2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：等比數(shù)列 專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】

課時(shí)過(guò)關(guān)檢測(cè)(三十一)

等比數(shù)列【原卷版】

1.等比數(shù)列｛?！ǎ那皀項(xiàng)和S“=32"-i+r,則r=()

A.|B.

C.gD.

2.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛。"｝中，的=2—色，°5=也+1，貝!J+2?2?6+?3?7

=()

A.1B.9

C.5g+7D.3^2+9

3.明代數(shù)學(xué)家程大位編著的《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)數(shù)學(xué)史上的一座豐碑.其中有一段著

述“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一.”注：“倍加增”意為“從塔頂

到塔底，相比于上一層，每一層燈的盞數(shù)成倍增加”，則該塔從塔底數(shù)第二層燈的盞數(shù)為

()

A.3B.6

C.96D.192

4.S”為正項(xiàng)等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，若。3。5=256,。4。6=1024,貝鍛=()

A.2"—1B.2~2l~n

C.2—2「1D.2廣"一1

5.已知數(shù)列｛a〃｝為等比數(shù)列，函數(shù)y=loga(2x—1)+2過(guò)定點(diǎn)(ai，㈤，bn=\og2an,數(shù)

列｛勿｝的前〃項(xiàng)和為S”,則Sio=()

A.44B.45

C.46D.50

6.(多選)設(shè)等比數(shù)列｛小｝的前"項(xiàng)和為S”且滿足“6=8“3，貝!1()

A.數(shù)列｛斯｝的公比為2

B.數(shù)列｛斯｝的公比為8

C.探=8

D.f=9

03

7.（多選）設(shè)｛詼｝是公比為2的等比數(shù)列，下列四個(gè)選項(xiàng)中是正確的命題有（）

A.1白是公比為日的等比數(shù)列

B.｛“2”｝是公比為4的等比數(shù)列

C.｛2斯｝是公比為4的等比數(shù)列

D.｛詼斯+1｝是公比為2的等比數(shù)列

8.實(shí)數(shù)10,?1,“，7,40成等比數(shù)列，則如.

9-.若數(shù)列｛?！ǎ氖醉?xiàng)6=2,且斯+1=3詼+2562）.令b"=log3（a“+l）,則61+62+

63HF&loo—?

10.S”為等比數(shù)列｛詼｝的前〃項(xiàng)和，已知。4=9°2，$3=13,且公比q>0.

（1）求斯及必；

（2）是否存在常數(shù)九使得數(shù)列｛S.+%｝是等比數(shù)列？若存在，求出入的值；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

11.若數(shù)列｛%｝滿足?！?尸3廝+2,則稱｛以｝為“夢(mèng)想數(shù)列”，已知正項(xiàng)數(shù)列依一“為

“夢(mèng)想數(shù)列”，且61=2,則父=（）

,2r2

A-81B-27

C.gD.

12.《九章算術(shù)》中有述：今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺，莞生一日，長(zhǎng)一尺，蒲生日自半，

莞生日自倍.意思是：“今有蒲第一天長(zhǎng)高3尺，莞第一天長(zhǎng)高1尺，以后蒲每天長(zhǎng)高前一

天的一半，莞每天長(zhǎng)高前一天的2倍.”請(qǐng)問(wèn)當(dāng)莞長(zhǎng)高到長(zhǎng)度是蒲的5倍時(shí)，需要經(jīng)過(guò)的天

數(shù)是（結(jié)果精確到0.L參考數(shù)據(jù)：1g2=0.30,1g3=0.48）（）

A.2.9天B.3.9天

C.4.9天D.5.9天

13.（多選）設(shè)等比數(shù)列｛詼｝的公比為q,其前見項(xiàng)和為前〃項(xiàng)積為G，并滿足條件

6Z1>1,a2019a2020>1,_[<0,下列結(jié)論正確的是（）

?2020—I

A.S2019Vs2020

B.。2019。2021-1<0

C.T2020是數(shù)列｛%｝中的最大值

D.數(shù)列｛7；｝無(wú)最大值

14.已知數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，若數(shù)歹！］｛3"—為｝也是等比數(shù)列，則數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式

可以為.(寫出一個(gè)即可)

15.在①§3=17；②Si+S=4；③S=4SI這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的橫線

上，并解答相應(yīng)問(wèn)題.

已知數(shù)列｛SJ滿足S言0,且S“+i=3S,+2.

