2023屆高考數(shù)學(xué)破-十 平面向量與復(fù)數(shù)（解析版）

專題十平面向量與復(fù)數(shù)

一、單選題

1.已知同卜樹=2,且向量次與肩的夾角為120。，又回卜1,則行.而的取值范圍為（）

A.[-1,1]B.C.[―3,1]D.[—3,3]

【答案】C

【分析】

根據(jù)平面向量基底定理、平面向量的加法的幾何意義，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和定義進(jìn)行求解即

可.

【詳解】

由"麗=（箱+碉（的+碉=同9+亦（而+防）+加，

因?yàn)閨。彳="4=2,且向量Od與麗的夾角為120。，

所以行?的=礪.麗=|麗H詞?cosl20°=2x2x（—g）=—2,又因?yàn)閨尹4=1,

所以麗?麗二詼（而+冊(cè)）-1,設(shè)函+礪=無，以麗、麗為鄰邊做平行四邊形。AC8,如圖

所示：

因?yàn)榫W(wǎng)=網(wǎng)

=2,所以平行四邊形QAC8是菱形，而向量方與礪的夾角為120。，

所以|反卜|力卜|礪卜2,

因此而.麗=仍（而+旃）—1=_殂7+麗）一=-OPOC-,

因?yàn)榧訐?|函|反|cos〈方，花〉=2cos〈麗，兩，

所以一24而衣<2，因此—24—麗衣工2

所以有一3〈麗/41，

故選：C

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、定義、平面向量加法的幾何意義是解題的關(guān)鍵.

2.已知Z，丐是不共面向量，設(shè)3=2"+>OB=a+2h^0C=3a+b^0D=a+3h^若△043的

面積為3,則△08的面積為（）

A.4B.5C.6D.8

【答案】D

【分析】

根據(jù)已知條件結(jié)合向量的線性表示與向量加減法的運(yùn)算可得到△Q43與△OCO的兩個(gè)邊之間的關(guān)系，進(jìn)而

可得面積之間的關(guān)系，根據(jù)面積關(guān)系可得結(jié)論.

【詳解】

,?*OA=2〃+B,OB=a+2b'OC=3a+B,0D=a+3bf

?-AB=OB-OA=b-afDC=0C-0D=2（a-b].

???反二2麗,

，￡>0=284且OCZ?1,

取AB中點(diǎn)E,CD中點(diǎn)F,如圖所示，

過。作。垂足為G,交CD于H,則OH上CD,

則瓦=g（礪+礪）=防+孫礪43+而）=2,+4

工瓦〃礪，，0，E，尸三點(diǎn)共線，且0E=2°F，

4

3

:.AOEGfOFH,OG=-OH,

4

c-ABOG,

?\OAB_2_￡

S.OCD-CDOH8

2

，△OCD的面積為8.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘

運(yùn)算；

（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的

形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.

3.如圖，在等邊△ABC中，BD=3DC,向量4%在向量上的投影向量為（）

8-

B.

13^

10T

a石前D.

【答案】D

【分析】

將向量啟用表示，求得模長(zhǎng)及顯.顯），從而利用投影公式求得向量￡B在向量上的G投影向

量即可.

【詳解】

由題知D點(diǎn)是BC的四等分點(diǎn)，設(shè)三角形邊長(zhǎng)為a,

—>—>—>—>1—>—>1—>—?1—>Q—>

則AD=AC+CD=AC+-CB=AC+-(AB-AC)=-AB+-AC,

4444

-_h-3-Y_11-\93--_32,32c吸而1

認(rèn)44)V16168V8834

-?->T]T3T147F5

ABAD=AB(-AB+-AC)=—/十二〃2cos—二一〃，

444438

則向量4%在向量上的八投影向量為：

ABAD^AD

2-

13

AD

故選：D

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：表示出八，計(jì)算得到A3A3,利用投影公式求解?

4.己知向量：工滿足口=2,,=26，:與1了夾角的大小為三，則()

A.0B.72C.2D.-1

【答案】A

【分析】

利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求得晨5=6或M石=0,驗(yàn)證即可得結(jié)論.

【詳解】

因?yàn)閨萬|=2,出|=2』，

所以|d-5|=Jd?-2小5+52=>]\6-2db，

因?yàn)锧與G-5夾角的大小為?，

所以力?(d-B)=|a||a-6|cos—=xl\6-2ab,

3

2

5La-(a-b)=d-db=4-abt

所以"16-2d.b=4-ab?

