作業(yè)04復數(shù)（7大題型鞏固提升練能力培優(yōu)練拓展突破練仿真考場練）

完成時間：月日天氣：作業(yè)04復數(shù)（7大題型鞏固提升練+能力培優(yōu)練+拓展突破練+仿真考場練）一、復數(shù)的概念1．復數(shù)的概念是掌握復數(shù)的基礎(chǔ)，如虛數(shù)、純虛數(shù)、復數(shù)相等、共軛復數(shù)等．有關(guān)復數(shù)的題目不同于實數(shù)，應(yīng)注意根據(jù)復數(shù)的相關(guān)概念解答．2.處理復數(shù)概念問題的兩個注意點(1)當復數(shù)不是a＋bi(a，b∈R)的形式時，要通過變形化為a＋bi的形式，以便確定其實部和虛部．(2)求解時，要注意實部和虛部本身對變量的要求，否則容易產(chǎn)生增根．二、復數(shù)的四則運算1．復數(shù)運算是本章的重要內(nèi)容，是高考考查的重點和熱點，每年高考都有考查，一般以復數(shù)的乘法和除法運算為主．2.進行復數(shù)代數(shù)運算的策略(1)復數(shù)代數(shù)形式的運算的基本思路就是應(yīng)用實數(shù)運算法則進行計算．①復數(shù)的加、減運算類似于實數(shù)中的多項式的加、減運算(合并同類項)．②復數(shù)的乘、除運算是復數(shù)運算的難點，在乘法運算中要注意i的冪的性質(zhì)，區(qū)分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2與(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；在除法運算中，關(guān)鍵是“分母實數(shù)化”(分子、分母同乘分母的共軛復數(shù))，此時要注意區(qū)分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2與(a＋b)(a－b)＝a2－b2.(2)復數(shù)的四則運算中含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可，但要注意把i的冪寫成最簡單的形式．(3)利用復數(shù)相等，可實現(xiàn)復數(shù)問題的實數(shù)化．三、復數(shù)的幾何意義1．復數(shù)運算與復數(shù)幾何意義的綜合是高考常見的考查題型，解答此類問題的關(guān)鍵是利用復數(shù)運算將復數(shù)化為代數(shù)形式，再利用復數(shù)的幾何意義解題．2.在復平面內(nèi)確定復數(shù)對應(yīng)的點的步驟(1)由復數(shù)確定有序?qū)崝?shù)對，即z＝a＋bi(a，b∈R)確定有序?qū)崝?shù)對(a，b)．(2)由有序?qū)崝?shù)對(a，b)確定復平面內(nèi)的點Z(a，b)．一．虛數(shù)單位i、復數(shù)（共2小題）1．（2023春?淮安期中）下列選項中哪些是正確的A． B．，的最大值為1 C． D．復數(shù)，可能為純虛數(shù)【分析】利用平面向量的加法運算判斷；求出三角函數(shù)的最大值判斷；利用二倍角公式求解判斷；由純虛數(shù)的定義判斷．【解答】解：對于，，故正確；對于，，其最大值為，故錯誤；對于，，故正確；對于，滿足的實數(shù)不存在，則復數(shù)，不可能為純虛數(shù)，故錯誤．故選：．【點評】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．（2023春?秦淮區(qū)校級期中）在復平面內(nèi)，下列說法正確的是A．若復數(shù)為虛數(shù)單位），則 B．若復數(shù)滿足，則 C．若復數(shù)，則為純虛數(shù)的充要條件是 D．若復數(shù)滿足，則復數(shù)對應(yīng)點的集合是以原點為圓心，以1為半徑的圓【分析】利用復數(shù)的運算法則、復數(shù)為實數(shù)或純虛數(shù)的充要條件、幾何意義即可判斷出正誤．【解答】解：．，因此正確；．令，由，，或，不正確；．復數(shù)，則為純虛數(shù)的充要條件是，，因此不正確；．復數(shù)滿足，則復數(shù)對應(yīng)點的集合是以原點為圓心，以1為半徑的圓，正確．故選：．【點評】本題考查了復數(shù)的運算法則、復數(shù)為實數(shù)或純虛數(shù)的充要條件、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．二．復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義（共4小題）3．（2024春?東海縣期中）復數(shù)與分別表示向量與，則表示向量的復數(shù)為A． B． C． D．【分析】直接由已知的復數(shù)得到其在復平面內(nèi)對應(yīng)向量的坐標可得答案．【解答】解：復數(shù)與分別表示向量與，，，，表示向量的復數(shù)為，故選：．【點評】本題考查了復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．4．