2025年高考數(shù)學一輪復習：平面向量的概念及線性運算 專項訓練

2025年高考數(shù)學一輪復習-7.1-平面向量的概念及線性運算-專項訓練

一、基本技能練

1.已知向量。=（仍，1）,b=（l,5），則向一"QWR）的最小值為（）

A.2B.坐

C.lD.小

17g

2.已知協(xié)，應：，I麴1=：,I/1=/,若點P是△ABC所在平面內的一點，且存=——

的

+鬻，則麗?壽的最大值等于（）

A.13B.15

C.19D.21

3.設。為兩個非零向量a,8的夾角，已知對任意實數(shù)/,他一切的最小值為1,則

（）

A.若。確定，則⑷唯一確定

B.若。確定，則向唯一確定

C.若⑷確定，則。唯一確定

D.若步|確定，則。唯一確定

4.窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術之一.每年新

春佳節(jié)，我國許多地區(qū)的人們都有貼窗花的習俗，以此達到裝點環(huán)境、渲染氣氛

的目的，并寄托著辭舊迎新、接福納祥的愿望.圖一是一張由卷曲紋和回紋構成的

正六邊形的剪紙窗花，已知圖二中正六邊形的邊長為4,圓。的圓心為

正六邊形的中心，半徑為2,若點P在正六邊形的邊上運動，為圓。的直徑，

則的.麗的取值范圍是（）

圖一圖二

A.[6,12]B.[6,16]

C.[8,12]D.[8,16]

5.在△ABC中，3C=2,4=45。，3為銳角，點。是△ABC外接圓的圓心，則為.慶:

的取值范圍是（）

A.（—2,2鉤B.（—2卷2]

C.[—2/，2g]D.（—2,2）

6.在△ABC中，點。滿足量）=抽，且則當角A最大時，cosA的值

為（）

A.-|B.|

揖^H

D-34

7.已知△ABC為等邊三角形,AB=2,AABC所在平面內的點尸滿足瓜＞一油一病

1=1,則區(qū)＞|的最小值為（）

A.小一1B.2巾—1

C.2V3-1D.由一1

8.已知四邊形ABCD是邊長為2的正方形,P為平面ABCD內一點，則（戌+麗）?（近

十國））的最小值為（）

A.-4B.4

C.無最小值D.0

…2兀

9.在菱形A3CD中，ZBAD=y,A5=2,點M,N分別為BC,CD邊上的點，

—A—?

且滿足幽^儂，則加?前的最小值為.

\BC\\CD\

10.已知平面向量a,b是單位向量.若ab=0,且|c—a|+|c—2。|=小，則|c+2al

的取值范圍是.

11.若a,方是兩個非零向量，且⑷=|例=加+臼，丸?半，1,則a與a+b的夾

角的取值范圍是.

3

12.在△ABC中，點。滿足3。=產(chǎn)。，當E點在線段AD上移動時，若翁=7屈+

〃公，貝U/=?—1）2+〃2的最小值是.

二、創(chuàng)新拓展練

13.騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運動，深受大眾喜愛.如圖是

某一自行車的平面結構示意圖，已知圖中的圓4前輪）、圓。（后輪）的半徑均為小,

△ABE,△3EC,均是邊長為4的等邊三角形.設點P為后輪上的一點，則

在騎動該自行車的過程中，戢＞訪的最大值為（）

A.18B.24

C.36D.48

14.已知等邊△ABC的面積為9#,且AABC的內心為若平面內的點N滿足也W|

=b則隔?范的最小值為.

15.在邊長為1的等邊三角形A3C中，。為線段3c上的動點，DE±ABAB

于點E,且交AC于點R,則|2魂+方＞|的值為；（屋+兩.應的

最小值為.

16.已知平面單位向量ei,e2滿足|2ei—e2|W/.設a=ei+e2,b=3ei+ei,向量a,

b的夾角為e,則cos20的最小值是.

參考答案與解析

一'基本技能練

1.答案C

解析由題意可得加一/>=4(小，1)—(1,小)=(67—1,4一5),

所以，ba—肝=(54—1)2+(丸一小)2=4/—4小4+4=4卜一爭+1,

故當見=坐時，|丸a—臼取得最小值1.

