中考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：分式

第十二講：分式

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1、分式的概念

重點(diǎn)：掌握分式的概念和分式有意義的條件

難點(diǎn)：分式有意義、分式值為0的條件

分式的概念：形如^,其中分母B中含有字母，分?jǐn)?shù)是整式而不是分式.

B

分式微中的字母代表什么數(shù)或式子是有條件的.

(1)分式無意義時(shí)，分母中的字母的取值使分母為零，即當(dāng)B=0時(shí)分式無意義.

(2)求分式的值為零時(shí)，必須在分式有意義的前提下進(jìn)行，分式的值為零要同時(shí)滿足分母的

值不為零及分子的值為零，這兩個(gè)條件缺一不可.

(3)分式有意義，就是分式里的分母的值不為零.

x+1x+3

例1.1.若代數(shù)式單+一有意義，則X的取值范圍為

解題思路：分式有意義,就是分式里的分母不為零，答案：XW—2且xW—3且XW—4

IXI1

例2如果分式--的值為零,那么x等于()

x2-3x+2

A.-1B.1C.T或1D.1或2

解題思路：要使分式的值為零,只需分子為零且分母不為零，

IxI-1=0

C7解得X=-l.

x2—3x+2w0

答案:A.

練習(xí)1.若分式生二”的值為零，則。+9的值為()

(22-3a-4a

2x+l-

2.(1)當(dāng)x=_______時(shí)，分式-----無息義；

3-x

x+1

(2)當(dāng)乂=_______時(shí)，分式一，有意義。

X-1

答案：1.3:2.(1)x=3；(2)

知識(shí)點(diǎn)2、分式的基本性質(zhì)

重點(diǎn)：正確理解分式的基本性質(zhì).

難點(diǎn)：運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，將分式約分、通分

分式的基本性質(zhì):分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變，

AxA/A+M

用式子表示是：AB=——,AB="^y.(其中M是不.等于零的整式)

BxMB^M

分式中的A,B,M三個(gè)字母都表示整式，其中B必須含有字母，除A可等于零外，B,M

都不能等于零.因?yàn)槿鬊=0,分式無意義；若M=0,那么不論乘或除以分式的分母，都將使分

式無意義.

分式的約分和通分〔

(1)約分的概念：把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分.

(2)分式約分的依據(jù)：分式的基本性質(zhì).

(3)分式約分的方法：把分式的分子與分母分解因式，然后約去分子與分母的公因式.

(4)最簡分式的概念：一個(gè)分式的分子與分母沒有公因式時(shí)，叫做最簡分式.

例1：約分：G).之婦⑥印二金

lbabc5a\y-xJ

解題思路：分式的分子、分母都是幾個(gè)因式的積的形式，所以約去分子、分母中

相同因式的最低次幕，注意系數(shù)也要約分

人一4。2/?。3-a-4abc3-a

(1):=__________=____

16abe54c2-4abc^4c2

(2).請(qǐng)學(xué)生分析如何約分：由于y-x=-Q-y),所以，分子和分母的公因式

是：a(x-y\約分可得:

小結(jié)：①當(dāng)分式的分子、分母為多項(xiàng)式時(shí)，先要進(jìn)行因式分解，才能夠依據(jù)分式的

基本性質(zhì)進(jìn)行約分.②注意對(duì)分子、分.母符號(hào)的處理.分子或分母的系

數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，一般先把負(fù)號(hào)提到分式本身的前邊.

11

例2求分式；;一—與的最簡公分母。

4%-2x2工2—4

解題思路：先把這兩個(gè)分式的分母中的多項(xiàng)式分解因式，即

4x-2xz=-2x(x-2),X2-4=(X+2)(X-2),

把這兩個(gè)分式的分母中所有的因式都取到，其中，系數(shù)取正數(shù)，取它的積，即2x(x+2)

(x-2)就是這兩個(gè)分式的最簡公分母。

求幾個(gè)分式的最簡公分母的步驟：

1.取各分式的分母中系數(shù)最小公倍數(shù)；

2.各分式的分母中所有字母或因式都要取到；

3.相同字母(或因式.)的幕取指數(shù)最大的；

4.所得的系數(shù)的最小公倍數(shù)與各字母(或因式)的最高次幕的積(其中系數(shù)都取正數(shù))

