三角形的七大全等模型（壓軸專(zhuān)練）含解析

三角形的七大全等模型(壓軸專(zhuān)練)目錄(一)有公共頂點(diǎn)的等邊三角形(二)有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形(三)頂角相等的等腰三角形11(1)如圖1△CAB和△CDE均為等邊三角形，D在AC上，E在CBAD和BE的數(shù)量關(guān)系是．(2)將圖1中的△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2AD和直線BE交于點(diǎn)F．①判斷線段AD和BE②圖2中∠AFB的度數(shù)是．(3)如圖3△CAB和△CDE均為等腰直角三角形，∠ABC=∠DEC=90°AB=BCDE=ECAD和直線BE交于點(diǎn)F∠AFBADBE間的數(shù)量關(guān)系．(1)AD=BE(2)①AD=BE②60°(3)∠AFB=45°AD=2BE(1)由等腰三角形的性質(zhì)即可求解；(2)①可證△ACD?△BCE,可得AD=BE②由全等三角形的性質(zhì)可得∠ACD=∠CBF解決問(wèn)題；ADBEACBC(3)結(jié)論：∠AFB=45°,AD=2BE,先證明△ACD～△BCE,可得==2,∠CBF=∠CAF,由此即可解決問(wèn)題．(1)AD=BE；證明：∵△CAB和△CDE是等邊三角形，∴CA=CB,CD=CE,∴AD=BE，故填：AD=BE；(2)①AD=BE；證明：∵△ABC和△CDE是等邊三角形，∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACD=∠BCE,在△ACD和△BCE中2AC=BC∵∠ACD=∠BCECD=CE∴△ACD?△BCE(SAS),∴AD=BE；②∵△ACD?△BCE,,∴∠CAD=∠CBF,設(shè)BC交AF于點(diǎn)O∵∠AOC=∠BOF,∴∠BFO=∠ACO=60°,∴∠AFB=60°,故答案為：60°；(3)結(jié)論：∠AFB=45°,AD=2BE,理由如下：在Rt△CDE中，∵∠CDE=45°,22∴sin∠CDE=,∵∠ABC=∠DEC=90°,AB=BC,DE=EC,∴∠ACD=45°+∠BCD=∠BCE,ACBCDCEC1===2,sin∠CDE∴△ACD～△BCE,ADBEACBC∴==2,∠CBF=∠CAF,∴AD=2BE,∵∠AFB+∠CBF=∠ACB+∠CAF,∴∠AFB=∠ACB=45°．(一)等邊三角形中120°含60°半角模型(二)等腰直角三角形中90°含45°半角模型31如圖1ABCD中，AC=2BD=23ACBD相交于點(diǎn)O．(1)求邊AB的長(zhǎng)；(2)求∠BAC的度數(shù)；(3)如圖260°角的頂點(diǎn)放在菱形ABCD的頂點(diǎn)AA三角板60°角的兩邊分別與邊BCCD相交于點(diǎn)EFEF．判斷△AEF明理由．(1)2(2)60°(3)見(jiàn)詳解(1)由菱形的性質(zhì)得出OA=1OB=3(2)得出△ABC是等邊三角形即可；(3)由△ABC和△ACDASA可證得△ABE≌△ACFAE=AF是60°的等腰三角形是等邊三角形推出即可．解：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，1212∴△AOBOA=AC=1,OB=BD=3．∴AB=+OB2=1+(3)2=2；(2)∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，由(1)得：AB=AC=BC=2，∴△ABC為等邊三角形，∠BAC=60°；(3)△AEF是等邊三角形，∵由(1)ABCD的邊長(zhǎng)是2AC=2，∴△ABC和△ACD是等邊三角形，∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，4∵∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，∴∠BAE=∠CAF，∠BAE=∠CAF在△ABE和△ACF中，AB=AC∠EBA=∠FCA∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴AE=AF，∵∠EAF=60°，∴△AEF是等邊三角形．