(1)證明：數(shù)歹U｛&+1｝為等比數(shù)列；

(2)若,是否存在等比數(shù)列｛④｝的前“項(xiàng)和為S”？若存在，求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

若不存在，說(shuō)明理由.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

16.我國(guó)明代的數(shù)學(xué)家、音樂理論家朱載填創(chuàng)立了十二平均律是第一個(gè)利用數(shù)學(xué)使音律

公式化的人.十二平均律的生律法是精確規(guī)定八度的比例，把八度分成13個(gè)半音，使相鄰

兩個(gè)半音之間的頻率比是常數(shù)，如下表所示，其中m，痣，…，03表示這些半音的頻率，

它們滿足1。82券)12=1"=1,2,…，12).若某一半音與D#的頻率之比為顫，則該半音為

()

頻率a\"2的4445〃6an"8ag410anai2〃13

c(A

半音Cc#DD#EFF#GG#AA#B

度)

A.F*B.G

C.G#D.A

17.某新興科技公司第一年年初有資金5000萬(wàn)元，并將其全部投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底

資金增長(zhǎng)了50%,預(yù)計(jì)以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年相同.公司要求企業(yè)從第一年開始,

每年年底各項(xiàng)人員工資、稅務(wù)等支出合計(jì)1500萬(wàn)元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)

第n年年底企業(yè)除去各項(xiàng)支出資金后的剩余資金為斯萬(wàn)元，第機(jī)(%GN*)年年底企業(yè)的剩余

資金超過(guò)21000萬(wàn)元，則整數(shù)機(jī)的最小值為.(1g2^0.3010,1g3Po.4771)

課時(shí)過(guò)關(guān)檢測(cè)(三十一)

等比數(shù)列【解析版】

2.等比數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和5〃=32〃一】+r,則r=()

A.|B.

C.§D.—g

2n12n32n32

解析：B當(dāng)〃=1時(shí)，ai=Si=3+r；當(dāng)〃22時(shí)，an=Sn~Sn-1=3--3-=3-(3

QQ1

-1)=8?32"-3=8.32"-2.3-1=]gm,所以3+廠=§,即廠=一§,故選B.

2.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛a〃｝中，＜23=2—取,°5=陋+1，貝U。1。5+2々2a6+。3。7

=()

A.1B.9

C.5^2+7D.3^2+9

解析：B因?yàn)椋梗秊楦黜?xiàng)為正的等比數(shù)列，的=2—W，。5=也+1,所以。1。5+2°2。6

+。3。7=屆+2。3a5+底=(的+a5)2=(2—也+也+1)2=9,故選B.

3.明代數(shù)學(xué)家程大位編著的《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)數(shù)學(xué)史上的一座豐碑.其中有一段著

述“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一.”注：“倍加增”意為“從塔頂

到塔底，相比于上一層，每一層燈的盞數(shù)成倍增加”，則該塔從塔底數(shù)第二層燈的盞數(shù)為

()

A.3B.6

C.96D.192

解析：C根據(jù)題意，可知從塔頂?shù)剿祝繉拥臒舯K數(shù)構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，設(shè)

塔頂燈盞數(shù)為則有$7=華匕3=381,解得。1=3,從塔底數(shù)第二層燈的盞數(shù)為恁=

41^5=3X25=96,故選C.

4.S〃為正項(xiàng)等比數(shù)列｛詼｝的前〃項(xiàng)和，若的的=256,〃4。6=1024,則9=()

A.2n-lB.2~2l~n

C.2—2〃-1D.21-n-l

儂=256,“4=16,|〃i=2,

解析：B由〃3。5=256,〃4〃6=1024,得j又a>0

[d=l024.nf的=32,]〃=2,

S2（2〃一1）

，恁=2",S〃=2（2〃一1）,辦'=2_2L〃,故選B.

Cln乙

5.已知數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，函數(shù)y=loga（2x—1）+2過(guò)定點(diǎn)（的，〃2），為=log2斯，數(shù)

列｛為｝的前〃項(xiàng)和為s〃,則810=（）

A.44B.45

C.46D.50

解析：B???函數(shù)y=log，2x—1)+2過(guò)定點(diǎn)(1,2),??.s=l,z=2,???等比數(shù)列｛斯｝的

公比4=2,斯=2〃一I.?.兒=log2〃〃=〃-l,又?jǐn)?shù)列｛?！ǎ那啊?xiàng)和為則Sio=l°X2+9)

=45,故選B.

6.(多選)設(shè)等比數(shù)列｛詼｝的前〃項(xiàng)和為冬，且滿足期=8的，貝1()

A.數(shù)列｛詼｝的公比為2

B.數(shù)列｛為｝的公比為8

解析：AD因?yàn)榈缺葦?shù)列｛詼｝的前"項(xiàng)和為且滿足恁=8的，所以詈="3=8,解

得4=2,所以/=]=l+q'=9.故選A、D.

