高考數(shù)學一輪復習講練測(新教材新高考)重難點突破06雙變量問題(六大題型)(原卷版+解析)

重難點突破06雙變量問題目錄破解雙參數(shù)不等式的方法：一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式；二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.題型一：雙變量單調(diào)問題例1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)設，證明：對任意，，．例2．（2023·安徽·校聯(lián)考三模）設，函數(shù).（Ⅰ）討論函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（Ⅱ）若函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行，且對任意，，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.例3．（2023·福建漳州·高二福建省漳州第一中學?？计谀┮阎瘮?shù)（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若時，任意的，總有，求實數(shù)的取值范圍.變式1．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)，，且．（1）當時，討論的單調(diào)性；（2）當時，若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．變式2．（2023·天津南開·高三南開大學附屬中學?？奸_學考試）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當時，證明；(3)若對任意的不等正數(shù)，總有，求實數(shù)的取值范圍．題型二：雙變量不等式:轉(zhuǎn)化為單變量問題例4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）已知，若存在兩個極值點，且，求的取值范圍.例5．（2023·新疆·高二克拉瑪依市高級中學?？茧A段練習）已知函數(shù)(1)若，求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；(2)當時，討論f（x）的單調(diào)性；(3)設f（x）存在兩個極值點且，若求證：.例6．（2023·山東東營·高二東營市第一中學?？奸_學考試）已知函數(shù)（為常數(shù)）(1)討論的單調(diào)性(2)若函數(shù)存在兩個極值點，且，求的范圍.變式3．（2023·山東·山東省實驗中學校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，其中．(1)當時，求函數(shù)在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若存在兩個極值點的取值范圍為，求的取值范圍．變式4．（2023·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)存在兩個極值點，記,求的取值范圍.變式5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個極值點，，且，求的取值范圍．變式6．（2023·吉林長春·高二長春市實驗中學?？计谥校┰O函數(shù)．(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個極值點，①求a的取值范圍；②證明：．題型三：雙變量不等式:極值和差商積問題例7．（2023·黑龍江牡丹江·高三牡丹江一中?？计谀┮阎?，函數(shù).(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若有兩個不同的極值點，.（i）求實數(shù)的取值范圍；（ii）證明：（……為自然對數(shù)的底數(shù)）.例8．（2023·內(nèi)蒙古·高三霍林郭勒市第一中學統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在兩個極值點，證明：．例9．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)若存在兩個極值點、，求實數(shù)的取值范圍，并證明：．變式7．（2023·遼寧沈陽·高二東北育才學校?？计谥校┮阎瘮?shù)，.(1)當時，討論方程解的個數(shù)；(2)當時，有兩個極值點，，且，若，證明：（i）；（ii）.變式8．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設，是函數(shù)的兩個極值點，證明：恒成立．變式9．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù).（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個極值點，求證：.題型四：雙變量不等式:中點型例10．（2023·天津北辰·高三天津市第四十七中學?？计谀┮阎瘮?shù)．（1）已知為的極值點，求曲線在點處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當時，若對于任意，都存在，使得，證明：．例11．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）設，證明：當時，；（Ⅲ）設是的兩個零點，證明.例12．（2023·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習）已知函數(shù)且.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;（2）當時，若函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，設線段中點的橫坐標為，證明:.變式10．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)的圖像與x軸交于A，B兩點，線段中點的橫坐標為，證明：.變式11．（2023·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學?？茧A段練習）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設函數(shù)圖象上不重合的兩點.證明：.（是直線的斜率）變式12．（2023·福建泉州·高二福建省永春第一中學?？茧A段練習）已知函數(shù)（）．