關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)．(一)“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型(異側(cè)型)已知直角△ABC和等腰直角△DBCAB+AC=2AD．(二)“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型(同側(cè)型)已知直角△ABC和等腰直角△DBCAB-AC=2AD．(三)“等邊三角形對(duì)120°模型”．△ABC是等邊三角形，∠BPC=120°PB+PC=PA；5(四)“120°等腰三角形對(duì)60°模型”△ABC∠BAC=120°∠BPC=60°PB+PC=3PA；1如圖1Rt△ABC中，∠ABC=90°BA=BCMN是過(guò)點(diǎn)A的直線CD⊥MN于點(diǎn)D接BD．(1)DCADBD1B作BE⊥BDMN于點(diǎn)EDC+AD=??BD．(2)探究證明將直線MN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置寫(xiě)出此時(shí)線段DCADBD(3)拓展延伸在直線MN繞點(diǎn)A△ABDCD長(zhǎng)為1BD的長(zhǎng)．(1)2(2)AD-DC=2BD(3)BD=AD=2+1．(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出DCADBD之間的數(shù)量關(guān)系(2)過(guò)點(diǎn)B作BE⊥BDMN于點(diǎn)E．AD交BC于O，證明ΔCDB≌ΔAEBCD=AEEB=BD，根據(jù)ΔBEDDE=2BD，再根據(jù)DE=AD-AE=AD-CD.(3)根據(jù)ABCDD在線段AB的垂直平分線上且在AB的右側(cè)時(shí)，△ABD的面積最大．在DA上截取一點(diǎn)H得CD=DH=1CH=AH=2，6由BD=AD即可得出答案.解：(1)如圖1中，由題意：ΔBAE≌ΔBCD，∴AE=CDBE=BD，∴CD+AD=AD+AE=DE，∵ΔBDE是等腰直角三角形，∴DE=2BD，∴DC+AD=2BD，故答案為2．(2)AD-DC=2BD．B作BE⊥BDMN于點(diǎn)E．AD交BC于O．∵∠ABC=∠DBE=90°，∴∠ABE+∠EBC=∠CBD+∠EBC，∴∠ABE=∠CBD．∵∠BAE+∠AOB=90°∠BCD+∠COD=90°∠AOB=∠COD，∴∠BAE=∠BCD，∴∠ABE=∠DBC．又∵AB=CB，∴ΔCDB≌ΔAEB，∴CD=AEEB=BD，∴ΔBD為等腰直角三角形，DE=2BD．∵DE=AD-AE=AD-CD，∴AD-DC=2BD．(3)如圖3ABCDD在線段AB的垂直平分線上且在AB的右側(cè)時(shí)，△ABD的面積最大．此時(shí)DG⊥ABDB=DADA上截取一點(diǎn)HCD=DH=1CH=AH=2，∴BD=AD=2+1．圖形特性是解題的關(guān)鍵.71如圖，AB=BCAB⊥BCAE⊥BD于FBC⊥CD，求證：EC=AB-CD．見(jiàn)解析利用ASA證明出△ABE≌△BCD證明：∵AB⊥BCCD⊥BC，∴∠ABC=∠ACD=90°∴∠AEB+∠A=90°∵AE⊥BD∴∠BFE=90°∴∠AEB+∠FBE=90°∴∠A=∠FBE，又∵AB=BC，∴△ABE≌△BCD，∴AB=BCBE=CD，∴EC=BC-BE=AB-CD思想來(lái)間接證明．8∠B=∠2=∠C(BE=AC或EF=AE或BF=EC)△BEF≌△CAE(AAS或ASA)證明過(guò)程：∵∠1=180°-∠2-∠3∠4=180°-∠C-∠3∵∠2=∠C∴∠1=∠4∵∠B=∠CBE=AC或EF=AE或BF=EC△BEF≌△CAE(AAS或ASA)1ABC中，AB=AC=2∠B=40°D在線段BC上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)D不與點(diǎn)BC重合)AD，作∠ADE=40°DE交線段AC于點(diǎn)E．(1)當(dāng)∠BDA=115°時(shí)，∠EDC=______°∠AED=______°；(2)線段DC的長(zhǎng)度為何值時(shí)，△ABD≌△DCE(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ADE∠BDA說(shuō)明理由．