2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之統(tǒng)計(jì)

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之統(tǒng)計(jì)

選擇題（共10小題）

1.高三某班56人參加了數(shù)學(xué)模擬考試，通過抽簽法，抽取了8人的考試成績(jī)?nèi)缦拢?3,71,91,80,82,

85,106,93,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與70%分位數(shù)分別為（）

A.81,95.5B.81,85C.83.5,92D.83.5,91

2.樣本數(shù)據(jù)14,16,18,20,21,22,24,28的第三四分位數(shù)為（）

A.16B.17C.23D.24

3.某臺(tái)機(jī)器每天生產(chǎn)10000個(gè)零件，現(xiàn)連續(xù)12天檢測(cè)，得到每天的次品零件個(gè)數(shù)依次為：8,12,9,18,

16,17,15,9,18,20,13,11,則這組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)與第60百分位數(shù)之和是（）

A.29B.30C.30.5D.31

4.已知樣本數(shù)據(jù)為尤1、XI、尤3、尤4、無5、尤6、XI,去掉一個(gè)最大值和一個(gè)最小值后的數(shù)據(jù)與原來的數(shù)據(jù)相

比，下列數(shù)字特征一定不變的是（）

A.極差B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.方差

5.南丁格爾玫瑰圖是由近代護(hù)理學(xué)和護(hù)士教育創(chuàng)始人南丁格爾（FlorenceNightingale）設(shè)計(jì)的，圖中每個(gè)

扇形圓心角都是相等的，半徑長短表示數(shù)量大小.某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了近幾年中國知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量（單位:

億人次），并繪制成南丁格爾玫瑰圖（如圖所示），根據(jù)此圖，以下說法正確的是（）

A.2015年至2022年，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量先增加后減少

B.2015年至2022年，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量逐年增加量2022年最多

C.2015年至2022年，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量的逐年增加量逐年遞增

D.2022年知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量超過2015年知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量的10倍

6.甲、乙兩位選手在某次射擊比賽中的成績(jī)（每個(gè)成績(jī)上面點(diǎn)的個(gè)數(shù)表示這個(gè)成績(jī)出現(xiàn)的次數(shù)）如圖所

示，則下列說法不正確的是（)

78810環(huán)數(shù)

甲

78810環(huán)數(shù)

乙

A.甲成績(jī)的平均數(shù)等于乙成績(jī)的平均數(shù)

B.甲成績(jī)的中位數(shù)大于乙成績(jī)的中位數(shù)

C.甲成績(jī)的極差大于乙成績(jī)的極差

D.甲成績(jī)的方差小于乙成績(jī)的方差

7.已知變量x和y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表:

X12345

y66788

根據(jù)上表可得回歸直線方程y=0.6x+a,據(jù)此可以預(yù)測(cè)當(dāng)尤=8時(shí)，y=（）

A.8.5B.9C.9.5D.10

8.某校運(yùn)動(dòng)會(huì)，一位射擊運(yùn)動(dòng)員10次射擊射中的環(huán)數(shù)依次為：7,7,10,9,7,6,9,10,7,8.則下

列說法錯(cuò)誤的是（）

A.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8

B.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7

C.這組數(shù)據(jù)的極差為4

D.這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為9

9.某校為了解在校學(xué)生對(duì)中國傳統(tǒng)文化的傳承認(rèn)知情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行中國傳統(tǒng)文化知識(shí)

考試，并將這100名學(xué)生成績(jī)整理得到如下頻率分布直方圖.根據(jù)此頻率分布直方圖（分成[40,50）,

[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]六組），下列結(jié)論中不正確的是（）

頻率

w

0.032

0.020.............................

a--------------------------

0.008---1......................................................I

0V405060708090100

A.圖中的。=0.012

B.若從成績(jī)?cè)冢?0,80）,［80,90）,［90,100］內(nèi)的學(xué)生中采用分層抽樣抽取10名學(xué)生，則成績(jī)?cè)冢?0,

90）內(nèi)的有3人

C.這100名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)約為65

D.若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，則這100名學(xué)生的平均成績(jī)約為68.2

10.對(duì)一個(gè)容量為N的總體抽取容量為”的樣本，當(dāng)選取抽簽法抽樣、隨機(jī)數(shù)法抽樣和分層隨機(jī)抽樣三種

不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為pi,P2,p2,則（）

A.p1=p2<p3B.p2=p3<piC.P1=P3〈P2D.P1=P2=P3

二.填空題（共5小題）

11.某新能源汽車4s店五月份的前8天汽車銷量（單位：輛）分別為：3,7,11,5,8,15,21,9,則

這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為.

