安徽省池州市貴池區(qū)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

九年級(jí)數(shù)學(xué)隨堂練習(xí)（九月份）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）1.“長(zhǎng)城是中華民族的驕傲”的英文是“”．在這句英文中，字母“i”出現(xiàn)的頻率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查求頻率，直接利用頻率公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：一共40個(gè)字母，字母“i”出現(xiàn)了4次，∴；故選C．2.適量的運(yùn)動(dòng)有助于身體健康．經(jīng)常運(yùn)動(dòng)的人在靜息狀態(tài)下心率的范圍是60次/分～80次/分．某校籃球隊(duì)15名學(xué)生的心率測(cè)量數(shù)據(jù)如下表：心率/（次/分）6068707380人數(shù)/名25512則這15名學(xué)生心率的中位數(shù)是（）A.65次/分 B.67.5次/分 C.70次/分 D.72.5次/分【答案】C【解析】【分析】本題考查了確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，找中位數(shù)的時(shí)候一定要先將數(shù)據(jù)排好順序，如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個(gè)，則正中間的數(shù)字即為所求；如果數(shù)據(jù)有偶數(shù)個(gè)，則找中間兩位數(shù)的平均數(shù)．【詳解】解：∵共有15名學(xué)生，中位數(shù)是第8個(gè)數(shù)，∴這15名學(xué)生心率的中位數(shù)是70次/分；故選：C．3.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查二次根式有意義的條件，掌握被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)非負(fù)性求出的值即可得到答案．【詳解】解：由題意得：，解得，，，，故選B．4.象棋是中國的傳統(tǒng)棋種．如圖所示的象棋盤中，各個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．“馬”從圖中的位置出發(fā)，按照“馬走日”的規(guī)則，走一步之后的落點(diǎn)與“帥”的最大距離是（）A.5 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題借助象棋中的“馬走日”的規(guī)則考察了兩點(diǎn)之間的距離公式，解題的關(guān)鍵是讀懂題意．先按照“馬走日”的規(guī)則，找出馬走一步之后的落點(diǎn)，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，由圖可知，當(dāng)馬落在店B處與“帥”的距離最大，最大距離是故選A．5.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的化簡(jiǎn)，乘法公式的運(yùn)用，二次根式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的性質(zhì)，乘法公式，二次根式的混合運(yùn)算法則即可求解．【詳解】解：A選項(xiàng)：，故本選項(xiàng)運(yùn)算錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，故本選項(xiàng)運(yùn)算錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，故本選項(xiàng)運(yùn)算錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：，故本選項(xiàng)運(yùn)算正確．故選：D6.若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A. B.且C.且 D.【答案】B【解析】【分析】本題考查一元二次方程的定義、根的判別式以及解一元一次不等式組.根據(jù)一元二次方程的定義結(jié)合根的判別式即可得出關(guān)于a的一元一次不等式組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵關(guān)于x一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，，解得：且．故選：B7.生活中，可以用身體上的尺子：肘、拃、步長(zhǎng)等來估計(jì)距離．某校教室新安裝了一批屏幕為矩形的多媒體設(shè)備，某同學(xué)想知道屏幕有多大，他用手掌測(cè)量得多媒體屏幕的長(zhǎng)是12拃，寬是5拃，請(qǐng)你幫他計(jì)算出多媒體屏幕的對(duì)角線長(zhǎng)度大約是（1拃）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)勾股定理可知多媒體屏幕的對(duì)角線長(zhǎng)度的平方是多媒體屏幕的長(zhǎng)和寬的平方和，據(jù)此求解即可．【詳解】解：由勾股定理得：多媒體屏幕的對(duì)角線長(zhǎng)度（拃），∵1拃，∴多媒體屏幕的對(duì)角線長(zhǎng)度約為，故選：C．8.某校舉辦了運(yùn)動(dòng)會(huì)，在賽跑中，有5位同學(xué)的成績(jī)?nèi)绫硭?，其中有兩個(gè)數(shù)據(jù)被墨水遮蓋了，那么被遮蓋的兩個(gè)數(shù)據(jù)依次是（）同學(xué)甲乙丙丁戊平均成績(jī)方差時(shí)間/sA.，4 B.，2 C.，4 D.，2【答案】A【解析】【分析】本題考查了算術(shù)平均數(shù)和方差．掌握算術(shù)平均數(shù)和方差的定義是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)算術(shù)平均數(shù)的定義求出丙的成績(jī)，再根據(jù)方差的定義列式計(jì)算即可．【詳解】解：丙的成績(jī)?yōu)椋?，方差為：．故選A．9.如圖，在中，，是的中點(diǎn)，作，垂足在線段上，連接，．下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，先證明，再證明，得出，即可得出正確；連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，先證明，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出正確；由得出，再證明，得出，即可得出正確；通過直角三角形的斜邊大于直角邊得出，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】、∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，故原選項(xiàng)正確，不符合題意；、連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，如圖所示：∵是的中點(diǎn)，，∴，∵，∴，∴，故原選項(xiàng)正確，不符合題意；、∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，故原選項(xiàng)正確，不符合題意；、∵，∴，∴，故原選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；故選：．