(1)25°65°(2)2(3)可以，110°或80°.(1)利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解題；(2)當(dāng)DC=2∠DEC+∠EDC=140°∠ADB+∠EDC=140°∠ADB=∠DECAB=DC=2△ABD≌△DCE．(3)當(dāng)∠BDA的度數(shù)為110°或80°時(shí)，△ADE的形狀是等腰三角形．解：(1)∵∠B=40°∠ADB=115°，∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-115°-40°=25°，∵AB=AC，∴∠C=∠B=40°，∵∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=25°，∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=115°，∴∠AED=180°-∠DEC=180°-115°=65°；(2)當(dāng)DC=2時(shí)，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，9又∵AB=DC=2，在△ABD和△DCE中，∠B=∠C∠ADB=∠DECAB=DC∴△ABD≌△DCE(AAS)；(3)當(dāng)∠BDA的度數(shù)為110°或80°時(shí)，△ADE的形狀是等腰三角形，∵∠BDA=110°時(shí)，∴∠ADC=70°，∵∠C=40°，∴∠DAC=70°，∴△ADE的形狀是等腰三角形；∵當(dāng)∠BDA的度數(shù)為80°時(shí)，∴∠ADC=100°，∵∠C=40°，∴∠DAC=40°，∴△ADE的形狀是等腰三角形．模型講解AP是∠BAC的平分線，BO⊥APOBO交AC于點(diǎn)D△ABO≌△ADO,AB=ADOB=OD．△ABO與△ADO中，∠BAO=∠DAO,AO=AO,∠AOB=∠AOD,∴△ABO≌△ADO，∴AB=AD,OB=OD．1ΔABC中，AB=AC∠A=90°∠ACB的平分線CD交AB于點(diǎn)E∠BDC=90°，求證：CE=2BD.10見(jiàn)解析.延長(zhǎng)BD交CA的延長(zhǎng)線于F△ACE≌△ABFCE=BF△CBD≌△CFD出BD=DF延長(zhǎng)BD交CA的延長(zhǎng)線于F，∵∠BAC=90°∴∠BAF=∠BAC=90,∠ACE+∠AEC=90°∵∠BDC=90°∴∠BDC=∠FDC=90°∴∠ABF+∠BED=90°∵∠AEC=∠BED∴∠ACE=∠ABF∵AB=AC∴ΔACE≌ΔABF(ASA)∴CE=BF∵CD平分∠ACB∴∠ACD=∠BCD∵CD=CD∴ΔCBD≌ΔCFD(ASA)1∴BD=FD=BF212∴BD=CE∴CE=2BD鍵．SSA(胖瘦模型)胖瘦模型--模型講解△ABC中，AB=ACP在線段BC上且P不是BC的中點(diǎn)．11(變胖)BC上截取CQ=BPAQ△ABQ≌△ACP(SAS),AP=AQ．6(變瘦)BC上截取CQ=BPAQ△ABP≌ACQ(SAS),AP=AQ．A作AM⊥BCM,△ABM≌△ACM(SAS)．SSA．處理方法：1變胖(加等腰)．2變瘦(減等腰)．1ABCD中，BC>BAAD=CDBD平分∠ABC，求證：∠A+∠C=180°．見(jiàn)解析先在線段BC上截取BE=BA,連接DE,根據(jù)BD平分∠ABC,可得∠ABD=∠EBD,AB=EB根據(jù)∠ABD=∠EBD,可判定△ABD≌△EBD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得:AD=ED,∠A=∠BED．BD=BD再根據(jù)AD=CD,等量代換可得ED由∠BED+∠DEC=180°,可得∠A+∠C=180°=CD,根據(jù)等邊對(duì)等角可得:∠DEC=∠C．．證明:在線段BC上截取BE=BA,連接DE,如圖所示,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠EBD,AB=EB在△ABD和△EBD中,∠ABD=∠EBD,BD=BD∴△ABD≌△EBD(SAS),12∴AD=ED,∠A=∠BED．