第一章集合與常用邏輯用語（10類題型清單）

第一章集合與常用邏輯用語知識歸納與題型突破（題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識速記知識點(diǎn)01：集合的含義一般地,我們把研究對象統(tǒng)稱為元素,通常用小寫拉丁字母,,,…表示.把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集),通常用大寫拉丁字母,,,…表示集合.

1元素與集合的關(guān)系(1)屬于(belongto)：如果是集合的元素，就說屬于，記作.(2)不屬于(notbelongto)：如果不是集合的元素，就說不屬于，記作.2集合元素的三大特性（1）確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的，也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了，我們把這個性質(zhì)稱為集合元素的確定性.（2）互異性（考試?？继攸c(diǎn)，注意檢驗集合的互異性）：一個給定集合中元素是互不相同的，也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的，我們把這個性質(zhì)稱為集合元素的互異性.（3）無序性：集合中的元素是沒有固定順序的，也就是說，集合中的元素沒有前后之分，我們把這個性質(zhì)稱為集合元素的無序性.知識點(diǎn)02：集合的表示方法與分類1常用數(shù)集及其符號常用數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集數(shù)學(xué)符合或2集合的表示方法（1）自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问矫枋黾系姆椒ń凶鲎匀徽Z言法（2）列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法．注用列舉法表示集合時注意：（3）描述法定義：一般地，設(shè)表示一個集合，把集合中所有具有共同特征的元素所組成的集合表示為，這種表示集合的方法稱為描述法．有時也用冒號或分號代替豎線．具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．（4）（韋恩圖法）：在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖形稱為圖。知識點(diǎn)03：圖（韋恩圖）在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖形稱為圖。圖和數(shù)軸一樣，都是用來解決集合問題的直觀的工具。利用圖，可以使問題簡單明了地得到解決。對圖的理解(1)表示集合的圖的邊界是封閉曲線,它可以是圓、橢圓、矩形,也可以是其他封閉曲線.(2)用圖表示集合的優(yōu)點(diǎn)是能夠呈現(xiàn)清晰的視覺形象,即能夠直觀地表示集合之間的關(guān)系,缺點(diǎn)是集合元素的公共特征不明顯.知識點(diǎn)04：子集1子集：一般地，對于兩個集合，，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集（1）記法與讀法：記作(或)，讀作“含于”(或“包含”)（2）性質(zhì)：①任何一個集合是它本身的子集，即.②對于集合，，，若，且，則（3）圖表示：2集合與集合的關(guān)系與元素與集合關(guān)系的區(qū)別符號“”表示集合與集合之間的包含關(guān)系,而符號“”表示元素與集合之間的從屬關(guān)系.知識點(diǎn)05：集合相等一般地,如果集合的任何一個元素都是集合的元素,同時集合的任何一個元素都是集合的元素,那么集合與集合相等,記作.也就是說,若,且,則.

（1）的圖表示（2）若兩集合相等，則兩集合所含元素完全相同，與元素排列順序無關(guān)知識點(diǎn)06：真子集的含義如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集;（1）記法與讀法：記作，讀作“真包含于”(或“真包含”)（2）性質(zhì)：①任何一個集合都不是是它本身的真子集.②對于集合，，，若，且，則（3）圖表示：知識點(diǎn)07：空集的含義我們把不含任何元素的集合，叫做空集，記作：規(guī)定：空集是任何集合的子集，即;性質(zhì)：①空集只有一個子集，即它的本身，(2)，則和和和相同點(diǎn)都表示無都是集合都是集合不同點(diǎn)表示集合；是實數(shù)不含任何元素含有一個元素不含任何元素含有一個元素，該元素為：關(guān)系或者知識點(diǎn)08：并集一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合稱為集合與集合的并集，記作（讀作：并）.記作：.并集的性質(zhì)：,,,,.高頻性質(zhì)：若.圖形語言知識點(diǎn)09：交集一般地，由既屬于集合又屬于集合的所有元素組成的集合即由集合和集合的相同元素組成的集合，稱為集合與集合的交集，記作（讀作：交）.記作：.交集的性質(zhì)：,,,,.高頻性質(zhì)：若.