2024年高考數(shù)學模擬試題十九（含解析）

2024年高考數(shù)學模擬測試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.已知集合M={x|尤2-2<0},2V={-2,-1,0,1,2},則以N=()

A.0B.{1}C.{0,1}D.{-1,0,1}

【答案】B

【解析】

【分析】

化簡集合“，按交集定義，即可求解.

【詳解】由d—2x<0,得xe(O,2),所以McN={l},

故選：B.

【點睛】本題考查集合間的運算，屬于基礎題.

2.已知復數(shù)z滿意z(l+2/)=7,則復數(shù)1在復平面內(nèi)對應點所在的象限是()

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

把已知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出三的坐標得答案.

z(l-2Z)_2J_.所以W'

【詳解】解：由z(l+2i)=i,得(l+2z)(l-2z)-55l

???復數(shù)I在復平面內(nèi)對應的點的坐標為,在第四象限.

故選：D.

【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎題.

3.已知向量a=(〃—2),力=(2,1),則“0<1”是“。，b夾角為鈍角”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】

由題意結(jié)合平面對量數(shù)量積的學問可得若a,b夾角為鈍角，則m<1且mW-4,再由且

77ZW-4｝｛司加<1｝結(jié)合充分條件、必要條件的概念即可得解.

【詳解】若a，b夾角為鈍角，則cos卜,“<0且cos卜,?/-1,

2m-2

/,\a-b2m-2vm2+4?百

，解得機<1且加wY,

由“叱/”而";PR2m—2

[m2+4-A/5

由同根<1且77#-4｝｛功.<1｝可得是7,b夾角為鈍角”的必要不充分條件.

故選：B.

【點睛】本題考查了利用平面對量數(shù)量積解決向量夾角問題，考查了充分條件、必要條件的推斷，屬于中

檔題.

4.甲、乙、丙3人站到共有6級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置,

則不同的站法總數(shù)是()

A.90B.120C.210D.216

【答案】C

【解析】

【分析】

依據(jù)題意：分為兩類：第一類，甲、乙、丙各自站在一個臺階上；其次類，有2人站在同一臺階上，剩余1

人獨自站在一個臺階上，算出每類的站法數(shù)，然后再利用分類計數(shù)原理求解.

【詳解】因為甲、乙、丙3人站到共有6級的臺階上，且每級臺階最多站2人，

所以分為兩類：第一類，甲、乙、丙各自站在一個臺階上，共有：盤看=120種站法;

其次類，有2人站在同一臺階上，剩余1人獨自站在一個臺階上，共有：國=90種站法；

所以每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置的不同的站法總數(shù)是120+90=210.

故選：C

【點睛】本題主要考查排列組合的應用以及分類計數(shù)原理的應用，還考查了分析求解問題的實力，屬于中

檔題.

5.已知定義在H上函數(shù)/(%)=x?2閔，a=/(log3y/5),b^-f(log3—),c=/(ln3),則〃，b,。的

大小關系為()

A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【答案】D

【解析】

【分析】

先推斷函數(shù)在x>0時的單調(diào)性，可以推斷出函數(shù)是奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可以得到。=/(log32),

比較logs逐,log32,ln3三個數(shù)的大小，然后依據(jù)函數(shù)在x>0時的單調(diào)性，比較出三個數(shù)a,4c的大小.

【詳解】當龍>0時，/(x)=x-2W=x-2V(x)=2v+x-In2-2V>0,函數(shù)在x>0時，是增函

數(shù).因為/(-%)=-%-2|-%|=-%-2X=-/(x)，所以函數(shù)/(%)是奇函數(shù)，所以有

11L

b=-/(log3-)=/(-log3—)=/(log32),因為ln3>1>log3V5>log32>0,函數(shù)/(%)在x>0時，

是增函數(shù)，所以故本題選D.

【點睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性推斷函數(shù)值大小問題，推斷出函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性是解題的關鍵.