12.為了研究某班學(xué)生的腳步無（單位厘米）和身高y之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為y=4x+

70.該班某學(xué)生的腳長為24,據(jù)此估計(jì)其身高為.

13.用模型y=a0擬合一組數(shù)據(jù)組（羽，9）（z=l,2,???,9）,其中力力…％=e".設(shè)2=/町，變換后

的線性回歸方程為Z=X+5,則Xl+X2+--+X9=.

14.某工廠為研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x（噸）與所需某種原材料的質(zhì)量y（噸）的相關(guān)性，在生產(chǎn)過程中收集

4組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)（尤，》）,如表所示.

尤3456

y2.534m

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出y關(guān)于尤的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.7x+0.35,則表中m的值為.

15.某校數(shù)學(xué)建模興趣小組收集了一組恒溫動(dòng)物體重W（單位：克）與脈搏率單位：心跳次數(shù)/分鐘）

的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)（死，力）（z=l,2,8）,根據(jù)生物學(xué)常識(shí)和散點(diǎn)圖得出了與W近似滿足尸c鏟（c,k

為參數(shù)）.令雙yi^lnfi,計(jì)算得元=8,y=5,久=214.由最小二乘法得經(jīng)驗(yàn)回歸方程

為y=+7.4,則k的值為；為判斷擬合效果，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程求得預(yù)測(cè)值y（i=1,2,

…，8）,若殘差平方和鄧近（絲―％產(chǎn)=0.28,則決定系數(shù)R2P.（參考公式：決定系數(shù)

%(%-兀)2)

R2

%(y-y)2

三.解答題（共5小題）

16.近年來，我國眾多新能源汽車制造企業(yè)迅速崛起.某企業(yè)著力推進(jìn)技術(shù)革新，利潤穩(wěn)步提高.統(tǒng)計(jì)該

企業(yè)2019年至2023年的利潤（單位：億元），得到如圖所示的散點(diǎn)圖.其中2019年至2023年對(duì)應(yīng)的

年份代碼依次為1，2,3,4,5.

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，＞=0+廄和＞=。+公2哪一個(gè)適宜作為企業(yè)利潤》（單位：億元）關(guān)于年份代碼x

的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）根據(jù)（1）中的判斷結(jié)果，建立y關(guān)于x的回歸方程；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)果，估計(jì)2024年的企業(yè)利潤.

參考公式及數(shù)據(jù);

九_(tái)_

x(y—nxy人_A_

o=Z--------，a=y-bx,

\x^—nx2

乙i=]

Xf=ix?=55,琢=979,XLi

%=390,￡乙xtyt=1221,￡乙x?yt=4607.9

利潤y(億元)

100

90

80

75

70

12345年份代碼工

17.某學(xué)校舉辦一場(chǎng)健球比賽.已知璀球比賽的規(guī)則是：若發(fā)球方勝，則發(fā)球方得1分，且繼續(xù)在下一回

合發(fā)球；若接球方勝，則接球方得1分，且成為下一回合發(fā)球方.甲隊(duì)教練現(xiàn)在對(duì)甲、乙兩隊(duì)得到發(fā)球

權(quán)與得分的相關(guān)性進(jìn)行分析，根據(jù)以往比賽結(jié)果得到下表所示的數(shù)據(jù)：

甲隊(duì)得分乙隊(duì)得分合計(jì)

甲隊(duì)發(fā)球302050

乙隊(duì)發(fā)球104050

合計(jì)4060100

（1）根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)回答，在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，可以認(rèn)為發(fā)球權(quán)與得分有關(guān)嗎？

(2)用以往頻率估計(jì)概率，且第一回合是甲隊(duì)發(fā)球，設(shè)第"回合是甲隊(duì)發(fā)球的概率為“2.

(i)求數(shù)列｛p〃｝的通項(xiàng)公式；

3112

(而)設(shè)qn=耳Pw一甲證明：Xili(Qi+i-QiXsinqi+1-sinq^<^-

2

附.y2=--------n(ad-bc)------苴中"=a+6+c+d.

