人教A版2019必修第一冊專題2.2基本不等式【八大題型】(原卷版+解析)

專題2.2基本不等式【八大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1對基本不等式的理解】 1【題型2由基本不等式比較大小】 3【題型3利用基本不等式證明不等式】 4【題型4利用基本不等式求最值（無條件）】 6【題型5利用基本不等式求最值（有條件）】 7【題型6基本不等式的恒成立問題】 9【題型7基本不等式的有解問題】 11【題型8基本不等式的實際應用】 13【知識點1兩個不等式】1.兩個不等式不等式內(nèi)容等號成立條件重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)當且僅當“a=b”時取“=”基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a>0,b>0)當且僅當“a=b”時取“=”eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．基本不等式表明：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．溫馨提示：“當且僅當a＝b時，等號成立”是指若a≠b，則a2＋b2≠2ab，eq\r(ab)≠eq\f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2).【題型1對基本不等式的理解】【例1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）不等式（x-2y）+1x?2y≥2成立的前提條件為（

）A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y【變式1-1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）不等式a2+4A．a(chǎn)=4 B．a(chǎn)=2 C．a(chǎn)=?2 【變式1-2】（2022秋·河南焦作·高一?？茧A段練習）給出下列條件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0.其中能使ab+bA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-3】（2023·全國·校聯(lián)考三模）已知a>0，b>0，且a+b=1，則下列不等式不正確的是（

）A．a(chǎn)b≤14 C．1a+1【題型2由基本不等式比較大小】【例2】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知P＝a2＋4a2(a≠0)，Q＝b2－4b＋7(1＜b≤3)．則P、Q的大小關(guān)系為（A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q【變式2-1】（2023·全國·高三專題練習）若0<a<b，則下列不等式成立的是（

）A．a(chǎn)b<a<a+b2C．a(chǎn)<ab<a+b【變式2-2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知a、b為正實數(shù)，A=a+b2,A．G≤H≤A B．H≤G≤AC．G≤A≤H D．H≤A≤G【變式2-3】（2023秋·遼寧·高一遼河油田第二高級中學?？计谀┤?<a<1，0<b<1，且a≠b，則a+b，2ab，2ab，a2+A．a(chǎn)2+bC．2ab D．a(chǎn)+b【題型3利用基本不等式證明不等式】【例3】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知a>0，b>0，且a+b=1，求證：1+1【變式3-1】（2023秋·河南·高一校聯(lián)考期末）證明下列不等式，并討論等號成立的條件．(1)若0≤x≤1，則x1?(2)若ab≠0，則ba【變式3-2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知a，b，c均為正實數(shù).(1)求證：a+b+c≥ab(2)若a+b=1，求證：1+1【變式3-3】（2023秋·江西新余·高三統(tǒng)考期末）已知a>0，b>0，且a+b=2，證明.(1)a2(2)a【知識點2基本不等式與最值】1．基本不等式與最值已知x，y都是正數(shù)，(1)如果積xy等于定值P，那么當x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時，必須有：(1)x、y>0，(2)和(積)為定值，(3)存在取等號的條件．【題型4利用基本不等式求最值（無條件）】【例4】（2023春·廣東揭陽·高一統(tǒng)考期末）設x>0，則函數(shù)y=x2+x+25A．6 B．7 C．11 D．12【變式4-1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）函數(shù)y=2x+1x(x>0)A．2 B．22 C．3 【變式4-2】（2023春·河南信陽·高一統(tǒng)考期末）當x>a時，2x+8x?a的最小值為10，則a=（A．1 B．2 C．22 D．4【變式4-3】（2023春·湖南·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）已知0<x<4，則x4?x的最大值為（

A．12 B．1 C．2 【題型5利用基本不等式求最值（有條件）】【例5】（2023·重慶沙坪壩·重慶?？寄M預測）已知x>0,y>0,xy+2x?y=10，則x+y的最小值為（

）A．22?1 B．22 C．4【變式5-1】（2023春·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知4a2+b2A．34 B．32 C．5【變式5-2】（2023春·山西·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)a，b滿足a+2b=6，則1a+2+2A．78 B．C．910 D．【變式5-3】（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）已知a>0,b>0，則下列命題錯誤的是（