6.對〃個不同的實數(shù)囪，色，…，劣可得加個不同的排列，每個排列為一行寫成一個加行的數(shù)陣.對第/

行21,&2,…，ain,記4=-&1+2&2—3&3+…+(—1)%打，7=1,2,3…，〃！.例如用1,2,3可得數(shù)陣如

圖，對于此數(shù)陣中每一列各數(shù)之和都是12,所以從+慶+…優(yōu)=一每+2X12—3X12二一24.那么,在用1,2,3,

4,5形成的數(shù)陣中，61+慶+…瓦0等于()

123

1J4

213

23I

Q1,

...

A.—3600B.—1800C.—1080D.-720

【答案】C

【解析】

【分析】

依據(jù)用1,2,3,4,5形成的數(shù)陣和每個排列為一行寫成一個H行的數(shù)陣，得到數(shù)陣中行數(shù)，然后求得每

一列各數(shù)字之和，再代入公式求解.

【詳解】由題意可知：數(shù)陣中行數(shù)為：5!=120,

在用1,2,3,4,5形成的數(shù)陣中，

每一列各數(shù)字之和都是：5!+5義(1+2+3+4+5)=360,

by+Zz>+...+Z?j2o=360x(—1+2—3+4—5)=360x(—3)=—1080.

故選：c

【點睛】本題主要考查數(shù)列的應用，還考查了分析求解問題的實力，屬于基礎題.

7.已知AA5C中，A=60°,AB=6,AC=4,。為AABC所在平面上一點，且滿意。4=O3=OC.

設AO=XA3+,則％+〃的值為（）

117

A.2B.1C.—D.—

1811

【答案】c

【解析】

分析】

由由04=03=0。，得：點。是AA5C的外心，由向量的投影的概念可得：\,再代入運

AOAC=8

62+2//=3

算(32+4〃=2即可

【詳解】解：由Q4=O3=OC,得：點。是A4BC的外心,

A(9AB=18

又外心是中垂線的交點，則有:

AOAC=8

(AAB+LIAQ?AB=

即<

又AB=6,AC=4,AB.AC=12>

62+2〃=39

所以《,解得:

32+4〃=21

4111

即X+〃=—+—

9618

故選：c.

【點睛】本題考查了外心是中垂線的交點，投影的概念，平面對量的數(shù)量積公式，屬中檔題.

8.在直三棱柱/8C—48K中，ABLBC,/廬8俏陽=1,〃是/C的中點，則三棱錐合一力創(chuàng)的外接球的表面積

為（）

39

A.—nB.271C.一71D.—71

248

【答案】B

【解析】

【分析】

依據(jù)題意找到三棱錐A一/砌的外接球球心為A耳中點，即可求出其半徑,則可求出其表面積.

【詳解】如圖所示：

取AB1中點為。，AB中點為。.并連接DM,

則OD±平面ABM,|ZM|=\DB\=\DM\

所以|04|=|08|=|。叫=|0叫

所以三棱錐4陽的外接球球心為A4中點。.

所以氏=四=受，

22

所以三棱錐方一"剛的外接球的表面積為S=4?H2=2?.

故選:B

【點睛】本題考查三棱錐的外接球表面積，屬于基礎題.解本題的關鍵在于畫出三棱柱，找到三棱錐的外接

球球心.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.而物是一款具有社交屬性的健身加也致力于供應健身教學、跑步、騎行、交友及健身飲食指導、裝備

購買等一站式運動解決方案.雁屹可以讓你隨時隨地進行熬煉，記錄你每天的訓練進程.不僅如此，它還可

以依據(jù)不同人的體質(zhì)，制定不同的健身安排.小明依據(jù)短?叨記錄的2024年1月至2024年11月期間每月跑

步的里程（單位：十公里）數(shù)據(jù)整理并繪制了下面的折線圖.依據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（）

A.月跑步里程最小值出現(xiàn)在2月

B.月跑步里程逐月增加

C.月跑步里程的中位數(shù)為5月份對應的里程數(shù)

D.1月至5月的月跑步里程相對于6月至11月波動性更小

【答案】ACD

【解析】

【分析】

依據(jù)折線圖，依次分析月跑步里程的最小值，中位數(shù)，改變趨勢，波動性即得解

【詳解】由折線圖可知，月跑步里程的最小值出現(xiàn)在2月，故A正確；

月跑步平均里程不是逐月增加的，故B不正確；

月跑步里程數(shù)從小到大排列分別是：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月,

故5月份對應的里程數(shù)為中位數(shù)，故C正確；

1月到5月的月跑步平均里程相對于6月至11月波動性更小，改變比較平穩(wěn)，故D正確.

