高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)精講精練(新高考專用)第11講拓展四：導(dǎo)數(shù)中的隱零點(diǎn)問題(高頻精講)(原卷版+解析)

第11講拓展四：導(dǎo)數(shù)中的隱零點(diǎn)問題(精講）第一部分：知識點(diǎn)必背1、不含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問題已知不含參函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程的根存在，卻無法求出，設(shè)方程的根為，則有：①關(guān)系式成立；②注意確定的合適范圍.2、含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問題已知含參函數(shù)，其中為參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程的根存在，卻無法求出，設(shè)方程的根為，則有①有關(guān)系式成立，該關(guān)系式給出了的關(guān)系；②注意確定的合適范圍，往往和的范圍有關(guān).3、函數(shù)零點(diǎn)的存在性（1）函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)，使得.①若，則的零點(diǎn)不一定只有一個，可以有多個②若，那么在不一定有零點(diǎn)③若在有零點(diǎn)，則不一定必須異號(2)若在上是單調(diào)函數(shù)且連續(xù)，則在的零點(diǎn)唯一.第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過典型例題例題1．（2023春·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例題2．（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．(1)若時，函數(shù)有2個極值點(diǎn)，求的取值范圍；(2)若，，方程有幾個解？例題3．（2023·青海西寧·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)若，證明：存在唯一的極值點(diǎn).(2)若，求的取值范圍.例題4．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)．(1)設(shè)，求在上的最大值；(2)當(dāng)時，求證：．例題5．（2023秋·山東青島·高二青島二中校考期末）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，若，，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．練透核心考點(diǎn)1．（2023秋·浙江杭州·高二杭州高級中學(xué)校考期末）已知函數(shù)（k為常數(shù)，且）．(1)當(dāng)時，求在處的切線方程；(2)若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．2．（2023·貴州·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論在上的單調(diào)性．3．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)若，求的極小值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)當(dāng)時，恒成立，求的最大整數(shù)值．4．（2023秋·天津·高三統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，，，已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直．(1)求a的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)若對成立，求b的取值范圍．5．（2023春·寧夏·高三六盤山高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)若，求的極小值．(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)當(dāng)時，證明：有且只有個零點(diǎn)．第11講拓展四：導(dǎo)數(shù)中的隱零點(diǎn)問題(精講）第一部分：知識點(diǎn)必背1、不含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問題已知不含參函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程的根存在，卻無法求出，設(shè)方程的根為，則有：①關(guān)系式成立；②注意確定的合適范圍.2、含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問題已知含參函數(shù)，其中為參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程的根存在，卻無法求出，設(shè)方程的根為，則有①有關(guān)系式成立，該關(guān)系式給出了的關(guān)系；②注意確定的合適范圍，往往和的范圍有關(guān).3、函數(shù)零點(diǎn)的存在性（1）函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)，使得.①若，則的零點(diǎn)不一定只有一個，可以有多個②若，那么在不一定有零點(diǎn)③若在有零點(diǎn)，則不一定必須異號(2)若在上是單調(diào)函數(shù)且連續(xù)，則在的零點(diǎn)唯一.第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過典型例題例題1．（2023春·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減；(2).【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以，當(dāng)時，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時，另，得，當(dāng)時，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減；（2）若不等式恒成立，則有，即，化簡得，設(shè)函數(shù)，，，令得，即，所以存在，使得成立，所以，①，且，即，②，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，代入①②，可得，要使得恒成立，則即可，所以.例題2．（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．(1)若時，函數(shù)有2個極值點(diǎn)，求的取值范圍；(2)若，，方程有幾個解？【答案】(1)(2)兩個【詳解】（1）時，，，則方程有兩實(shí)根，即有兩實(shí)根．設(shè)，，則時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增，所以，且，時，，所以當(dāng)有兩個實(shí)根時，；（2）當(dāng)，時，設(shè)，則，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，．所以恰有一根，且，．當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，且，．所以有且僅有兩個實(shí)根，即方程有且僅有兩個實(shí)根．例題3．