微專題03集合?？?種新定義問題（22題）

微專題03集合?？?種新定義問題（22題）題型一集合的“新概念”題型題型二集合的“新運算”題型題型三集合的“新性質(zhì)”題型一、集合的新定義問題所謂集合“新定義”問題,是指在現(xiàn)有集合的定義,以及相關(guān)概念、運算法則的基礎上,定義一種新運算、新性質(zhì)、新元素等。下面淺析集合新定義問題的三種題型。1.集合的“新元素”題型集合的“新元素”題型,只需準確提取信息并加工利用,再結(jié)合集合元素的“互異性”,便可順利解決.2.集合的“新運算”題型集合中的新運算問題是通過創(chuàng)新給出有關(guān)集合的一個全新的運算規(guī)則．按照新的運算規(guī)則，結(jié)合數(shù)學中原有的運算和運算規(guī)則，通過相關(guān)的集合或其他知識進行計算或邏輯推理等，從而達到解答的目的．解決集合的新運算問題常分為三步:對新運算進行信息提取,確定化歸的方向;對新運算所提取的信息進行加工,探求解決方法;對新運算中提出的知識進行轉(zhuǎn)化,有效地輸出。其中對新運算信息的提取和轉(zhuǎn)化與化歸是解題的關(guān)鍵,也是解題的難點.3.集合的“新性質(zhì)”題型集合中的新性質(zhì)問題往往是通過創(chuàng)新集合中給定的定義與性質(zhì)衍生而來的．我們通過可以結(jié)合相應的集合概念、關(guān)系、運算等相關(guān)知識，利用相應的數(shù)學思想方法來解答有關(guān)的集合的新性質(zhì)問題．通過集合之間元素屬性的分析,結(jié)合題中引入相應的創(chuàng)新性質(zhì),確定所求集合的元素。二、解決集合新定義問題的著手點：（1）正確理解新定義：剝?nèi)バ露x、新法則、新運算的外表，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的集合知識．（2）合理利用集合性質(zhì)：運用集合的性質(zhì)（如元素的性質(zhì)、集合的運算性質(zhì)等）是破解新定義型集合問題的關(guān)鍵．（3）對于選擇題，可結(jié)合選項，通過驗證、排除、對比、特值法等進行求解或排除錯誤選項，當不滿足新定義的要求時，只需通過舉反例來說明．三、集合新定義問題處理步驟①找：要抓住新定義的本質(zhì)——新定義的要素，首先找出新定義有幾個要素，少一個都不是“新的定義”哦；然后找出要素分別是什么②看：看所求是什么？③代：將已知條件代入新定義的要素④解：結(jié)合數(shù)學知識進行解答題型一集合的“新概念”題型1.（2024·江蘇常州·高一?？茧A段練習）已知集合，，定義，則集合的所有真子集的個數(shù)為（

）A．32 B．31 C．30 D．29【答案】B【解析】集合，，定義，則，元素個數(shù)為5，故集合的所有真子集的個數(shù)為故選：B2.（2024·重慶九龍坡·高一重慶市育才中學校考期中）定義集合，若，，且集合有3個元素，則由實數(shù)所有取值組成的集合的非空真子集的個數(shù)為（

）A．2 B．6 C．14 D．15【答案】B【解析】因為，，，所以，又集合有3個元素，當時，即時，滿足題意，當時，即，（舍去）時，，不符合題意，當時，即時，滿足題意，當時，即，（舍去）時，，不符合題意.綜上，，故所構(gòu)成集合的非空真子集的個數(shù)為.故選：B3.（2024·河北衡水·高一?？茧A段練習）定義：差集且．現(xiàn)有兩個集合、，則陰影部分表示的集合是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】集合中陰影部分表示的集合為且集合中陰影部分元表示的集合為且，故整個陰影部分表示，故選：D.4.（2324高二下·福建·期末）定義為集合A中所有元素的乘積，規(guī)定：只有一個元素時，乘積即為該元素本身，已知集合，集合M的所有非空子集依次記為、、…、，則.【答案】215【分析】構(gòu)造函數(shù)，分析題意知，集合的所有子集的乘積之和即為展開式中所有項的系數(shù)之和減1.【詳解】設，則集合的所有子集的乘積之和即為展開式中所有項的系數(shù)之和減1，令，則展開式中所有項的系數(shù)之和為，所以.故答案為：.5.（2425高一上·上?！ふn堂例題）對于非負整數(shù)集合（非空），若對任意，都有，或者，則稱為一個好集合，以下記為的元素個數(shù)．(1)寫出兩個所有的元素均小于3的好集合；（給出結(jié)論即可）(2)設集合，，若集合為好集合，求出、、，所滿足的條件．（需說明理由）【答案】(1)，(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)好集合的新定義來確定元素；（2）根據(jù)滿足好集合的新定義來確定元素所滿足的特征.【詳解】（1），（2）由題意：，故，即，考慮、，可知，∴或．若，則考慮，，∵，∴，則，∴，但此時，不滿足題意；若，此時，滿足題意，∴，其中、為相異正整數(shù)．6.【多選】（2024高三下·全國·專題練習）大數(shù)據(jù)時代，需要對數(shù)據(jù)庫進行檢索，檢索過程中有時會出現(xiàn)笛卡爾積現(xiàn)象，而笛卡爾積會產(chǎn)生大量的數(shù)據(jù)，對內(nèi)存、計算資源都會產(chǎn)生巨大壓力，為優(yōu)化檢索軟件，編程人員需要了解笛卡爾積.兩個集合和，用中元素為第一元素，中元素為第二元素構(gòu)成有序?qū)?，所有這樣的有序?qū)M成的集合叫作與的笛卡兒積，又稱直積，記為.即且.關(guān)于任意非空集合，下列說法錯誤的是（

