值為零的條件.

數(shù)與設(shè)計＜

一、復(fù)習(xí)引入

1.什么是整式？什么是單項式？什么是多項式？

2.判斷下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？

8m+nazb+ab2a+b2

①一^-；②l+x+y2；③__—；④；⑤—；」；

55zX2十2x十1

33x214

H2+b22x

二、探究新知

1.分式的定義

⑴學(xué)生看教材的問題：一艘輪船在靜水中的最大航速為30

千米/時，它沿江以最大航速順流航行90千米所用時間，與以最

大航速逆流航行60千米所用的時間相等，江水的流速為多少？

分析：設(shè)江水的流速為v千米/時.

90

輪船順流航行90千米所用的時間為砧工-小時，逆流航行60

十v

609060

千米所用時間為用一小時，所以…-=而一.

30—v5。十v3（J—v

⑵學(xué)生完成教材第127頁“思考”中的題.

9060SV

觀察：以上的式子/，—，—，有什么共同點？它

十v30—vas

們與分?jǐn)?shù)有什么相同點和不同點？

A

可以發(fā)現(xiàn)，這些式子都像分?jǐn)?shù)一樣都是我（即A+B）的形式.分

數(shù)的分子A與分母B都是整數(shù)，而這些式子中的A,B都是整式，

并且B中都含有字母.

歸納：一般地，如果A,B表示兩個整式，并且B中含有字

A

母，那么式子文叫做分式.

鞏固練習(xí)：教材第129頁練習(xí)第2題.

2.自學(xué)教材第128頁思考：要使分式有意義，分式中的分母

應(yīng)滿足什么條件？

分式的分母表示除數(shù)，由于除數(shù)不能為0,所以分式的分母

A

不能為0,即當(dāng)BW0時，分式良才有意義.

D

學(xué)生自學(xué)例1.

例1下列分式中的字母滿足什么條件時分式有意義?

2x1x+v

⑴荻⑵l⑶e『

2

解：⑴要使分式丁有意義，則分母3xW0,即xWO；

X

⑵要使分式一^有意義，則分母X—1WO,即xWl；

X—1

15

(3)要使分式一不有意義，則分母5—3bw0,即bw7;

□—JD3

x+v

(4)要使分式---有意義，則分母x一產(chǎn)0,即xWy.

x—y

思考：如果題目為：當(dāng)X為何值時，分式無意義.你知道怎

么解題嗎？

鞏固練習(xí)：教材第129頁練習(xí)第3題.

3.補充例題：當(dāng)m為何值時，分式的值為0?

mm—2m2—1

(1)—；⑵⑶

m—1rm+3m+1

思考：當(dāng)分式為。時，分式的分子、分母各滿足什么條件？

分析：分式的值為。時，必須同時滿足兩個條件：⑴分母不

能為零；⑵分子為零.

答案：⑴m=0;(2)m=2;(3)m=l.

三、歸納總結(jié)

1.分式的概念.

2.分式的分母不為。時，分式有意義；分式的分母為。時,

分式無意義.

3.分式的值為零的條件：⑴分母不能為零；⑵分子為零.

四、布置作業(yè)

教材第133頁習(xí)題15.1第2,3題.

教與反思

在引入分式這個概念之前先復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的概念，通過類比來自

主探究分式的概念，分式有意義的條件，分式值為零的條件，從

而更好更快地掌握這些知識點，同時也培養(yǎng)學(xué)生利用類比轉(zhuǎn)化的

數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力.

15.1.2分式的基本性質(zhì)（2課時）

第1課時分式的基本性質(zhì)

教與目標(biāo)

1.了解分式的基本性質(zhì)，靈活運用分式的基本性質(zhì)進行分式

的變形.

2.會用分式的基本性質(zhì)求分式變形中的符號法則.

：?<

重點

理解并掌握分式的基本性質(zhì).

難點

靈活運用分式的基本性質(zhì)進行分式變形.

教與設(shè)計＜

一、類比引新

1.計算：

5248

⑴鏟T3；⑵

思考：在運算過程中運用了什么性質(zhì)？

教師出示問題.學(xué)生獨立計算后回答：運用了分?jǐn)?shù)的基本性

質(zhì).

2.你能說出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)嗎？

分?jǐn)?shù)的分子與分母都乘（或除以）同一個不為零的數(shù)，分?jǐn)?shù)的

值不變.

3.嘗試用字母表示分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：

小組討論交流如何用字母表示分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，然后寫出分

數(shù)的基本性質(zhì)的字母表達式.

aa,caa+c

T-=T-——，―（其中a,b,c是實數(shù)，且cWO）

bb-cbb-c

二、探究新知

1.分式與分?jǐn)?shù)也有類似的性質(zhì)，你能說出分式的基本性質(zhì)

嗎？

分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母乘（或除以）同一個不為

零的整式，分式的值不變.