即為最簡公分母。

x12x

例3通分：———~,-----

(2%-4)26X-3X2x2-4

解題思路：各個(gè)分式的分母都是多項(xiàng)式，并且可以分解因式。這時(shí)，可先把各分式的分

母中的多項(xiàng)式分解因式，再確定各分式的最簡公分母，最后通分。

解(2x-4)2=[2(x-2)]2=4(x-2)2,

6x-3xz=-3x(X-2),XZ-4=(X+2)(X-2)。

所以，最簡公分母是12x(x+2)(x-2)2,故

x_3x2(x+2)1_4(x+2)(x-2)

(2x—4—-12X(X+2)(X-2)2，6x—3優(yōu)-12x(%+2)(%-2)2，

2x_24%2(x-2)

x2-412x(x+2)(x-2)2

12

練習(xí)L分式——「與——7的最簡公分母是________o

X2-2xX2-4

2.(1)如果把分式——x+2y^中x和y都擴(kuò)大10倍，那么分式的值()

x

A.擴(kuò)大10倍B.縮小10倍C.擴(kuò)大2倍D.不變

(2)下面各式正確的是()

A.——二----

a-ba+b

5(x—y)_5(y—x)

L5.--------------------------------

xy-xx-xy

-3x+2y4y-6x

C.----------=----------

4y—分

(—X)2-X2

D.---=---

(一y)3y3

12

答案：「-------與-----的最簡公分母是x(x+2)(x-2)

X2-2xX2-4

2.(1)D；(2)D[

知識(shí)點(diǎn)3、分式的運(yùn)算

重點(diǎn)：掌握分式的運(yùn)算法則

難點(diǎn)：熟練進(jìn)行分式的運(yùn)算

1.分式加減法法則

(1)通分：把異分母的分式化為同分母分式的過程，叫做通分

(2)同分母分式的加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減.

(3)異分母分式的加減法法則：異分母的分式相加減，先通分.變?yōu)橥帜阜质胶笤偌訙p.

2.分式的化簡

分式的化簡與分式的運(yùn)算相同，化簡的依據(jù)、過程和方法都與運(yùn)算一樣，分式的化簡題，大

多是分式的加、減、乘、除、乘方的混合題，化簡的結(jié)果保留最簡分式或整式.

3.分式的四則混合運(yùn)算

分式的四則混合運(yùn)算運(yùn)算順序與分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加減，有

括號(hào)要先算括號(hào)內(nèi)的.有些題目先運(yùn)用乘法分配律，再計(jì)算更簡便些.

%2—2x3x+1%—3

例L先化簡,再求值：其中x=2

解題思路：分式混合運(yùn)算法則口訣：分式四則運(yùn)算，順序乘除加減，乘除同級(jí)運(yùn)算，除法符

號(hào)須變(乘)：乘法進(jìn)行化簡，因式分解在先，分子分母相約，然后再行運(yùn)算；加減分母需

同.分母化積關(guān)鍵；找出最簡公分母，通分不是很難；變號(hào)必須兩處.結(jié)果要求最簡.

%2—2x—3x+1x—3

解法一：（......----）---

X2-1X-1X-1

x2—2x—3(%+1)2)x-1

(x+l)(x-l);X-----

(%+l)(x—1)x—3

工2—2x—3—(12+2x+1)x—1

(x+l)(x—1)x—3

-4A:-4x-14

--------------?------——-o

(x+l)(x—1)x—3x—3

X?—2x—3X+1、x—3

解法二:h

X2—1x-1

(x—3)(x+1)x—1x+1x—1

--------------X-------------X------

(x+l)(x—1)x—3x—1x~~3

x—3x+1x—3—(x+1)4

x—3x—3x—3x—3

4

當(dāng)x=2時(shí)，原式--=4o

2—3

例2.先化簡（1+-+上土L，然后請(qǐng)你給a選取一個(gè)合適的值，再求此時(shí)原式的值.

[a-2J]2-4

解題思路：本題有三個(gè)步驟：（1）化簡；（2）取值；（3）求值.此類題以開放題的形式出現(xiàn),

字母的取值范圍很廣，比如，在本題中，為a選取合適的值時(shí).存在許多種選法，一般地,

取易于計(jì)算的值，但要考慮分式的分母不為零.即aW±2.

a—2+3(a+2)(〃一2)

解：原式=---------x--------------=。+2

a—2。+1

當(dāng)a=l時(shí)，原式=1+2=3.

a21

練習(xí)1.化簡：(-----)^(1---).