）A． B．C．ü D．【答案】ABC【分析】對于ABC，舉例分析判斷，對于D，利用直積的定義分析判斷即可.【詳解】對于A，若，則，A錯誤；對于B，若，則，而，B錯誤；對于C，若，則，，，，C錯誤；對于D，任取元素，則且，則且，于是且，即，反之若任取元素，則且，因此且，即且，所以，即，D正確.故選：ABC7.（2024·廣西·模擬預測）已知集合，，，若，，或，則稱集合A具有“包容”性．(1)判斷集合和集合是否具有“包容”性；(2)若集合具有“包容”性，求的值；(3)若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64個，，試確定集合C．【答案】(1)集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性(2)1(3)，，，或．【分析】（1）根據(jù)“包容”性的定義，逐一判斷即可；（2）根據(jù)“包容”性的定義，能得到，分類討論，得出a和b的值，即可得出結(jié)果；（3）由集合C的子集有64個，推出集合C中共有6個元素，且，再由條件，推出集合中有正數(shù)也有負數(shù)，將這幾個元素設出來，再通過對正數(shù)負數(shù)個數(shù)的討論，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）（Ⅰ）集合中的，，所以集合不具有“包容”性．集合中的任何兩個相同或不同的元素，相加或相減，得到的兩數(shù)中至少有一個屬于集合，所以集合具有“包容”性．（2）（Ⅱ）已知集合具有“包容”性，記，則，易得，從而必有，不妨令，則，且，則，且，①當時，若，得，此時具有包容性；若，得，舍去；若，無解；②當時，則，由且，可知b無解，故．綜上，．（3）（Ⅲ）因為集合C的子集有64個，所以集合C中共有6個元素，且，又，且C中既有正數(shù)也有負數(shù)，不妨設，其中，，，根據(jù)題意，且，從而或．①當時，，并且由，得，由，得，由上可得，并且，綜上可知；②當時，同理可得．綜上，C中有6個元素，且時，符合條件的集合C有5個，分別是，，，或．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題是新定義題型，對于此類問題，要先弄清楚新定義的性質(zhì)，按照其要求，嚴格“照章辦事”，逐條分析驗證。此題中，確定出后，分類討論滿足定義的幾種情況，就能順利地完成.題型二集合的“新運算”題型8.（2324高一上·福建龍巖·階段練習）定義集合運算，若，則集合的子集個數(shù)為（）A．14 B．0 C．31 D．32【答案】D【分析】列舉出滿足條件的元素a，b并求出其和，據(jù)互異性，即可得出新集合的元素個數(shù)，進一步求出其子集個數(shù).【詳解】因為，且，所以，可知集合中共有5個元素，所以集合的所有子集的個數(shù)為.故選：D.9.（2024·山東青島·高一山東省青島第五十八中學?？茧A段練習）已知集合，，定義集合A、B間的運算，則集合（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為集合，，所以，所以.故選：D10.（2024·山東日照·高一日照一中?？茧A段練習）定義集合運算：.若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，所以，．故選：C．11.（2024·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習）定義集合運算：.若集合，則集合的子集個數(shù)為（