你能用式子表示這個性質(zhì)嗎？

AA-CAA+C

?（其中A，B，C是整式，且CwO）

JDJD,CJDJD-C

x1bab

如區(qū)=2,萬丁，你還能舉幾個例子嗎?

回顧分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，讓學(xué)生類比寫出分式的基本性質(zhì)，這

是從具體到抽象的過程.

學(xué)生嘗試著用式子表示分式的性質(zhì)，加強對學(xué)生的抽象表達

能力的培養(yǎng).

2.想一想

下列等式成立嗎？為什么？

—aa—aaa

-bb'b—bb,

教師出示問題.學(xué)生小組討論、交流、總結(jié).

例1不改變分式的值，使下列分式的分子與分母都不含

a力號：

—2a—3x一X2

⑴⑵'；

例2不改變分式的值，使下列分式的分子與分母的最高次

項的系數(shù)都化為正數(shù):

x+12—x—X—1

⑴—2x—1；⑵—X2+3；⑶?

引導(dǎo)學(xué)生在完成習(xí)題的基礎(chǔ)上進行歸納，使學(xué)生掌握分式的

變號法則.

例3填空:

X33x2+3xyx+y

⑴L;

6x2r

1()2a-b()

(2)=-j-,-----=-----——(bWO)

aba2ba2a2b

X3

解：⑴因為—的分母xy除以x才能化為y,為保證分式的值

xy

不變，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子也需除以X,即

X3X3+XX2

xyxyH-xy

3x2+3xy

同樣地，因為一反一的分子3x2+3xy除以3x才能化為x+y,

所以分母也需除以3x,即

3x2+3xy(3x2+3xy)4-(3x)x+y

6x26x2H-~(3x)2x,

所以，括號中應(yīng)分別填入X2和2x.

1

⑵因為"的分母ab乘a才能化為b,為保證分式的值不變，

aba2

根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子也需乘a,即

11,aa

abab,aa2b.

2a—b

同樣地，因為----的分母a2乘b才能化為azb,所以分子也

需乘b,即

2a—b(2a—b)-b2ab—b2

a2a2,ba2B-

所以，括號中應(yīng)分別填a和2ab—b2.

在解決例題1,2的第⑵小題時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察等式

兩邊的分母發(fā)生的變化，再思考分式的分子如何變化；在解決例

2的第⑴小題時，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察等式兩邊的分子發(fā)生的變化,

再思考分式的分母隨之應(yīng)該如何變化.

三、課堂小結(jié)

1.分式的基本性質(zhì)是什么？

2.分式的變號法則是什么？

3.如何利用分式的基本性質(zhì)進行分式的變形？

學(xué)生在教師的引導(dǎo)下整理知識、理順?biāo)季S.

四、布置作業(yè)

教材第133頁習(xí)題15.1第4,5題.

電0赤M<

通過算數(shù)中分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，用類比的方法給出分式的基本

性質(zhì)，學(xué)生接受起來并不感到困難，但要重點強調(diào)分子分母同乘

（或除）的整式不能為零，讓學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度和習(xí)慣.

第2課時分式的約分、通分

教與目標(biāo)<

1.類比分?jǐn)?shù)的約分、通分，理解分式約分、通分的意義，理

解最簡公分母的概念.

2.類比分?jǐn)?shù)的約分、通分，掌握分式約分、通分的方法與步

驟.

：?<

重點

運用分式的基本性質(zhì)正確地進行分式的約分與通分.

難點

通分時最簡分分母的確定；運用通分法則將分式進行變形.

教與設(shè)計＜:?<

、類比引新

52

1.在計算yX謳時，我們采用了“約分”的方法，分?jǐn)?shù)的約

613

a2-\~aba~\~b

分約去的是什么？分式“，M相等嗎？為什么？

a2~\~ab

利用分式的基本性質(zhì)，分式“約去分子與分母的公因式

a+b

a,并不改變分式的值，可以得到擊

-aba-Hb

教師點撥：分式”可以化為8,我們把這樣的分式變

形叫做一分式的約分一.

4646

2.怎樣計算q+P怎樣把口，通分？

37/3/

ac

類似的，你能把分式十萬變成同分母的分式嗎？

bd

利用分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化成與原來

的分式相等的同分母的分式，我們把這樣的分式變形叫做一分式

的通分一.

二、探究新知

—25a2bc3X2—9

1.約分：(1)…；(2);

15ab2cX2十6x十9

6x2-12xy+6y2

⑶3x—3y

分析：為約分，要先找出分子和分母的公因式.

—25a2bc35abc,5ac25ac2

解：⑴FTF；——

15ab2cbabe,3b3b

X2-9(x+3)(x-3)x—3

⑵X2-|-6x+9(x+3)2x+3'

6x2-12xy+6y26(x一y)2

(3)——aa----=-=2(x-y).