a-Ial-1a+1

2x-612+2X+1X+1

2.化簡:-------+------------4-------

%2-9x2+x-6x-2

a+2

答案：1.----2.1

a

知識(shí)點(diǎn)4、分式.方程

重點(diǎn)：掌握分式方程的解法與步驟

難點(diǎn)：解分式方程的思想轉(zhuǎn)化以及驗(yàn)根

分式方程是方程中的一種，且分母里含有字母的方程叫做分式方程。

分式方程的解法

①去分母｛方程兩邊同時(shí)乘以最簡公分母（最簡公分母：①最小公倍數(shù)②相同字母

的最高次累③只在一個(gè)分母中含有的照寫），將分式方程化為整式方程；若遇到互為相

反數(shù)時(shí).不要忘了改變符號(hào)卜②按解整式方程的步驟（移項(xiàng)，若有括號(hào)應(yīng)去括號(hào)，注意

變號(hào)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1）求出未知數(shù)的值；③驗(yàn)根（求出未知數(shù)的值后必須驗(yàn)根，

因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增

根）.

驗(yàn)根時(shí)把整式方程的根代入最簡公分母，如果最簡公分母等于0,這個(gè)根就是增

根。否則這個(gè)根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，則原方程無解。

解分式方程.的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是“去分母”，即方

程兩邊同乘最簡公分母，這也是解分式方程的一般思路和做法。

解題思路：解分式方程的基本思路是：先確定最簡公分母，再通過去分母把分式方程轉(zhuǎn)

化成整式方程，從而求得其解.要注意的是解分式方程必須檢驗(yàn)，若為增根，須舍去

解：兩邊同乘以（X+1）（1—2x）,

得(x-1)(1-2x)+2Mx+1)=0；

整理，得5%-1=0；

1

解得了=5,

1

經(jīng)檢驗(yàn),x=g是原方程的根.

11-x

例2解方程:----------------3.

x—22—x

解題思路：本題在去分母把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程時(shí)，方程中的整數(shù)項(xiàng)3,也應(yīng)乘最

簡公分母（x-2）,不要漏乘.

解：方程兩邊同乘(％-2),得1=—(1—x)—3(x—2).

解這個(gè)方程，得x=2.

檢驗(yàn)：當(dāng)x=2時(shí)，x-2=0,

所以x=2是增根，原方程無解

例3若方程T=/二無解，則m=.

x-22-x

解題思路：分式方程的無解，就是分式方程中未知數(shù)的取值使分母的值為0,導(dǎo)致

分式無意義.本題當(dāng)x=2時(shí)分母x-2=0.分式方程無解，實(shí)質(zhì)就是指對(duì)應(yīng)整式方程

的解是原分式方程的增根，其整式方程的解會(huì)使最簡公分母的值為零

解：方程兩邊同乘以(x-2),化去分母,

因?yàn)榉质椒匠倘齶無解,

所以x=2,2-3=-m,故m=l.

x1

練習(xí)L解方程不一1二

x2—4

1.a

2.若關(guān)于x的分式方程一--1=一在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解，則實(shí)數(shù)。=

x+3x+3

答案：1.解：方程兩邊同乘(x-2)(x+2),得

x(x+2)-(x2-4)-1,

化簡，得2x=-3

x=-3/2,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=-3/2是原方程的根.

2.a=l

知識(shí)點(diǎn)5、分式方程的應(yīng)用

重點(diǎn)：掌握解分式方程應(yīng)用題的步驟

難點(diǎn)：審題弄清題目中的等量關(guān)系

列分式方程與列整式方程解應(yīng)用題一樣，應(yīng)仔細(xì)審題，找出反映應(yīng)用題中所有數(shù)量關(guān)系的等

式，恰當(dāng)?shù)卦O(shè)出未知數(shù)，列出方程.與整式方程不同的是求得方程的解后，應(yīng)進(jìn)行兩次檢

驗(yàn)，一是檢驗(yàn)是否是增根，二是檢驗(yàn)是否符合題意.

例某書店老板去圖書批發(fā)市場(chǎng)購買某種圖書.第一次用1200元購書若干本，并按該書定價(jià)7

元出售，很快售完.由于該書暢銷，第二次購書時(shí)，每本書的批發(fā)價(jià)已比第一次提高了20%,

他用1500元所購該書數(shù)量比第一次多10本.當(dāng)按定價(jià)售出200本時(shí)，出現(xiàn)滯銷，便以定價(jià)

的4折售完剩余的書.試問該老板這兩次售書總體上是賠錢了，還是賺錢了(不考慮其它因

素)？若賠錢，賠多少？若賺錢，賺多少？

解題思路：本題的等量關(guān)系為：第二次購該書數(shù)量比第一次多10本，即（第一次購買

的數(shù)量）+10=（第二次購買的數(shù)量）.