）A．2 B．16 C．32 D．64【答案】D【解析】因為，所以.因為，所以.故的子集個數(shù)為.故選：D.12.（2024·浙江杭州·高一杭州外國語學校校考期中）已知集合，集合，定義、間的運算且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)集合新定義可得結(jié)果.因為集合，集合，所以.故選：B13.（2024·河南安陽·高一湯陰縣第一中學?？茧A段練習）定義集合運算：．若集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵，∴，令或3，或3，則或或，則，因為，故．故選：D.14.（2024·遼寧大連·高一大連八中?？茧A段練習）對于集合、，定義集合運算且，給出下列三個結(jié)論：（1）；（2）；（3）若，則；則其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）【答案】D【解析】如圖：若，不具有包含關(guān)系，由韋恩圖分別表示集合，，，若，具有包含關(guān)系，不妨設是的真子集，對于（1）:圖中，，圖中，所以，故（1）正確；對于（2）：圖中，成立，圖中，，，所以成立，故（2）正確；對于（3）：若，則；故（3）正確；所以其中所有正確結(jié)論的序號是（1）（2）（3），故選：D.15.（2024高二·全國·專題練習）設集合，定義與的一個運算“”為：，其中．(1)試舉出兩組集合M、N，分別計算；(2)對上述集合M、N，計算，由此你可以得到什么一般性的結(jié)論？(3)舉例說明與之間的關(guān)系．【答案】(1)答案見解析(2)(3)，答案見解析.【分析】（1）先舉出兩組滿足題意的集合M、N；再根據(jù)題目中定義的運算即可得出答案.（2）先根據(jù)題目中定義的運算計算；再結(jié)合（1）的結(jié)果即可得出；最后根據(jù)題目中的集合M、N及定義的運算即可得出一般結(jié)論.（3）先舉出三組滿足題意的集合，再根據(jù)題目中定義的運算即可得出答案.【詳解】（1）不妨設，則；或設，則等．（2）對，則；對，則．由（1）知，.由此猜測，對任意集合，總有．證明如下：對任意，有，其中；又，則．于是．對任意，有，其中；又，則．于是．因此.（3）設，則，于是；又，于是．因此．16.（2024·上海浦東新·高一上海南匯中學?？茧A段練習）非空集合關(guān)于運算滿足：（1）對任意，都有；（2）存在使對一切都有，則稱是關(guān)于運算的融洽集；現(xiàn)有下列集合及運算：①是非負整數(shù)集，：實數(shù)的加法；②是非負整數(shù)集，：實數(shù)的乘法；③，：實數(shù)的乘法；其中為融洽集的個數(shù)是（

）.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】對于①：對于任意非負整數(shù)，則仍為非負整數(shù)，即；取，則，故①為融洽集；對于②：對于任意非負整數(shù)，則仍為非負整數(shù)，即；取，則，故②為融洽集；對于③：設，，則，即；滿足；取，則，滿足，故③為融洽集；所以融洽集的個數(shù)是個，故選：D題型三集合的“新性質(zhì)”題型17.（2024·陜西西安·高一長安一中?？茧A段練習）若集合A具有以下性質(zhì)：(Ⅰ)0∈A,1∈A；(Ⅱ)若x∈A，y∈A，則x－y∈A，且x≠0時，∈A．則稱集合A是“好集”．下列命題正確的個數(shù)是()(1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”；(2)有理數(shù)集Q是“好集”；(3)設集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，則x＋y∈A．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】(1)集合B不是“好集”，假設集合B是“好集”，因為當－1∈B,1∈B，－1－1＝－2?B，這與－2∈B矛盾．(2)有理數(shù)集Q是“好集”，因為0∈Q,1∈Q，對任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0時，∈Q，所以有理數(shù)集Q是“好集”．(3)因為集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，則0－y∈A，即－y∈A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A.18.（2024·江西贛州·高一?？茧A段練習）若數(shù)集具有性質(zhì)P：對任意的，，與中至少有一個屬于，則稱集合為“權(quán)集”，則（