Jx—3y5-(---x---—----y--)1―

若分子和分母都是多項式，則往往需要把分子、分母分解因

式(即化成乘積的形式)，然后才能進行約分.約分后，分子與分

母沒有公因式，我們把這樣的分式稱為—最簡分式(不能再化

簡的分式)

2.練習(xí)：

2ax2y—2a(a+b)(a—x)2X2-4m2—3m

約分?___i-,..?_________?____________?

-3axy2，3b(a+b)，(x—a)3,xy+2y，9—m2，

992-1

-？s-1

學(xué)生先獨立完成，再小組交流，集體訂正.

111

3.討論：分式^一,l，「的最簡公分母是什么？

zx3y2Z4x2y36xy4

提出最簡公分母概念.

一般取各分母的所有因式的最高次嘉的積作公分母，它叫做

最簡公分母.

學(xué)生討論、小組交流、總結(jié)得出求最簡公分母的步驟：

⑴系數(shù)取各分式的分母中系數(shù)最小公倍數(shù)；

⑵各分式的分母中所有字母或因式都要取到；

(3)相同字母(或因式)的累取指數(shù)最大的；

(4)所得的系數(shù)的最小公倍數(shù)與各字母(或因式)的最高次嘉的

積(其中系數(shù)都取正數(shù))即為最簡公分母.

3a—b2x3x

4.通分：⑴亍/與(2)——^與?

2a2bab2cx—bx十5

分析：為通分，要先確定各分式的公分母.

解：⑴最簡公分母是2a2b2c.

33,be3bc

2a2b2a2b,be2a2b2c’

a—b(a—b),2a2a2—2ab

ab2cab2c,2a2a2b2c

⑵最簡公分母是(x—5)(x+5).

2x2x(x+5)2x2+lOx

x—5(x—5)(x+5)X2-25，

3x3x(x—5)3x2-15x

x+5(x+5)(x—5)X2—25

5.練習(xí)：

15111x

通分：⑴廠與人；⑵^與——；(3)-_――與—..

JX2IzxyX2十XX2-X(2—X72X2■—4

教師引導(dǎo)：通分的關(guān)鍵是先確定最簡公分母；如果分式的分

母是多項式則應(yīng)先將分母分解因式，再按上述的方法確定分式的

最簡公分母.

學(xué)生板演并互批及時糾錯.

6.思考：分?jǐn)?shù)和分式在約分和通分的做法上有什么共同點?

這些做法的根據(jù)是什么？

教師讓學(xué)生討論、交流，師生共同作以小結(jié).

三、課堂小結(jié)

1.什么是分式的約分？

怎樣進行分式的約分？

什么是最簡分式？

2.什么是分式的通分？

怎樣進行分式的通分？

什么是最簡公分母？

3.本節(jié)課你還有哪些疑惑？

四、布置作業(yè)

教材第133頁習(xí)題15.1第6,7題.

敦與反總

本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了分式的基本性質(zhì)后學(xué)的，重點是運用分式

的基本性質(zhì)正確的約分和通分，約分時要注意一定要約成最簡分

式，熟練運用因式分解；通分時要將分式變形后再確定最簡公分

母.

15.2分式的運算

15.2.1分式的乘除（2課時）

第1課時分式的乘除法

敦與目標(biāo)：?<

1.理解并掌握分式的乘除法則.

2.運用法則進行運算，能解決一些與分式有關(guān)的實際問題.

重點

掌握分式的乘除運算.

難點

分子、分母為多項式的分式乘除法運算.

教與設(shè)計＜

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

1.分?jǐn)?shù)的乘除法的法則是什么？

315315

2.計算：X;+

JK1ZJZ

3153X15315323X2

由分?jǐn)?shù)的運算法則知5^^=5XT5=5XT5'

3.什么是倒數(shù)？

我們在小學(xué)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的乘除法，對于分式如何進行計算

呢？這就是我們這節(jié)要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

二、探究新知

問題1：一個水平放置的長方體容器，其容積為V,底面的

m

長為a,寬為b時，當(dāng)容器的水占容積的一時，水面的高度是多少？

n

問題2:大拖拉機m天耕地ahm2,小拖拉機n天耕地bhm2,

大拖拉機的工作效率是小拖拉機的工作效率的多少倍?

Vm

問題1求容積的高力?—，問題2求大拖拉機的工作效率是

abn

ab

小拖拉機的工作效率的一—一倍.

mn

根據(jù)上面的計算，請同學(xué)們總結(jié)一下對分式的乘除法的法則

是什么？

分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，

分母的積作為積的分母.

分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒

位置后，與被除式相乘.

aca-cacada,d

bdb?d，bdbcb,c'

三、舉例分析

例1計算：

4xyab3—5a2b2

⑴3丁y?丁2x3；⑵Z…C24—cd一.

分析:這道例題就是直接應(yīng)用分式的乘除法法則進行運算.應(yīng)

該注意的是運算結(jié)果應(yīng)約分到最簡，還應(yīng)注意在計算時跟整式運

算一樣，先判斷運算符號，再計算結(jié)果.