解：設(shè)第一次購書的進(jìn)價(jià)為X元，則第二次購書的進(jìn)價(jià)為（1+20%）X元.

"+1。=15。。

根據(jù)題意.得:

x(1+20%)x

解得：x=5,經(jīng)檢驗(yàn)x=5是原方程的解.

1200-

所以第一次購書為建一=240（本），

第二次購書為240+10=250（本），

第一次賺錢為240x（7-5）=480（元），

第二次賺錢為：200x（7-5xl.2）+50x（7x0.4-5xl.2）=40（元）

所以兩次共賺錢480+40=520（元）.

練習(xí)某市在舊城改造過程中，需要整修一段全長2400m的道路.為了盡量減少施工對(duì)城

市交通所造成的影響，實(shí)際工作效率比原計(jì)劃提高了20%,結(jié)果提前8小時(shí)完成任務(wù).求原

計(jì)劃每小時(shí)修路的長度.若設(shè)原計(jì)劃每小時(shí)修路xm,則根據(jù)題意可得方

程-----------------------F

2400

答案：_2400=8

x（1+20%）%

最新考題

中考試題考查的是分式的基本性質(zhì)及其運(yùn)算，題型以填空、選擇或計(jì)算為主，試題中滲透方

程思想或高一年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)，預(yù)計(jì)2010年中考這類試題比例會(huì)加大，理解分式的概念，分母

中含有字母的式子，掌握分式分母的取值范圍，分式方程的求解一類問題近年主要考查基本

的解方程，

著重考查學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力，同時(shí)分式方程的驗(yàn)根仍作為考查重點(diǎn)。

考查目標(biāo)一分式的概念

X2—x—2

例1（09年天津市）若分式二^—；的值為0,貝心的值等于

解題思路：要使分式的值為零，只需分子為零且分母不為零，答案：2

2

例2（09湖北宜昌）當(dāng)*=_____________時(shí)，分式——沒有意義.

x—3

解題思路：分式?jīng)]有意義則分式的分母為0,x=3

考查目標(biāo)二分式的運(yùn)算

+4x+4x

例1（2009年新疆烏魯木齊市）化簡：-----------

X2-4x-2

解題思路：約分與通分，分式運(yùn)算中分子分母能分解因式的先分解，答案：--

x-2

ab11

例2（2009年棗莊市）15.a、b為實(shí)數(shù)，且ab=l,設(shè)P=--+-~Q=--+---

?+1b+1a+1b+1

則PQ（填或"=

解題思路：分式的比較大小，可以通分化為同分母，答案：=

‘X2-42-x'x

例3（09年內(nèi)蒙古包頭）化簡------+---K其結(jié)果是（）

、%2-4%+4x+2.

A.-----B.----C.-----D.----

x—2x—2x+2x+2

解題思路：本題考查整式的因式分解及分式的加減乘除混和運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序。先乘除

后加減，有括號(hào)先算括號(hào)里的或按照乘法的分配律去括號(hào)。

'%2-42-%>x（x+2）（x-2）x-2x-2x-2x+2G-2》

-------------+------4-------=7、、X-------------X------=------―—f------

、%2-4%+4x+2）x-2xx+2xxx\x-\-2）

（x+2>-Q-218

=—云W-=—'故選0。

考查目標(biāo)三分式方程應(yīng)用

例（09年莆田）面對(duì)全球金融危機(jī)的挑戰(zhàn)，我國政府毅然啟動(dòng)內(nèi)需，改善民生.國務(wù)院決

定從2009年2月1日起，“家電下鄉(xiāng)”在全國范圍內(nèi)實(shí)施，農(nóng)民購買人選產(chǎn)品，政府按原價(jià)

購買考卷的1泮給予補(bǔ)貼返還.某村委會(huì)組織部分農(nóng)民到商場(chǎng)購買人選的同一型號(hào)的冰箱、

電視機(jī)兩種家電，已知購買冰箱的數(shù)量是電視機(jī)的2倍，且按原價(jià)購買冰箱總額為40000

元、電視機(jī)總額為15000元.根據(jù)“家電下鄉(xiāng)”優(yōu)惠政策，每臺(tái)冰箱補(bǔ)貼返還的金額比每臺(tái)

電視機(jī)補(bǔ)貼返還的金額多65元，求冰箱、電視機(jī)各購買多少臺(tái)？

（1）設(shè)購買電視機(jī)x臺(tái)，依題意填充下列表格：

購買數(shù)量原價(jià)購買總政府補(bǔ)貼返補(bǔ)貼返還總每臺(tái)補(bǔ)貼返

（臺(tái)）額（元）還比例金額（元）還金額（元）

家電種類

冰箱4000013%

電視機(jī)X1500013%

（2）列出方程（組）并解答.