（2024春?高郵市校級期中）若復數(shù)滿足，則在復平面內(nèi)復數(shù)對應(yīng)的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】先利用復數(shù)除法運算化簡，然后根據(jù)復數(shù)的幾何意義求解即可．【解答】解：由題意得，，則在復平面內(nèi)復數(shù)對應(yīng)的點是，位于第三象限．故選：．【點評】本題主要考查了復數(shù)的四則運算及復數(shù)幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024春?海安市校級期中）已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為，且滿足，為原點，，求的取值范圍，．【分析】設(shè)，則，由復數(shù)的幾何意義可知，點在以點為圓心，2為半徑的圓周上或圓內(nèi)，再結(jié)合平面向量數(shù)量積的幾何意義求解．【解答】解：設(shè)，則，設(shè)復平面內(nèi)一點，則有，即點在以點為圓心，2為半徑的圓周上或圓內(nèi)，設(shè)直線與圓交于，兩點，則，，而，表示在上的投影，由圖可知，，，，則，，，又因為，，，所以，即，所以的取值范圍為，．故答案為：，．【點評】本題主要考查了復數(shù)的幾何意義，考查了平面向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題．6．（2024春?泗陽縣校級月考）設(shè)復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，．（1）若是純虛數(shù)，求實數(shù)的值；（2）在復平面內(nèi)表示復數(shù)的點位于第四象限，求實數(shù)的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)實部為0，虛部不等于0列式求解可得；（2）根據(jù)實部大于0，虛部小于0，列不等式組求解可得．【解答】解：（1）若是純虛數(shù)，則，解得．（2）由題意知，解得，所以實數(shù)的取值范圍為．【點評】本題考查復數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．三．純虛數(shù)（共7小題）7．（2024春?江都區(qū)期中）若復數(shù)是純虛數(shù)，則．【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義求解．【解答】解：復數(shù)是純虛數(shù)，則．故答案為：．【點評】本題考查復數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題．8．（2023春?廣陵區(qū)校級期中）若復數(shù)為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實數(shù)．【分析】先化簡復數(shù)，再利用純虛數(shù)的定義，即可得到結(jié)論．【解答】解：由題意，，要使復數(shù)是純虛數(shù)，則有且，解得．故答案為：【點評】本題考查復數(shù)的化簡，考查純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．9．（2024春?廣陵區(qū)校級期中）復數(shù)，其中．（1）若復數(shù)為實數(shù)，求的值；（2）若復數(shù)為純虛數(shù)，求的值．【分析】（1）復數(shù)為實數(shù)，則，求解即可；（2）復數(shù)為純虛數(shù)，則，求解即可．【解答】解：（1）復數(shù)為實數(shù)，則，即或；（2）若復數(shù)為純虛數(shù)，則，解得．【點評】本題考查了復數(shù)的概念，屬基礎(chǔ)題．10．（2023春?無錫期中）根據(jù)要求完成下列問題：（1）已知復數(shù)名在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，，求；（2）復數(shù)為純虛數(shù)，求實數(shù)的值．【分析】（1）根據(jù)題意，得到且，求得，即可求解；（2）因為復數(shù)為純虛數(shù)，列出方程組，即可求得實數(shù)的值．【解答】解：（1）由復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，可得，又由，可得，解得，所以，所以復數(shù)．（2）因為復數(shù)為純虛數(shù)，則，解得，即求實數(shù)的值為．【點評】本題主要考查復數(shù)的幾何意義，以及純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．11．（2023春?灌云縣期中）已知復數(shù)，其中．（1）若為純虛數(shù)，求的值；（2）若在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，求的取值范圍．