7.(多選)設(shè)｛斯｝是公比為2的等比數(shù)列，下列四個(gè)選項(xiàng)中是正確的命題有()

A.小是公比為與勺等比數(shù)列

B.伍2"｝是公比為4的等比數(shù)列

C.｛2〃｝是公比為4的等比數(shù)列

D.｛a〃a“+i｝是公比為2的等比數(shù)列

解析：AB由于數(shù)列｛斯｝是公比為2的等比數(shù)列，則對(duì)任意的“GN*,a?^0,且公比

口八+1

為q==2.

On

1

對(duì)于A選項(xiàng)，竿=0=：=*即數(shù)列是公比為J的等比數(shù)列，A選項(xiàng)正確;

1an+\q2[an)2

an

對(duì)于B選項(xiàng)，噎『2=4,即數(shù)列*2〃｝是公比為4的等比數(shù)列，B選項(xiàng)正確;

對(duì)于C選項(xiàng)，筌i=q=2,即數(shù)列｛2斯｝是公比為2的等比數(shù)列，C選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于D選項(xiàng),如上皿=%=q2=4,即數(shù)列｛°a+i｝是公比為4的等比數(shù)列，D選項(xiàng)

。八+14八

錯(cuò)誤.故選A、B.

8.實(shí)數(shù)10,機(jī)，n,f,40成等比數(shù)列，則機(jī)加=.

解析：因?yàn)閷?shí)數(shù)10,優(yōu)，40成等比數(shù)列，所以皿="2=400,因?yàn)椤?gt;0,所以〃=

20,所以〃W=8000.

答案：8000

9-.若數(shù)列｛a〃｝的首項(xiàng)ai=2,且斯+i=3a”+2(aGN*).令-=log3(a”+l),則仇+岳+

63HFZ?ioo~?

解析：由。喈］=3a”+2(〃dN*)可知a〃+i+l=3(a〃+l),因?yàn)閍i+l=3,所以數(shù)列｛呢+

1｝是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以詼+1=3",所以劣=log3(即+1)="因此加

,,,,100X(1+100)

+歷+人3+…+bioo=5=5050.

答案：5050

10.S”為等比數(shù)列｛?。那皫醉?xiàng)和，已知。4=9Z，8=13,且公比q>0.

⑴求斯及S”；

(2)是否存在常數(shù)九使得數(shù)列｛S.+儲(chǔ)是等比數(shù)列？若存在，求出入的值；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

ai/=9aiq,

解：(1)易知qWl,由題意可得〈曳匕"=13,解得m=l,q=3,

。0,

1-3〃3n-l

??=n1

an3,Sn~1一3一2

⑵假設(shè)存在常數(shù)九使得數(shù)歹I｛*+2｝是等比數(shù)列,

;Si+2=2+l,S2+A=2+4,53+4=2+13,

.,.(2+4)2=a+l)(2+13),解得;1=2,

115?+i+1呆3"+|

此時(shí)￡+5=5x3〃，貝U廠=-i=3,

X3

Sn+^2"

故存在常數(shù)4宗使得數(shù)列卜+3是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.

11.若數(shù)列｛。“｝滿足詼+1=3詼+2,則稱｛詼｝為“夢(mèng)想數(shù)列”，已知正項(xiàng)數(shù)歹!J，^一1｝為

“夢(mèng)想數(shù)列”，且加=2,則d=()

22

A-8lB-27

C』D1

J8u,4

解析：B若.一1｝為“夢(mèng)想數(shù)列”，則有￡—1=3值一1)+2,即十一1=a一1,

即誓且"=2,所以數(shù)列｛6〃｝是以2為首項(xiàng)，以W為公比的等比數(shù)列.則久=2義自3

2

=方，故選B.

12.《九章算術(shù)》中有述：今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺，莞生一日，長(zhǎng)一尺，蒲生日自半，

莞生日自倍.意思是：“今有蒲第一天長(zhǎng)高3尺，莞第一天長(zhǎng)高1尺，以后蒲每天長(zhǎng)高前一

天的一半，莞每天長(zhǎng)高前一天的2倍.”請(qǐng)問(wèn)當(dāng)莞長(zhǎng)高到長(zhǎng)度是蒲的5倍時(shí)，需要經(jīng)過(guò)的天

數(shù)是(結(jié)果精確到0.1.參考數(shù)據(jù)：1g2=0.30,1g3=0.48)()

A.2.9天B.3.9天

C.4.9天D.5.9天

解析：C設(shè)蒲的長(zhǎng)度構(gòu)成等比數(shù)列｛斯｝,其首項(xiàng)的=3,公比為求其前〃項(xiàng)和為莞

,、、30-

的長(zhǎng)度構(gòu)成等比數(shù)列｛為｝,其首項(xiàng)6=1,公比為2,其前〃項(xiàng)和為則4=-------j—,

1-2

2〃一1%1一列2〃一1io30

B〃=2_],由題意可得5Xj=2_]，解得2"=30或2"=1(舍去).n—log230—2

「1-2—

1g3+11.48“0興、-

=%萬(wàn)一24.9.故選C.