叩?%(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'只中"a+D+c+a,

a=P(X22上)0.1000.0500.0250.0100.001

k2.7063.8415.0246.63510.828

18.某公司為了解年研發(fā)資金無(單位：億元)對(duì)年產(chǎn)值y(單位：億元)的影響，對(duì)公司近8年的年研發(fā)

資金尤，?和年產(chǎn)值V(i6N,1W/W8)的數(shù)據(jù)對(duì)比分析中，選用了兩個(gè)回歸模型，并利用最小二乘法求得

相應(yīng)的y關(guān)于尤的經(jīng)驗(yàn)回歸方程：

@y=13.05%-48.4；@y=0.76x2+c.

(1)求c的值；

(2)已知①中的殘差平方和51^3610,②中的殘差平方和S2-658,請(qǐng)根據(jù)決定系數(shù)選擇擬合效果更

好的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并利用該經(jīng)驗(yàn)回歸方程預(yù)測(cè)年研發(fā)資金為20億元時(shí)的年產(chǎn)值.

參考數(shù)據(jù)：卻=iXi=64,E?=i%=448,Si=i螳=684,鴛=](％—歹尸=32900.

2

參考公式；刻畫回歸模型擬合效果的決定系數(shù)R2=1-%(匕-跖.

V(y-y)2

<i=l

19.人工智能發(fā)展迅猛，在各個(gè)行業(yè)都有應(yīng)用.某地圖軟件接入了大語言模型后，可以為用戶提供更個(gè)性

化的服務(wù)，某用戶提出：“請(qǐng)統(tǒng)計(jì)我早上開車從家到公司的紅燈等待時(shí)間，并形成統(tǒng)計(jì)表."地圖軟件就

將他最近100次從家到公司的導(dǎo)航過程中的紅燈等待時(shí)間詳細(xì)統(tǒng)計(jì)出來，將數(shù)據(jù)分成了[55,65),[65,

75),[75,85),[85,95),[95,105](單位：秒)這5組，并整理得到頻率分布直方圖，如圖所示.

(1)求圖中a的值；

(2)估計(jì)該用戶紅燈等待時(shí)間的中位數(shù)(結(jié)果精確到0.1)；

(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)該用戶在接下來的10次早上從家到公司的出行中，紅燈等待時(shí)間低于85秒

的次數(shù).

時(shí)間/秒

20.為全面貫徹黨的二十大和中央經(jīng)濟(jì)工作會(huì)議精神，落實(shí)國務(wù)院2023年重點(diǎn)工作分工要求，深入實(shí)施

就業(yè)優(yōu)先戰(zhàn)略，多措并舉穩(wěn)定和擴(kuò)大就業(yè)崗位，全力促發(fā)展惠民生，經(jīng)國務(wù)院同意，2023年職業(yè)技能

等級(jí)證書補(bǔ)貼政策正式公布，參加失業(yè)保險(xiǎn)1年以上的企業(yè)職工或領(lǐng)取失業(yè)保險(xiǎn)金人員取得職業(yè)資格證

書或職業(yè)技能等級(jí)證書的，可申請(qǐng)技能提升補(bǔ)貼，每人每年享受補(bǔ)貼次數(shù)最多不超過三次，政策實(shí)施期

限截至2023年12月31日.某機(jī)構(gòu)從本市眾多申報(bào)人員中隨機(jī)抽取200人進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到他們的首次

補(bǔ)貼金額的統(tǒng)計(jì)表(如下)：

2000元以下不低于2000元合計(jì)

男8020100

女7030100

合計(jì)15050200

(1)根據(jù)上述2X2列聯(lián)表，判斷是否有90%的把握認(rèn)為首次補(bǔ)貼金額超過2000元與性別有關(guān)？

(2)從補(bǔ)貼金額不低于2000元的樣本中按照分層抽樣的方法隨機(jī)抽取5人進(jìn)行職業(yè)分析，再從這5

人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行年收入評(píng)估，求抽取的2人都是女性的概率.

附：K2=一+b)已黑)*2)(b+d”n^a+b+c+d.

P(片》如)0.100.050.0100.0050.001

ko2.7063.8416.6357.87910.828

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之統(tǒng)計(jì)

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.高三某班56人參加了數(shù)學(xué)模擬考試，通過抽簽法，抽取了8人的考試成績(jī)?nèi)缦拢?3,71,91,80,82,

85,106,93,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與70%分位數(shù)分別為（）

A.81,95.5B.81,85C.83.5,92D.83.5,91

【考點(diǎn)】抽簽法簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣及其步驟.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】將題目中的8個(gè)數(shù)從小到大排列，再由中位數(shù)與百分位數(shù)的定義得答案.