【分析】（1）由題知，解方程組即可得答案；（2）由題知，解不等式組即可得答案．【解答】解：（1）因為復數(shù)，為純虛數(shù)，所以，解得或，所以，當為純虛數(shù)時，或．（2）復數(shù)，在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，所以，解得或．故的取值范圍是，，．【點評】本題考查了純虛數(shù)的定義以及復數(shù)的幾何意義，是基礎(chǔ)題．12．（2023春?錫山區(qū)校級期末）已知復數(shù)，其中是正實數(shù)，是虛數(shù)單位．（1）如果為純虛數(shù)，求實數(shù)的值；（2）如果，是關(guān)于的方程的一個復根，求的值．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合復數(shù)的四則運算，以及純虛數(shù)的定義，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，先求出，再結(jié)合韋達定理，即可求解．【解答】解：（1），則為純虛數(shù)，故，解得；（2），則，故也是關(guān)于的方程的一個復根，故，解得，，故．【點評】本題主要考查復數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題．13．（2023春?新吳區(qū)校級期末）已知復數(shù)，，其中是虛數(shù)單位，．（1）若為純虛數(shù)，求的值；（2）若，求的虛部．【分析】（1）由復數(shù)，，求出，且為純虛數(shù)，得到實部為0，虛部不為0，即可求出的值．（2）由，將代入，求出，，然后化簡即可求出復數(shù)的虛部．【解答】解：（1）由復數(shù)，，則．為純虛數(shù)，且．則；（2）由，得，，解得，即，此時，，復數(shù)，復數(shù)的虛部為1．【點評】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查了復數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．四．復數(shù)的運算（共9小題）14．（2024春?阜寧縣期中）下列復數(shù)中，滿足方程的是A． B． C． D．【分析】直接解方程即可得到答案．【解答】解：，即，即，解得．故選：．【點評】本題考查復數(shù)的運算，是基礎(chǔ)題．15．（2024春?常州期中）在復平面內(nèi)，復數(shù)，對應(yīng)的兩個點關(guān)于虛軸對稱，已知，則A． B．2 C． D．【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算求解．【解答】解：由題意，，則．故選：．【點評】本題考查復數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題．16．（2024春?啟東市校級月考）已知，則集合，中元素的個數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)復數(shù)的乘方運算，化簡，即可得到答案．【解答】解：，，，，集合，中元素的個數(shù)為2個．故選：．【點評】本題考查復數(shù)的乘方運算等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．17．（2024春?鼓樓區(qū)校級期中）設(shè)為復數(shù)為虛數(shù)單位），下列命題正確的有A．若，則 B．若的共軛復數(shù)，則 C． D．在復平面內(nèi)，集合所構(gòu)成區(qū)域的面積為【分析】求解復數(shù)的模判斷；利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算判斷；由虛數(shù)單位的運算性質(zhì)判斷；由復數(shù)模的幾何意義判斷．【解答】解：由，得，則，故錯誤；由，得，故正確；，故正確；集合表示以為圓心，半徑為2的圓，故，故錯誤．故選：．【點評】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．18．（2024春?阜寧縣期中）已知為虛數(shù)單位，則．【分析】直接利用復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡得答案．【解答】解：．故答案為：．【點評】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎(chǔ)題．19．（2024春?宿遷期中）設(shè)復數(shù)，．（1）若是實數(shù)，求；（2）若是實數(shù)，求．【分析】（1）利用復數(shù)的加法及復數(shù)的分類求出，再利用復數(shù)乘法求解即得．（2）利用復數(shù)除法及復數(shù)的分類求出即得．【解答】解：（1）由，，得，而是實數(shù)，于是，解得，所以．（2）依題意，是實數(shù)，則，解得，故，．