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設，若函數(shù)的兩個極值點，（）恰為函數(shù)的兩個零點，且的取值范圍是，求實數(shù)的取值范圍．題型五：雙變量不等式:剪刀模型例13．（2023·天津和平·耀華中學?？寄M預測）已知函數(shù)在點(，)處的切線方程為．(1)求a、b；(2)設曲線y＝f(x)與x軸負半軸的交點為P，曲線在點P處的切線方程為y＝h(x)，求證：對于任意的實數(shù)x，都有f(x)≥h(x)；(3)若關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根、，且，證明：．例14．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)在點處的切線方程為．（1）求，；（2）函數(shù)圖像與軸負半軸的交點為，且在點處的切線方程為，函數(shù)，，求的最小值；（3）關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，，且，證明：．例15．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，是的極值點．(1)求的值；(2)設曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線為直線．求證：曲線上的點都不在直線的上方；(3)若關(guān)于的方程有兩個不等實根，，求證：．變式13．（2023·安徽·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).(1)設曲線與軸正半軸相交于點，曲線在點處的切線為，求證：曲線上的點都不在直線的上方；(2)若關(guān)于的方程（為正實數(shù)）有兩個不等實根，求證：.變式14．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，在點處的切線方程記為，令．(1)設函數(shù)的圖象與軸正半軸相交于，在點處的切線為，證明：曲線上的點都不在直線的上方；(2)關(guān)于的方程為正實數(shù)）有兩個實根，，求證：．題型六：雙變量不等式:主元法例16．（2023·江蘇鹽城·高三鹽城中學校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值；(2)當時，求證：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；(3)若，求證：．例17．（2023·河南信陽·高二校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數(shù)的最小值，并證明：當時，．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）例18．（2023·山西晉中·高二?？茧A段練習）已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求證：，．變式15．（2023·廣東廣州·高三廣州大學附屬中學?？茧A段練習）已知函數(shù)（其中且為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)，．(1)若函數(shù)的極值點只有一個，求實數(shù)的取值范圍；(2)當時，若（其中恒成立，求的最小值的最大值．變式16．（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù).(1)求的極值；(2)設，若對任意的，都有成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若，證明：.變式17．（2023·廣東珠?！じ咭恢楹Ｊ械诙袑W?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)求不等式的解集；(2)設函數(shù)，若存在，使得，求實數(shù)的取值范圍；(3)若對任意的，關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

重難點突破06雙變量問題目錄破解雙參數(shù)不等式的方法：一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式；二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.題型一：雙變量單調(diào)問題例1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)設，證明：對任意，，．【解析】（1）當時，，，切點為求導，切線斜率曲線在處的切線方程為．（2），的定義域為，求導，在上單調(diào)遞減．不妨假設，∴等價于．即．令，則．，，．從而在單調(diào)減少，故，即，故對任意．例2．（2023·安徽·校聯(lián)考三模）設，函數(shù).（Ⅰ）討論函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（Ⅱ）若函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行，且對任意，，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（Ⅰ）的定義域是..（1）當時，，的定義域內(nèi)單增；（2）當時，由得，.此時在內(nèi)單增，在內(nèi)單減；（3）當時，，的定義域內(nèi)單減.（Ⅱ）因為，所以，.此時.由（Ⅰ）知，時，的定義域內(nèi)單減.不妨設，則，即，即恒成立.令，，則在內(nèi)單減，即.，，.而，當且僅當時，取得最小值，所以，故實數(shù)的取值范圍是.例3．（2023·福建漳州·高二福建省漳州第一中學?？计谀┮阎瘮?shù)（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若時，任意的，總有，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（Ⅰ）（）①當時，故在上單調(diào)遞增；②當時，故在上單調(diào)遞減；③當時，令解得

則當時；當時，故在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；綜上所述：當時，故在上單調(diào)遞增；當時，故在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．

（II）由（Ⅰ）知當時故在上單調(diào)遞增；對任意即令因為所以在上單調(diào)遞增；所以即在上恒成立