（2023·青海西寧·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)若，證明：存在唯一的極值點(diǎn).(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）當(dāng)時，，，因?yàn)楹瘮?shù)，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，，，所以在上存在唯一一個零點(diǎn)，且當(dāng)時，，時，，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，存在唯一的極值點(diǎn).（2），可以轉(zhuǎn)化為，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即或時，在上大于零，在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以或；當(dāng)時，，時，，所以在上存在一個零點(diǎn)，，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，，因?yàn)?，所以，，，則，所以成立；綜上可得，的取值范圍為.例題4．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)．(1)設(shè)，求在上的最大值；(2)當(dāng)時，求證：．【答案】(1)0；(2)證明見解析.（1）解：因?yàn)?，則，其中，令，則，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，所以，對任意的恒成立，且不恒為零，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，.（2）證明：因?yàn)?，則，令，則，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，，，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間上必有一個零點(diǎn)，且.所以.所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，，.對稱軸為，所以當(dāng)時，，所以，，綜上所述，當(dāng)時，.例題5．（2023秋·山東青島·高二青島二中?？计谀┮阎瘮?shù)，．(1)當(dāng)時，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，若，，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時，，，∵，∴切點(diǎn)為，∵，∴切線斜率，∴切線方程為（2），．當(dāng)時，，單調(diào)遞增，∴，．，，令，，∴在上單調(diào)遞增，且，，∴，使得，即，也即．令，，，顯然時，，單調(diào)遞增，∴，即．∵當(dāng)時，，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，，單調(diào)遞增，∴．∵，，都有，∴，得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．練透核心考點(diǎn)1．（2023秋·浙江杭州·高二杭州高級中學(xué)校考期末）已知函數(shù)（k為常數(shù)，且）．(1)當(dāng)時，求在處的切線方程；(2)若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時，，，所以，所以，所以在處的切線的斜率為，所以在處的切線方程為，即.（2）因?yàn)?，，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在極值，所以，使得，兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號，所以，即，，令，，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，對稱軸為，開口向上，所以在上單調(diào)遞增，所以，即,所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.2．（2023·貴州·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論在上的單調(diào)性．【答案】(1)(2)在上是減函數(shù)．【詳解】（1），∴，又，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即；（2）令，則在上遞減，且，，∴，使，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴在上遞增，在上遞減，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，顯然，等號不成立，故，∴在上是減函數(shù)．3．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)若，求的極小值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)當(dāng)時，恒成立，求的最大整數(shù)值．【答案】(1)(2)答案見解析(3)【詳解】（1）當(dāng)時，，的定義域?yàn)?，，所以在區(qū)間，，遞減；在區(qū)間，，遞增．所以當(dāng)時，取得極小值．（2）的定義域?yàn)?，．令，，?dāng)時，恒成立，所以即在上遞增．當(dāng)時，在區(qū)間，，即遞減；在區(qū)間，，即遞增．（3）當(dāng)時，，，由（2）知，在上遞增，，，所以存在使得，即．在區(qū)間，，遞減；在區(qū)間，，遞增．所以當(dāng)時，取得極小值也即是最小值為，∵，∴，所以．由恒成立，得，故的最大整數(shù)值為．4．（2023秋·天津·高三統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，，，已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直．(1)求a的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)若對成立，求b的取值范圍．【答案】(1)2(2)答案見解析(3)【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?/p>

，

由于直線的斜率為，.（2），，

①當(dāng)時，，在R上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，令有，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增.綜上所述：，的單調(diào)遞增區(qū)間為R，，的單調(diào)減區(qū)間為，的單調(diào)增區(qū)間為.（3）由恒成立，等價于，令（），，

①若時，，所以在上單調(diào)遞增，，即，滿足，②若時，則，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)趨近于0時，趨近于，不成立，故不滿足題意.

③若時，令，，，，，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，只需即可，，，令，，在上單調(diào)遞增，，時，，，，所以在上單調(diào)遞增，，即，

綜上：.5．（2023春·寧夏·高三六盤山高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)若，求的極小值．(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)當(dāng)時，證明：有且只有個零點(diǎn)．【答案】(1