∵AD=CD,∴ED=CD,∴∠DEC=∠C．∵∠BED+∠DEC=180°,∴∠A+∠C=180°．本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì).實(shí)踐練1△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△EDCADE在同一條直線上．若∠ACB=20°，則∠ADC的度數(shù)是()A.60°B.65°C.70°75°B根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解答即可；∵將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△EDC，∴△ABC?△EDC，∴∠DCE=∠ACB=20°∠BCD=∠ACE=90°AC=CE，∴∠ACD=90°-20°=70°，∵點(diǎn)ADE在同一條直線上，∴∠ADC+∠EDC=180°，∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°，∴∠ADC=∠E+20°，∵∠ACE=90°AC=CE，13∴∠DAC+∠E=90°∠E=∠DAC=45°，∴∠ADC=65°；故選：B．2如圖所示的正方形ABCDE在邊CD△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ABF∠FAB=20°．旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是()A.110°B.90°C.70°20°B根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=AD∠BAD=90°△ADE≌△ABF∠FAE=∠BAD=90°∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD∠BAD=90°，由旋轉(zhuǎn)得△ADE≌△ABF，∴∠FAB=∠EAD，∴∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，∴∠FAE=∠BAD=90°，∴旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是90°，故選：B．3△ABC中，AB=6BC=10BD是邊ACBD的長(zhǎng)度可能為()A.1B.2C.58C延長(zhǎng)BD至點(diǎn)EBD=DECE△ABD≌△CEDCE=ABBD的取值范圍．BD至點(diǎn)EBD=DECE，∵BD是邊AC上的中線，∴AD=CD，又∵∠ADB=∠CDE，∴△ABD≌△CEDSAS，∴CE=AB=6∴BC-CE<BE<BC+CE，14∴10-6<BE<10+6：4<BE<16，∴2<BD<8，故選C．角形全等．4E是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB=90°AE平分∠BACD是邊ABDE交邊BC于點(diǎn)FAB=6EF=1AC的長(zhǎng)為()A.7B.8C.910B延長(zhǎng)BE交AC于HΔHAE?ΔBAEAH理解答即可．BE交AC于H，∵AE平分∠BAC，∴∠HAE=∠BAE，∠HAE=∠BAE在ΔHAE和ΔBAE中，AE=AE，∠AEH=∠AEB∴ΔHAE?ΔBAE(ASA)，∴AH=AB=6HE=BE，∵HE=BEAD=DB，∴DF?AC，∵HE=BE，∴HC=2EF=2，∴AC=AH+HC=8，故選：B．理是解題的關(guān)鍵．5ΔABC中，∠ACB=90°AC=BCC的坐標(biāo)為(-2,0)A的坐標(biāo)為(-6,3)B的坐標(biāo)()15A.3,4B.2,3C.2,41,4D由題意過(guò)A和B分別作AD⊥OC于DBE⊥OC于E△ADC≌△CEB由全等三角形的性質(zhì)和已知數(shù)據(jù)即可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)．