故選：ACD

【點睛】本題考查了統(tǒng)計圖表折線圖的應用，考查了學生綜合分析，數(shù)形結(jié)合，數(shù)據(jù)處理實力，屬于基礎

題

10.已知函數(shù)/(x)=sinx+cosx+binx-cosx|,下列結(jié)論不正確的是()

71

A.函數(shù)圖像關于x=一對稱

4

TC兀

B.函數(shù)在一上單調(diào)遞增

_44_

C.若=4，則尤,+巧=5+2左左(左wZ)

D.函數(shù)/'(x)的最小值為一2

【答案】BCD

【解析】

【分析】

去肯定值號，將函數(shù)變?yōu)榉侄魏瘮?shù)，分段求值域，在化為分段函數(shù)時應求出每一段的定義域，由三角函數(shù)

的性質(zhì)求之.

【詳解】解：由題意可得:

2cosxxe(2k;i:--,2k7i+—)

2cosxsinx<cosx44

/(%)=sinx+cosx+sin%-cosx\=

2sinxsinx...cosx.7T57T

2sin尤x&\2k7t+—,2k7i:-----]

44

717t

明顯函數(shù)在-“。上單調(diào)遞增,Oq上單調(diào)遞減，故B錯誤;

當*=￡+2左乃，(左wZ)時函數(shù)取得最小值=—及，故D錯誤;

要使|/(七)|+|/(%2)|=4,則/(%)=/(%)=2,則司=2勺?；蛴?9+2左圖，々=242〃或

x2=——卜2k2兀,

所以/+%=萬+2左乃或馬+為=左1，(左wZ),故C錯誤.

故選：BCD.

【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)的應用，表達式中含有肯定值，故應先去肯定值號，變?yōu)榉侄魏?/p>

數(shù)，再分段求值域，屬于中檔題.

11.已知正方體ABC。-A4GA棱長為2,如圖，M為CG上的動點，AM，平面a.下面說法正確的

是（

V3&

A.直線AB與平面a所成角的正弦值范圍為V,V

B.點〃與點G重合時，平面戊截正方體所得的截面，其面積越大，周長就越大

C.點〃為CG的中點時，若平面a經(jīng)過點3,則平面。截正方體所得截面圖形是等腰梯形

D.己知N為。。中點，當AM+MN的和最小時，M為CG的中點

【答案】AC

【解析】

【分析】

以點。為坐標原點，DA.DC、所在直線分別為了、V、z軸建立空間直角坐標系。-孫z,利用

空間向量法可推斷A選項的正誤；證明出AC1，平面A0。，分別取棱其耳、BB］、BC、CD、

的中點E、F、Q、N、G、H,比較.48。和六邊形E戶QVG〃的周長和面積的大小，可推斷B

選項的正誤；利用空間向量法找出平面1與棱40、4片的交點￡、F,推斷四邊形/的形態(tài)可推

斷C選項的正誤；將矩形ACGA與矩形CCA。延展為一個平面，利用A、M、N三點共線得知

AM+MN最短，利用平行線分線段成比例定理求得MC,可推斷D選項的正誤.

【詳解】對于A選項，以點。為坐標原點，DA、DC、。。所在直線分別為％、V、z軸建立空間直角

坐標系?！獙Oz,則點4（2,0,0）、5（2,2,。）、設點M（0,2,a）（0Wa?2）,

平面e,則AM為平面的一個法向量，且AM=（-2,2,a）,AB=（0,2,0）,

y/3亞

COS<AB,AM>|=

走后

所以，直線A3與平面a所成角的正弦值范圍為H萬A選項正確;