4xy4xy2

解：⑴_?__=___=__;

，3y2x36x3y3x2

aba—5a2b2aba4cd4ab3cd2bd

(2)___T~_________——_____________——____________

72C2~4cd2C2-5a2b210a2b2c25ac'

例2計算:

a2—4a+4a—1

⑴a2—2a+1a2-4?

11

(2)_______+________

749—m2m2—7m

分析：這兩題是分子與分母是多項式的情況，首先要因式分

解，然后運用法則.

(a—2)2a—1

解：⑴原式-/——―r——m=

(a—l)2(a十2)(a—2)

a—2

(a-1)(a+2)；

11

(2)原式(7一-m;x(~7十~m)廠!m——(pm—7)、

1m(m—7)m

(7—m)(7+m)1m+7-

例3“豐收1號”小麥試驗田邊長為a米(a>l)的正方形去

掉一個邊長為1米的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號”小

麥的試驗田是邊長為(a—1)米的正方形，兩塊試驗田的小麥都收獲

了500千克.

⑴哪種小麥的單位面積產(chǎn)量高？

⑵高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍?

分析：本題的實質(zhì)是分式的乘除法的運用.

解：⑴略.

500500500a2-la+1

()—(a—1)2a2-1-(a—1)~2500a-1

“豐收2號”小麥的單位面積產(chǎn)量是“豐收1號”小麥的單

a+1

位面積產(chǎn)量的―

a—1

四、隨堂練習(xí)

C2a2b2n24m2y2

1.計算：⑴?一；(2)--;(3)+(——);

abc2m5m7xx

2ya2-4a2—1

(4)—8xy+;(5)-....3?...

5xa2—2a+1a2十4a十4

2my

答案：(l)abc;(2)-;(3)-;(4)-20x2;(5)一

□n14

(a+1)(a—2)3—y

-(a-1)(a+2)；⑹干.

2.教材第137頁練習(xí)1,2,3題.

五、課堂小結(jié)

⑴分式的乘除法法則；

⑵運用法則時注意符號的變化；

(3)因式分解在分式乘除法中的應(yīng)用；

(4)步驟要完整，結(jié)果要最簡.最后結(jié)果中的分子、分母既可

(a—1)2

保持乘積的形式，也可以寫成一個多項式，如--------或

a

a2—2a+1

a

六、布置作業(yè)

教材第146頁習(xí)題15.2第1,2題.

教與反思＜：?<

本節(jié)課從兩個具有實際背景的問題出發(fā)，使學(xué)生在解決問題

的過程中認(rèn)識到分式的乘除法是由實際需要產(chǎn)生的，進而激發(fā)他

們學(xué)習(xí)的興趣，接著，從分?jǐn)?shù)的乘除法則的角度引導(dǎo)學(xué)生通過觀

察、探究、歸納總結(jié)出分式的乘法法則.有利于學(xué)生接受新知識,

而且能體現(xiàn)由數(shù)到式的發(fā)展過程.

第2課時分式的乘方及乘方與乘除的混合運算

數(shù)與目標(biāo)：?<

1.進一步熟練分式的乘除法法則，會進行分式的乘、除法的

混合運算.

2.理解分式乘方的原理，掌握乘方的規(guī)律，并能運用乘方規(guī)

律進行分式的乘方運算.

：?<

重點

分式的乘方運算，分式的乘除法、乘方混合運算.

難點

分式的乘除法、乘方混合運算，以及分式乘法、除法、乘方

運算中符號的確定.

敦亨設(shè)計

一、復(fù)習(xí)引入

1.分式的乘除法法則.

分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子,

用分母的積作為積的分母.

分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒

位置后，與被除式相乘.

2.乘方的意義：

an=a-a-a.........a（n為正整數(shù)）.

、探究新知

2x3x

例1（教材例4）'異5x—3,25x2—95x+3*

2x3x

解：玄=3-25x2—9.5FF3

2x25x2—9x

=1.■（先把除法統(tǒng)一成乘法運算）

5x—335x+3

2x2

=〒.（約分到最簡公式）

3

分式乘除運算的一般步驟:

⑴先把除法統(tǒng)一成乘法運算；

⑵分子、分母中能分解因式的多項式分解因式；

（3）確定分式的符號，然后約分；

（4）結(jié)果應(yīng)是最簡分式.

1.由整式的乘方引出分式的乘方，并由特殊到一般地引導(dǎo)學(xué)

生進行歸納.

aaaa2

⑴（產(chǎn)Bb=&；

由乘方的意義由分式的乘法法則

⑵同理:

aaaaa3

W3=E,B■B=R；

aaaaa-a.....an個an

Wn=B_個=6.b.....bn個=BT

2.分式乘方法則：

aan

分式：(b)n=5n.(n為正整數(shù))

文字?jǐn)⑹觯悍质匠朔绞前逊肿印⒎帜阜謩e乘方.