圖形語言知識點(diǎn)10：全集與補(bǔ)集全集：在研究某些集合的時候，它們往往是某個給定集合的子集，這個給定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的這些集合.補(bǔ)集：設(shè)是全集，是的一個子集（即）,則由中所有不屬于集合的元素組成的集合，叫做中子集的補(bǔ)集，記作，即.補(bǔ)集的性質(zhì)：,,.知識點(diǎn)11：充分條件與必要條件一般地,“若,則”為真命題,就說是的充分條件,是的必要條件.記作：在邏輯推理中“”的幾種說法(1)“如果,那么”為真命題.(2)是的充分條件.(3)是的必要條件.(4)的必要條件是.(5)的充分條件是.這五種說法表示的邏輯關(guān)系是一樣的,說法不同而已.知識點(diǎn)12：充分條件、必要條件與充要條件的概念（1）若，則是的充分條件，是的必要條件；（2）若且，則是的充分不必要條件；（3）若且，則是的必要不充分條件；（4）若，則是的充要條件；（5）若且，則是的既不充分也不必要條件.知識點(diǎn)13：全稱量詞命題和存在量詞命題的否定1全稱量詞命題及其否定（高頻考點(diǎn)）①全稱量詞命題：對中的任意一個，有成立；數(shù)學(xué)語言：.②全稱量詞命題的否定：.2存在量詞命題及其否定（高頻考點(diǎn)）①存在量詞命題：存在中的元素，有成立；數(shù)學(xué)語言：.②存在量詞命題的否定：.0303題型歸納題型一集合的表示方法例題1．（2324高一上·江蘇淮安·開學(xué)考試）若，，用列舉法表示．【答案】【分析】由集合的性質(zhì)求解即可.【詳解】因為，，所以.故答案為：例題2．（2324高一上·河南商丘·階段練習(xí)）已知集合，，則集合B中的元素個數(shù)為．【答案】13【分析】由題列舉出集合B，即得.【詳解】將x，y及的值列表如下，去掉重復(fù)的值，可知集合中的元素個數(shù)為13．1234611234621233124161故答案為：13例題3．（2324高一上·上海楊浦·期中）用列舉法表示集合．【答案】【分析】對整數(shù)取值，并使為正整數(shù)，這樣即可找到所有滿足條件的值，從而用列舉法表示出集合．【詳解】因為且所以可以取，2，3，4.所以故答案為：【點(diǎn)睛】考查描述法、列舉法表示集合的定義，清楚表示整數(shù)集，屬于基礎(chǔ)題.鞏固訓(xùn)練1．（2324高一上·上海楊浦·階段練習(xí)）用列舉法表示集合【答案】【分析】由集合的描述法可知集合所含元素.【詳解】因為，所以，又，所以故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的描述法，屬于中檔題.2．（2324高一上·廣東廣州·期中）用列舉法表示集合＝．【答案】{－11，－6，－3，－2，0，1，4，9}.【分析】利用題目條件，依次代入，使，從而確定出的值，即可得到答案【詳解】，為的因數(shù)則則答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的表示法，理清題意，找出滿足條件的因數(shù)是關(guān)鍵，考查了學(xué)生分析問題解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（2324高一·全國·課后作業(yè)）用另一種形式表示集合.（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)描述法轉(zhuǎn)為列舉法時，首先確定集合是有哪些元素組成的，然后將所有元素寫在花括號內(nèi)；(2)列舉法轉(zhuǎn)為描述法時，首先明確集合中元素的公共屬性，即把握住集合中元素滿足什么條件.【詳解】（1）要使是整數(shù)，則必是6的約數(shù)，當(dāng)時，是6的約數(shù)，∴.（2）.【點(diǎn)睛】本題考查集合的表示方法，屬于基礎(chǔ)題.題型二根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)例題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）若，則的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合元素與集合的關(guān)系計算即可得.【詳解】當(dāng)時，，不滿足集合中元素的互異性，舍去；當(dāng)時，則，符合題意，當(dāng)時，有或，已知當(dāng)時符合題意，當(dāng)時，則，符合題意，故的取值集合為.故選：C.例題2．（2324高一上·浙江寧波·期中）已知集合，若，則實數(shù)a的值為．【答案】或0【分析】根據(jù)元素與集合關(guān)系列式求解，利用元素的互異性進(jìn)行驗證.【詳解】由題意，，若，此時，符合題意；若，則，此時，不符合題意；若，則或，時，，不符合題意；時，，符合題意，綜上，或.故答案為：或0.例題3．（2324高一上·四川達(dá)州·期中）設(shè)關(guān)于的不等式的解集為，若且，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)已知條件列不等式組，由此求得的取值范圍.【詳解】依題意，解得.故答案為：鞏固訓(xùn)練1．（2324高一上·湖北孝感·期中）已知集合，且，則（