）A．若ab≤1，則1B．若a+b=4，則1aC．若a2+bD．若2a+b=1，則ab的最大值為2【題型6基本不等式的恒成立問題】【例6】（2023春·四川成都·高二?？茧A段練習）已知對?x∈0,+∞，不等式x>m?1x恒成立，則實數(shù)mA．1 B．2 C．3 D．不存在【變式6-1】（2023·高一課時練習）已知不等式x+y1x+ay≥9對任意正實數(shù)x，A．2 B．4 C．6 D．8【變式6-2】（2023春·黑龍江哈爾濱·高二?？茧A段練習）若正實數(shù)x,y滿足1x+4y=1，且不等式x+A．(?1,4) B．(?∞,?1)∪(4,+∞) C．(?4,1) D．(?∞,0)∪(3,+∞)【變式6-3】（2023春·重慶沙坪壩·高三校考階段練習）已知正數(shù)a，b滿足1a+1b=1，若不等式a+A．94 B．32 C．2 【題型7基本不等式的有解問題】【例7】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）若兩個正實數(shù)x，y滿足4x+y=xy且存在這樣的x，y使不等式x+y4<m2A．(?1,4) B．(?4,1) C．(?∞,?4)∪(1,+∞【變式7-1】（2023·全國·高三專題練習）已知x>0,y>0，且2x+1y=1，若2x+y<A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9）【變式7-2】（2023春·山東德州·高二德州市第一中學?？茧A段練習）已知正實數(shù)x，y滿足3x+y+xy?13=0，且t≥2y+x有解，則t的取值范圍是．【變式7-3】（2023·全國·高三專題練習）已知正數(shù)x，y滿足4x+9y=xy且x+y<m2?24m有解，則實數(shù)m【題型8基本不等式的實際應用】【例8】（2023·高一課時練習）某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為400平方米的三級污水處理池，平面圖如圖所示.已知處理池外圈建造單價為每米200元，中間兩條隔墻建造單價每米250元，池底建造單價為每平方米80元.（隔墻與池底的厚度忽略不計，且池無蓋）試設計處理池的長與寬，使總造價最低，并求出最低造價；

【變式8-1】（2023·全國·高一專題練習）如圖所示，有一批材料長為24m，如果用材料在一邊靠墻（墻足夠長）的地方圍成一塊矩形場地，中間用同樣的材料隔成兩個面積相等的矩形，那么圍成的矩形場地的最大面積是多少？【變式8-2】（2023春·廣東汕頭·高一統(tǒng)考期末）已知某公司計劃生產(chǎn)一批產(chǎn)品總共t萬件（0.5<t<1.5），其成本為61+1t2（萬元/萬件），其廣告宣傳總費用為(1)將該批產(chǎn)品的利潤y（萬元）表示為t的函數(shù)；(2)當廣告宣傳總費用為多少萬元時，該公司的利潤最大?最大利潤為多少萬元?【變式8-3】（2023秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）某學校要建造一個長方體形的體育館，其地面面積為240m2，體育館高5m(1)當前墻的長度為多少時，甲工程隊報價最低？(2)現(xiàn)有乙工程隊也參與該校的體育館建造競標，其給出的整體報價為12000+500a+1152x+a元(a>0)

專題2.2基本不等式【八大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1對基本不等式的理解】 1【題型2由基本不等式比較大小】 3【題型3利用基本不等式證明不等式】 4【題型4利用基本不等式求最值（無條件）】 6【題型5利用基本不等式求最值（有條件）】 7【題型6基本不等式的恒成立問題】 9【題型7基本不等式的有解問題】 11【題型8基本不等式的實際應用】 13【知識點1兩個不等式】1.兩個不等式不等式內(nèi)容等號成立條件重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)當且僅當“a=b”時取“=”基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a>0,b>0)當且僅當“a=b”時取“=”eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．基本不等式表明：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．溫馨提示：“當且僅當a＝b時，等號成立”是指若a≠b，則a2＋b2≠2ab，eq\r(ab)≠eq\f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2).【題型1對基本不等式的理解】【例1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）不等式（x-2y）+1x?2y≥2成立的前提條件為（