A和B分別作AD⊥OC于DBE⊥OC于E，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE，∠ADC=∠CBE=90°在△ADC和△CEB中，∠CAD=∠BCEAC=BC∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴DC=BEAD=CE，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-20)A的坐標(biāo)為(-63)，∴OC=2AD=CE=3OD=6，∴CD=OD-OC=4OE=CE-OC=3-2=1，∴BE=4，∴則B點(diǎn)的坐標(biāo)是(14)．故選：D.AAS證B的坐6如圖，∠ACB=90°AC=BCAE⊥CE于點(diǎn)EBD⊥CD于點(diǎn)DAE=5cmBD=2cmDE的長(zhǎng)是()A.8cmB.4cmC.3cm2cmC∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD∠CAE=∠BCDΔAEC?ΔCDB后求解．∵∠ACB=90°AC=BCAE⊥CE于EBD⊥CE于D，∴∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，∴∠CAE=∠BCD，又∵∠AEC=∠CDB=90°AC=BC，∴ΔAEC?ΔCDB．∴CE=BD=2CD=AE=5，∴ED=CD-CE=5-2=3(cm)．故選：C．16∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD∠CAE=∠BCD7如圖，△ABC按順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)40°得△AEDD恰好在邊BC∠C=°．70由于△ABC按順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角后成為△AEDAD=AC∠EAB=∠CAD=40°由三角形內(nèi)角和定理即可求出答案．∵△ABC按順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角后成為△AED，∴△ABC≌△AED，∴AD=AC∠EAB=∠CAD=40°，180°-∠CAD180°-40°∴∠C===70°．22故答案為：70．8△ABC中，∠ACB=90°△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AEFBC交EF于點(diǎn)DBD=5BC=4DE=．3AD．證明Rt△ADF≌Rt△ADC(HL)DF=DC=1AD．AD=AD在Rt△ADF和Rt△ADC中，，AF=AC∴Rt△ADF≌Rt△ADC(HL)，∴DF=DC，∵BD=5BC=4，∴CD=DF=5-4=1，∵EF=BC=4，∴DE=EF-DF=4-1=3．故答案為：3．179OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，OC的坐標(biāo)是(32)A的坐標(biāo)是．(-23)作AD⊥y軸于點(diǎn)DCE⊥x軸于點(diǎn)E△AOD≌△COEC(32)以O(shè)D=OE=3AD=CE=2A在第二象限求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．作AD⊥y軸于點(diǎn)DCE⊥x軸于點(diǎn)E∠ADO=∠CEO=90°，∵四邊形OABC是正方形，∴∠AOC=∠DOE=90°OA=OC，∴∠AOD=∠COE=90°-∠COD，∠ADO=∠CEO在△AOD和△COE中，∠AOD=∠COE，OA=OC△AOD≌△COE(AAS)，∵C(32)，∴OD=OE=3AD=CE=2，∵點(diǎn)A在第二象限，∴A(-23)，故答案為：(-23)．鍵．10在△ABC中，AB=8AC=6BC邊上的中線AD的取值范圍是1<AD<7．延長(zhǎng)AD至EDE=AD△ABD≌△ECDSASCE=ABAE得解．AD至EDE=ADCE．DE=AD在△ABD和△ECD中，∠ADB=∠CDEDB=DC∴△ABD≌△ECDSAS，∴CE=AB，在△ACE中，CE-AC<AE<CE+AC，即2<2AD<14故1<AD<7．18故答案為：1<AD<7．角形是解題的關(guān)鍵．