對于B選項，當〃與CG重合時，連接4。、BD、AC,

在正方體ABC?！?B1G。中，CG，平面ABCD，（3瓦＞€=平面48。。，..5。，。。1，

四邊形ABCD是正方形，則5QLAC,CQAC=C,，或）_1_平面ACC「

QAC；u平面ACG，,AG_L,同理可證

，AQcBD=D,J_平面45。，

易知43。是邊長為2a的等邊三角形，其面積為5的加=￥*（20『=26,周長為

2拒x3=6萬

設E、F、Q、N、G、H分別為棱42、4耳、BB「BC、CD、的中點,

易知六邊形EFQNGH是邊長為0的正六邊形，且平面EFQNGHH平面AXBD,

正六邊形EFQNGH的周長為6夜，面積為6x乎x=3豆，

則.A3。的面積小于正六邊形"QVGH的面積，它們的周長相等，B選項錯誤；

對于C選項，設平面a交棱42于點石（。,。,2）,點M（0,2,1）,AM=（-2,2,1）,

平面e,上＜=平面￡,.?.9_1￡＞石，即AM?QE=—2b+2=0，得Z?=l,二石。,0,2）,

所以，點E為棱42的中點，同理可知，點尸為棱44的中點，則尸（2,1,2）,EF=（1,1,0）,

而DB=（2,2,0）,:.EF=gDB,：.EF〃DB且EFrDB，

由空間中兩點間的距離公式可得DE=722+02+12=75-BF=J（2—2）2+（1—2『+（2—0）2=逐,

DE=BF,

所以，四邊形5Z必為等腰梯形，c選項正確；

對于D選項，將矩形AC￡A與矩形CGA。延展為一個平面，如下圖所示:

若AM+MN最短，則A、M>N三點共線，

CCJ/DD,,=—=2-72,

DNAD272+2

MC=2-母Lee1,所以，點〃不是棱cq的中點，D選項錯誤.

2

故選：AC.

【點睛】本題考查線面角正弦值的取值范圍，同時也考查了平面截正方體的截面問題以及折線段長的最小

值問題，考查空間想象實力與計算實力，屬于難題.

12.函數(shù)f(x)=e*+asZnx,xG(—口,+°°),下列說法正確的是()

A.當a=l時，/1(x)在(0,『(0))處的切線方程為2x—尹1=0

B.當a=l時，?(工)存在唯一微小值點劉且一1<『(加<0

C.對隨意a>0,f(x)在(一肛+8)上均存在零點

D.存在a<0,/'(x)在(一肛+8)上有且只有一個零點

【答案】ABD

【解析】

【分析】

逐一驗證選項，選項A,通過切點求切線，再通過點斜式寫出切線方程，選項6通過導數(shù)求出函數(shù)極值并

推斷極值范圍，選項C、D,通過構(gòu)造函數(shù)，將零點問題轉(zhuǎn)化推斷函數(shù)與直線尸a的交點問題.

【詳解】選項4當a=l時，f(x)=ex+sinx,xe(-^-,+oo),

所以/(0)=1,故切點為(0,1),f'(x)=ex+cosx,

所以切線斜率女=/'(O)=2,

故直線方程為：y—l=2(x—0),即切線方程為：y=2x+l,選項/正確.

選項6,當°=1時，/(%)=e*+sinx,xe(一名4w),/'(x)=e*+cosx

/⑺=e*—sinx>0恒成立，所以/'(%)單調(diào)遞增，

「空丫陰3n1V2(3八

e4=e2〉e〉2,所以e彳>0，即W<y，所以/[—--<0

(3冗冗\

所以存在/一--I,使得了'(%o)=O,即e%+cos%o=0

則在(一萬，上，/"(%)<0,在(如+8)上，/f(x)>0,

所以在(-勿/)上，/(X)單調(diào)遞減，在(為+8)上，單調(diào)遞增.

所以/(力存在唯一的微小值點七.

x

/(x0)=e°+sinx0=sinx0-cosx0=0sin

/e則x0--G1一匹—7^]，叵sin1/--J￡(-1,0),所以B正確.

對于選項C、D,f(x)=，+asinx,xe(一汽+oo)

令/(x)=。，即，+〃sinX=0，所以一:二三f，則令方⑴="(一肛十00)

r

,令F(x)=0)^x=k7i+^,k>-l,k

由函數(shù)y=J5sin[x—?J的圖像性質(zhì)可知：

71

XG|—+2k兀,2kju+—|時,A/2sinX-->0,/(%)單調(diào)遞減.