【點評】本題考查復數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題．20．（2024春?連云港期中）在復平面內(nèi)，復數(shù)對應(yīng)的點的坐標為，，且為純虛數(shù)是的共軛復數(shù)）．（1）求的值；（2）復數(shù)在復平面對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)的取值范圍．【分析】（1）結(jié)合復數(shù)的幾何意義，再利用復數(shù)的乘法化簡復數(shù)，由已知條件可求得實數(shù)的值；（2）利用復數(shù)的除法求，再結(jié)合復數(shù)的幾何意義求解．【解答】解：（1）由題意，復數(shù)，，則，為純虛數(shù)，，解得；的值為3；（2）復數(shù)，復數(shù)在復平面對應(yīng)的點在第一象限，，解得．實數(shù)的取值范圍為．【點評】本題考查了復數(shù)的運算，考查了復數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．21．（2024春?阜寧縣期中）已知復數(shù)和它的共軛復數(shù)滿足．（1）求；（2）若是關(guān)于的方程的一個根，求復數(shù)的模．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合共軛復數(shù)的定義，以及復數(shù)相等的條件，即可求解．（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合韋達定理，求出，，再結(jié)合復數(shù)的四則運算，即可求解．【解答】解：（1）設(shè)，則，，所以，解得，，故．（2）是關(guān)于的方程的一個根，是關(guān)于的方程的另一個根，，解得，，復數(shù)的模為．【點評】本題主要考查復數(shù)的四則運算，以及復數(shù)相等的條件，屬于基礎(chǔ)題．22．（2024春?徐州期中）已知復數(shù)，其中是實數(shù)，是虛數(shù)單位．（1）如果為純虛數(shù)，求實數(shù)的值；（2）如果，，求的值．【分析】（1）利用復數(shù)運算法則和純虛數(shù)的定義求解；（2）利用復數(shù)運算法則求解．【解答】解：（1）復數(shù)，其中是實數(shù)，是虛數(shù)單位．，為純虛數(shù)，，解得實數(shù)；（2），，，，，，，，．【點評】本題考查復數(shù)運算法則、純虛數(shù)的定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．五．共軛復數(shù)（共4小題）23．（2024春?鼓樓區(qū)校級期中）設(shè)為虛數(shù)單位），則的共軛復數(shù)A． B． C． D．【分析】先利用復數(shù)的四則運算求出，再結(jié)合共軛復數(shù)的概念求解．【解答】解：，所以．故選：．【點評】本題主要考查了復數(shù)的運算，考查了共軛復數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．24．（2023春?錫山區(qū)校級期中）已知復數(shù)滿足且，則的值為A． B． C． D．【分析】設(shè)，則，由題意得，則，分別計算其立方值，代入后即可求解．【解答】解：設(shè)，則，根據(jù)，得，根據(jù)，得，由，解得，故，，由于，同理得，因此得．故選：．【點評】本題考查了復數(shù)的運算，屬于中檔題．25．（2023春?新吳區(qū)校級月考）已知復數(shù)是方程的根是虛數(shù)單位，．（1）求；（2）設(shè)復數(shù)，是的共復數(shù)），且復數(shù)所對應(yīng)的點在第三象限，求實數(shù)的取值范圍．【分析】（1）將復數(shù)根代入方程中，根據(jù)復數(shù)相等即可求解，根據(jù)已知條件，結(jié)合復數(shù)的四則運算，對化簡，再結(jié)合復數(shù)的結(jié)合意義即可列不等式求解．【解答】解：（1）復數(shù)是方程的根，則，即，故，解得，，則；（2），則數(shù)，復數(shù)所對應(yīng)的點在第三象限，，解得，故的取值范圍為，．【點評】本題主要考查復數(shù)的四則運算，以及復數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．26．（2023春?如東縣期中）已知復數(shù)，，其中為虛數(shù)單位．（1）若復數(shù)為純虛數(shù)，求的值；（2）若，求的值．【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義，列出方程組即可求解．（2）根據(jù)共軛復數(shù)的概念，以及復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算，即可求解．【解答】解：（1）復數(shù)為純虛數(shù)，，解得或．（2）設(shè)，則，將其代入，可得，化簡得，，則，解得，或，或，或，解得．