）A． B．或 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系可得出關(guān)于的等式，結(jié)合集合元素滿足互異性可求得實數(shù)的值.【詳解】因為集合，且，所以，或，解得或，當(dāng)時，，集合中的元素不滿足互異性；當(dāng)時，，符合題意．綜上，．故選：D．2．（2324高一上·天津南開·期中）設(shè)集合，若，則．【答案】/【分析】依題意可得或，求出的值，再檢驗即可.【詳解】因為且，所以或，解得或，當(dāng)時，不滿足集合元素的互異性，故舍去；當(dāng)時，符合題意.故答案為：3．（2324高一上·北京·期中）不等式的解集為A，若，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)，得到，求出答案.【詳解】由題意得，解得，故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：題型三根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)例題1．（多選）（2324高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知集合中有且僅有一個元素，那么的值為（

）A． B．1 C． D．0【答案】BC【分析】根據(jù)題意分類討論求解即可.【詳解】因為集合中有且僅有一個元素，所以當(dāng)，即時，若，則符合題意，若，則不符合題意；當(dāng)，即時，則，解得（舍）或.所以的值可能為1，.故選：BC例題2．（2324高一·全國·課后作業(yè)）已知集合．（1）若集合中只有一個元素，則實數(shù)的值及該元素分別為；（2）若集合中至多有一個元素，則的取值范圍是．【答案】或或【分析】（1）、根據(jù)集合中只有一個元素對分類討論，當(dāng)時驗證是否只有一個元素；當(dāng)時，則；即可求出實數(shù)的值及相對應(yīng)的元素；（2）、根據(jù)題意可知或集合中只有一個元素，當(dāng)時，則；結(jié)合（1）即可求出的取值范圍.【詳解】（1）、當(dāng)時，集合中只有一個元素，符合題意；當(dāng)，因為A中只有一個元素，則方程有兩個相等的實根．，得，此時，集合A中只有一個元素，符合題意；綜上所述，當(dāng)時，集合A中只有一個元素；當(dāng)時，集合A中只有一個元素．（2）、若集合，則方程無解，．由（1）可知當(dāng)時，集合A中只有一個元素；當(dāng)時，集合A中只有一個元素．綜上所述：的取值范圍是或．故答案為：或；或.例題3．（2324高一上·河南南陽·階段練習(xí)）已知集合，求集合A滿足下列條件時實數(shù)a的所有可能取值組成的集合(1)集合A中有且僅有一個元素;(2)集合A中有兩個元素；【答案】(1)；(2)或.【分析】將集合中元素的個數(shù)轉(zhuǎn)化成方程解的個數(shù)，然后利用方程解的情況求解即可.【詳解】（1）集合中有且僅有一個元素，即方程只有一個解，①當(dāng)時，方程為，解得，符合要求；②當(dāng)時，方程為一元二次方程，，解得；所以的所有可能取值構(gòu)成的集合為.（2）集合中有兩個元素，即方程為一元二次方程，，且方程有兩個解，所以，解得，所以的所有可能取值構(gòu)成的集合為或.鞏固訓(xùn)練1．（2324高一上·廣東梅州·期中）若集合的所有子集個數(shù)是，則的值是【答案】或【分析】首先將題目等價轉(zhuǎn)換為方程只有一個解，從而對分類討論即可求解.【詳解】由題意只含有一個元素，當(dāng)且僅當(dāng)方程只有一個解，情形一：當(dāng)時，方程變?yōu)榱耍藭r方程只有一個解滿足題意；情形二：當(dāng)時，若一元二次方程只有一個解，則只能，解得.綜上所述，滿足題意的的值是或.故答案為：或.2．（2324高二下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）集合(1)若A是空集，求a的取值范圍．(2)若A中至多一個元素，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)題意可知方程無解，可知且，即可解得；（2）由題可得方程至多一個實數(shù)根，易知符合題意，當(dāng)時需滿足，即可求得a的取值范圍．【詳解】（1）由A是空集可知方程無解，若，則方程必有解，不合題意；若，由方程無解可得，解得；即a的取值范圍為.（2）由A中至多一個元素可知方程至多一個實數(shù)根，若，則方程有一解，符合題意；若，則方程至多一個實數(shù)根，即可得，解得；綜上可得，a的取值范圍為或3．（2324高一·全國·課后作業(yè)）已知集合A是方程的解集．(1)若A是空集，求a的取值范圍；(2)若A是單元素集（集合中只有一個元素），求a的值；(3)若A中至多只有一個元素，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)1(3)【分析】（1）需對參數(shù)進(jìn)行分類討論，分和兩種情況求解；（2）結(jié)合（1）可直接求解；（3）將（1）（2）結(jié)論綜合，即為對應(yīng)取值范圍.