兩邊平方整理可得（萬?5）2-6無5=0,

所以。石=6或無3=0,

當(dāng)萬4=6時(shí),1萬一〃1=2,

a(d-b)d2-db_4-6_1

cos<a,

\a\\b\\a\\a-b\~2^2~~2

此時(shí)d與4-5夾角的大小為不，與已知矛盾，舍去;

當(dāng)次.1=0,|a—Z?|=4?

_a^a-b)S^-ab4-01

cos<a,db>=

\a\\b\\a\\d-b\~2^~2

此時(shí)。與G-5夾角的大小為?，符合條件，

綜上可得，a-b=0-

故選：A

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：平面向量的數(shù)量積的計(jì)算常用的方法有：（1）利用公式1工=|柒E|cos＜H＞；（2）利用坐

標(biāo)公式aZ=x,x2+y,j2.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解?

5.設(shè)。為兩個(gè)非零向量瓦5的夾角，且OvOv],已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，￡（一1』），演+/萬|無最小值，則以

下說法正確的是（）

A.若。和確定，則|可唯一確定

B.若。和確定，則I汨有最大值

C.若6確定，則|函＞|5|

D.若。不確定，則I由與|方|的大小關(guān)系不確定

【答案】B

【分析】

令8（。=/尸+2￡%+不，其對(duì)稱軸為=一冬=一回毀，，結(jié)合題意要使得?。╛1/）,.+臼無最

aI。I

小值，則對(duì)稱軸不在（T」）,從而可得|Z|,,|,|cosO或|￡|,,-歷|cos6,進(jìn)而可選出正確答案.

【詳解】

由題意知,|3+㈤2=1*+2￡忘+片,令8⑺二/入如為+片,則函數(shù)g?）的圖象的對(duì)稱軸為

ab|B|cos。R二/…、/。工且?任「「3|5|cose[f|S|cos^.球…

t=---=------二---?因?yàn)?，￡（―b+fa|無最小值，所以------二---?—1或-----=---..1?所以

a31

內(nèi)”iHcosJ或|￡|”一由cos。,所以。和|力確定，則|3|有最大值

故選：B.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分析對(duì)稱軸的位置，從而得出。和|5|確定，則|￡|有

最大值.

6.△ABC中，。是3c的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，且滿足3女=/，比交AO于點(diǎn)尸，則喬二（）

3—1—3—1—1—2—2—1—

A.—ABH—ACB.—AB—ACC.—AB+—ACD.—ABH—AC

44443333

【答案】A

【分析】

設(shè)設(shè)所；=之而，AF=juAD，由而=42-而、而='"+AC得赤、而與彳瓦亞的關(guān)系，

32

結(jié)合建+而=祈求2、〃，進(jìn)而可得而與血,亞的線性關(guān)系式?

【詳解】

由題設(shè)可得如下幾何示意圖，

BDC

設(shè)而:=%而，AF=pAD,

'：BE=AE-AB=--AB^

3

——2AC—

??.8Fr8E=竺上-448,

3

-：AD=AB+AC

2

.?.而=〃通=〃(河+旦

2

由通+而=通知：(―)通+些=M(45+A。,

32

：-BF=-BE=—--AB.

444

故選：A.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：令麗=2麗,AF=juAD,利用幾何圖形中各線段對(duì)應(yīng)向量的線性關(guān)系求參數(shù)；I、4,

寫出所與A3,4。的線性關(guān)系式.

7.如圖所示，邊長(zhǎng)為2的正AABC,以BC的中點(diǎn)。為圓心，BC為直徑在點(diǎn)A的另一側(cè)作半圓弧BC，點(diǎn)P

在圓孤上運(yùn)動(dòng)，則而-而的取值范圍為()

B

A.[2,373]B.[4,373]C.[2,4]D.[2,5]

【答案】D

【分析】

根據(jù)向量數(shù)量積的定義，瀛.還等于乘以辦在向量A%上的投影，因?yàn)锳B不變，故求4%.弱的

取值范圍等價(jià)于求向量4》在向量A》上的投影的長(zhǎng)度取值范圍即可.