【點評】本題主要考查復數(shù)的運算法則，純虛數(shù)，共軛復數(shù)的定義，復數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．六．復數(shù)的模（共5小題）27．（2024春?廣陵區(qū)校級月考）復數(shù)滿足，則A． B． C． D．【分析】化簡復數(shù)，可求的模長．【解答】解：由題意，，則．故選：．【點評】本題考查復數(shù)的模長，屬于基礎(chǔ)題．28．（2024春?海門區(qū)校級期中）下列說法正確的是A．， B． C．若，，則的最小值為1 D．若是關(guān)于的方程的根，則【分析】結(jié)合復數(shù)模公式，復數(shù)的幾何意義，共軛復數(shù)的定義，以及韋達定理，即可求解．【解答】解：設(shè)，則，，故正確；，則，故錯誤；，，表示以為圓心，1為半徑的圓，表示該圓上的點到點的距離，故的最小值為1，故正確；是關(guān)于的方程的根，則也是關(guān)于的方程的根，故，解得，故正確．故選：．【點評】本題主要考查復數(shù)模公式，復數(shù)的幾何意義，共軛復數(shù)的定義，以及韋達定理，屬于基礎(chǔ)題．29．（2023春?天寧區(qū)校級期末）已知復數(shù)滿足，則的最大值是5．【分析】由復數(shù)模的幾何意義可知復數(shù)在以為圓心，以1為半徑的圓周上，所以的最大值是到的距離加上半徑1．【解答】解：由，可知復數(shù)在以為圓心，以1為半徑的圓周上，所以的最大值是到的距離加上半徑1，等于．故答案為5．【點評】本題考查了復數(shù)模的幾何意義，考查了復數(shù)模的求法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想，是基礎(chǔ)題．30．（2023春?常熟市期中）若是虛數(shù)單位，，則．【分析】根據(jù)復數(shù)的運算性質(zhì)與復數(shù)的模長公式計算即可．【解答】解：化簡原式，可得，所以，所以．故答案為：．【點評】本題主要考查了復數(shù)的運算，考查了復數(shù)的模長公式，屬于基礎(chǔ)題．31．（2023春?蘇州期中）下面給出的幾個關(guān)于復數(shù)的命題，①若是純虛數(shù)，則實數(shù)；②復數(shù)是純虛數(shù)；③復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限；④如果復數(shù)滿足，則的最小值是2．以上命題中，正確命題的序號是②③．【分析】根據(jù)純虛數(shù)的概念和復數(shù)的幾何意義逐個檢驗可得．【解答】解：因為為純虛數(shù)，所以且，解得，故①錯誤；因為，所以，所以是純虛數(shù)，故②正確；因為，，所以在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，故③正確；由復數(shù)的幾何意義知，表示復數(shù)對應(yīng)的點到點和到點的距離之和，又因為，所以復數(shù)對應(yīng)的點在線段上，而表示點到點的距離，所以其最小值為，故④錯誤．故答案為：②③．【點評】本題考查復數(shù)的概念及其運算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．七．復數(shù)的三角表示（共3小題）32．（2023春?秦淮區(qū)校級期中）任何一個復數(shù)（其中，，為虛數(shù)單位）都可以表示成（其中，的形式，通常稱之為復數(shù)的三角形式，法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，若復數(shù)為純虛數(shù)，則正整數(shù)的最小值為A．2 B．4 C．6 D．8【分析】由題意，根據(jù)棣莫弗定理，純虛數(shù)的定義，求得的最小值．【解答】解：復數(shù)為純虛數(shù)，，，，，根據(jù)，可得正整數(shù)的最小值為4，此時，，故選：．【點評】本題主要考查棣莫弗定理，純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．33．（2023春?鹽城期中）在二維直角坐標系中，一個位置向量的旋轉(zhuǎn)公式可以由三角函數(shù)的幾何意義推出．如：將向量繞坐標原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到向量，由，以為終邊的角為，則點，進而求得點，．借助復數(shù)、三角及向量的知識，可以研究平面上點及圖像的旋轉(zhuǎn)問題．請嘗試解答下列問題：（1）在直角坐標系中，已知點的坐標為，將繞坐標原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)至．求點的坐標；（2）設(shè)向量，把向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，求向量對應(yīng)的復數(shù)．【分析】（1）由已知點的坐標為，，，利用定義可得的坐標為，，化簡得答案；（2）設(shè)向量對應(yīng)的復數(shù)為，可得，再由復數(shù)代數(shù)形式的除法運算求解．