【詳解】（1）若，則或，當(dāng)時，方程為，其解為，所以A是單元素集．當(dāng)時，方程為，無實數(shù)解，所以A為空集．所以，若A是空集，則或即，所以a的取值范圍為；（2）由（1）可知，若A是單元素集，則或即；（3）由（1）（2）知，若A中至多只有一個元素，即A為空集或單元素集，則a的取值范圍為.題型四集合的基本關(guān)系例題1．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）在下列選項中，能正確表示集合和的關(guān)系的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出集合B，然后利用兩個集合之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】由，可得，又，所以故選：B例題2．（2324高一上·吉林·階段練習(xí)）已知集合，，則的關(guān)系（

）A．? B．?C．?? D．??【答案】B【分析】將集合化為與相同的形式，即可判斷集合間的關(guān)系.【詳解】由，，而為奇數(shù)，為整數(shù)，又，所以?.故選：B例題3．（2024·重慶·三模）已知集合，，則滿足的集合的個數(shù)為.【答案】7【分析】化簡集合，結(jié)合求集合的子集的結(jié)論即可求得結(jié)果.【詳解】因為，，所以滿足的集合中必有元素2，3，所以求滿足的集合的個數(shù)，即求集合的真子集個數(shù)，所以滿足的集合的個數(shù)為個.故答案為：7.鞏固訓(xùn)練1．（2324高一下·山東淄博·期中）已知集合，，（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先分析集合M、N，得到，從而得解.【詳解】，，因為表示奇數(shù)，列舉為，同樣表示奇數(shù)，所以.故選：A2．（2324高一上·江蘇南通·期中）下列關(guān)系中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)元素與集合、集合與集合的關(guān)系確定正確答案.【詳解】是無理數(shù)，所以A選項錯誤.空集是任何集合的子集，所以B選項正確.集合與集合的元素不相同，所以沒有包含關(guān)系，所以C選項錯誤.，所以D選項錯誤.故選：B3．（多選）（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知集合，，集合滿足，則（

）A．， B．集合可以為C．集合的個數(shù)為7 D．集合的個數(shù)為8【答案】AC【分析】根據(jù)題意可確定C的元素情況，由此一一判斷各選項，即可得答案.【詳解】由題意得，，又.所以，，故A正確；當(dāng)時，不滿足，B錯誤，集合的個數(shù)等價于集合的非空子集的個數(shù)，所以集合的個數(shù)為，故C正確，D錯誤，故選：AC.題型五根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)例題1．（多選）（2324高一下·河北張家口·開學(xué)考試）若集合，且，則實數(shù)的取值為（

）A． B． C．0 D．2【答案】ABC【分析】空集是任何一個集合的子集，由，分別對和進(jìn)行分類討論求實數(shù)的值．【詳解】因為，解得，則．當(dāng)時，方程無解，則；當(dāng)時，方程有解，則且，因為，所以，若，即若，即．綜上所述，時，的值為．故選：ABC．例題2．（2324高一上·湖北武漢·階段練習(xí)）設(shè)使式子有意義的實數(shù)的取值范圍為集合，集合．（1）求集合；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【分析】（1）判斷有意義條件，即可求出集合；（2）將中的不等式左側(cè)進(jìn)行因式分解，利用關(guān)系對于是空集和非空分類討論，分別得到關(guān)于的不等式，解出即可得到答案.【詳解】（1）由可知，；（2）①當(dāng)即時，,滿足題意；②當(dāng)即時，，要使，則，的值不存在；③當(dāng)即時，，要使，則，；綜上：實數(shù)的取值范圍是或即例題3．（2324高一·浙江杭州·期末）已知集合，.（Ⅰ）若，求的取值范圍.（Ⅱ）若，求的取值范圍.【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）首先求出集合，及，再根據(jù)，得到不等式組，解得即可；（Ⅱ）首先求出，根據(jù)，則方程的小根大于，大根小于或等于，令，即可得到不等式組，解得即可；【詳解】解：因為因，即，即解得或所以表示的解集；（Ⅰ）因為，由題意知所以方程的小根小于或等于，大根大于或等于，令當(dāng)則，不等式組無解，當(dāng)則，解得，當(dāng)則，解得由此得．（Ⅱ）由所以方程的小根大于，大根小于或等于，令所以解得【點(diǎn)睛】解決集合的關(guān)系問題，一般先化簡各個集合，然后利用交集、并集、補(bǔ)集的定義求出結(jié)果，屬于中檔題．鞏固訓(xùn)練1．（2324高一上·上海普陀·期中）已知集合，且滿足，求實數(shù)可能取的一切值．