A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y【解題思路】由均值不等式成立的前提條件是“一正、二定，三相等”，結(jié)合此條件即可得解.【解答過程】解：由均值不等式的條件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提條件是各項均為正數(shù)，所以不等式x?2y+1x?2y≥2成立的前提條件為故選：B.【變式1-1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）不等式a2+4A．a(chǎn)=4 B．a(chǎn)=2 C．a(chǎn)=?2 【解題思路】利用基本不等式的取等條件即可求解.【解答過程】由基本不等式可知a2+4即a=±2故選：D.【變式1-2】（2022秋·河南焦作·高一校考階段練習）給出下列條件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0.其中能使ab+bA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解題思路】根據(jù)基本不等式可知，當ab+ba≥2成立時，則a【解答過程】由基本不等式可知，要使得ab+ba≥2成立，則a故選：C.【變式1-3】（2023·全國·校聯(lián)考三模）已知a>0，b>0，且a+b=1，則下列不等式不正確的是（

）A．a(chǎn)b≤14 C．1a+1【解題思路】根據(jù)基本不等式逐項判斷ABD，消元，化簡，結(jié)合不等式性質(zhì)判斷C.【解答過程】因為a>0，b>0，且a+b=1，由基本不等式可得ab≤a+b22由基本不等式知a+b2≤a即a2+b由題得1a由已知0<b<1，故1?b2∈故1a由基本不等式可得a+即a+b≤故選：D.【題型2由基本不等式比較大小】【例2】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知P＝a2＋4a2(a≠0)，Q＝b2－4b＋7(1＜b≤3)．則P、Q的大小關(guān)系為（A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q【解題思路】由基本不等式可得P≥4，通過配方結(jié)合1<b≤3可得Q≤4即可選得答案.【解答過程】P=a2+Q=b2?4b+7=所以P≥Q.故選：C.【變式2-1】（2023·全國·高三專題練習）若0<a<b，則下列不等式成立的是（

）A．a(chǎn)b<a<a+b2C．a(chǎn)<ab<a+b【解題思路】根據(jù)已知條件利用基本不等式直接得出ab<a+b2【解答過程】由已知0<a<b，利用基本不等式得出ab<因為0<a<b，則a2<ab<b所以a<ab<b，∴a<ab故選：C.【變式2-2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知a、b為正實數(shù)，A=a+b2,A．G≤H≤A B．H≤G≤AC．G≤A≤H D．H≤A≤G【解題思路】利用基本不等式計算出H≤G≤A.【解答過程】因為a、b為正實數(shù)，所以A=a+b2≥2H=1a+綜上：H≤G≤A.故選：B.【變式2-3】（2023秋·遼寧·高一遼河油田第二高級中學?？计谀┤?<a<1，0<b<1，且a≠b，則a+b，2ab，2ab，a2+A．a(chǎn)2+bC．2ab D．a(chǎn)+b【解題思路】首先利用均值不等式比較a2+b2與2ab的大小和【解答過程】∵0<a<1，0<b<1，且a≠b，∴a2+b2>2ab，∴a+b>a故選：D.【題型3利用基本不等式證明不等式】【例3】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知a>0，b>0，且a+b=1，求證：1+1【解題思路】利用a+b=1把1+1a1+【解答過程】因為a>0，b>0，a+b=1，所以1+1a≥5+22ba×2ab故原題得證.【變式3-1】（2023秋·河南·高一校聯(lián)考期末）證明下列不等式，并討論等號成立的條件．(1)若0≤x≤1，則x1?(2)若ab≠0，則ba【解題思路】（1）利用基本不等式即可證明；（2）討論ab>0和ab<0兩種情況，脫掉絕對值符號，結(jié)合基本不等式證明即可.【解答過程】（1）證明：因為0≤x≤1，所以0≤x≤1，所以x1?當且僅當x=1?x，即（2）證明：因為ab≠0，當ab>0時，ba當且僅當a=b≠0時等號成立．當ab<0時，ba當且僅當a=?b≠0時等號成立．綜上，若ab≠0，則ba+a【變式3-2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知a，b，c均為正實數(shù).(1)求證：a+b+c≥ab(2)若a+b=1，求證：1+1【解題思路】（1）利用基本不等式證明即可；（2）由1+1【解答過程】（1）因為a，b，c都是正數(shù)，所以a+b+c==ab+bc所以a+b+c≥ab（2）1+1當且僅當a=b=1∴1+1【變式3-3】（2023秋·江西新余·高三統(tǒng)考期末）已知a>0，b>0，且a+b=2，證明.(1)a2(2)a【解題思路】（1）首先將不等式左邊進行變形，利用公式2=a+b≥2ab（2）首先將不等式左邊變形為a2【解答過程】（1）a2因為a>0,b>0，2=a+b≥2ab，則0<ab≤1，則a2b所以a2（2）a=====而a2+b所以a3【知識點2基本不等式與最值】1．基本不等式與最值已知x，y都是正數(shù)，(1)如果積xy等于定值P，那么當x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時，必須有：(1)x、y>0，(2)和(積)為定值，(3)存在取等號的條件．【題型4利用基本不等式求最值（無條件）】【例4】（2023春·廣東揭陽·高一統(tǒng)考期末）設x>0，則函數(shù)y=x2+x+25A．6 B．7 C．11 D．12【解題思路】先化簡為y=x【解答過程】∵x>0，∴y=x當且僅當x=25x，即所以函數(shù)y=x2+x+25故選：C.【變式4-1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）函數(shù)y=2x+1x(x>0)A．2 B．22 C．3 【解題思路】直接根據(jù)基本不等式即可得結(jié)果.【解答過程】因為x>0，所以y=2x+1當且僅當2x=1x，即x=22時等號成立，即函數(shù)故選：B.【變式4-2】（2023春·河南信陽·高一統(tǒng)考期末）當x>a時，2x+8x?a的最小值為10，則a=（A．1 B．2 C．22 D．4【解題思路】應用基本不等式求解最小值,再根據(jù)最小值求參即可.【解答過程】當x>a時，2x+8即8+2a=10，故a=1.故選:A.【變式4-3】（2023春·湖南·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）已知0<x<4，則x4?x的最大值為（