2.答案A

解析建立如圖所示的平面直角坐標系，則3,,0),C(0,/),AB=(j,0),AC

=(0,t),

存=&+還一|10)+y(0,0=(1,4),/.P(l,4),

m\AC\

PBPC=(j~l,-4^(-1,r-4)=17-|j+4?|^17-2^J1-4Z=13,

當且僅當時等號成立，

.,.而?無的最大值等于13.

3.答案B

解析由由一劃的最小值為1知(萬一fa/的最小值為1,

令人/)=3一以產(chǎn)，

即fi.t)=b2—2ta-b-\~?a2,

rim,,,,,,4a2Z>2—(2a-Z>)24a2Z>2—(2|a||/>|cos0)

則對于任意實數(shù)/，五。的最B小值為-----詬------=--------腎-----

化簡得62(1—COS20)=1,

觀察此式可知，當。確定時，回唯一確定，選B.

4.答案C

解析PM-PN=(Pb+dM)iPb-\-^)=PO2-OM2=\Pb\1-4,

因為|戶“?[2/，4],

所以的?麗的取值范圍是[8,12].

5.答案A

解析依題意得，△ABC的外接圓半徑"￡羽=隹同尸隹

__J

工b

如圖所示，因3為銳角，故A只能在弧AC上(端點除外)，

當A在A2位置時，血2與求同向，此時。不比有最大值人”，

當A在4位置時，dAiBC=-2,此時為最小值，

故而.病?(—2,26].故選A.

6.答案C

解析由題意，作出示意圖如圖所示，因為所以詼=畫+量)=南+

^B.^CB=CA+AB,CDLCB,

|-|CA|cosA=0,

|西2+；|麗2

所以cosA=

||A5|-|CA|

=^A5ABAC^5AB^=r當且僅當A3=2AC時取等號，故選C.

7.答案C

解析^^IAB+ACI2=AB2+AC2+2ABAC=\AB\2+|AC|2+2|A5|?|AC|cos1=12,

所以|成+南|=2小，

由平面向量模的三角不等式可得

|AP|=|(AP-AB-AC)+(AB+AC)|邦|成一屈一病|一|成+危||=一1.

8.答案A

解析如圖所示，建立平面直角坐標系xAy,

-y

D---iC

*P

-ABx

則A(0,0),B(2,0),C(2,2),￡)(0,2),

設P(x,y),

則戌=(—x,-y),PB=(2~x,-y),PC=(2~x,2-y),PD=(~x,2~y),

所以(成+訪).(無+防)

=(2—2x,—2y)?(2—2x,4—2y)

=4(%—1)2+4。一1)2—4,

因此，當x=y=l時，(中+而)?(近+國))取得最小值為一4.

綜上，故選A.

3

9.答案2

解析設幽^二函:/,0W/W1,

\BC\\cb\

AM=AB+BM=AB+tBC=AB+tM),

AN=AB+BC+CN=AB^BC+tCD=AB+Ab-tAB=(\-t)AB^Ab,

所以癡?俞=(AB+zAD)[(l-?)AB+AD]

=(l-r)AB2+zAD2+(l+r-?)ABAb

2

=4(1—f)+4/+(l+T)X2X2X(—g=2p—2/+2=2)一0+|,

13

因為OW/Wl,所以當［=］時，2於-21+2取得最小值5，

即隨前的最小值為宗

10.答案］第，3

解析由題意，設a=(l,0),Z>=(0,1),c=(x,y),

因為匕一回十匕一2。|=小，

即N(X-1)2+12+、》2+(。-2)2=小,

所以由幾何意義可得，點尸(x,y)到點A(l,0)和點3(0,2)的距離之和為小.

又履3|=小，所以點P在線段A3上，且直線A3的方程為2尤+y—2=0.