11(2016育才周測(cè))ΔABC和ΔCDEACE在同一直線上，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)PBE與CD交于點(diǎn)QPQ．①AD=BEPQ∥AEAP=BQDE=DP∠AOB=60°．成立的結(jié)論有．并寫(xiě)出3對(duì)全等三角形．】①②③⑤△ACD≌△BCE△BCQ≌△ACP△CDP≌△CEQ可證明△ACD≌△BCE,從而得出AD=BE；②可通過(guò)證明△BCQ≌△ACP△PCQPQ∥AE．③由②中△BCQ≌△ACPAP=BQ；④通過(guò)證明△CDP≌△CEQ可得DP=EQDE>QE④錯(cuò)誤；⑤通過(guò)三角形外角定理和前面△ACD≌△BCE可得該結(jié)論．由前面的證明過(guò)程可得出三個(gè)全等三角形．△ABC和△DCEACE在同一條直線上，∴AC=BCEC=DC∠BCE=∠ACD=120°∴△ACD≌△BCE∴AD=BE②∵△ACD≌△BCE，∴∠CBQ=∠CAP，又∵∠PCQ=∠ACB=60°CB=AC，∴△BCQ≌△ACP，∴CQ=CP∠PCQ=60°，∴△PCQ為等邊三角形，∴∠QPC=60°=∠ACB，∴PQ∥AE③由②△BCQ≌△ACP可得AP=BQ④∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵CD=CE∠DCP=∠ECQ=60°，∴△CDP≌△CEQ(ASA)．∴DP=EQ，∵DE>QE∴DE>DP⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°19∴由上面證明過(guò)程可知△ACD≌△BCE△BCQ≌△ACP△CDP≌△CEQ．△ACD≌△BCE△BCQ≌△ACP△CDP≌△CEQ．60°的特征判斷三角形全等是解題關(guān)鍵．12ABCD中，BC>BAAD=DCBD平分∠ABC∠A+∠C的度數(shù)是度．180BC上取一點(diǎn)E使BE=BADE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD，∵BA=BEBD=BD，∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠A=∠BEDAD=DE，∵AD=DC，∴DE=DC，∴△DEC為等腰三角形，因此∠C=∠DEC，∴∠A+∠C=∠BED+∠DEC=180°．故答案為180法．1320(1)如圖1∠BAD=90°AB=ADB作BC⊥AC于點(diǎn)CD作DE⊥AC于點(diǎn)E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°∠1=∠D．又∠ACB=∠AED=90°△ABC≌△DAE．進(jìn)而得到AC=BC=AEK(2)如圖2∠BAD=∠CAE=90°AB=ADAC=AEBC,DEBC⊥AF于點(diǎn)FDE與直線AF交于點(diǎn)GG是DE的中點(diǎn)；(3)如圖3ABCD和DEGF為正方形，△AFD的面積為S△DCE的面積為SS+S=10．1212求出S1的值．(1)DE(2)見(jiàn)解析(3)5(1)由△ABC≌△DAE即可求解；(2)作DM⊥AF,EN⊥AF用K的結(jié)論可得△ABF≌△DAM,△ACF≌△EANDM=EN△DMG≌△ENG即可；(3)作PQ⊥CE,AM⊥PQ,FN⊥PQ用K的結(jié)論可得△ADM≌△DCP,△DFN≌△EDP一步可證△AMQ≌△FNQ(1)解：∵△ABC≌△DAE∴AC=DE故答案為：DE；(2)DM⊥AF,EN⊥AFK△ABF≌△DAM,△ACF≌△EAN∴AF=DM,AF=EN∴DM=EN∵∠DMG=∠ENG=90°,∠DGM=∠BGN∴△DMG≌△ENG∴GM=GN即G是DE的中點(diǎn)(3)解PQ⊥CE,AM⊥PQ,FN⊥PQ∵四邊形ABCD和四邊形DEGF均為正方形∴∠ADC=∠EDF=90°,AD=CD,DE=DFK△ADM≌△DCP,△DFN≌△EDP∴SADM=S,SDFN=SAM=DP,FN=DP∵∠AMQ=∠FNQ=90°,∠AQM=∠FQN∴△AMQ≌△FNQ∴S=S∴S+S+SDFN=S+S+SDFN=SADM+SDFN=S+S即：S=S2∵S+S=1012∴S=514(1如圖1ABCD中，AB=AD∠ABC=∠ADC=90°∠BAD=100°∠EAF=50°21線段BEDFEF(2如圖2ABCD中，AB=AD∠ABC+∠ADC=180°∠BAD=2∠EAF．