3.目前為止，正整數(shù)指數(shù)靠的運算法則都有什么？

,an^am+n；(2)&mbAnAm—n；

(3)(am)n——(mn；(4)(&b)nHnbn；

三、舉例分析

例2計算：

—2a2b

⑴(")2；

a2b2ac

a2—b2a—b

(—2a2b)24a4b2

解：⑴原式=----=p—；

(3c)29C2

a6b3dsC2a3b3

⑵原式=——_?斤?=一;

—C3G9za4a2ocd6

X4V6X4

◎）原式=滅?（--）一二-X5；

y4

(a+b)(a—b)(a+b)2

原式

(4)a2+ba(a—b)2

(a+b)3

(a—b)(al+bTJ

學(xué)生板演、糾錯并及時總結(jié)做題方法及應(yīng)注意的地方：①對

于乘、除和乘方的混合運算，應(yīng)注意運算順序，但在做乘方運算

的同時，可將除變乘；②做乘方運算要先確定符號.

例3計算：

b3n-lC2H2n-1

⑴---------?E—；

H2n+1L)3n—2

X2—2xy+y2X一V

(2)(XV-X2)?

xyX2

a2—D2a—b

(3)(m)2+(」

b3n—2?b,C2A2n—1bc2

解：⑴原式=------;——

H2n-1,&2b3n—2a2

x(X—y)x一y

⑵原式=——：——=—y；

X2

(a+b)2(a—b)2a2a2+2ab+b2

vvx、，、a2b2（a—b）2b2

本例題是本節(jié)課運算題目的拓展，對于⑴指數(shù)為字母，不過

方法不變；（2）（3）是較復(fù)雜的乘除乘方混合運算，要進一步讓學(xué)生

熟悉運算順序，注意做題步驟.

四、鞏固練習(xí)

教材第139頁練習(xí)第1,2題.

五、課堂小結(jié)

1.分式的乘方法則.

2.運算中的注意事項.

六、布置作業(yè)

教材第146頁習(xí)題15.2第3題.

教與反思

分式的乘方運算這一課的教學(xué)先讓學(xué)生回憶以前學(xué)過的分?jǐn)?shù)

的乘方的運算方法，然后采用類比的方法讓學(xué)生得出分式的乘方

法則.在講解例題和練習(xí)時充分調(diào)動學(xué)生的積極性，使大家都參

與進來，提高學(xué)習(xí)效率.

15.2.2分式的加減（2課時）

第1課時分式的加減

教與目標(biāo)

理解并掌握分式的加減法則，并會運用它們進行分式的加減

運算.

后＜

重點

運用分式的加減運算法則進行運算.

難點

異分母分式的加減運算.

教與設(shè)計＜：?<

、復(fù)習(xí)提問

1.什么叫通分？

2.通分的關(guān)鍵是什么？

3.什么叫最簡公分母？

4.通分的作用是什么？（引出新課）

二、探究新知

1.出示教材第139頁問題3和問題4.

教材第140頁“思考”.

分式的加減法與分?jǐn)?shù)的加減法類似，它們的實質(zhì)相同.觀察

12312111325

下列分?jǐn)?shù)加減運算的式子：r+r=r,二一二二一二，7J

555553z3666

11321

,一丁=/一.你能將它們推廣，得出分式的加減法法則嗎？

23666

教師提出問題，讓學(xué)生列出算式，得到分式的加減法法則.

學(xué)生討論：組內(nèi)交流，教師點撥.

2.同分母的分式加減法.

aba+b

公式：±=----

CCC

文字?jǐn)⑹觯和帜傅姆质较嗉訙p，分母不變，把分子相加減.

3.異分母的分式加減法.

acadbead+be

分式：b±d=bd±bd=^bd^,

文字?jǐn)⑹觯寒惙帜傅姆质较嗉訙p，先通分，變?yōu)橥帜傅姆?/p>

式，然后再加減.

三、典型例題

例1（教材例6）計算:

5x+3v2x11

(1)-------------------；(2)^-^+^

X2—y2X2—yazp+Jq2p—Jq

5x+3y2x

解：(1)------------------

X2一y2X2一y2

5x+3y—2x3x+3y3

X2一y2X2一y2x—y

11

(2)2。pJ+R3q+72S-p--—-k3q

2p-3q2p+3q

，一-I-.、.一

12P+3q)(2p—3q)(2p+3q)(2p—3q)

2p—3q+2p+3q4p

(2p+3q)(2p—3q)4P2—9qz'

小結(jié)：

⑴注意分?jǐn)?shù)線有括號的作用，分子相加減時，要注意添括號.

⑵把分子相加減后，如果所得結(jié)果不是最簡分式，要約分.

例2計算：

m+2nn2m

--------+...........---------

n—mm—nn—m

分析：⑴分母是否相同？⑵如何把分母化為相同的？（3）注意

符號問題.

m+2nn2m

解：原式----——

n—mn—mn—m

m+2n—n—2m

n-m

n-m

n-m

=1.