故令則又因為所以>1當且僅當時取等號，所以，故不等式恒成立的條件是即.所以，實數(shù)的取值范圍為.變式1．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)，，且．（1）當時，討論的單調(diào)性；（2）當時，若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）函數(shù)的定義域為，將代入的解析式，得，求導得．當時，，故在上單調(diào)遞增；當時，令，得．所以當時，，當時，，于是在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．綜上，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．（2）當時，．因為，所以不等式可化為，所以對任意的恒成立，所以函數(shù)為上的減函數(shù)，所以在上恒成立，可得在上恒成立，設，則，令，得．所以當上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，得．所以實數(shù)的取值范圍為．變式2．（2023·天津南開·高三南開大學附屬中學?？奸_學考試）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當時，證明；(3)若對任意的不等正數(shù)，總有，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由題意得：定義域為，；當時，，，在上恒成立，在上單調(diào)遞增；當時，令，解得：，當時，；當時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）知：；要證，只需證，即證；設，則，當時，；當時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；又，，即.（3）不妨設，則由得：，即，令，則在上單調(diào)遞增，在上恒成立，即，又，；令，則，令，解得：（舍）或，當時，；當時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，解得：；的取值范圍為.題型二：雙變量不等式:轉(zhuǎn)化為單變量問題例4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）已知，若存在兩個極值點，且，求的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)的定義域為，，當時，，當且僅當即“=”，則，在上單調(diào)遞減，當時，方程有兩個正根為，，當或時，，當時，，于是得在、上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）因存在兩個極值點，且，由(1)知，即，則，顯然，對是遞增的，從而有，，令，，令，，即在上單調(diào)遞增，，則，于是得在上單調(diào)遞增，從而得，即，所以的取值范圍.例5．（2023·新疆·高二克拉瑪依市高級中學?？茧A段練習）已知函數(shù)(1)若，求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；(2)當時，討論f（x）的單調(diào)性；(3)設f（x）存在兩個極值點且，若求證：.【解析】（1）若，則，所以，又，所以，即f（x）在點（1，0）處的切線斜率為2，所以切線方程為.（2）f（x）的定義域為（0，+∞），，設，其.①當時，即時，，即，此時f（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù).②當時，即時，設兩根為.當時，，即，即f（x）的增區(qū)間為，.當時，，即，即f（x）的減區(qū)間為.綜上：當時，f（x）的單增區(qū)間為；當時，f（x）的增區(qū)間為減區(qū)間為().（3）由（2），因為f（x）存在兩個極值點，所以存在兩個互異的正實數(shù)根，所以，則，所以，所以.令，則，∵，∴，∴在上單調(diào)遞減，∴，而，即，∴.例6．（2023·山東東營·高二東營市第一中學校考開學考試）已知函數(shù)（為常數(shù)）(1)討論的單調(diào)性(2)若函數(shù)存在兩個極值點，且，求的范圍.【解析】（1）∵，，當時，，，在定義域上單調(diào)遞增；當時，在定義域上，時，在定義域上單調(diào)遞增；當時，令得，，，時，；時，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上可知：當時，在定義域上單調(diào)遞增；當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（其中，）（2）由（1）知有兩個極值點，則，的二根為，則，，，設，又，∴.則，，∴在遞增，.即的范圍是變式3．（2023·山東·山東省實驗中學校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，其中．(1)當時，求函數(shù)在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若存在兩個極值點的取值范圍為，求的取值范圍．【解析】（1）當時，，定義域為，所以，所以，又，所以函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）的定義域是，，，令，則．①當或，即時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增．②當，即時，由，得或；由，得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（3）由（2）當時，在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)無極值；當時，有兩個極值點，即方程有兩個正根，所以，則在上是減函數(shù)．所以，因為，所以，令，則，，所以在上單調(diào)遞減，又，且，所以，由，又在上單調(diào)遞減，所以且，所以實數(shù)的取值范圍為．變式4．（2023·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)存在兩個極值點，記,求的取值范圍.【解析】（1）的定義域為，對求導得：，令1）若，則，即，所以在上單調(diào)遞增.2）若①當時，即，則，即，所以在上單調(diào)遞增.②當時，即，由，得當時，當時，綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增；當時,在上是單調(diào)遞增的，在上是單調(diào)遞減的.（2）由（1）知，存在兩個極值點當且僅當.由于的兩個極值點滿足，所以，所以，同理，，所以，令，所以，所以在上是單調(diào)遞減的，在上是單調(diào)遞增的因為，且當，所，所以的取值范圍是變式5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個極值點，，且，求的取值范圍．【解析】（1）由題意，函數(shù)，可得，其中，當時，即時，，所以在上單調(diào)遞增；當時，令，即，解得，，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當時，令，即，解得，，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，（2）由（1）值，當時，函數(shù)存在兩個極值點，且，因為，所以，整理得，所以，即，因為，可得，令，則，所以在為單調(diào)遞增函數(shù)，又因為，所以當時，，即實數(shù)的取值范圍為．變式6．（2023·吉林長春·高二長春市實驗中學?？计谥校┰O函數(shù)．(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個極值點，①求a的取值范圍；②證明：．【解析】（1）當時，，故，