【詳解】

解：由題可知，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C處時(shí)，最小，

-?—>—>—>

TT乃i

此時(shí)A8AP=AB?AEAB-ACcos—=2x2x—=2,

32

過圓心。作OP//AB交圓弧于點(diǎn)P,連接AP,此時(shí)A%.前最大，

過。作OGJ_AB于G,PF_LAB的延長(zhǎng)線于F,

則公.前=MB||AF|=|AB|(|AG|+|GF|)=2X|+1)=5,

所以顯的取值范圍為[2,5].

故選：D.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：利用數(shù)量積幾何意義，將問題轉(zhuǎn)化為投影長(zhǎng)度的變化，從而求得取值范圍.

8.設(shè)A、B為圓/+/2=1上的兩動(dòng)點(diǎn)，且/AOB=12O°,P為直線l：3x-4y-15=0上一動(dòng)點(diǎn)，則|向+方]

的最小值為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】

取45中點(diǎn)C,求出C點(diǎn)軌跡方程，西+方=2無，轉(zhuǎn)化求。點(diǎn)到直線/上點(diǎn)的距離的最小值，由此計(jì)

算可得.

【詳解】

設(shè)C是A8中點(diǎn)，因?yàn)?。8=120。，所以|0。|=|04卜而30。=，即。在以原點(diǎn)為圓心，：為半徑的圓

上，

PA+PB=PC-^CA+PC+CB=2PC^I蘇+麗1=卜罔，

又上°扁=三券=3,所以1Pqim=3—g=|,所以1⑸+而1mM=2x|=5.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查圓上兩動(dòng)點(diǎn)A8與直線上動(dòng)點(diǎn)P間的“距離”的最小值問題，解題關(guān)鍵是取A5中

點(diǎn)C,把西+而用玩表示，這樣A3兩動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。，求得C點(diǎn)軌跡，利用直線與圓的位置

關(guān)系求解即可.

9.已知平面向量入人入若(25)=?同=4,陞-3同=1,則2在坂方向上投影的最小值為()

A.2>/2B.5/3—1

5

C.-D.2

2

【答案】C

【分析】

建立平面直角坐標(biāo)系，將各向量均轉(zhuǎn)化為共起點(diǎn)。的向量，由|2d-割=1知向量)終點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，過終

點(diǎn)作向量B所在直線的垂線，數(shù)形結(jié)合得到投影最小值.

【詳解】

不妨設(shè)Z=E=(4,0),h=OB^c=OC^由佐一3a=1,可得2-5訝=5，

3-1

又一〃二(6,0),故點(diǎn)C在以M(6,0)為圓心，彳為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).

22

如圖，由不妨設(shè)坂在直線產(chǎn)傷上，

過點(diǎn)C、M分別作直線0B的垂線，垂足為C、

則2在坂方向上投影的最小值即為|OG|，即|OM|—：二|OM|cos60'—g=|.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

向量投影問題的處理通常有兩個(gè)角度：一是利用數(shù)量積變形公式問cos'=苛求解；二是利用投影的幾何

意義，作垂直輔助線，數(shù)形結(jié)合求解.

[BM\CN

10.在矩形ABC。中，邊A氏的長(zhǎng)分別為2,1,若M,N分別是邊BC,CD上的點(diǎn)，且滿足，==,

|BC|CD

則麗7?麗的取值范圍是()

A.[1,4)B.[1,4]C.[0,2]D.(1,4]

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意，建立坐標(biāo)系，設(shè)M(a,2),N(l,b),根據(jù)條件，求得a,b的關(guān)系，代入數(shù)量積公式，即可求得答

案.

【詳解】

如圖是系,

所以4(0,0),設(shè)M3,2),N(l,3,5Mae[O,l]^€[O,2],

\BM\CN

因?yàn)?二=---;,所以2=----,即b=2—2a,

\BC\CD12

又加=(a,2),麗=(1,2-2a)，

所以初?麗=a+2(2—2a)=4—3ae[l,4],

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量的數(shù)量積的最值問題，關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，利用平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得

麗？?麗的函數(shù)表達(dá)式.

11.在矩形ABC。中AC=1,AE±BD^垂足為E，則（4。乂芯）?（。氏。4）的最大值是（）

A.—B.-C.立D.—

27363

【答案】A

【分析】

設(shè)40="則儲(chǔ)+從=1，AE=ab,將（而?屈）?（而?耳）用b表示，再利用導(dǎo)數(shù)即可得到

最大值.