A．12 B．1 C．2 【解題思路】利用基本不等式可求得x4?x【解答過程】因為0<x<4，則4?x>0，所以x4?x當且僅當x=4?x，即x=2時，等號成立，所以x4?x所以x4?x故選：D.【題型5利用基本不等式求最值（有條件）】【例5】（2023·重慶沙坪壩·重慶校考模擬預測）已知x>0,y>0,xy+2x?y=10，則x+y的最小值為（

）A．22?1 B．22 C．4【解題思路】用y表示x+y后，根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.【解答過程】因為x>0,y>0，由xy+2x?y=10，得x=y+10所以x+y=y+10y+2+y=當且僅當y=22故x+y的最小值為42故選：D.【變式5-1】（2023春·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知4a2+b2A．34 B．32 C．5【解題思路】根據(jù)基本不等式的變形形式直接求解.【解答過程】由題意得，6=4a2+當且僅當2a=b，即a=32,b=所以ab的最大值為32故選：B.【變式5-2】（2023春·山西·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)a，b滿足a+2b=6，則1a+2+2A．78 B．C．910 D．【解題思路】由a+2b=6，得到a+2+2b+2=10，再利用“1”的代換求解.【解答過程】解：因為a+2b=6，所以a+2+2b+2=10，所以1a+2當且僅當2b+2=2a+2，即a=43故選：C.【變式5-3】（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）已知a>0,b>0，則下列命題錯誤的是（

