蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)6.3.2.2空間向量與垂直關(guān)系【教學(xué)課件】

第2課時(shí)空間向量與垂直關(guān)系第6章6.3.2空間線面關(guān)系的判定1.會(huì)利用平面法向量證明兩個(gè)平面垂直.2.能利用直線的方向向量與平面的法向量判定并證明空間中的垂

直(線線、線面、面面)關(guān)系.學(xué)習(xí)目標(biāo)在上一節(jié)中，我們研究了空間中直線與直線、直線與平面以及平面與平面的平行關(guān)系與直線的方向向量和平面的法向量的關(guān)系.那么，直線的方向向量和平面的法向量與空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系間又有什么聯(lián)系呢？導(dǎo)語(yǔ)隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、直線和直線垂直二、直線與平面垂直三、平面與平面垂直內(nèi)容索引一、直線和直線垂直問(wèn)題1

如圖，直線l1，l2的方向向量分別為e1，e2，直線l1，l2垂直時(shí)，e1，e2之間有什么關(guān)系？提示

垂直.知識(shí)梳理設(shè)直線l的方向向量為e1＝(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為e2＝(b1，b2，b3)，則l⊥m?e1⊥e2?e1·e2＝0.注意點(diǎn)：(1)兩直線垂直分為相交垂直和異面垂直，都可轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量相互垂直.(2)基向量法證明兩直線垂直即證直線的方向向量相互垂直，坐標(biāo)法證明兩直線垂直即證兩直線方向向量的數(shù)量積為0.例1

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng).求證：無(wú)論點(diǎn)E在邊BC上的何處，都有PE⊥AF.證明方法一以A為原點(diǎn)，以AD，AB，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD＝a，則A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(0,1,0)，C(a,1,0)，∵E在BC上，∴設(shè)E(m,1,0)，∴無(wú)論點(diǎn)E在邊BC上何處，總有PE⊥AF.故無(wú)論點(diǎn)E在邊BC上的何處，都有PE⊥AF.反思感悟

利用向量方法證明線線垂直的方法(1)坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩直線方向向量的坐標(biāo)，然后通過(guò)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則證明數(shù)量積等于0，從而證明兩條直線的方向向量互相垂直.(2)基向量法：利用空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)算律，結(jié)合圖形，將兩直線所在的向量用基向量表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律證明兩直線所在的向量的數(shù)量積等于0，從而證明兩條直線的方向向量互相垂直.跟蹤訓(xùn)練1

在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AC的中點(diǎn)，求證：(1)BD1⊥AC；證明以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.(2)BD1⊥EB1.二、直線與平面垂直問(wèn)題2

如圖，設(shè)e是直線

l

的方向向量，n是平面α的法向量，當(dāng)直線l垂直平面α?xí)r，e，n之間有什么關(guān)系？提示

平行(共線).設(shè)直線l的方向向量為e＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量n＝(a2，b2，c2)，則l⊥α?e∥n?e＝kn，k∈R.注意點(diǎn)：(1)若證明線面垂直，即證明直線的方向向量與平面的法向量平行.(2)證明線面垂直的方法：①基向量法：選取基向量，用基向量表示直線所在的向量，證明直線所在向量與兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論.知識(shí)梳理②坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線方向向量的坐標(biāo)，證明直線的方向向量與兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論.③法向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面法向量的坐標(biāo)，然后說(shuō)明直線方向向量與平面法向量共線，從而證得結(jié)論.例2

如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1的中點(diǎn).求證：AB1⊥平面A1BD.證明方法一如圖所示，取BC的中點(diǎn)O，連接AO，因?yàn)椤鰽BC為正三角形，所以AO⊥BC.因?yàn)樵谡庵鵄BC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中點(diǎn)O1，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，又因?yàn)锽A1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD.方法二建系同方法一.設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，所以AB1⊥平面A1BD.反思感悟用向量法證明線面垂直的方法(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量垂直.(2)證明直線的方向向量與平面的法向量平行.跟蹤訓(xùn)練2

如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上.已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)證明：AP⊥BC；證明由題意知AD⊥BC，如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過(guò)O點(diǎn)且平行于BC的直線為x軸，OD，OP所在直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.則A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4).(2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn)，且AM＝3，試證明AM⊥平面BMC.證明

∵M(jìn)是AP上一點(diǎn)，且AM＝3，設(shè)平面BMC的法向量為n＝(a，b，c)，三、平面與平面垂直問(wèn)題3

設(shè)n1，n2

分別是平面α，β的法向量，當(dāng)平面α垂直平面β時(shí)，n1，n2之間有什么關(guān)系？提示

垂直.設(shè)平面α的法向量為n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量為n2＝(a2，b2，c2)，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.注意點(diǎn)：若證面面垂直，則證兩平面的法向量垂直.知識(shí)梳理例3