【解答】解：將題目中的8個(gè)數(shù)從小到大排列為：71,73,80,82,85,91,93,106,

OO-LQCJ

中位數(shù)為第四、五兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，等于=83.5,

又：8X70%=5.6,這組數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)為第六個(gè)數(shù)，等于91.

這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與70%分位數(shù)分別為83.5,91.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查中位數(shù)與百分位數(shù)的定義，是基礎(chǔ)題.

2.樣本數(shù)據(jù)14,16,18,20,21,22,24,28的第三四分位數(shù)為（）

A.16B.17C.23D.24

【考點(diǎn)】百分位數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合百分位數(shù)的定義，即可求解.

【解答】解：樣本數(shù)據(jù)14,16,18,20,21,22,24,28,共8個(gè)，

8X0.75=6,

22+24

故第三四分位數(shù)為------=23.

2

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查百分位數(shù)的定義，是基礎(chǔ)題.

3.某臺(tái)機(jī)器每天生產(chǎn)10000個(gè)零件，現(xiàn)連續(xù)12天檢測(cè)，得到每天的次品零件個(gè)數(shù)依次為：8,12,9,18,

16,17,15,9,18,20,13,11,則這組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)與第60百分位數(shù)之和是（）

A.29B.30C.30.5D.31

【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)；百分位數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】先將零件個(gè)數(shù)從小到大排列，然后根據(jù)中位數(shù)以及百分位數(shù)的求解公式分別求解，進(jìn)而可以求

解.

【解答】解：零件個(gè)數(shù)從小到大排列為：8,9,9,11,12,13,15,16,17,18,18,20,

13+15

所以中位數(shù)為一--=14；

因?yàn)?2X60%=7.2,所以第60百分位數(shù)為第8個(gè)數(shù)，即為16.

所以這組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)與第60百分位數(shù)之和是14+16=30.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中位數(shù)以及百分位數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題.

4.已知樣本數(shù)據(jù)為XI.%2、尤3、尤4、尤5、X6、XI,去掉一個(gè)最大值和一個(gè)最小值后的數(shù)據(jù)與原來的數(shù)據(jù)相

比，下列數(shù)字特征一定不變的是（）

A.極差B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.方差

【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)；用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù).

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】根據(jù)極差、平均數(shù)、中位數(shù)和方差的定義判斷.

【解答】解：根據(jù)題意，將7個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，得到5個(gè)有效評(píng)分，

原始數(shù)據(jù)和有效評(píng)分相比，最中間的數(shù)沒有發(fā)生改變，

所以中位數(shù)不改變，

而極差、平均數(shù)和方差都有可能發(fā)生改變.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，屬于基礎(chǔ)題.

5.南丁格爾玫瑰圖是由近代護(hù)理學(xué)和護(hù)士教育創(chuàng)始人南丁格爾（FlorenceNightingale）設(shè)計(jì)的，圖中每個(gè)

扇形圓心角都是相等的，半徑長短表示數(shù)量大小.某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了近幾年中國知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量（單位:

億人次），并繪制成南丁格爾玫瑰圖（如圖所示），根據(jù)此圖，以下說法正確的是（）

A.2015年至2022年，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量先增加后減少

B.2015年至2022年，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量逐年增加量2022年最多

C.2015年至2022年，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量的逐年增加量逐年遞增

D.2022年知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量超過2015年知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量的10倍

【考點(diǎn)】統(tǒng)計(jì)圖表獲取信息.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中信息逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】解：對(duì)于A,由圖可知，2015年至2022年，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量逐年增加，故A說法錯(cuò)誤；

對(duì)于8和C,知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量的逐年增加量分別為：2016年，0.96-0.48=0.48,

2017年,1.88-0.96=0.92,

2018年，2.95-1.88=1.07,

2019年，3.56-2.95=0.61,

2020年，4.15-3.56=0.59,

2021年，4.77-4.15=0.62,

2022年，5.27-4.77=0.5,

則知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量的逐年增加量不是逐年遞增，故8說

法錯(cuò)誤，C說法錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由5.27>10X0.48,則2022年知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量超過2015年知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量的10倍，故Z)

說法正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了統(tǒng)計(jì)圖的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.甲、乙兩位選手在某次射擊比賽中的成績(jī)(每個(gè)成績(jī)上面點(diǎn)的個(gè)數(shù)表示這個(gè)成績(jī)出現(xiàn)的次數(shù))如圖所

示，則下列說法不正確的是()

78810環(huán)數(shù)

甲

78810環(huán)數(shù)

乙1

A.甲成績(jī)的平均數(shù)等于乙成績(jī)的平均數(shù)

B.甲成績(jī)的中位數(shù)大于乙成績(jī)的中位數(shù)

C.甲成績(jī)的極差大于乙成績(jī)的極差

D.甲成績(jī)的方差小于乙成績(jī)的方差

【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)；用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù).