解題思路：弄清題意，列分式方程

(1)

40000x13%52002600

2x4000013%40000x13%或5200C或c或

2x2xx

15000x13%,1950

X1500013%15000X13%或1950-----------或-----

XX

40000x13%15000x13%公

（2）解:依題意得=65

2xx

解得x=10

經(jīng)檢驗(yàn)x=10是原分式方程的解分

2x=20.

答:冰箱、電視機(jī)分別購買20臺(tái)、10臺(tái)10分

過關(guān)測(cè)試

一、選擇題

L函數(shù)尸之中自變量x的取值范圍是（）.

A.xWTB.x>-lC.xWlD.x#0

X2—9

2.若分式的值為零,則*的值為（）.

A.3B.3或-3C.-3D.0

x+l

3.若分式e的值為零，則x等于（）.

、2

A.0B.1C3D.-1

ab2

4.化簡力一門的結(jié)果是（).

a+ba-bb-a

A.-----B.-----C.-----D.a+b

aaa

,lxl-3

5.當(dāng)分式一-的值為零時(shí),x的值為（）.

x+3

A.0B.3C.-3D.±3

m2-3m

6?化簡ET的結(jié)果是（）

mmmm

A.——-B.------C.D.

m+3m+3m—33-m

122

7.化簡——-+，的結(jié)果是（)

m2—9m+3

m+6222m+9

A.------B.-----C.D.-------

m2—9m—3m+3m2—9

8.下面計(jì)算正確的是（)

(a—b)2(b+a)72(b+c)2

A.-------------=b2-a2B.

b-aa+5(b+c)Q+5

5x2+5xX11=二

C.-----------二----------------D.

15x2-20A:3X2-4xy%

9、08年暑假期間，紅星中學(xué)“啟明文學(xué)社”的全體同學(xué)包租一輛面包車前去某景點(diǎn)游覽,

面包車的租價(jià)為180元.出發(fā)時(shí)又增加了兩名同學(xué),結(jié)果每個(gè)同學(xué)比原來少攤了3元車費(fèi).若

設(shè)“啟明文學(xué)社”有x人，則所列方程為（）

180180.180180.180180.180180.

A.---------=3B.——-------=3C.------——=3D.------——=3

xx-2xx+2x+2xx-2x

4—x—5

10、當(dāng)*=時(shí)，-——的值與一的值相等。

4-xx-4

A.-1B.4C.5D.0

1x1-11

11、如果？的值為0,那么代數(shù)式一一x的值為（）

1-xX

A.-1B.0C.1D.±1

12、在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中老師出了這樣一道題目讓同學(xué)們討論：現(xiàn)有鐵絲重m克，銅絲重m克,

12

鐵絲、銅絲的截面半徑分別為rem和rcm,不用直接測(cè)量長度，分別計(jì)算它們的長度（鐵的

12

密度為7.8g/cm3,銅的密度為8.9g/cm3）正確的回答是（）

mmmm

A.鐵絲為--------1——cm銅絲為示t—cmB、鐵絲為—cm銅絲為一3-cm

7.8Kr28.9Kr271丫2rer2

1212

mmmm

C、鐵絲為―cm銅絲為一cmD、鐵絲為tcm銅絲為一cm

r?r2r

i2i2

二、填空題

若分式/的值為零'則戶——

2.當(dāng)x二____時(shí),分式2二x■3的值為1.

x-2

11

3.已知a+—=3,貝!J@2+一二_____.

a。2

,,,.ab

4.已知a2-6a+9與|b-1|互為相反數(shù),則式子（了一一）+（a+b）的值為

ba

112x+3xy-2y

5.已知-一一，則分式———--的值為______.

xyx-2xy-y

3a1

6、關(guān)于x的分式方程--+—7=1有增根，則a二—

x+5x+5

三、解答題

「2%2+

1.已知x=6+l,求代數(shù)式一2x^+-1—三1萬的值.

2.如圖1-16-1小明家、王老師家、學(xué)校在同一條路上,小明家到王老師家的路程為3km,王

老師家到學(xué)校的路程為0.5km,由于小明的父母戰(zhàn)斗在抗“非典”第一線為了使他能按照

到校,王老師每天騎自行車接小明上學(xué).已知王老師騎自行車的速度是步行速度的3倍,