【解答】解：（1）點的坐標為，，，，將繞坐標原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)至，則的坐標為，，，，點的坐標為；（2）設(shè)向量對應(yīng)的復數(shù)為，則，．【點評】本題考查復數(shù)的三角形式，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．34．（2024春?贛榆區(qū)期中）設(shè)為虛數(shù)，為實數(shù)．（1）求；（2）設(shè)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為，以軸的非負半軸為始邊，射線為終邊的角記為，求證：；（3）若，，求的最小值．【分析】設(shè)，化簡復數(shù)，（1）通過為實數(shù)，推出或，然后求解復數(shù)的模．（2）依題意，結(jié)合（1）知，．證明．（3）由（1）知，，化簡復數(shù)，求解復數(shù)的模，利用基本不等式轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：設(shè)，則．（1）因為為實數(shù)，所以，所以或，又為虛數(shù)，故，從而，所以．（2）證明：依題意，結(jié)合（1）知，．則．（3）由（1）知，，，則，因為，所以，所以，所以（當且僅當，即時，等號成立），所以的最小值為1．【點評】本題考查復數(shù)的計算，復數(shù)的模以及三角形式的應(yīng)用，是中檔題．一．多選題（共7小題）1．（2024春?江蘇月考）設(shè)，為復數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是A．若為虛數(shù)，則也為虛數(shù) B．若，則的最大值為 C． D．【分析】對于，由為虛數(shù)，得為虛數(shù)，從而可判斷，對于，由進行判斷，對于，設(shè)，，，，，然后分別求解進行判斷，對于，根據(jù)復數(shù)的向量表示及向量的不等式分析判斷．【解答】解：對于，因為為虛數(shù)，為實數(shù)，所以為虛數(shù)，所以也為虛數(shù)，所以正確，對于，當時，滿足，此時，所以錯誤，對于，設(shè)，，，，，則，，所以，，所以，所以正確，對于，設(shè)，確定的向量分別為，則由向量不等式得，所以恒成立，所以正確，故選：．【點評】本題考查復數(shù)的運算，屬于中檔題．2．（2024春?揚州月考）已知復數(shù)，，，下列說法正確的有A．若，則 B．若，則 C．若，則或 D．若，則【分析】直接根據(jù)復數(shù)的四則運算及模的性質(zhì)即可判斷各項的正誤．【解答】解：對于選項，設(shè)，，則，，所以由可得：，所以，故正確；對于選項，令，，則，故不正確；對于選項，因為，所以，所以或，故正確；對于選項，令，，則，故不正確．故選：．【點評】本題考查復數(shù)的模的性質(zhì)及四則運算，考查學生的邏輯思維能力和運算能力，屬中檔題．3．（2024春?如皋市月考）在復平面內(nèi)，，對應(yīng)的復數(shù)分別為，，且，則可能是A． B． C． D．【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義得出，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可得出所求的答案．【解答】解：因為，，且，所以，即，即，又因為，所以且或且，所以或．故選：．【點評】本題考查復數(shù)的概念及幾何意義，考查學生的數(shù)學運算能力，屬中檔題．4．（2024春?海陵區(qū)校級期中）已知復數(shù)，，以下四個說法中錯誤的是A．復數(shù)，不能比較大小 B．若，則 C． D．【分析】利用復數(shù)的定義，復數(shù)的四則運算，復數(shù)模的公式，驗證各選項是否正確．【解答】解：設(shè)，，對于，當時，復數(shù)，都是實數(shù)時，可以比較大小，選項錯誤；對于，，只需且，如，，不能得到，選項錯誤；對于，，，當時，不成立，選項錯誤；對于，而，選項正確．故選：．【點評】本題主要考查復數(shù)的運算，復數(shù)的模，考查運算求解能力，屬于中檔題．5．（2024春?徐州期中）已知復數(shù)，均不為0，則下列結(jié)論正確的是A． B． C．若，，則在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限 D．【分析】分別賦值和根據(jù)復數(shù)的幾何意義求出結(jié)果．【解答】解：與不一定相等，當時，，，故錯誤；共軛復數(shù)只有虛數(shù)部分正負號變化，所以相等，故正確；，在第二象限，故正確；，，則，故正確．故選：．【點評】本題考查集合的運算，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．6．（2024春?