【答案】【分析】根據(jù)，分類討論求解即可.【詳解】，可能為，，.當(dāng)時，無解，故，滿足，當(dāng)時，則，解得，當(dāng)時，則，解得.綜上，實數(shù)的取值為.2．（2324高一上·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知集合．（1）若是的真子集，求的范圍；（2）若，且是的子集，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)是的真子集可得得解；（2）由是的子集對集合進(jìn)行討論可求解.【詳解】（1）∵若是的真子集∴，∴，∴；（2），∵，∴，，，，，則，∴；是單元素集合，，∴此時，符合題意；，不符合.綜上，．【點(diǎn)睛】本題考查了集合的基本運(yùn)算，分類討論集合的包含關(guān)系求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.3．（2021高一上·湖北武漢·階段練習(xí)）設(shè)集合，.（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，求實數(shù)的取值集合.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由補(bǔ)集的定義結(jié)合集合的性質(zhì)得出滿足意義的方程組進(jìn)而解出a的值即可；（2）由集合的包含關(guān)系，得出，，分別解方程求得a，驗證后可得答案.【詳解】（1）由得：，解得：；（2）①若，解得：或，當(dāng)時，，滿足題意，當(dāng)時，，滿足題意，②若，解得：或，當(dāng)時，，，滿足題意，當(dāng)時，，，滿足題意，綜上所述，實數(shù)的取值集合為：.【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，考查由集合的包含關(guān)系求參數(shù)，考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，屬于?？碱}.題型六集合的基本運(yùn)算例題1．（天津市河北區(qū)20232024學(xué)年高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測（二）數(shù)學(xué)試題）已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算求解即可.【詳解】由題可得：或，所以，故選：B例題2．（2324高一上·陜西西安·開學(xué)考試）已知表示不超過x的最大整數(shù)，集合，，且，則集合B的子集個數(shù)為（

）．A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【分析】由新定義及集合的概念可化簡集合，再由可知，分類討論的歸屬，從而得到集合的元素個數(shù)，由此利用子集個數(shù)公式即可求得集合的子集的個數(shù).【詳解】由題設(shè)可知，，又因為，所以，而，因為的解為或，的兩根滿足，所以分屬方程與的根，若是的根，是的根，則有，解得，代入與，解得或與或，故；若是的根，是的根，則有，解得，代入與，解得或與或，故；所以不管如何歸屬方程與，集合總是有4個元素，故由子集個數(shù)公式可得集合的子集的個數(shù)為.故選：C例題3．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）集合，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合交并補(bǔ)運(yùn)算規(guī)則直接計算即可.【詳解】由題，，所以.故選：B.鞏固訓(xùn)練1．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）已知集合，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求，再根據(jù)補(bǔ)集定義即可求解結(jié)論．【詳解】集合，，，，故選：D．2．（2024·天津北辰·三模）已知集合，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知求解，化簡集合N后再由交集運(yùn)算得答案．【詳解】∵集合，，∴，又＝{0,1}，∴()∩N＝{0,1}．故選：C．3．（2324高二下·江蘇蘇州·期末）設(shè)全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合，再根據(jù)補(bǔ)集和交集的定義即可得解.【詳解】，則，所以.故選：C.題型七根據(jù)集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)例題1．（2324高一上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知集合.(1)求；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用集合的并集，補(bǔ)集和交集運(yùn)算求解；（2）根據(jù)求解.【詳解】（1）解：因為，所以，由或，則；（2）因為，且，所以，所以的取值范圍是.例題2．（2324高一上·浙江·期中）已知集合，.(1)若，求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）當(dāng)時，得到集合B，再結(jié)合集合的補(bǔ)集和交集運(yùn)算，即可求解；（2）由可得，分類討論，結(jié)合集合的包含關(guān)系即可求解.【詳解】（1）當(dāng)，此時，則