【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】根據(jù)甲、乙兩位選手在某次射擊比賽中的成績(jī)，結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、極差和方差的計(jì)算方法，

逐項(xiàng)判定，即可求解.

【解答】解：由甲、乙兩位選手在某次射擊比賽中的成績(jī)，

對(duì)于A中，可得甲成績(jī)的平均數(shù)為低=^(7+8x3+9x4+10x2)=8.7,

1

乙成績(jī)的平均數(shù)為河=^Q(8x5+9x34-10x2)=8.7,

可得后=再，所以甲成績(jī)的平均數(shù)等于乙成績(jī)的平均數(shù)，所以A正確；

對(duì)于8中，甲成績(jī)的中位數(shù)為9,乙成績(jī)的中位數(shù)為8.5,

所以甲成績(jī)的中位數(shù)大于乙成績(jī)的中位數(shù)，所以B正確；

對(duì)于C中，甲成績(jī)的極差為10-7=3,乙成績(jī)的極差10-8=2,

所以甲成績(jī)的極差大于乙成績(jī)的極差，所以C正確；

1

對(duì)于D中，甲成績(jī)的方差為受=而[(7—8.7)2+3X(8-8.7)2+4x(9-8.7)2+2x(10-8.7)2]=

0.81,

1

22

乙成績(jī)的方差為或=壺[5X(8-8.7)2+3x(9-8.7)+2x(10-8.7)]=0.61,

所以甲成績(jī)的方差大于乙成績(jī)的方差，所以。錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平均數(shù)、中位數(shù)、極差和方差等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

7.已知變量x和y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：

12345

y66788

根據(jù)上表可得回歸直線方程y=0.6x+a,據(jù)此可以預(yù)測(cè)當(dāng)尤=8時(shí)，y=（）

A.8.5B.9C.9.5D.10

【考點(diǎn)】經(jīng)驗(yàn)回歸方程與經(jīng)驗(yàn)回歸直線.

【答案】D

【分析】由己知求得樣本點(diǎn)的中心的坐標(biāo)，代入線性回歸方程求解a,再取尤=8得答案.

—1+2+3+4+5_-6+6+7+8+8?

【解答】解:x=-------------F-------------=3,y=---------F--------=7,

則樣本點(diǎn)的中心為（3,7）,代入y=0.6x+a,

得7=0.6x3+a,a=5.2,

.'.y=0.6%+5.2,

取x=8時(shí)，預(yù)測(cè)>=0.6X8+5.2=10.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性回歸方程及其應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

8.某校運(yùn)動(dòng)會(huì)，一位射擊運(yùn)動(dòng)員10次射擊射中的環(huán)數(shù)依次為：7,7,10,9,7,6,9,10,7,8.則下

列說法錯(cuò)誤的是（）

A.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8

B.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7

C.這組數(shù)據(jù)的極差為4

D.這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為9

【考點(diǎn)】眾數(shù).

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，由平均數(shù)、眾數(shù)、方差和百分位數(shù)的計(jì)算公式分析選項(xiàng)，綜合可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

1

對(duì)于A,該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)元=指(7+7+10+9+7+6+9+10+7+8)=8,A正確；

對(duì)于8,數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7,8正確；

對(duì)于C,數(shù)據(jù)的極差為10-6=4,C正確；

對(duì)于D數(shù)據(jù)從小到大排列為6,7,7,7,7,8,9,9,10,10,則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為1(9+10)

=9.5,。錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差、極差的計(jì)算，涉及百分位數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

9.某校為了解在校學(xué)生對(duì)中國傳統(tǒng)文化的傳承認(rèn)知情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行中國傳統(tǒng)文化知識(shí)

考試，并將這100名學(xué)生成績(jī)整理得到如下頻率分布直方圖.根據(jù)此頻率分布直方圖(分成[40,50),

[50,60),[60,70),[70,80),)80,90),[90,100]六組)，下列結(jié)論中不正確的是()

A.圖中的a=0.012

B.若從成績(jī)?cè)赱70,80),[80,90),[90,100]內(nèi)的學(xué)生中采用分層抽樣抽取10名學(xué)生，則成績(jī)?cè)赱80,

90)內(nèi)的有3人

C.這100名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)約為65

D.若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，則這100名學(xué)生的平均成績(jī)約為68.2

【考點(diǎn)】頻率分布直方圖的應(yīng)用.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)可判斷4根據(jù)分層抽樣的定義可判斷2,根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的

定義判斷CD.