【詳解】

設(shè)AB=a,AD=b,則片+從=]AE=aZ?,

于是（亞?荏）?（而育）=（函2（而）2="^4="0一從）

令”/，則0</<1,/?4（l-^）=r（l-r）.

2

令『。）=/（1一，），則/'（z）=2f—3產(chǎn).由/"）=0,得￡=§.

（2、（2、\（2X14

當(dāng)心0,可時(shí)，/（0>0；當(dāng)時(shí)，/'。）<0.故，（f）max=7-=—.

故選：A

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題引入邊作為變量，合理利用一元表示（而?荏）?（麗?瓦）是解題的關(guān)鍵，求最值即可利

用導(dǎo)數(shù)，亦可利用三元均值不等式.

12.設(shè)耳鼻為單位向量，滿足|2不一可石應(yīng),萬一耳+￡3-31+4，設(shè)萬萬的夾角為8，則cos?夕的可

能取值為（）

192028n38

A.—B.—C.—D.—

29292929

【答案】C

【分析】

得到a,b的坐標(biāo)，再根據(jù)W一可W6

根據(jù)為單位向量，設(shè)q=（1,0）,e2=（x,y）,且/+9二］,

/\2

—?>

得到X的范圍，然后利用cos?夕=3求解.

〔同?用7r

【詳解】

因?yàn)閚為單位向量，

不妨設(shè)q=（1,0）,=（%，>>且r+y2=l，

所以a=（l+x,y）》=（3+x,y）,

又因?yàn)閊^一鼻卜也，

所以（x—2p+y2工2,

3

化簡(jiǎn)得廣］”，

ab

所以cos?0=M同

_(1+力(3+力+/

J(1+X)2+3.*2J(3+^)2+/J

4(1+X)2_4(1+X)

(l+x)(5+3x)5+3x'

328

當(dāng)x=:時(shí)，cos20=—

429

故選：C

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是在不，1為單位向量的條件下，設(shè)I=(l,0),1=(x,y)，由|21一可《也確定x

的范圍.

13.半徑為2的圓。上有三點(diǎn)A、8、C滿足次+而+/=0,點(diǎn)P是圓P9一點(diǎn)，則麗.可+而.前

的取值范圍為()

A.[-444]B.[0,4)C.[4,14]D.[4,16]

【答案】A

【分析】

設(shè)OA與8C交于點(diǎn)O,由次+福+*=。得四邊形QK4c是菱形，O是對(duì)角線中點(diǎn)，西，而，而，無

用而和其他向量表示并計(jì)算數(shù)量積后可得西.可+而.玩=2|而]一4,由點(diǎn)與的位置關(guān)系可得

的取值范圍，得結(jié)論.

【詳解】

如圖，OA與5c交于點(diǎn)Q,由方+血+/=0得:

A

四邊形Q8AC是菱形，且OA=Q8=2,則A￡>=QD=1,BD=DC=6

由圖幻麗=麗+麗，PC=PD+DC^麗成=-成,

*?*PBPC=PD-DB=|而『函2冒的2_3,

同理m=兩十方，所二而+。0,而方^=一區(qū)，

??PAPd=PD-DO^Pb^-\Dd^PD^-\^

???PAPO+PBPC=2\PD^-4,

???點(diǎn)P是圓內(nèi)一點(diǎn)，則OW|A萬區(qū)3,???T?麗?可+而.京K14，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是是利用線段的中點(diǎn)的性質(zhì)，把蘇，的，而，方

用而和其他向量相加，然后求數(shù)量積可化化簡(jiǎn).

14.已知向量少工己，忖=1,且對(duì)任意ZtR,口一同之口一4恒成立，則()

A.aLeB.aA.[a-e')

C.el(a-i)D.(a+e)±p-e)

【答案】C

【分析】

由已知兩邊平方得72=1,可判斷A；再由p卜1得同cos?4=l,結(jié)合")=同-1可判斷B；由

e?(〃-e)=可判斷C；由(”+。卜(4一6)=卜|一1可判斷D.

【詳解】

由卜一，02|￡-0得

(藥-2日工+(020)2-27工+伍]

即/一2扇."+27"一120對(duì)任意，￡員恒成立,

所以卜2￡.1一4(2￡."-1)工0,(711)2W0,

所以a,e=1?