四、課堂練習(xí)

1.教材第141頁練習(xí)1,2題.

523

2,計算：⑴曲—血+否；

122

(2)———；

m2-93一m

4

(3)a+2———；

z一a

a2—b2ab—ba

")abab—aba'

五、課堂小結(jié)

1.同分母分式相加減，分母不變，只需將分子作加減運算，

但注意每個分子是個整體，要適時添上括號.

2.對于整式和分式之間的加減運算，則把整式看成一個整體,

即看成是分母為1的分式，以便通分.

3.異分母分式的加減運算，首先觀察每個公式是否為最簡分

式，能約分的先約分，使分式簡化，然后再通分，這樣可使運算

簡化.

4.作為最后結(jié)果，如果是分式則應(yīng)該是最簡分式.

六、布置作業(yè)

教材第146頁習(xí)題15.2第4,5題.

教與反思＜

從直觀的分?jǐn)?shù)加減運算開始，先介紹同分母分式的加減運算

的具體方法，通過類比的思想方法，由數(shù)的運算引出式的運算規(guī)

律，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識間具體與抽象、從特殊到一般的內(nèi)在聯(lián)系.而

后，利用同樣的類比方法，安排學(xué)習(xí)異分母的分式加減運算，這

樣由簡到繁、由易到難，符合學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展規(guī)律，有助于知識

的層層落實與掌握.

第2課時分式的混合運算

1.明確分式混合運算的順序，熟練地進行分式的混合運算.

2.能靈活運用運算律簡便運算.

■后難Q

重點

熟練地進行分式的混合運算.

難點

熟練地進行分式的混合運算.

一、復(fù)習(xí)引入

回憶：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了分式的哪些運算?

1.分式的乘除運算主要是通過（）進行的，分式的加

減運算主要是通過（）進行的.

2.分?jǐn)?shù)的混合運算法則是（）,類似的，分式的混合

運算法則是先算（，再算（）,最后算（

有括號的先算（）里面的.

二、探究新知

1.典型例題

例1計算：

x+24x

4-2+X2-4x+4）'x-2'

分析：應(yīng)先算括號里的.

例2計算：

4y24x2y

x+2y+——---廠?

x—z7yrX2—4y2

分析：⑴本題應(yīng)采用逐步通分的方法依次進行;

x+2y

（2）x+2y可以看作

例3計算：

11x+y

袞―xTy.（入―X—y）.

分析：本題可用分配律簡便計算.

1111

例（；）

4[（,a―十卜b、）—2（a—bB）—2]+Jar+fb—a——-bR-

分析：可先把被除式利用平方差公式分解因式后再約分.

2a1ab

例5（教材例7）計算（x）2?—K+左

ba一bb4

2a1ab

4a21a4

b2a-bbb

4a24a4a24a(a—b)

b2(a—b)B2b2(a-b)b2(a—b)

4a2—4a2+4ab4ab

b2(a—b)ba(a—b)

4a

ab—b2-

點撥：式與數(shù)有相同的混合運算順序：先乘方，再乘除,

后加減.

例6（教材例8）計算:

52m—4

⑴g+2+廣，i；

x+2x—1x—4

X2一4x+4zX

52m—4

解：⑴(1^1+2+^^一)?一

2—m3—m

(m+2)(2—m)+52m—4

2—m3—m

9—m22(m—2)

2—m3—m

(3—m)(3+m)—2(2—m)

2—m3—m

=—2(m+3)；

x+2x—1

(2)(X2—2XX2一4x+4)?

x

x+2x—1x

'x(x-2)(x—2)2x-4

(x+2)(x—2)—(x—1)xx

x(x一2)2x一4

X2一4一X2+X

(x—2)2(x—4)

1

=(x—2)2,

分式的加、減、乘、除混合運算要注意以下幾點：

⑴一般按分式的運算順序法則進行計算，但恰當(dāng)?shù)厥褂眠\算

律會使運算簡便.

⑵要隨時注意分子、分母可進行因式分解的式子，以備約分

或通分時用，可避免運算煩瑣.

(3)注意括號的“添”或“去”、“變大”與“變小”.

(4)結(jié)果要化為最簡分式.

強化練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生及時糾正在例題中出現(xiàn)的錯誤，進一步

提高運算能力.

三、鞏固練習(xí)

X2

；

1.(1)-----f—X—1

2x—1

"CH；

2ab2bc

17(a-b)~(a-c)(a—b)~(c—a)，

11xy

(4)(-----+-?-

x一yx十yX2-y2

2.教材第142頁第1,2題.

四、課堂小結(jié)

1.分式的混合運算法則是先算（），再算（）,

最后算（），有括號先算（）里的.

2.一些題應(yīng)用運算律、公式能簡便運算.

五、布置作業(yè)

1.教材第146頁習(xí)題15.2第6題.