10.如圖，在正方形中，，是對(duì)角線上的兩點(diǎn)，且．若，，則的長(zhǎng)為（）A.5 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，證明，可得，最后利用勾股定理有，即可解題．【詳解】如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，在與中，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定定理和正確作輔助線是解題關(guān)鍵．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11.計(jì)算：______．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，先運(yùn)算乘法，再運(yùn)算減法，即可作答．【詳解】解：故答案為：12.睡眠管理作為“五項(xiàng)管理”中重要的內(nèi)容之一，也是學(xué)校教育重點(diǎn)關(guān)注的內(nèi)容．為了了解學(xué)生的睡眠情況，張老師統(tǒng)計(jì)了八（3）班40名學(xué)生每天的睡眠時(shí)間，結(jié)果如下表所示．該班學(xué)生每天的平均睡眠時(shí)間是______h．睡眼時(shí)間/h8910人數(shù)/人62410【答案】【解析】【分析】本題考查了加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算，根據(jù)表格信息和加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法即可求解，掌握加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（），故答案為：

．13.在中，．若，則的面積為______．【答案】【解析】【分析】本題考查的是完全平方公式的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，先由勾股定理得到，結(jié)合，可得，求解，從而可得答案．【詳解】解：如圖，，∴，∵，∴，即，∴，∴，∴．故答案為：．14.如圖，在菱形中，．（1）菱形的面積為______．（2）若點(diǎn)分別在上，且，連接，則的最小值為______．【答案】①.②.4【解析】【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱-對(duì)短路徑的計(jì)算，全等三角形的判定和性質(zhì)，含特殊角的直角三角形的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）連接交于點(diǎn)，根據(jù)菱形性質(zhì)可得是含角的直角三角形，由此可得的值，根據(jù)菱形的面積計(jì)算方法即可求解；（2）如圖，連接，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，可得，可證四邊形為平行四邊形，可得，于是當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，根據(jù)菱形的性質(zhì)，可證為等邊三角形，，由此三點(diǎn)共線，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)，重合，可知，由此即可求解．【詳解】解：（1）如圖所示，連接，交于點(diǎn)，∵四邊形是菱形，，，∴，且，∴是等邊三角形，∴，則，∵，即，∴，∴，∴，∴菱形的面積為，故答案為：；（2）如圖，連接，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，可得，∵四邊形菱形，，，，∴四邊形為平行四邊形，，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，四邊形是菱形，，∴，∴為等邊三角形，，，，，，，，，三點(diǎn)共線，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)，重合，，∴，即的最小值為4．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15.解方程．（1）．（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程，（1）根據(jù)因式分解法解一元二次方程，即可求解；（2）根據(jù)因式分解法解一元二次方程，即可求解．【小問1詳解】解：，，，或，．【小問2詳解】，，，或，16.計(jì)算．（1）．（2）．【答案】（1）0（2）【解析】【分析】此題考查了二次根式的乘法，化簡(jiǎn)二次根式，平方差公式和完全平方公式，解題的關(guān)鍵是掌握以上運(yùn)算法則．（1）首先計(jì)算二次根式的乘法，化簡(jiǎn)二次根式，然后計(jì)算加減；（2）首先利用平方差公式和完全平方公式化簡(jiǎn)，然后計(jì)算加減．【小問1詳解】；【小問2詳解】．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.如果三角形有一邊上的中線恰好等于這邊的長(zhǎng)，那么我們稱這個(gè)三角形為“夢(mèng)想三角形”．（1）如圖，在中，，．求證：是“夢(mèng)想三角形”．（2）在中，，．若是“夢(mèng)想三角形”，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析（2）3或4【解析】【分析】本題考查了“夢(mèng)想三角形”的定義，等腰三角形三線合一，三角形中線的性質(zhì)，勾股定理，讀懂題意并熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一可知是邊上的中線，且，再利用勾股定理求出的長(zhǎng)度，可知，即可證明；（2）①當(dāng)邊上的中線時(shí)，，利用勾股定理即可求得答案；②當(dāng)邊上的中線時(shí)，，利用勾股定理即可求得答案．【小問1詳解】證明：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，是邊上的中線，由勾股定理得：是“夢(mèng)想三角形”【小問2詳解】解：如圖，若是“夢(mèng)想三角形”，有兩種情況：①當(dāng)邊上的中線時(shí)，,此時(shí)，②當(dāng)邊上的中線時(shí)，，此時(shí)，，即，解得：，綜上所述，或4．18.若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，且．（1）求的取值范圍．（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．