在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E為BB1的中點(diǎn)，求證：平面AEC1⊥平面AA1C1C.證明由題意知直線AB，BC，B1B兩兩垂直，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA，BC，BB1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面AA1C1C的法向量為n1＝(x，y，z)，令x＝1，得y＝1，故n1＝(1,1,0).設(shè)平面AEC1的法向量為n2＝(a，b，c)，令c＝4，得a＝1，b＝－1.故n2＝(1，－1,4).因?yàn)閚1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以n1⊥n2.所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.反思感悟利用空間向量證明面面垂直通常有兩個(gè)途徑：一是利用兩個(gè)平面垂直的判定定理將面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直；二是直接求解兩個(gè)平面的法向量，證明兩個(gè)法向量垂直，從而得到兩個(gè)平面垂直.跟蹤訓(xùn)練3

如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝

PD.證明：平面PQC⊥平面DCQ.證明如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，射線DA，DP，DC分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系.則D(0,0,0)，Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，又DQ∩DC＝D，DQ，DC?平面DCQ，∴PQ⊥平面DCQ，又PQ?平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.1.知識(shí)清單：(1)直線與直線垂直的向量表示.(2)直線與平面垂直的向量表示.(3)平面與平面垂直的向量表示.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化法、法向量法.3.常見(jiàn)誤區(qū)：直線的方向向量、平面的法向量的關(guān)系與線面間的垂直關(guān)系的對(duì)應(yīng)易混.課堂小結(jié)隨堂演練1.若平面α，β的法向量分別為a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2，0)，則α與β的位置關(guān)系是A.平行

B.垂直C.相交但不垂直

D.無(wú)法確定1234√解析

a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.12342.已知平面α的法向量為a＝(1,2，－2)，平面β的法向量為b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，則k等于A.4B.－4C.5D.－5解析

∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.∴k＝－5.√12343.若直線l1的方向向量為u1＝(1,3,2)，直線l2上有兩點(diǎn)A(1,0,1)，B(2，－1,2)，則兩直線的位置關(guān)系是______.l1⊥l2因此l1⊥l2.4.如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F(xiàn)分別為PB，AD的中點(diǎn)，則直線EF與平面PBC的位置關(guān)系是______.垂直解析以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，1234課時(shí)對(duì)點(diǎn)練基礎(chǔ)鞏固1234567891011121314151.(多選)已知e為直線l的方向向量，n1，n2分別為平面α，β的法向量(α，β不重合，直線l不在平面α，β內(nèi))，那么下列說(shuō)法中，正確的有A.n1∥n2?α∥β

B.n1⊥n2?α⊥βC.e∥n1?l∥α

D.e⊥n1?l⊥α16√√解析

∵平面α，β不重合，∴平面α，β的法向量平行(垂直)等價(jià)于平面α，β平行(垂直)，∴A，B正確；直線l的方向向量平行(垂直)于平面α的法向量等價(jià)于直線l垂直(平行)于平面α，∴C，D都錯(cuò)誤.2.兩平面α，β的法向量分別為n1＝(3，－1，z)，n2＝(－2，－y，1)，若α⊥β，則y＋z的值是A.－3 B.6

C.－6 D.－1212345678910111213141516解析

∵n1＝(3，－1，z)，n2＝(－2，－y,1)分別為α，β的法向量且α⊥β，∴n1⊥n2，即n1·n2＝0，∴－6＋y＋z＝0，∴y＋z＝6.√123456789101112131415163.已知直線l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，則l與α的位置關(guān)系是A.l⊥α

B.l∥αC.l與α相交但不垂直

D.l∥α或l?α解析因?yàn)閍·u＝－3＋4－1＝0，所以a⊥u.所以l∥α或l?α.√123456789101112131415164.若平面α，β的法向量分別為a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，則x的值為A.－10B.10C.0D.5解析因?yàn)棣痢挺?，所以它們的法向量也互相垂直，所以a·b＝(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10.√123456789101112131415165.(多選)下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是A.兩條不重合的直線l1，l2的方向向量分別是a＝(2,3，－1)，b＝(－2，