所以，當時，；當時，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）①，依據(jù)題意可知有兩個不等實數(shù)根，即有兩個不等實數(shù)根．

由，得，所以有兩個不等實數(shù)根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的圖象有兩個不同的交點，令，則，由，解得；由，解得；所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以．又當時，，當時，，因為與的圖象有兩個不同的交點，所以．

②由①可知有兩個不等實數(shù)根，聯(lián)立可得，所以不等式等價于．令，則，且等價于．所以只要不等式在時成立即可．

設函數(shù)，則，設，則，故在單調(diào)遞增，得，所以在單調(diào)遞減，得．綜上，原不等式成立．題型三：雙變量不等式:極值和差商積問題例7．（2023·黑龍江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）已知，函數(shù).(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若有兩個不同的極值點，.（i）求實數(shù)的取值范圍；（ii）證明：（……為自然對數(shù)的底數(shù)）.【解析】（1）當時，()，則，故當時，，當時，，故的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，極小值為，無極大值；（2）(i)因為()，令()，問題可轉(zhuǎn)化函數(shù)有個不同的零點，又，令，故函數(shù)在上遞減，在上遞增，故，故，即，當時，在時，函數(shù)，不符題意，當時，則，，，即當時，存在，，使得在上遞增，在上遞減，在上遞增，故有兩個不同的極值點的a的取值范圍為；（ii）因為，，且，令，則，，又，令，即只要證明，即，令，則，故在上遞增，且，所以，即，從而，又因為二次函數(shù)的判別式，即，即，所以在上恒成立，故.例8．（2023·內(nèi)蒙古·高三霍林郭勒市第一中學統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在兩個極值點，證明：．【解析】（1）∵，當且僅當時等號成立．當時，恒有，則在上單調(diào)遞增；當時，，令，．∵，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，，顯然，∴當和時，；當時，．∴當和時，，∴在和上單調(diào)遞增；當時，，∴在上單調(diào)遞減．綜上，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：由（1）知，當時，存在兩個極值點，∴，，∴，，∴．設，由（1）易知，∴．要證明，只要證明．設，則，∴當時，單調(diào)遞增，從而，即，∴成立，從而成立．要證明，只要證明．由（1）知，，，只要證明．設，則，，則當時，單調(diào)遞增，從而；則當時，單調(diào)遞減，從而，即成立，從而．綜上，得．例9．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)若存在兩個極值點、，求實數(shù)的取值范圍，并證明：．【解析】（1）當時，，則，，∴，∴曲線在處的切線方程為，即．（2）由題意知，令，，∵存在兩個極值點，∴有兩個零點，易知，當時，，在上單調(diào)遞增，g(x)至多有一個零點，不合題意．當時，由得，若，則，單調(diào)遞增；若，則，單調(diào)遞減．要使有兩個零點，需，解得．當時，，∴在上存在唯一零點，記為．∵，∴，，設，則，令，，則，∴在上單調(diào)遞減，∴，即，∴在上存在唯一零點，記為．則，隨的變化情況如下表：﹣0﹢0﹣↘極小值↗極大值↘∴實數(shù)的取值范圍是．∵，，∴，∵，∴，∵，∴要證，只要證，只要證，只要證，又，∴只要證，即證．設，，則，∴F(x)在時單調(diào)遞增，∴，∴成立，即得證．變式7．（2023·遼寧沈陽·高二東北育才學校?？计谥校┮阎瘮?shù)，.(1)當時，討論方程解的個數(shù)；(2)當時，有兩個極值點，，且，若，證明：（i）；（ii）.【解析】（1）方法一：，.設，則.設，則，單調(diào)遞減.，當時，，，單調(diào)遞增；當時，，，單調(diào)遞減.，當時，方程有一解，當時，方程無解；方法二：設，則.設，則.單調(diào)遞增當時，，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.，方程有一解.當時，.令,令，則在上單調(diào)遞增，又，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則.即，無解，即方程無解.綜上，當時，方程有一解，當時，方程無解．（2）（i）當時，，則，，是方程的兩根.設，則，令，解得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.，，當時，，，.由.令，，，.等價于.設，，則，單調(diào)遞增，，，即，，綜上，；（ii）由（i）知，，..由（i）知，，設，，則.單調(diào)遞減，，即..設，，則.單調(diào)遞增，又，當時，.，，即命題得證.變式8．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設，是函數(shù)的兩個極值點，證明：恒成立．【解析】（1）由題意，函數(shù)的定義域為，且，①當時，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②當時，令，解得或，令，解得，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③當時，則，所以在上單調(diào)遞增，④當時，令，解得或，令，解得，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）由，則的定義域為，且，若有兩個極值點，，則方程的判別式，且，，解得，又由，所以，即，所以，設函數(shù)，其中，，由得，又，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，即的最大值為，從而恒成立．