]1X2—2x1

2.先化簡再求值：萬一——r?—，其中x="一1.

X十1X2-1X十1\]

客隹訊*“<

分式的混合運算是分式這一章的重點和難點，涉及到因式分

解和通分這兩個較難的知識點，可根據(jù)學(xué)生的具體情況，適當(dāng)增

加例題、習(xí)題，讓學(xué)生熟練掌握分式的運算法則并提高運算能力.

15.2.3整數(shù)指數(shù)得

敦與目標(biāo)

1

1.知道負整數(shù)指數(shù)靠a-n=—.（aWO,n是正整數(shù)）

2.掌握整數(shù)指數(shù)靠的運算性質(zhì).

3.會用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù).

重用難用

重點

掌握整數(shù)指數(shù)嘉的運算性質(zhì)，會有科學(xué)記數(shù)法表示絕對值小

于1的數(shù).

難點

負整數(shù)指數(shù)基的性質(zhì)的理解和應(yīng)用.

敦字設(shè)計<

一、復(fù)習(xí)引入

1.回憶正整數(shù)指數(shù)易的運算性質(zhì)：

⑴同底數(shù)的事的乘法：am-an=am+n（m,n是正整數(shù)）；

（2）黑的乘萬：（am）n=amn（m,n是正整數(shù)）；

（3）積的乘方：（ab）n=anbn（n是正整數(shù)）；

（4）同底數(shù)的晶的除法：am+an=am-n（aRO,m,n是正整數(shù)，

m>n）；

&2,n

⑸分式的乘方：（/二工⑴是正整數(shù)）.

2.回憶。指數(shù)塞的規(guī)定，即當(dāng)aWO時，ao=l.

二、探究新知

H3a31

（一）1.計算當(dāng)aWO時，a3+a5=—=-------=—,再假設(shè)正整數(shù)

指數(shù)易的運算性質(zhì)am+an=am—n（aW0,m,n是正整數(shù)，m>n）中

1

的m>n這個條件去掉，那么a3+a5=a3-5=a-2.于是得到a-2=—

（aWO）.

總結(jié)：負整數(shù)指數(shù)易的運算性質(zhì)：

1

一般的，我們規(guī)定：當(dāng)n是正整數(shù)時，a-n=—（aHO）.

An

2.練習(xí)鞏固：

填空：

(1)—22=,(2)(-2)2=,

(3)(-2)o=,(4)2o=,

(5)2-3=----------,(5)(-2)—3=-----------

3?例1(教材例9)

計算：

bs

⑴a-2+a5；(2)(—)-2；

a2

(3)(a-ib2)3；(4)a—2b2?(a2b-2)-3.

1

：(l)a—2a,5a.-2—5a—7——；

a7

bsb-6a4

(2)(—)-2=—=a4b-6=;

a2a-4D6

be

(3)(a-it)2)3a—3b6―；

3.3

bs

(4)a-2b2,(a2b-2)-3=a-2b2-a-6b6=a-8b8=一.

a8

［分析］本例題是應(yīng)用推廣后的整數(shù)指數(shù)靠的運算性質(zhì)進行

計算，與用正整數(shù)指數(shù)嘉的運算性質(zhì)進行計算一樣，但計算結(jié)果

有負指數(shù)屆時，要寫成分式形式.

4.練習(xí)：

計算：⑴(X3y-2)2；(2)x2y-2?(x-2y)3；

(3)(3x2y—2)2+(x—2y)3.

5?例2判斷下列等式是否正確？

a

(1)am—2,nama_n；(2)(b)n^=anb_n.

［分析］類比負數(shù)的引入使減法轉(zhuǎn)化為加法，得到負指數(shù)累

的引入可以使除法轉(zhuǎn)化為嘉的乘法這個結(jié)論，從而使分式的運算

與整式的運算統(tǒng)一起來，然后再判斷等式是否正確.

(二)1.用科學(xué)記數(shù)法表示值較小的數(shù)

1

因為0.1=為=10—1；0.01==;

0.001==……

所以0.000025=2.5X0.00001=2.5X10-5.

我們可以利用10的負整數(shù)次累，用科學(xué)記數(shù)法表示一些絕對

值較小的數(shù)，即將它們表示成aX10-n的形式，其中n是正整數(shù),

1<|a|<10.

2?例3(教材例10)納米是非常小的長度單位，1納米=10-

9米，把1納米的物體放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1

立方毫米的空間可以放多少個1立方納米的物體？(物體之間的

間隙忽略不計)

［分析］這是一個介紹納米的應(yīng)用題，是應(yīng)用科學(xué)記數(shù)法表

示小于1的數(shù).

3.用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)：

0.0004,-0.034,0.00000045,0.003009.

4.計算：

(1)(3X10-8)X(4X103);(2)(2X10-3)2^(10-3)3.