所以A錯(cuò)誤；

由卜卜1得4?6=同卜卜05(4,?)=,卜05(4,?)=1,

由々?(。-6)=。?。-4?0二卜|一1/0,所以B錯(cuò)誤；

\he(a-e)=ea-ee=\-\=Q^得e_L(a-e),所以C正確；

由(￡+").僅一可=(不一同=@]士0,所以D錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的模長(zhǎng)和數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算，解題的關(guān)鍵點(diǎn)是判斷出7工=1，考查了學(xué)生分析問題、解決

問題的能力及計(jì)算能力.

15.已知△48。的三邊長(zhǎng)為3,4,5,其外心為0,則礪?麗+而.元+反.無的值為()

A.-25B.--C.0D.25

2

【答案】A

【分析】

利用外心的特點(diǎn)，取的中點(diǎn)力，得出歷.而=0,利用向量運(yùn)算計(jì)算方?麗=-g而1同理得出

OBBC=--BC,OCCA=--CA,進(jìn)而可得答案.

22

【詳解】

設(shè)A5的中點(diǎn)為。，則QD_L48,即麗.而=0；

所以況.麗=(歷+方)?麗=麗.詬+礪.而=-g而二

同理可得。匣8。二一,8心2反.畫=一,畫2

22

所以畫.通+麗屈+反.直=_，麗2+^?+m[=_25；

故選:A.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是運(yùn)用向量垂直數(shù)量積為零進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化是求解，從而可以順利使用已知條件.

16.在平行四邊形ABCZ)中，己知屁=，沅，麗=，1，|通卜應(yīng)，|而卜布，則而.麗=()

22

八97

A.-9B.——C.-7D.——

22

【答案】B

【分析】

根據(jù)平面向量的三角形法則即向量的模的運(yùn)算可以求出平行四邊形兩個(gè)邊的模的關(guān)系，進(jìn)而利用平面向量

的對(duì)角線法則及平面向量的數(shù)量積的計(jì)算公式，可以得所求數(shù)量積的值.

【詳解】

-：DE=-ECBF=-FC

2f2

：.AE=AD+DE=AD+-AB,AF=AB+BF=-AD+AB

33f

而卜3,卜尸卜帽,

AD+-AB=>/2,-AD+AB=>/6

33f

1

1*22■■1—*21*22■■?2

AAD+-ADAB+-AB=2,-AD+-ADAB+AB=6,

3993

8—28—2—2—.29

兩式相減得一A?！狝B=-4,：,AD-AB=—.

992

AAC-=(AB+ADJ\AD-AB)=AD-AB=--.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：

利用定義：

利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；

利用數(shù)量積的幾何意義.

具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用.

17.如圖所示，半圓的直徑AB=2,0為圓心，C是半圓上不同于A,B的任意一點(diǎn)，若P為半徑0C上的動(dòng)

點(diǎn)，則（而+麗）?定的最小值是（）

【答案】C

【分析】

根據(jù)題中條件，得到麗+港=2而，根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算，得到（而+麗）?正=2（|用|

即可求出最小值.

【詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)0是線段A8的中點(diǎn)，所以向量西+麗=2而，

所以（西+麗）?定=2用.前，

又因?yàn)橄蛄慷?，正方向相?

故選：C.

18.復(fù)數(shù)z滿足回=1,且使得關(guān)于x的方程f+Jx+z=o有實(shí)根，則這樣的更數(shù)z的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】

設(shè)z=a+b'^beR，代入方程得整理得+如+4）+0一版）i=0,在結(jié)合方程有實(shí)數(shù)根得

2八

X+O￥+4=0…

,進(jìn)而分6=0和匕NO兩種情況求解即可.

b-bx=O

【詳解】

設(shè)2=。+歷,°點(diǎn)￡氏，因?yàn)槟?1,所以選+/=[,

所以將z=a+Z?i,a”￡"代入方程X2+Jx+z=o整理

(x2+or+a)+(人-=0,

因?yàn)殛P(guān)于X的方程f+JX+z=0有實(shí)根，

x2+辦+。=0

所以

b-bx=O

所以當(dāng)〃=0時(shí)，解得。=±1,此時(shí)關(guān)于人的方程為f+1+1=0或/一%一1=0,易知方程“2+1+1=0

無實(shí)數(shù)根，故舍去，所以z=—1；

當(dāng)岳a）時(shí)，解得冗=1,。=一!，所以分=±立，所以z=—!±Y3i,此時(shí)方程有實(shí)數(shù)根x=i,滿足

2222

條件.