144)

x￡f包+2左犯2左》+工+2〃]時，J：7C

sinX--<0,/(無)單調(diào)遞增.

144)

所以x=2版■+彳,左eZ,左2—1時，*尤）取得微小值,

STC

即當X=—彳,彳,...時E（x）取得微小值，

4e4

又因為在［一肛—多］上尸⑴單調(diào)遞減，所以尸（x）

所以x=2左〃+￡,左eZ,左20時，F(xiàn)（x）取得微小值,

7i97r

即當.了不時尸（X）取得極大值,

g

sinsin

719TT

又＜，即E>F>

9萬

1

所以E（x）＜R旦

71

2〉

—^2

當+oo）時，__~e4

兀

2/

所以當—!＜一正肅，即。＞與時,

F（x）在（一"，+8）上無零點，所以C不正確.

a2e彳

1V2

，即a=時，y=—：與尸（工）=學的圖象只有一個交點

當一

即存在a＜0,F（x）在（一犯+8）上有且只有一個零點，故D正確.

故選：ABD

【點睛】本題考查函數(shù)的切線、極值、零點問題，含參數(shù)問題的處理，考查數(shù)學運算，邏輯推理等學科素

養(yǎng)的體現(xiàn)，屬于難題題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（2x-±）6的綻開式中的常數(shù)項為.（用數(shù)字作答）

X

【答案】240

【解析】

【分析】

在二項綻開式的通項公式中，令X的幕指數(shù)等于0,求出廠的值，即可求得常數(shù)項.

【詳解】解：(2x-與)6綻開式的通項公式為26T.(-1廠.產(chǎn)"，

X

令6—3r=O,求得r=2,可得綻開式中的常數(shù)項為C："=240,

故答案為：240.

【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項綻開式的通項公式，求綻開式中某項的系數(shù)，二項式系數(shù)

的性質(zhì)，屬于基礎題.

14.一個不透亮的箱中原來裝有形態(tài)、大小相同的1個綠球和3個紅球.甲、乙兩人從箱中輪番摸球，每次

摸取一個球，規(guī)則如下：若摸到綠球，則將此球放回箱中可接著再摸；若摸到紅球，則將此球放回箱中改

由對方摸球，甲先摸球，則在前四次摸球中，甲恰好摸到兩次綠球的概率是.

【答案】—

128

【解析】

【分析】

先定義事務A,A-B,B＞從而得到事務“甲恰好摸到兩次綠球的狀況為事務

AAA(B+B),AABA,ABAA,利用事務的獨立性進行概率計算，即可得到答案。

【詳解】設“甲摸到綠球”的事務為A,則尸(A)=J,

4

_3

“甲摸到紅球”的事務為彳,則P(A)=—,

4

設“乙摸到綠球”的事務為……)q,

-3

“乙摸到紅球”的事務為豆,則P(B)=

4

在前四次摸球中，甲恰好摸到兩次綠球的狀況是AAA(B+B),AABA,ABAA,

?113,1331331115

所以P=_x_x_xl-|--X—X—X--1——X—X—X—=.

44444444444128

15

故答案為:

128

【點睛】本題考查相互獨立事務同時發(fā)生的概率，考查邏輯推理實力和運算求解實力，求解的關鍵是精確

定義相關事務。

15.己知石，6為正實數(shù)，直線尸才一石與曲線產(chǎn)ln(x+6)相切于點(xo,%)，則▲+」的最小值是

ab

【答案】4

【解析】

【分析】

由題意結(jié)合導數(shù)的幾何意義、導數(shù)的運算可得%=1-8、%=0,進而可得)+〃=1,再利用

一"H丁=(一+不](〃+/?),結(jié)合基本不等式即可得解.

ab\ab)

【詳解】對y=ln(x+b)求導得y,

x+b

因為直線產(chǎn)x—a與曲線尸In(x+6)相切于點(荀，㈤，

1?

所以一r=1即％=1-",

x0+Z?

所以為所以切點為一

=ln(xo+Z?)=ln(l-/2+Z?)=O,(130),

由切點(1—40)在切線尸X—a上可得1—6—。=0即b+a=l,

11(11\人〃cc[ba/

所以一+一二一+—(a+Z?)=2+—+—N2+2J-----=4,

abbJ