－3,1)，則l1∥l2B.直線l的方向向量a＝(1，－1,2)，平面α的法向量是u＝(6,4，－1)，則

l⊥αC.兩個(gè)不同的平面α，β的法向量分別是u＝(2,2，－1)，v＝(－3,4,2)，

則α⊥βD.直線l的方向向量a＝(0,3,0)，平面α的法向量是u＝(0，－5,0)，則l∥α√√12345678910111213141516解析對(duì)于A，兩條不重合的直線l1，l2的方向向量分別是a＝(2,3，－1)，b＝(－2，－3,1)，且b＝－a，所以l1∥l2，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，直線l的方向向量a＝(1，－1,2)，平面α的法向量是u＝(6,4，－1)且a·u＝1×6－1×4＋2×(－1)＝0，所以l∥α或l?α，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，兩個(gè)不同的平面α，β的法向量分別是u＝(2,2，－1)，v＝(－3,4,2)，且u·v＝2×(－3)＋2×4－1×2＝0，所以α⊥β，選項(xiàng)C正確；12345678910111213141516所以l⊥α，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.123456789101112131415166.(多選)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分別是棱DD1，D1C1的中點(diǎn)，則直線OMA.和AC垂直B.和AA1垂直C.和MN垂直D.與AC，MN都不垂直√√12345678910111213141516解析以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略).設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a，則D(0,0，0)，D1(0,0,2a)，M(0,0，a)，A(2a,0,0)，C(0,2a,0)，O(a，a,0)，N(0，a,2a).∴OM⊥AC，OM⊥MN.OM和AA1顯然不垂直.12345678910111213141516α∥β7.已知平面α內(nèi)的三點(diǎn)A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一個(gè)法向量為n＝(－1，－1，－1)，且β與α不重合，則β與α的位置關(guān)系是______.＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，＝－1×1＋0＋(－1)×(－1)＝0，∴n也為α的一個(gè)法向量，又α與β不重合，∴α∥β.123456789101112131415168.在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3,1)，C(2，－2,1).若向量n與平面ABC垂直，且|n|＝

，則n的坐標(biāo)為_(kāi)________________________.(－2,4,1)或(2，－4，－1)12345678910111213141516設(shè)n＝(x，y，z)，∵n與平面ABC垂直，解得y＝4或y＝－4.當(dāng)y＝4時(shí)，x＝－2，z＝1；當(dāng)y＝－4時(shí)，x＝2，z＝－1.∴n的坐標(biāo)為(－2,4,1)或(2，－4，－1).123456789101112131415169.如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝

，AF＝1，M是線段EF的中點(diǎn).求證：AM⊥平面BDF.12345678910111213141516設(shè)n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，12345678910111213141516所以AM⊥平面BDF.1234567891011121314151610.如圖所示，△ABC是一個(gè)正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點(diǎn).求證：平面DEA⊥平面ECA.證明建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C－xyz，不妨設(shè)CA＝2，則CE＝2，BD＝1，12345678910111213141516B(0,2,0)，E(0,0,2)，D(0,2,1).n2＝(x2，y2，z2)，分別設(shè)平面ECA與平面DEA的法向量是n1＝(x1，y1，z1)，12345678910111213141516因?yàn)閚1·n2＝0，所以n1⊥n2.所以平面DEA⊥平面ECA.綜合運(yùn)用12345678910111213141516√11.設(shè)l1的一個(gè)方向向量為a＝(1,3，－2)，l2的一個(gè)方向向量為b＝(－4,3，m)，若l1⊥l2，則m等于12345678910111213141516解析因?yàn)閘1⊥l2，所以a·b＝0，即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m＝0，所以2m＝9－4＝5，1234567891011121314151612.設(shè)直線l的方向向量是a，平面α的法向量是n，則“a⊥n”是“l(fā)∥α”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件√解析由l∥α，得a⊥n，則“a⊥n”是“l(fā)∥α”的必要條件，而a⊥n不一定有l(wèi)∥α，也可能l?α，則“a⊥n”不是“l(fā)∥α”的充分條件.12345678910111213141516解析因?yàn)閘⊥α，所以e與n平行，則存在實(shí)數(shù)m使得e＝mn，12345678910111213141516其中正確的結(jié)論是________.(填序號(hào))①②③12345678910111213141516又AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，拓廣探究1234567891011121314151615.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中點(diǎn)，P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，若點(diǎn)Q在線段B1P上，則下列結(jié)論正確的是A.當(dāng)點(diǎn)Q為線段B1P的中點(diǎn)時(shí)，DQ⊥平面A1BDB.當(dāng)點(diǎn)Q為線段B1P的三等分點(diǎn)時(shí)，DQ⊥平面A1BDC.在線段B1P的延長(zhǎng)線上，存在一點(diǎn)Q，使得DQ⊥

平面A1BDD.不