）A．若ab≤1，則1B．若a+b=4，則1aC．若a2+bD．若2a+b=1，則ab的最大值為2【解題思路】直接使用基本不等式即可判斷A，C，D；若a+b=4，則1a【解答過程】∵0<ab≤1，∴1ab≥1，∴若a+b=4，則1a當且僅當a=1,b=3時等號成立，故B正確；若a2+b2=4若2a+b=1，則1=2a+b≥22ab，即ab≤18故選：D.【題型6基本不等式的恒成立問題】【例6】（2023春·四川成都·高二?？茧A段練習）已知對?x∈0,+∞，不等式x>m?1x恒成立，則實數(shù)mA．1 B．2 C．3 D．不存在【解題思路】將已知轉(zhuǎn)化為對?x∈0,+∞，不等式m<x+1x【解答過程】對?x∈0,+∞，不等式x>m?1x利用基本不等式知x+1x≥2x?1∴x+1xmin=2故選：D.【變式6-1】（2023·高一課時練習）已知不等式x+y1x+ay≥9對任意正實數(shù)x，A．2 B．4 C．6 D．8【解題思路】由x+y1【解答過程】由已知可得若題中不等式恒成立，則只要x+y1∵x>0，y>0，a>0，∴x+y當且僅當xay=yx即∴a≥2或a≤?4(舍去)所以正實數(shù)a的最小值為4.故選：B.【變式6-2】（2023春·黑龍江哈爾濱·高二?？茧A段練習）若正實數(shù)x,y滿足1x+4y=1，且不等式x+A．(?1,4) B．(?∞,?1)∪(4,+∞) C．(?4,1) D．(?∞,0)∪(3,+∞)【解題思路】由1x+4y=1【解答過程】∵不等式x+y∴x+∵x>0，y>0，且1∴x+當且僅當4xy=y4x，即∴∴m2解得?1<m<4故實數(shù)m的取值范圍是(?1,4)故選：A.【變式6-3】（2023春·重慶沙坪壩·高三?？茧A段練習）已知正數(shù)a，b滿足1a+1b=1，若不等式a+A．94 B．32 C．2 【解題思路】結(jié)合條件，由a+b2+a2【解答過程】因為1a+1所以由a+b2+因為b2+a所以a+b2+a22+2故選：B．【題型7基本不等式的有解問題】【例7】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）若兩個正實數(shù)x，y滿足4x+y=xy且存在這樣的x，y使不等式x+y4<m2A．(?1,4) B．(?4,1) C．(?∞,?4)∪(1,+∞【解題思路】依題意可得4y+1x=1【解答過程】解：因為x>0，y>0且4x+y=xy，所以4y所以x+y當且僅當4xy=y所以m2+3m>4，即(m+4)(m?1)>0，解得m<?4或所以m的取值范圍是(?∞故選：C.【變式7-1】（2023·全國·高三專題練習）已知x>0,y>0，且2x+1y=1，若2x+y<A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9）【解題思路】由2x+y<m2?8m有解，可知只要m2?8m大于2x+y【解答過程】因為x>0,y>0，且2x所以2x+y=(2x+y)(2當且僅當2xy=2yx，即因為2x+y<m2?8m有解，所以m解得m<?1或m>9，故選：A.【變式7-2】（2023春·山東德州·高二德州市第一中學?？茧A段練習）已知正實數(shù)x，y滿足3x+y+xy?13=0，且t≥2y+x有解，則t的取值范圍是?7+82,+【解題思路】根據(jù)已知表示出y=13?3xx+1，若t≥2y+x有解，則t≥2y+x【解答過程】由題知，因為3x+y+xy?13=0，所以x+1y=13?3x，y=若t≥2y+x有解，則t≥2y+x因為x，y都是正數(shù)，所以2y+x==32當且僅當32x+1=x+1，即故t≥82故答案為：?7+82【變式7-3】（2023·全國·高三專題練習）已知正數(shù)x，y滿足4x+9y=xy且x+y<m2?24m有解，則實數(shù)m的取值范圍是【解題思路】不等式x+y<m2?24m【解答過程】由已知得：4yx+y=(x+y)(4當且僅當x=15,y=10時取等號；由題意：x+ymin即m2解得：m<?1或m>25，故答案為：(?∞,?1)∪(25,+∞).【題型8基本不等式的實際應用】【例8】（2023·高一課時練習）某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為400平方米的三級污水處理池，平面圖如圖所示.已知處理池外圈建造單價為每米200元，中間兩條隔墻建造單價每米250元，池底建造單價為每平方米80元.（隔墻與池底的厚度忽略不計，且池無蓋）試設計處理池的長與寬，使總造價最低，并求出最低造價；

【解題思路】設污水池的長為x米，總造價為y元，寬為400x米，得到函數(shù)y=200×【解答過程】設污水池的長為x米，總造價為y元，則寬為400xy=200×2x+當且僅當400x=360000x，即所以設計