邗江區(qū)校級期中）已知復數(shù)，，下列說法正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若復數(shù)，不相等且，則在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在一條直線上【分析】直接利用復數(shù)的運算，復數(shù)的共軛，復數(shù)的幾何意義判斷、、、的結(jié)論．【解答】解：設(shè)復數(shù)，，，，，對于：若，故，故，，故，故正確；對于：若，所以，整理得，故，整理得，與不等價，故錯誤；對于：當，故，，即，；故，故成立，當，故，不一定，，所以當，不成立，故錯誤；對于：復數(shù)，不相等且，根據(jù)復數(shù)的幾何意義，在復數(shù)，的垂直平分線上，故正確．故選：．【點評】本題考查的知識點：復數(shù)的運算，復數(shù)的共軛，復數(shù)的幾何意義，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．7．（2024春?啟東市校級月考）復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為，原點為，為虛數(shù)單位，下列說法正確的是A．若，則 B．若，則 C．若是關(guān)于的方程的一個根，則 D．若，則點的集合所構(gòu)成的圖形的面積為【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則結(jié)合選項進行分析計算即可．【解答】解：對于，若，，滿足，但，，兩者不能用大、小于號連接，錯誤；對于，設(shè)，，則，正確；對于，由得，所以，，所以，正確；對于，點的集合所構(gòu)成的圖形為半徑為1和的同心圓所形成的圓環(huán)，面積為，正確．故選：．【點評】本題主要考查復數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，屬中檔題．二．填空題（共1小題）8．（2024春?玄武區(qū)校級月考）在復平面中，已知點、，復數(shù)、對應(yīng)的點分別為、，且滿足，，則的最大值為．【分析】由題意設(shè)，，，，由，得，求得，再由數(shù)量積的坐標運算結(jié)合三角函數(shù)求最值．【解答】解：由題意設(shè)，，，，由，得，整理得，，，，可得，，，則，的最大值為．故答案為：．【點評】本題考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查三角函數(shù)的恒等變換應(yīng)用，考查運算求解能力，是中檔題．三．解答題（共3小題）9．（2024春?海安市校級期中）求值：（1）；（2）；（3）．【分析】（1）由虛數(shù)單位的性質(zhì)計算可得答案；（2）由復數(shù)的乘法公式計算可得答案；（3）由復數(shù)的除法公式計算可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，；（2）；（3）．【點評】本題考查復數(shù)的計算，注意復數(shù)的四則運算法則，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024春?海安市校級月考）已知是復數(shù)，和均為實數(shù)，其中是虛數(shù)單位．（1）求復數(shù)的共軛復數(shù)；（2）記，若復數(shù)對應(yīng)的點在第三象限，求實數(shù)的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合復數(shù)的四則運算，共軛復數(shù)、實數(shù)的定義，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合復數(shù)的幾何意義，即可求解．【解答】解：（1）設(shè)，則，為實數(shù)，，解得，為實數(shù)，，解得，，；（2）由（1）可知，，復數(shù)對應(yīng)的點在第三象限，則，解得，故實數(shù)的取值范圍為，．【點評】本題主要考查復數(shù)的四則運算，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．11．（2024春?邗江區(qū)校級期中）已知：①任何一個復數(shù)都可以表示成的形式．其中是復數(shù)的模，是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線為終邊的角，叫做復數(shù)的輻角，叫做復數(shù)的三角形式．②被稱為歐拉公式，是復數(shù)的指數(shù)形式．③方程為正整數(shù)）有個不同的復數(shù)根．（1）設(shè)，求；（2）試求出所有滿足方程的復數(shù)的值所組成的集合；（3）復數(shù)，求．【分析】（1）利用歐拉公式及可求得；（2）設(shè)，依題意，可求得，，對賦值可求得復數(shù)的值所組成的集合；（3）依題意，可得的根為1，，，，分析可得，再令可求得答案．【解答】解：（1）由，則，則；（2）設(shè)，則，故，，，則當，1，2，3，4，5