變式9．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù).（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個極值點，求證：.【解析】（1），當時，f（x）遞增區(qū)間為；當m<0時，f（x）遞增區(qū)間為，通減區(qū)間是；（2），當時，在遞增，無極值點；當或時，令，得若，則，在遞增，無極值點；若，則，不妨設.此時g（x）有兩個極值點.因為，故，即.題型四：雙變量不等式:中點型例10．（2023·天津北辰·高三天津市第四十七中學?？计谀┮阎瘮?shù)．（1）已知為的極值點，求曲線在點處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當時，若對于任意，都存在，使得，證明：．【解析】（1），由為的極值點.所以，解得,由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.滿足在處取得極值.則，所以過點的切線方程為(2),則當時，，則在上單調(diào)遞增.令,，，對稱軸方程為當時，開口向下，對稱軸方程為，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以.則在上單調(diào)遞增.當時，，有兩個不等實數(shù)根，所以得出，得出則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上所以：當時，在上單調(diào)遞增.當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）所以又所以即則由，則，設設，則所以在上單調(diào)遞減,所以所以恒成立,即由，則由，則在時恒成立.所以在上單調(diào)遞增.所以由，可得成立.例11．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）設，證明：當時，；（Ⅲ）設是的兩個零點，證明.【解析】（Ⅰ）求導，并判斷導數(shù)的符號，分別討論的取值，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)當時的最大值小于零即可．（Ⅲ）由（Ⅱ）得，從而，于是，由（Ⅰ）知，.試題解析：（Ⅰ）的定義域為，求導數(shù)，得，若，則，此時在上單調(diào)遞增，若，則由得，當時，，當時，，此時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（Ⅱ）令，則.求導數(shù)，得，當時，，在上是減函數(shù).而，，故當時，（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，當時，函數(shù)至多有一個零點，故，從而的最小值為，且，不妨設，則，，由（Ⅱ）得，從而，于是，由（Ⅰ）知，.點晴:本題考查函數(shù)導數(shù)的單調(diào)性.不等式比較大小，函數(shù)的零點問題：在（Ⅰ）中通過求導，并判斷導數(shù)的符號，分別討論的取值，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（Ⅱ）通過構(gòu)造函數(shù)，把不等式證明問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題，求函數(shù)當時的最大值小于零即可．（Ⅲ）要充分利用（Ⅰ）（Ⅱ）問的結(jié)論.例12．（2023·云南·高三云南師大附中校考階段練習）已知函數(shù)且.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;（2）當時，若函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，設線段中點的橫坐標為，證明:.【解析】（1）函數(shù)的定義域為，，解得(舍去)，．當時，在上恒成立，所以函數(shù)單調(diào)遞增；當時，在上，函數(shù)單調(diào)遞減，在上，函數(shù)單調(diào)遞增．綜上，時，函數(shù)單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；（2）由（1）知，，，令，，則，當時，恒成立，所以單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增；又，故要證，即證；設，，且，由題設條件知，，因此只需證；由題意，，兩式作差可得，，即，即，下面先證明，即證，令，，則顯然成立，所以在上單調(diào)遞增，則，所以，即，所以，因此，即，，即因此，所以原命題得證.變式10．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)的圖像與x軸交于A，B兩點，線段中點的橫坐標為，證明：.【解析】（1）的定義域為，．①若，則，所以在單調(diào)遞增．②若，則由得，且當時，，當時，．所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（2）由（1）可知：當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故圖像與x軸至多有一個交點，不符合題意，從而．當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，不妨設，，，則．由，兩式相減得：，即：，又令，，則，從而函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，從而，又，所以．變式11．（2023·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學?？茧A段練習）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設函數(shù)圖象上不重合的兩點.證明：.（是直線的斜率）【解析】（1）函數(shù)的定義域為，且①當時，，此時在單調(diào)遞增；②當時，令可得或（舍），，由得，由得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上：①當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由題意得，所以又，要證成立，即證：成立，即證：成立.令，即證時，成立.