所以（2）若，則

①當(dāng)，則，解得，符合題意；

②當(dāng)，即時，須滿足：，解得，所以.綜上，實數(shù)m的取值范圍為.例題3．（2324高一上·遼寧·階段練習(xí)）已知全集，，，.(1)若，且，求的值及集合；(2)若，求的值及.【答案】(1)，；(2)，.【分析】（1）求出集合，由確定集合中元素，進(jìn)而求出的值及集合.（2）將全集用列舉法表示，由補(bǔ)集的意義求出，進(jìn)而求出集合即可求解.【詳解】（1）依題意，，由，且，，得，即，因此，解得，經(jīng)驗證符合題意，解方程，得或，，所以，.（2）依題意，，由，得，由（1）知，因此，有，解得，經(jīng)驗證符合題意，，則，所以，.鞏固訓(xùn)練1．（2324高一上·天津和平·期末）設(shè)集合，(1)若，求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)或；(2).【分析】（1）把代入，利用并集、補(bǔ)集的定義求解即得.（2）利用給定交集的結(jié)果，借助集合的包含關(guān)系，列式求解即得.【詳解】（1）當(dāng)時，，而，因此，所以或.（2）由，得，當(dāng)時，則，解得，滿足，因此；當(dāng)時，由，得，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.2．（2324高一上·新疆烏魯木齊·期中）已知集合，．(1)若，求，；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用集合的運(yùn)算求解．（2）若，則，分，討論，列出不等式組求解即可得實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時，，，或，；．（2），，①當(dāng)時，，解得，②當(dāng)時，則，，綜上，的取值范圍是．3．（2223高一上·新疆省直轄縣級單位·期中）已知集合，.(1)當(dāng)時，求；(2)若，且，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）時化簡集合A，根據(jù)交集的定義寫出；（2）根據(jù)，得出關(guān)于a的不等式，求出解集即可.【詳解】（1）當(dāng)時，集合，，∴；（2）∵，（），，∴，∴，又，解得.∴實數(shù)a的取值范圍是：.題型八充分條件和必要條件的判斷例題1．（天津市河北區(qū)20232024學(xué)年高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測（二）數(shù)學(xué)試題）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】由可得，解得，所以由推得出，故充分性成立；由推不出，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A例題2．（多選）（2324高一上·四川瀘州·階段練習(xí)）可以作為“”的一個充分不必要條件可以是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)充分不必要條件的知識求得正確答案.【詳解】“”的充分不必要條件可以是：、，所以BD選項正確，AC選項錯誤.故選：BD例題3．（2324高一上·山西晉中·階段練習(xí)）“”是“”成立的條件(填：“必要不充分”，“充分不必要”，“充要”，“既不充分也不必要”).【答案】充分不必要【分析】根據(jù)絕對值的意義，求得不等式的解為，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由不等式，可得，所以“”是“”的充分不必要條件.故答案為：充分不必要.鞏固訓(xùn)練1．（2324高一上·陜西西安·開學(xué)考試）已知集合，，則“”是“”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】若，即可得到，從而求出的范圍，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】若，則，又，，所以，所以由推得出，故充分性成立；由推不出，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A2．（2324高一上·江西新余·期中）若，則的一個必要不充分條件為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】的一個必要不充分條件是指由能推出的條件，但反之不能推出.【詳解】設(shè)的一個必要不充分條件為，則且，故只有B選項成立.