因為|c+2a|=N(x+2)2+y2表示點p到點“(—2,0)的距離，

又點M到直線AB的距離為

|2X(-2)~2|_6^5

，1+45，

此時，點M到直線A3垂線的垂足在線段A3上，|肱4|=3,也的=2/，

所以|c+2al的取值范圍為］印，3.

n.答案隹f］

解析根據(jù)題意，設1。+"=/,

則同=1臼=/，

設a與a+b的夾角為0,

由|a+b|=/,

得/+2a協(xié)+方2=?,

又|a|=|加，

所以滔+“仍=奈所以

_〃?（a+力）_a2+a協(xié)_2___1_

COS6=\a\\a+b\=XtXt=I?=2l-

又7G,1

則gwcos

jrn

又owewm所以。金幣3J.

,9

12.答案■JQ

設施=應），OWE,

AE=^AB+^AC,

又AE=Z4B+“,

S“2k

七一a+1,OWE,

oZ

29

.,?當左=5時，/取到最小值，最小值為正.

二,創(chuàng)新拓展練

13.答案C

解析騎行過程中，A,B,C,D,E相對不動，只有P點繞。點作圓周運動.

如圖，以AD為x軸，E為坐標原點建立平面直角坐標系,

(OKD

由題意得A(—4,0),5(—2,2^3),C(2,2小),

圓。方程為(x—4)2+y2=3,

設尸(4+小cos%小sina),

則公=(6,25)，BP=(6+V3cosa,M§sina—2M5),

ACBP=6(6+^/3cos?)+2^/3(^/3sina—2y[3)=6y/3cosa+6sina+24

=12^sina+坐cos，+24

=12sin(a+§+24,

易知當sin(a+1]=l時，就?加取得最大值36.

14.答案—5—2y/3

解析設等邊AABC的邊長為〃，

則面積5=坐/=舶

y

c

AO

解得a=6,

以A3所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系.

因為〃為AABC的內心，

所以點”在。C上，且0M=*)C,

則A(—3,0),8(3,0),C(0,34)，M(0,小)，

由|跖V|=l,得點N在以〃為圓心，1為半徑的圓上.

設N(x,y),則?？+(>—小>=1,

即f+V—2小y+2=0,

且4—lWyWl+小，

NA=(-3~x,-y),NB=(3~x,-y),

NA-NB=(x+3)(x-3)+y2=x2+y2-9=2y/3y-11^2y/3X(y/3-l)-ll=-5-

2G

15.答案19

解析設BE=x,%e|0,[I

二?△ABC為邊長為1的等邊三角形，DELAB,

：./BDE=30。,BD=2x,DE=\[3x,DC=l~2x.

?：DF//AB,.?.△DRC是邊長為1—2x的等邊三角形，DE±DF,

：.(2BE+附2=4或2+4BEDF+DF2=4x2+4x(l-2x)Xcos0°+(l-2x)2=l,

：.\2BE+DF\=1.

'：(nE+DF)-DA

=(DE+I^)iDE+EA)

222

=DE+JDE^+DFDE+JDFJEA=(V3X)+0+0+(1-2X)-(1-X)=5X-3X+1=

5(k需+養(yǎng)

3———11

所以當x=記時，(施+麗?殖取最小值為而.

16.已知平面單位向量ei,e2滿足|2ei—e2|W色.設a=ei+e2,8=3ei+e2,向量a,

b的夾角為e,則cos20的最小值是.

處案—

口木29

解析法一設ei=(l,0),ei=(x,y),

則a=(x+l,y),〃=(x+3,y),

2ei—62=(2—x,—y),

故|2ei—e2|=yj(2-%)2+y2<-\/2,

得(%—2)2+y2W2.

又有x2+y2=1,則(x—Zy+l—fWZ,

化簡，得4無23,即x衿3，因此g3xWL

2(ab?r(x+1)g,3)+產(chǎn)：

cos"向的(x+1)2+y2yl(x+3)2+y2)

_'4x+4V4(x+1)2

~2x+2/6x+loJ(尤+1)(3x+5)

(3x+5)

4(^+1)3-34_3

3x+5=3x+5=3-3x+5,

3

當%=1時，COS2。有最小值，

Hl)28

為3-7Q-

3X/5

法二單位向量ei,。2滿足|2ei—e2|W表，

所以|2ei—。2|2=5—4eieW2,

3

即ei?e2?不

因為a=ei+c2,8=3ei+c2,a,8的夾角為仇

北…90=(a?b)