綜上，z=——±^^-iz=—1.

22

故這樣的復(fù)數(shù)z的個(gè)數(shù)為3個(gè).

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)方程有實(shí)數(shù)根，求對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，考查運(yùn)算求解能力，分類討論思想，是中檔題.本題解題的關(guān)

，2

鍵在于設(shè)z=a+Z;i,a,/?wR,進(jìn)而根據(jù)題意得（f+0^+力+（。一法》=0,即＜；,進(jìn)而求

19.已知復(fù)數(shù)百=22i（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為耳，復(fù)數(shù)均滿足忤―4=1,則下列結(jié)論不

正確的是（）

A.耳點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,-2）B.1=2+2i

C.的最大值為Ji3+1D.肉―zj的最小值為

【答案】D

【分析】

A：根據(jù)復(fù)數(shù)的表達(dá)式直接寫出耳點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行判斷即可；

B：根據(jù)復(fù)數(shù)的共規(guī)復(fù)數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可；

C,D：根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

A：因?yàn)閺?fù)數(shù)4=2-2i（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為所以耳點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,-2）,因此本選項(xiàng)

結(jié)論正確；

B：因?yàn)閦=2-2i,所以工=2+2"因此本選項(xiàng)結(jié)論正確：

C,D：設(shè)Z?=R+yi（x,），tR）,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為尸（x,y）,設(shè)4。4）

因?yàn)?22M=1，所以點(diǎn)P*，y）到點(diǎn)A的距離為1,因此點(diǎn)尸（蒼丁）是在以40,1）為圓心，1為半徑的圓，

同一zj表示圓A上的點(diǎn)到4點(diǎn)距離，

因此用一411nli*=46+1=>/22+（-2-1）2+1=屈+1,

Iz^zJ^=X/]-1=722+（-2-l）2-l=Vi3-b所以選項(xiàng)c的結(jié)論正確，選項(xiàng)D的結(jié)論不正確，

故選：D

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)卜-Z||的幾何意義，結(jié)合圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.已知i為虛數(shù)單位，且4二二為，復(fù)數(shù)Z滿足|z-z0|=l,則復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程為（）

1I4I

A.（A-l）2+（y+l）2=4B.（x-l）2+（y-l）2=4

C.（A+l）2+（y+l）2=lD.(x-l)2+(y-l)2=l

【答案】C

【分析】

先求馬,再求軌跡方程.

【詳解】

1-3/(l-3Z)(l-2z)

i,由題意知|z-z0k1,則愛數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程為（x+iy+

1+2/5

（y+i）2=i.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

利用復(fù)數(shù)減法的幾何意義，可以表示以下曲線：

①*-4=1表示以點(diǎn)Zo為圓心，1為半徑的圓;

②Iz-zJ+lz-zJuZMaz'lzi.ZzI）表示以Z】、Z2為焦點(diǎn)的橢圓；

③打一4|一|2-221=勿（2。＜21—22|）表示以Z】、Z2為焦點(diǎn)的雙曲線.

21.若復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)為5且滿足z-（2+i）=5-（l—i）+l,則復(fù)數(shù)z的實(shí)部為（）

31

A.一一B.-1C.一一D.1

22

【答窠】D

【分析】

設(shè)z=a+〃,則5=。一〃，利用已知條件結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可得2。+3+2施=3+1）-（。+切，進(jìn)

而求出a,b,即可得解.

【詳解】

設(shè)z=a+〃wR,Z?eR,則2=a-bi,awR,bwR

Qz(2+/)=z(l-/)+l,:.(a+bi)(2+0=(^--z)+1

整理得：2a+(a+2b)i+bi2=a-(a-vb)i+bi2+\,即2a+(a+2Z;)i=(a+l)-(a+b)i

2。=a+1

解得：五二

a+2b=—(a+b)

3

所以復(fù)數(shù)z的實(shí)部為1

故選：D

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查共規(guī)復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是合理使用待定系數(shù)法，屬于基礎(chǔ)題.

22.已知復(fù)數(shù)Z1、z?滿足匕一司二廠任〉。）,復(fù)數(shù)爾1滿足例一Z]|=z?或者的一Z21=r,

且應(yīng)-聞*對(duì)任意IWivj〈〃成立，則正整數(shù)n的最大值為（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】C

【分析】

用向量弧礪表示,后，根據(jù)題意，可得伸一而卜網(wǎng)二，因?yàn)橥?止〃或者陶一白，根

據(jù)其幾何意義可得用的終點(diǎn)的軌跡，且滿足條件的終點(diǎn)個(gè)數(shù)即為n,數(shù)形結(jié)合，即可得答案.