（1）由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可得，代入即可解答；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，再由即可得到關(guān)于m的方程，求解即可．【小問1詳解】解：化為一般形式為，∵原方程有實(shí)數(shù)根，且，∴，解得；【小問2詳解】解：由（1）得，，，，解得．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19.2023年10月4日，杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)龍舟項(xiàng)目在溫州龍舟運(yùn)動(dòng)中心開賽．某商店為滿足龍舟愛好者的需求，特推出了龍舟模型．已知該模型每件成本30元，當(dāng)模型售價(jià)為50元時(shí)，10月售出300件，11月、12月銷量持續(xù)走高，假如12月售出507件．（1）求11月、12月這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率．（2）為了讓利于愛好者，商店決定在每月售出507件的基礎(chǔ)上降價(jià)銷售．已知模型單價(jià)每降低1元，可多售出5件．若要使該商店仍能獲利5570元，則每件模型應(yīng)降價(jià)多少元？【答案】（1）（2）10元【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用．（1）設(shè)11月、12月這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率為x，則11月售出件，12月售出件，再根據(jù)十二月售出507件列出方程求解即可；（2）設(shè)每件模型應(yīng)降價(jià)m元，則每件模型的利潤為元，銷售量為件，再根據(jù)獲利5570元列出方程求解即可．【小問1詳解】解：（1）設(shè)11月、12月這兩個(gè)月月平均增長(zhǎng)率為x．根據(jù)題意，得，解得（不合題意，舍去）．答：11月、12月這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率為．【小問2詳解】解：設(shè)當(dāng)模型降價(jià)m元時(shí)，該商店獲利5570元．根據(jù)題意，得，解得（不合題意，舍去）．答：每件模型應(yīng)降價(jià)10元．20.觀察下列等式．第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：．（1）請(qǐng)用含（為正整數(shù)，且）的等式表示上面的規(guī)律，并證明其正確性．（2）若三個(gè)整數(shù)能構(gòu)成直角三角形的三條邊長(zhǎng)，則稱這三個(gè)數(shù)為勾股數(shù)（例如，3，4，5）．現(xiàn)有一個(gè)直角邊為35的直角三角形，它的三邊長(zhǎng)能否為勾股數(shù)？若能，請(qǐng)利用（1）中得出的等式算出這組勾股數(shù)；若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；證明見解析（2）能；35，12，37【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得出規(guī)律，運(yùn)用完全平方公式證明即可；（2）由，根據(jù)上述規(guī)律得出，即可得出結(jié)論；【小問1詳解】解：由題中等式的規(guī)律可得，證明：左邊右邊．【小問2詳解】它的三邊長(zhǎng)能為勾股數(shù)．理由如下：，把代入，得，即，它的三邊長(zhǎng)能為勾股數(shù)，這組勾股數(shù)為35，12，37．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，勾股數(shù)的定義，完全平方公式，數(shù)字類變化規(guī)律等知識(shí)點(diǎn)，能夠根據(jù)題意得出是解題的關(guān)鍵．六、（本題滿分12分）21.像，兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為“有理化因式”．例如，與與與等都是互為“有理化因式”．進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)，利用“有理化因式”可以化去分母中的根號(hào)．（1）化簡(jiǎn)：①______；②______．（2）計(jì)算：．（3）已知，試比較的大小，并說明理由．【答案】（1）①；②（2）（3）；理由見解析【解析】【分析】本題考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合運(yùn)算．熟練掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)，計(jì)算求解即可；②根據(jù)，計(jì)算求解即可；（2）先將括號(hào)中的每一項(xiàng)分母有理化，進(jìn)一步計(jì)算求解即可；（3）由題意得，同理：，，則，進(jìn)而可得．【小問1詳解】①解：，故答案為：；②解：，故答案為：；【小問2詳解】解：．【小問3詳解】解：；理由如下；∵，∴，同理：，，∴，∴．七、（本題滿分12分）22.為了“弘揚(yáng)載人航天精神，厚植愛國主義情懷”，某校團(tuán)委從八、九年級(jí)學(xué)生中各抽取10名進(jìn)行航天知識(shí)競(jìng)賽．為便于統(tǒng)計(jì)成績(jī)，采用了取整數(shù)的計(jì)分方式，滿分10分．此次競(jìng)賽的成績(jī)?nèi)缦卤硭荆簩W(xué)生編號(hào)①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩八年級(jí)8979867a108九年級(jí)87978108779（1）若八年級(jí)學(xué)生和九年級(jí)學(xué)生的平均成績(jī)都是8分，則表中的______．（2）八年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是多少？（3）若八年級(jí)學(xué)生成績(jī)的方差是，請(qǐng)求出九年級(jí)學(xué)生成績(jī)的方差，并判斷哪個(gè)年級(jí)學(xué)生的成績(jī)更為穩(wěn)定．【答案】（1）8（2）8（3）1；九年級(jí)學(xué)生的成績(jī)更為穩(wěn)定【解析】【分析】本題主要考查判平均數(shù)、中位數(shù)、方差的計(jì)算，掌握平均數(shù)、中位數(shù)、方差的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．（1）利用平均數(shù)計(jì)算即可；（2）先將10個(gè)數(shù)由小到大排列，之后根據(jù)中位數(shù)的定義，即可解題；（3）根據(jù)九年級(jí)的平均數(shù)是8，再求出九年級(jí)的方差，之后比較大小即可得到答案．【小問1詳解】解：八年級(jí)學(xué)生的平均成績(jī)是8分，，解得，故答案為：8；【小問2詳解】解：把八年級(jí)學(xué)生的成績(jī)按從小到大的順序排列為6，7，7，8，8，8，8，9，9，1