三、課堂小結(jié)

1.引進了零指數(shù)累和負整數(shù)累，指數(shù)的范圍擴大到了全體整

數(shù)，晶的性質(zhì)仍然成立.

2.科學(xué)記數(shù)法不僅可以表示一個值大于10的數(shù)，也可以表

示一些絕對值較小的數(shù)，在應(yīng)用中，要注意a必須滿足1W|a|＜

10,其中n是正整數(shù).

四、布置作業(yè)

教材第147頁習(xí)題15.2第7,8,9題.

教與反思＜

本節(jié)課教學(xué)的主要內(nèi)容是整數(shù)指數(shù)累，將以前所學(xué)的有關(guān)知

識進行了擴充.在本節(jié)的教學(xué)設(shè)計上，教師重點挖掘?qū)W生的潛在

能力，讓學(xué)生在課堂上通過觀察、驗證、探究等活動，加深對新

知識的理解.

15.3分式方程（2課時）

第1課時分式方程的解法

教與目標(biāo)＜：?<

1.理解分式方程的意義.

2.理解解分式方程的基本思路和解法.

3.理解解分式方程時可能無解的原因，并掌握解分式方程的

驗根方法.

：?<

重點

解分式方程的基本思路和解法.

難點

理解解分式方程時可能無解的原因.

敦亨設(shè)計＜

一、復(fù)習(xí)引入

問題：一艘輪船在靜水中的最大航速為30km/h,它以最大

航速沿江順流航行90km所用時間，與以最大航速逆流航行60km

所用的時間相等，江水的流速為多少？

90

［分析］設(shè)江水的流速為x千米/時，根據(jù)題意，得一丁=

十v

60

—①

30—v

方程①有何特點？

［概括］方程①中含有分式，并且分母中含有未知數(shù)，像這樣

的方程叫做分式方程.

提問：你還能舉出一個分式方程的例子嗎？

辨析：判斷下列各式哪個是分式方程.

x+22y一z1y1

⑴x+y=5;⑵=;(3);(4)-0;(5)+2x=5.

DJXX-I-DX

根據(jù)定義可得：⑴⑵是整式方程，(3)是分式，(4)⑸是分式方

程.

二、探究新知

1.思考：怎樣解分式方程呢？

為了解決本問題，請同學(xué)們先思考并回答以下問題：

⑴回顧一下解一元一次方程時是怎么去分母的，從中能否得

到一點啟發(fā)？

⑵有沒有辦法可以去掉分式方程的分母把它轉(zhuǎn)化為整式方

程呢？

［可先放手讓學(xué)生自主探索，合作學(xué)習(xí)并進行總結(jié)］

方程①可以解答如下：

方程兩邊同乘以（30+v）（30—v）,約去分母，得90（30-v）=

60（30+v）.

解這個整式方程，得v=6.

所以江水的流度為6千米/時.

［概括］上述解分式方程的過程，實質(zhì)上是將方程的兩邊乘以

同一個整式，約去分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程來解.所乘

的整式通常取方程中出現(xiàn)的各分式的最簡公分母.

110

2?例1解方程:=x2-25,②

X—5

解：方程兩邊同乘（X2—25）,約去分母，得x+5=10.

解這個整式方程，得x=5.事實上，當(dāng)x=5時，原分式方程

左邊和右邊的分母（X—5）與（X2—25）都是0,方程中出現(xiàn)的兩個分式

都沒有意義，因此，x=5不是分式方程的根，應(yīng)當(dāng)舍去，所以原

分式方程無解.

解分式方程的步驟:

在將分式方程變形為整式方程時，方程兩邊同乘一個含未知

數(shù)的整式，并約去了分母，有時可能產(chǎn)生不適合原分式方程的解

（或根），這種根通常稱為增根.因此，在解分式方程時必須進行

檢驗

3.那么，可能產(chǎn)生“增根”的原因在哪里呢？

解分式方程去分母時，方程兩邊要乘同一個含未知數(shù)的式子

(最簡公分母).方程①兩邊乘(30+v)(30—v),得到整式方程，它

的解v=6.當(dāng)v=6時，(30+v)(30—v)W0,這就是說，去分母時，

①兩邊乘了同一個不為。的式子，因此所得整式方程的解與①的

解相同.

方程②兩邊乘(x—5)(x+5),得到整式方程，它的解x=5.當(dāng)x

=5時，(X—5)(x+5)=0,這就是說，去分母時，②兩邊乘了同一

個等于。的式子，這時所得整式方程的解使②出現(xiàn)分母為。的現(xiàn)

象，因此這樣的解不是②的解.

4.驗根的方法：

解分式方程進行檢驗的關(guān)鍵是看所求得的整式方程的根是否

使原分式方程中的分式的分母為零.有時為了簡便起見，也可將

它代入所乘的整式(即最簡公分母)，看它的值是否為零.如果為

零，即為增根.

如例1中的x=5,代入X2—25=0,可知X=5是原分式