【詳解】

用向量麗,而表示

因?yàn)殁庖灰ā?。?所以|。4一西=,Abr,

又爾1<i<n,neN*）滿足弧-zj=r或者的一zj=r,

則?可表示以0為起點(diǎn)，終點(diǎn)在以A為圓心，半徑為r的圓上的向量，或終點(diǎn)在以B為圓心，半徑為r的

圓上的向量，則終點(diǎn)可能的個(gè)數(shù)即為n,

因?yàn)樘?一叼，人所以在同一個(gè)圓上的兩個(gè)點(diǎn)，形成的最小圓心角為60。,

如圖所示，則最多有10個(gè)可能的終點(diǎn)，即n=10.

故選：C

【點(diǎn)睛】

解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給條件的幾何意義，得到外的終點(diǎn)軌跡，根據(jù)條件，數(shù)形結(jié)合，即可得答案，考查分

析理解，數(shù)形結(jié)合的能力，屬中檔題.

23.Z=（1T）（3I）"則下列說法正確的是

A.復(fù)數(shù)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第二象限B.z=-^-2i

C.二二三的虛部為1D.|z|=25/2

z-4

【答案】C

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得Z=4-2i,結(jié)合復(fù)數(shù)相關(guān)概念判定A,B,D錯(cuò)誤，化簡(jiǎn)存判定正確.

z-4

【詳解】

解：z=（1一"）（3"—1）=（1_j）（3+/=4—,

i

其對(duì)應(yīng)的復(fù)平面點(diǎn)為（4,-2）位于第四象限，故A錯(cuò)誤；

—RAI?AiI?

z=4+2/?故B錯(cuò)誤；-~―J-^=--==--=i,虛部為1,故C正確;

z-44-2z-22-2i1-/

|z|=、42+（-2）2=2后，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

處數(shù)乘除法運(yùn)算技巧：

(1)復(fù)數(shù)的乘法：狂數(shù)乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算.

(2)復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共枕復(fù)數(shù).

24.若i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足卜+6+仁道，則|z-2i［的最大值為()

A.2B.3C.2GD.3+

【答案】D

【分析】

先根據(jù)分析出復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的軌跡，然后將|z-2i|的最大值轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)

到圓上一點(diǎn)的距離最大值問題并完成求解.

【詳解】

因?yàn)椴?6+?卜6表示以點(diǎn)6,-1)為圓心，半徑R=6的圓及其由部，

又|z-2z|表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到N(0,2)的距離，據(jù)此作出如下示意圖：

所以t―24m=MN+A=J(0—(—6)『+(2—(—1)『+6=36，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：常見的復(fù)數(shù)與軌跡的結(jié)論：

(1)|z-zo|=r(r>O)：表示以z0為圓心，半徑為r的圓；

(2)\z-zi\+\z-z2\=2a(a>0B.2a=\zlz2\)：表示以馬9為端點(diǎn)的線段;

(3)|z-zJ+|z-Z2|=2a(a>0且2〃>|Z[Z2|)：表示以為焦點(diǎn)的橢圓；

⑷上一4|一上一22||=2。(々>0且0<2。<上仔2|)：表示以馬修為焦點(diǎn)的雙曲線.

1?

25.(2020?全國高三其他模擬(文))已知復(fù)數(shù)z=〃+bi,—+—-=—(其中。，b是實(shí)數(shù))，則慟=

ii-\z+111

()

7211

A.1B.—C.—D.一

224

【答案】A

【分析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出出〃，再利用模長(zhǎng)公式求解即可.

【詳解】

「abi四川，g+D_Z(z-l)

由—+---=----，得-----------，

ii-\f+1i2(Z-DG+1)(Z-l)(z+l)

-a—=—,—=—,解得：a=0,b=-\?

2222

z=-i,故國=1.

故選：A

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等，復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)，解本題時(shí)先利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)已知

條件得到(-4-與)一^二；+；''再利用復(fù)數(shù)相等可求得凡人，利用模長(zhǎng)公式求得結(jié)果.

26.(2020?全國高三其他模擬)已知復(fù)數(shù)z滿足zO+Oui2021則復(fù)數(shù)z的共貌復(fù)數(shù)1=()

11.11.