請(qǐng)寫(xiě)出線段BE，DFEF(3如圖3(O處)北偏東20°的A處．艦艇乙在指揮中心南偏西50°的B80海里/時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/達(dá)CD75°．請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)兩艦艇之間的距離．(1)EF=BE+DF(2)EF=BE+DF(3)85海里(1)延長(zhǎng)CD至點(diǎn)GDG=BEAG△ABE≌△ADGAE=AG∠BAE=∠DAG∠BAD=100°∠EAF=50°△AEF≌△AGF，從而得到EF=FG(2)延長(zhǎng)CD至點(diǎn)HDH=BEAH△ABE≌△ADHAE=AH∠BAE=∠DAH∠BAD=2∠EAF△AEF≌△AHFEF=FH(3)連接CDACBD交于點(diǎn)M∠AOB=2∠COD∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°(2得：CD=AC+BD(1)EF=BE+DFCD至點(diǎn)GDG=BEAG，∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠ADG=∠ABC=90°，∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG，∴AE=AG∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=100°∠EAF=50°，∴∠BAE+∠DAF=50°，∴∠FAG=∠EAF=50°，∵AF=AF，∴△AEF≌△AGF，∴EF=FG，∵FG=DG+DF，∴EF=DG+DF=BE+DF；(2)EF=BE+DFCD至點(diǎn)HDH=BEAH，∵∠ABC+∠ADC=180°∠ADC+∠ADH=180°，22∴∠ADH=∠ABC，∵AB=AD，∴△ABE≌△ADH，∴AE=AH∠BAE=∠DAH，∵∠BAD=2∠EAF∴∠EAF=∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAH，∴∠EAF=∠HAF，∵AF=AF，∴△AEF≌△AHF，∴EF=FH，∵FH=DH+DF，∴EF=DH+DF=BE+DF；(3)CDACBD交于點(diǎn)M，∠AOB=20°+90°+40°=150°∠OBD=60°+50°=110°∠COD=75°∠OAM=90°-20°=70°OA=OB，∴∠AOB=2∠COD∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°，∵OA=OB，∴由(2CD=AC+BD，∵AC=80×0.5=40BD=90×0.5=45，∴CD=40+45=85海里．即此時(shí)兩艦艇之間的距離85海里．思想的應(yīng)用．15已知：△ABC≌△DEC∠ACB=90°∠B=32°．(1)如圖1當(dāng)點(diǎn)D在AB上，∠ACD．(2)如圖2猜想△BDC與△ACE的面積有何關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．()(1)64°(2)SBDC=SACE23(1)由全等可知CA=CDD在AB上時(shí)，△CAD(2)(1)解：∵△ABC≌△DEC，∴CA=CD，又∵∠ACB=90°∠B=32°，∴∠A=∠ADC=90°-32°=58°，∴在△ACD中，∠ACD=180°-∠A-∠ADC=180°-2×58°=64°，故答案為：64°．(2)B作△BDC的邊CD上的高BGE作△ACE的邊AC△ABC≌△DEC知：∠BCG+∠DCF=90°∠ECF+∠DCF=90°CD=AC，∴∠BCG=∠ECF(同角的余角相等)，∴在Rt△BCG與Rt△ECF中有：∠BCG=∠ECF∠BGC=∠EFC=90°BC=EC∴Rt△BCG≌Rt△ECF(AAS)，∴BG=EF，1212∵S=CD?BGS=AC?EF，∵CD=ACBG=EF，∴SBDC=S故答案為：SBDC=S，．