）A．為“權(quán)集” B．為“權(quán)集”C．“權(quán)集”中元素可以有0 D．“權(quán)集”中一定有1【答案】B【解析】因為與均不屬于數(shù)集，所以A錯誤；因為，，，，，都屬于數(shù)集，所以B正確；由“權(quán)集”的定義可知不能有0，所以C錯誤；易知是“權(quán)集”，所以“權(quán)集”中不一定有1，故D錯誤.故選：B.19.（2024·北京·高一北京十五中?？计谥校┰O是非空數(shù)集，若對任意，都有、，則稱具有性質(zhì)，給出以下命題：①若具有性質(zhì)，則可以是有限集；②若具有性質(zhì)，且，則具有性質(zhì)；③若、具有性質(zhì)，且，則具有性質(zhì)；④若、具有性質(zhì)，則具有性質(zhì).其中所有真命題的序號是.【答案】①③【解析】對于①，取集合具有性質(zhì)P，故A可以是有限集，故①正確；對于②，若A具有性質(zhì)P，且，假設也具有性質(zhì)P，設，在中任取一個，此時可證得，否則若，由于也具有性質(zhì)P，則，與矛盾，故，由于A具有性質(zhì)P，也具有性質(zhì)P，所以，而，這與矛盾，故當且A具有性質(zhì)P時，則不具有性質(zhì)P，同理當時，也可以類似推出矛盾，故②錯誤.對于③，取，則，，，，又具有性質(zhì)P，，，，所以具有性質(zhì)P，故③正確；對于④，取，，，，但，故④錯誤；故答案為：①③20.（2024·北京·高一首都師范大學附屬中學校考階段練習）設A是非空數(shù)集，若對任意，都有，則稱A具有性質(zhì)P.給出以下命題：①若A具有性質(zhì)P，則A可以是有限集；②若具有性質(zhì)P，且，則具有性質(zhì)P；③若具有性質(zhì)P，則具有性質(zhì)P；④若A具有性質(zhì)P，且，則不具有性質(zhì)P.其中所有真命題的序號是.【答案】①②④【解析】對于①，取集合具有性質(zhì)P，故A可以是有限集，故①正確；對于②，取，則，，，，又具有性質(zhì)P，，，，所以具有性質(zhì)P，故②正確；對于③，取，，，，但，故③錯誤；對于④，若A具有性質(zhì)P，且，假設也具有性質(zhì)P，設，在中任取一個，此時可證得，否則若，由于也具有性質(zhì)P，則，與矛盾，故，由于A具有性質(zhì)P，也具有性質(zhì)P，所以，而，這與矛盾，故當且A具有性質(zhì)P時，則不具有性質(zhì)P，同理當時，也可以類似推出矛盾，故④正確.故答案為：①②④21.（2324高二下·云南昆明·期中）設是非空實數(shù)集，且.若對于任意的，都有，則稱集合具有性質(zhì)；若對于任意的，都有，則稱集合具有性質(zhì).(1)寫出一個恰含有兩個元素且具有性質(zhì)的集合，并證明；(2)若非空實數(shù)集具有性質(zhì)，求證：集合具有性質(zhì)；(3)設全集，是否存在具有性質(zhì)的非空實數(shù)集，使得集合具有性質(zhì)？若存在，寫出這樣的一個集合；若不存在，說明理由.【答案】(1)，證明見解析(2)證明見解析(3)不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意直接寫出根據(jù)定義證明即可；（2）根據(jù)性質(zhì)可知，分別說明集合中元素為1個、2個、大于2個時，集合中元素滿足性質(zhì)即可；（3）令集合，設，可得，令，且，①，，這與矛盾；②，得，因此，這與矛盾綜上可得到結(jié)論．【詳解】（1）恰含有兩個元素且具有性質(zhì)的集合；證明：；（2）若集合具有性質(zhì)，不妨設，由非空數(shù)集具有性質(zhì)，有.①，易知此時集合具有性質(zhì).②數(shù)集只含有兩個元素，不妨設，由，且，解得：，此時集合具有性質(zhì).③實數(shù)集含有兩個以上的元素，不妨設不為1的元素，則有，由于集合具有性質(zhì)，所以有，這說明集合具有性質(zhì)；（3）不存在具有性質(zhì)的非空實數(shù)集，使得集合具有性質(zhì)，由于非空實數(shù)集具有性質(zhì)，令集合，依題意不妨設，因為集合具有性質(zhì)，所以，若，則，因為非空實數(shù)集具有性質(zhì)，故，這與矛盾，故集合不是單元素集，令，且，①，可得，即，這與矛盾；②，由于，所以，因此，這與矛盾綜上可得：不存在具有性質(zhì)的非空實數(shù)集，使得集合具有性質(zhì).【點睛】方法點睛：集合新定義問題，命題新穎，且存在知識點交叉，常常會和函數(shù)的性質(zhì)，包括單調(diào)性，值域等進行結(jié)合，很好的考慮了知識遷移，邏輯推理，綜合運用能力，對于此類問題，一定要解讀出題干中的信息，正確理解問題的本質(zhì)，轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來進行解決.22.（2024·廣東·模擬預測）已知集合中含有三個元素，同時滿足①；②；③為偶數(shù)，那么稱集合具有性質(zhì).已知集合，對于集合的非空子集，若中存在三個互不相同的元素，使得均屬于，則稱集合是集合的“期待子集”.(1)試判斷集合是否