A.---1--zB.iC.-iD.----1

2222

【答案】D

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算和復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得z=1+1i,再由共挽復(fù)數(shù)的概念可得選項(xiàng).

22

【詳解】

解：因?yàn)镮2021=z4x505+,=(i4Y)5xi=i,所以z=-^-=《‘)二山」+L,

1+z(1+0(1-/)222

一11.

故z=----1,

22

故選：D

【點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：求解復(fù)數(shù)的運(yùn)算問題時(shí)要牢記復(fù)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算技巧和結(jié)論：（l+if=2i,（1-。2=-萬,

(l+z>(l-Z)=2,J4H=1，/4n+,=f,fn+2=-i，

27.（2020?廣東高三月考）已知復(fù)數(shù)z='-+『，則|z|=（）

1+z

A.3B.75C.2D.1

【答案】B

【分析】

化簡(jiǎn)得z=1+2"即得解.

【詳解】

2，(1-0

+i=l+2i,

0+00-0

則|z|=B

故選：B.

二、多選題

28.2△0A3的一點(diǎn)，以下可能成立的是（）

A.OP=-OA+-OBB.OP=-OA+-OB

5555

C.OP=-OA+-ABD.OP=-OA+-AB

5555

【答案】AC

【分析】

作出圖示，根據(jù)向量的平行四邊形法則逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

對(duì)于A：如下圖所示，可知?在△Q48內(nèi)部，故成立;

如下圖所示，可知尸在內(nèi)部，故成立;

5555555

如下圖所示，可知尸在AOAB外部，故不成立；

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是采用圖示結(jié)合向量的平行四邊形法則進(jìn)行說明，其中CD選項(xiàng)中的向量關(guān)系

式要根據(jù)~^B=AO+OB進(jìn)行化簡(jiǎn).

29.已知P為△A6C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列正確的是（）

A.若西+3萬+2定=6，則點(diǎn)P在AAAC的中位線上

B.若巨A+而+無=6，則尸為△ABC的重心

C.若福.前＞（），則△ABC為銳角三角形

—?1—-2—?

D.若APn=AB+7AC,則4M。與八4場(chǎng)的面積比為3:2

33

【答案】ABD

【分析】

設(shè)AB中點(diǎn)為O,BC中點(diǎn)、為E，由西+3而+2定=6可得而=2而，可知A正確：

umuutl

設(shè)AB中點(diǎn)為O，由麗+而十無=6得CP=2PO，對(duì)應(yīng)重心的性質(zhì)可知B正確；

由福?衣＞0知A為銳角，但無法確定反C，知C錯(cuò)誤；

根據(jù)平面向量基本定理可知而=2而，將面積比轉(zhuǎn)化為知D正確.

3

【詳解】

對(duì)于A,設(shè)AB中點(diǎn)為O,BC中點(diǎn)為E，

???麗+3萬+2定=6,.?.蘇+麗=-2（而+玄），

2PD=-4PE^即訪=2喬,「RDE三點(diǎn)共線，

又OE為AABC的中位線，?.?點(diǎn)P在AABC的中位線上，A正確；

對(duì)于B,設(shè)A3中點(diǎn)為O，由中+方+元=6得：PA+PB=-PC=CPf

__CP

又麗+麗=2而，，CP=2尸￡），.P在中線C。上，且/萬=2，

.?）為△A3C的重心，B正確；

對(duì)于C,?.?福.彳6＞0，.?.福與北夾角為銳角，即A為銳角，但此時(shí)8,C有可能是直角或鈍角，故無

法說明△ABC為銳角三角形，C錯(cuò)誤；

_1_2_.2-

對(duì)于D,???麗=一而十—恁，.?.尸為線段8C上靠近C的三等分點(diǎn)，即加=一豆

333

S.ABC:SJBP=BC:BP=3:2,D正確?

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面向量在幾何中的應(yīng)用問題，涉及到三角形重心的表示、平面向量基本定理的應(yīng)

用等知識(shí)；本題解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)平面向量線性運(yùn)算將已知等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，確定尸點(diǎn)的具體位置及其滿

足的件質(zhì).

30.已知向量￡=（1,Sin0）,^=（cosO.、傷）（0W0Wn）,則下列命題正確的是（）

A.￡與否可能平行

B.存在0,使得I