故選：B3．（2324高一上·廣東江門·階段練習(xí)）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】化簡不等式，即可根據(jù)必要不充分條件的定義求解.【詳解】解：由“”得，由“”解得，推不出，可推出，故“”是“”的必要不充分條件，故選：B題型九根據(jù)充分性和必要性求參數(shù)例題1．（2324高一上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）若“”是“”的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍為【答案】【分析】由題意可得對應(yīng)的集合是對應(yīng)的集合的真子集，進(jìn)而可得出答案.【詳解】由，得，因為“”是“”的充分不必要條件，所以集合是集合的真子集，所以（不同時取等號），解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.例題2．（2324高一上·福建龍巖·階段練習(xí)）已知：關(guān)于x的方程有實數(shù)根，：.(1)若命題p是假命題，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若q是p的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）若命題p是假命題，則關(guān)于x的方程沒有實數(shù)根，則，即可得解；（2）設(shè)命題對應(yīng)的集合為，命題對應(yīng)的集合為，由q是p的充分不必要條件，可得是的真子集，再根據(jù)集合的包含關(guān)系即可得解.【詳解】（1）若命題p是假命題，則關(guān)于x的方程沒有實數(shù)根，所以，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為；（2）由：關(guān)于x的方程有實數(shù)根，得，解得，設(shè)命題對應(yīng)的集合為，命題對應(yīng)的集合為，則，因為q是p的充分不必要條件，所以是的真子集，所以，解得，所以實數(shù)m的取值范圍為.例題3．（2324高二上·山西晉中·階段練習(xí)）設(shè)全集，集合，集合，(1)若，求實數(shù)的取值范圍.(2)若命題，命題，若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍【答案】(1)(2)或【分析】（1）若，分和兩種情況討論，進(jìn)而求得時實數(shù)的取值范圍；（2）由題意可得，分和兩種情況討論求解即可.【詳解】（1）若，當(dāng)時，有，即；當(dāng)時，有或，解得或，綜上所述，若，則實數(shù)的取值范圍為，所以當(dāng)時，實數(shù)的取值范圍為.（2）因為是的充分不必要條件，所以，當(dāng)時，顯然成立，即；當(dāng)時，有或，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為或.鞏固訓(xùn)練1．（2324高一上·天津紅橋·期中）已知，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)充分不必要條件定義轉(zhuǎn)換為集合真包含關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)集合，集合，因為p是q的充分不必要條件，所以，即.所以實數(shù)a的取值范圍為故答案為：.2．（2324高一上·安徽六安·期中）已知集合，非空集合．(1)若“”是“”的充分條件，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）化簡集合，由“”是“”得，列出不等式組即可求解；（2）由交集的結(jié)果，結(jié)合數(shù)軸討論即可.【詳解】（1）由題意，，解得，．由“”是“”的充分條件，得，則，解得，故實數(shù)的取值范圍為．（2）由題意，得，即，由，得或，解得或，或；綜上所述.3．（2324高一上·浙江杭州·階段練習(xí)）設(shè)全集，集合，集合.(1)若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2).【分析】（1）根據(jù)充分不必要條件的定義得出關(guān)于的不等關(guān)系，然后求解．（2）根據(jù)集合的包含關(guān)系的定義求解．【詳解】（1）由“”是“”的充分不必要條件，得，又，因此或，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.（2）由已知，當(dāng)時，，解得，符合題意，因此；當(dāng)時，而，則，無解，所以實數(shù)的取值范圍.題型十命題的否定例題1．（2324高一上·吉林延邊·階段練習(xí)）命題“”的否定為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題得出答案.【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“”的否定為“”.故選：B.例題2．（2024