13.(多選)設(shè)等比數(shù)列｛詼｝的公比為q,其前見項(xiàng)和為S”前〃項(xiàng)積為G，并滿足條件

(11>1,02019a2020>1>一°"_|<0,下列結(jié)論正確的是()

。2020—1

A.S2019<S2020

B.〃2019〃2021—1<0

C.T2020是數(shù)歹!l｛T"｝中的最大值

D.數(shù)列｛〃｝無(wú)最大值

解析：AB當(dāng)q<0時(shí)，。2019。2020=〃3()194<0,此時(shí)〃2019〃2020>1不成立；當(dāng)鄉(xiāng)21時(shí)，

“2019>1,。2020>1,此時(shí)——7<。不成立；故。<4<1,且。2019>1,0<。2020<1,故$2020>S2019,

“2020—1

A正確；(2201902021—1—02020-1<0,故B正確；於019是數(shù)列｛4｝中的最大值，C、D錯(cuò)誤.故

選A、B.

14.已知數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，若數(shù)歹U｛3"—斯｝也是等比數(shù)列，則數(shù)列｛詼｝的通項(xiàng)公式

可以為.(寫出一個(gè)即可)

解析：設(shè)等比數(shù)列｛為｝的公比為4，：數(shù)歹1｛3"—詼｝也是等比數(shù)列，...(32—014)2=(3—

GI)(33—aiq"),化簡(jiǎn)得q2—6q+9=0,解得q=3,取的=1,則a”=3"L

答案：&=3「1(只要公比為3的數(shù)列即可)

15.在①陽(yáng)=17；②N+S2=4；③S=4SI這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的橫線

上，并解答相應(yīng)問(wèn)題.

已知數(shù)列｛SJ滿足S會(huì)0,且S〃+i=3S,+2.

(1)證明：數(shù)歹!I｛斗+1｝為等比數(shù)列；

(2)若,是否存在等比數(shù)列｛斯｝的前“項(xiàng)和為S”？若存在，求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

若不存在，說(shuō)明理由.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

解:(1)證明：數(shù)列｛SJ中，S.20,且S"+i=3S“+2,

所以5n+l+l=3(Sn+l),

所以數(shù)列｛8+1｝是公比為3的等比數(shù)列.

(2)選擇條件①，不存在.

因?yàn)?3=17,所以$3+1=18,

因?yàn)椋鸖.+1｝是公比為3的等比數(shù)列，所以(SI+1>32=18,

解得SI=1,所以S,+l=2X3"r,S?=2X3n-1-l.

,,-1

所以S,i+i=3S?+2=6X3-l,

斯+1=4義3”一1所以為=4-3「2(〃22),

因?yàn)?1=1,不符合上式，

所以數(shù)列｛詼｝不是等比數(shù)列，所以不存在.

選擇條件②，不存在.

因?yàn)椋鸖〃+l｝是公比為3的等比數(shù)列，所以S2+1=3(SI+1),

13

又SI+S2=4,得SI=1,所以Sz+l=]X3"-I

3—9

S〃=1X3〃—1一1,所以&+1=]乂3"一1一1,

所以斯+1=3",所以斯=3〃-1(幾22),

因?yàn)椤?=3，不符合上式,

所以數(shù)列｛““｝不是等比數(shù)列，所以不存在.

選擇條件③，存在.

因?yàn)椋鸖.+1｝是公比為3的等比數(shù)列，所以S2+1=3(S1+1),

又S2=4SI,得SI=2,所以S“+l=3",

S?=3n~l,所以S“+i=3X3”一1,

所以?！?1=2義3",所以斯=2乂3"-1(〃》2),

因?yàn)椋?1=2,符合上式，

所以數(shù)列｛詼｝是等比數(shù)列，所以存在，此時(shí)詼=2X3"』.

16.我國(guó)明代的數(shù)學(xué)家、音樂理論家朱載填創(chuàng)立了十二平均律是第一個(gè)利用數(shù)學(xué)使音律

公式化的人.十二平均律的生律法是精確規(guī)定八度的比例，把八度分成13個(gè)半音，使相鄰

兩個(gè)半音之間的頻率比是常數(shù)，如下表所示，其中的，。2,…，。13表示這些半音的頻率，

它們滿足1唯空12=1(=1,2,…，12).若某一半音與D#的頻率之比為名,則該半音為

()

頻率a\〃244"546。7〃9〃10awan〃13

c(A

半音CC*DD#EFF#GG#AA#B