:16如圖1△ABC和△ABD中，∠BAC=∠ABD=90°C和點(diǎn)D在ABE為AD邊上的AC=AECE交直線AB于點(diǎn)GA作AF⊥AD交直線CE于點(diǎn)F．(Ⅰ)求證：△AGE≌△AFC；(Ⅱ)若AB=AC：AD=AF+BD；(Ⅲ)如圖2AB=ACC和點(diǎn)D在ABADAFBD的數(shù)量關(guān)系．(Ⅰ)見(jiàn)解析；(Ⅱ)見(jiàn)解析；(Ⅲ)AF=AD+BD(Ⅰ)先判斷出∠ACF=∠AEG∠CAF=∠EAG24(Ⅱ)先用ASA判斷出△ACM≌△ABDAM=ADCM=BD(Ⅰ)知，△AGE≌△AFC∠AGE=∠AFCCM∥AB∠MCF=∠AGCMF=CM(Ⅲ)同(Ⅱ)(Ⅰ)∵AC=AE，∴∠ACF=∠AEG，∵AF⊥AD，∴∠DAF=90°=∠CAB，∴∠DAF-∠FAG=∠CAB-∠FAG，∴∠CAF=∠EAG，∠AEG=∠ACF在△AGE和△AFC中，AE=AC，∠EAG=∠CAF∴△AGE≌△AFC(ASA)；(Ⅱ)如圖1C作CM⊥ACAF延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，∴∠ACM=90°=∠ABD，由(Ⅰ)知，∠CAF=∠EAB，∠CAF=∠BAE在△ACM和△ABD中，AC=AB，∠ACM=∠ABD=90°∴△ACM≌△ABD(ASA)，∴AM=ADCM=BD，由(Ⅰ)知，△AGE≌△AFC，∴∠AGE=∠AFC，∴180°-∠AGE=180°-∠AFC，∴∠AGC=∠AFG，∵∠CFM=∠AFG，∴∠AGC=∠CFM，∵∠BAC=90°=∠ACM，∴∠BAC+∠ACM=180°，∴CM∥AB，∴∠MCF=∠AGC，∴∠CFM=∠MCF，∴MF=CM，∴AM=AF+CM，∴AD=AF+BD；(Ⅲ)AD=AF-BD；過(guò)點(diǎn)C作CM⊥ACAF于點(diǎn)M，∴∠ACM=90°=∠ABD，由(Ⅰ)知，∠CAF=∠EAB，∠CAF=∠BAE在△ACM和△ABD中，AC=AB，∠ACM=∠ABD=90°∴△ACM≌△ABD(ASA)，25∴AM=ADCM=BD，由(Ⅰ)知，△AGE≌△AFC，∴∠G=∠F，∵∠BAC=90°=∠ACM，∴CM∥AB，∴∠MCF=∠G，∴∠F=∠MCF，∴MF=CM，∴AF=AM+CM=AD+BD，故答案為：AF=AD+BD．17已知，△ABC中，∠BAC=90°AB=ACm過(guò)點(diǎn)ABD⊥m于DCE⊥m于Em繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖1DE=BD+CE．(1)當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖2BD與DECE的關(guān)系如何？請(qǐng)予證明；(2)直線m在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，BDDECE存在哪幾種不同的數(shù)量關(guān)系？(明)(1)DE=BD-CE(2)DE=BD+CEDE=BD-CEDE=CE-BD．(1)利用條件證明△ABD≌△CAE，再結(jié)合線段的和差可得出結(jié)論；(2)BDDECE存在3種不同的數(shù)量關(guān)系；(1)2，∵BD⊥mCE⊥m，∴∠BDA=∠CEA=90°，∴∠ABD+∠DAB=90°．∵∠BAC=90°，∴∠DAB+∠CAE=90°，∴∠ABD=∠CAE．∠BDA=∠CBA在△ABD和△CAE中，∠ABD=∠CAB，AB=CA∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴AD=CEBD=AE∵DE=AE-AD，∴DE=BD-CE．(2)直線m在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，BDDECE存在3種不同的數(shù)量關(guān)系：DE=BD+CEDE=26BD-CEDE=CE-BD．如圖1時(shí)，DE=BD+CE，如圖2時(shí)，DE=BD-CE，如圖3時(shí)，DE=CE-BD(證明同理)18△ABC和△AEF中，∠B=∠EAB=AEBC=EF∠EAB=25°∠F=57°BC分別交AFEF于點(diǎn)MN．(1)請(qǐng)說(shuō)明∠EAB=∠FAC的理由；(2)△A