設則所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，都有，即，，所以變式12．（2023·福建泉州·高二福建省永春第一中學?？茧A段練習）已知函數(shù)（）．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設，若函數(shù)的兩個極值點，（）恰為函數(shù)的兩個零點，且的取值范圍是，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由題意，函數(shù)的定義域為，可得，對于方程的判別式（其中），（i）若，即時，恒成立，故在上單調(diào)遞增；（ii）若，即時，令，解得，．當，；當時，．所以當時，單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由（1）知：且，，其中，因為，可得（），所以，由，可得兩式相減，得．（）∴令，可得，則，所以在上單調(diào)遞減，由的取值范圍是，得的取值范圍是，所以，又因為，故實數(shù)的取值范圍是．題型五：雙變量不等式:剪刀模型例13．（2023·天津和平·耀華中學校考模擬預測）已知函數(shù)在點(，)處的切線方程為．(1)求a、b；(2)設曲線y＝f(x)與x軸負半軸的交點為P，曲線在點P處的切線方程為y＝h(x)，求證：對于任意的實數(shù)x，都有f(x)≥h(x)；(3)若關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根、，且，證明：．【解析】（1）將代入切線方程中，有，∴，即，又，∴．若，則，與矛盾，故．（2）由(1)可知，，，令，有或，故為．曲線在點處的切線方程為，則，令，則，∴，令g(x)＝，則，∴在R上單調(diào)遞增，∵，∴當時，，單調(diào)遞減，當x＞－1時，，單調(diào)遞增．∴，即成立．（3）由(2)知在處的切線方程為，且f(x)≥h(x)，則，設，則，故，∵單調(diào)遞減，∴，設在處的切線方程為，易得，令，則，令，則，當時，,單調(diào)遞減，，當時，,單調(diào)遞增，又∵，∴當時，，T(x)單調(diào)遞減，當時，，T(x)單調(diào)遞增，∴，即，∴，設，則，故，∵單調(diào)遞增，故，又，則.例14．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)在點處的切線方程為．（1）求，；（2）函數(shù)圖像與軸負半軸的交點為，且在點處的切線方程為，函數(shù)，，求的最小值；（3）關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，，且，證明：．【解析】（1）將代入切線方程中，得，所以，又或，又，所以，若，則（舍去）；所以，則；（2）由（1）可知，，所以，令，有或，故曲線與軸負半軸的唯一交點為曲線在點處的切線方程為，則，因為，所以，所以，．若，，若，，，所以.若，，，，所以在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．當時，取得極小值，也是最小值，所以最小值．（3），設的根為，則，又單調(diào)遞減，由（2）知恒成立．又，所以，設曲線在點處的切線方程為，則，令，．當時，，當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以當時，，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，設的根為，則，又函數(shù)單調(diào)遞增，故，故．又，所以．

例15．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，是的極值點．(1)求的值；(2)設曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線為直線．求證：曲線上的點都不在直線的上方；(3)若關(guān)于的方程有兩個不等實根，，求證：．【解析】(1)；由題意知，，；(2)證明：設曲線在，處切線為直線；令；；；在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；；，即，即上的點都不在直線的上方；(3)由（2）設方程的解為；則有，解得；由題意知，；令，；；在上單調(diào)遞增；；的圖象不在的下方；與交點的橫坐標為；則有，即；；關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增；．變式13．（2023·安徽·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).(1)設曲線與軸正半軸相交于點，曲線在點處的切線為，求證：曲線上的點都不在直線的上方；(2)若關(guān)于的方程（為正實數(shù)）有兩個不等實根，求證：.【解析】（1）證明：由題意可得：，，可得曲線在點處的切線為.令，，當時，，當時，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，曲線上的點都不在直線的上方.（2）證明：由（1）可得，解得，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，所以的最大值為，，曲線在點處的切線為，由（1）得，令，，，∴由零點的存在性定理知，同理可得曲線在點處的切線為，設與的交點的橫坐標分別為則，.下面證明：.，，且，.變式14．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，在點處的切線方程記為，令．(1)設函數(shù)的圖象與軸正半軸相交于，在點處的切線為，證明：曲線上的點都不在直線的上方；(2)關(guān)于的方程為正實數(shù)）有兩個實根，，求證：．【解析】(1)證明：由，則，即切點為求導，則切線斜率，在點處的切線方程為：，記為，．由．，解得．求導，則切線斜率．在點處的切線為．令．．求導，恒成立，令，得，解得當時，，函數(shù)單減；當時，，函數(shù)單增．，即．因此曲線上的點都不在直線的上方．(2)由（1）知，求導當時，，函數(shù)單增，當時，，函數(shù)單減；，且有兩個零點：0，又在點處的切線為．同理可得：在點處的切線為：．設與，的交點的恒坐標分別為，．又，則，．．．題型六：雙變量不等式:主元法例16．（2023·江蘇鹽城·高三鹽城中學校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值；(2)當時，求證：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；(3)若，求證：．【解析】(1)令得：，，；令得：；在上為增函數(shù)；在上為減函數(shù)；.(2)由（1）知：當時，有，，即：，.(3)將變形為：即只證：設函數(shù)，令，