【解答】解：對(duì)于A,由頻率分布直方圖可知(0.008X2+a+0.02X2+0.032)X10=l,解得。=0.012,

所以A正確；

對(duì)于B,這100名學(xué)生中成績(jī)?cè)冢?0,80）,［80,90）,［90,100］內(nèi)的頻率分別為0.2,0.12,0.08,

所以采用分層抽樣抽取的10名學(xué)生中成績(jī)?cè)冢?0,90）內(nèi)的有10X*竽=3人，故8正確；

對(duì)于C,因?yàn)?.08+0.2=0.28<0.5,0.08+0.2+0.32=0.6>0.5,

所以這100名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)在［60,70）之間，設(shè)中位數(shù)為x,

則（%-60）X0.032=0.22,所以x=66.875,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計(jì)算公式，可得元=45x0.08+55x0.2+65x0.32+75x

0.2+85x0.12+95x0.08=68.2,故D正確.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了中位數(shù)和平均數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

10.對(duì)一個(gè)容量為N的總體抽取容量為W的樣本，當(dāng)選取抽簽法抽樣、隨機(jī)數(shù)法抽樣和分層隨機(jī)抽樣三種

不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為pi,P2,P2,則（）

A.pi=p2Vp3B.P2=P3VpiC.p1—p3<p2D.pi=p2=p3

【考點(diǎn)】抽簽法簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣及其步驟.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合抽簽法抽樣、隨機(jī)數(shù)法抽樣和分層隨機(jī)抽樣的定義，即可求解.

【解答】解：在抽簽法抽樣、隨機(jī)數(shù)法抽樣和分層隨機(jī)抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽中的概率均為0=p2=p3=

n

M-

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查抽簽法抽樣、隨機(jī)數(shù)法抽樣和分層隨機(jī)抽樣的定義，屬于基礎(chǔ)題.

填空題（共5小題）

11.某新能源汽車4s店五月份的前8天汽車銷量（單位：輛）分別為：3,7,11,5,8,15,21,9,則

這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為13.

【考點(diǎn)】百分位數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】13.

【分析】結(jié)合百分位數(shù)的定義，即可求解.

【解答】解：將數(shù)據(jù)從小到大排列得3,5,7,8,9,11,15,21,

11+15

因?yàn)?X75%=6,所以這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為第6個(gè)數(shù)和第7個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即------=13.

2

故答案為：13.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查百分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

12.為了研究某班學(xué)生的腳步無（單位厘米）和身高y之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為y=4x+

70.該班某學(xué)生的腳長為24,據(jù)此估計(jì)其身高為166厘米.

【考點(diǎn)】經(jīng)驗(yàn)回歸方程與經(jīng)驗(yàn)回歸直線.

【專題】方程思想；數(shù)學(xué)模型法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】直接把x=24代入線性回歸方程求解.

【解答】解：在回歸直線方程為y=4x+70中，

取x=24,解得y=4x24+70=166（厘米）.

故答案為：166厘米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性回歸方程及其應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

13.用模型y=a/擬合一組數(shù)據(jù)組（與，9）（z=l,2,???,9）,其中月%…為=/1.設(shè)2=/町，變換后

的線性回歸方程為z=x+5,則xi+x2+…+x9=6.

【考點(diǎn)】經(jīng)驗(yàn)回歸方程與經(jīng)驗(yàn)回歸直線.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】6.

【分析】根據(jù)回歸直線方程，必過樣本點(diǎn)中心（元，2）,再利用換元公式，以及對(duì)數(shù)運(yùn)算公式，化簡(jiǎn)求值.

【解答】解：因?yàn)榫€性回歸方程為z=%+5恒過（元，z）,

因?yàn)樵?gt;2…>9=e".所以歷（yij2-y9）=51,

加一_）、1+）丫2+…+）丫9_"（巧及…丫9）_51

及Iz-g_g__g~f

所以元=z-5=半-5=I，

_2

所以尤1+X2+…+%9=9元=9x—6.

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線性回歸方程的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.某工廠為研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x（噸）與所需某種原材料的質(zhì)量y（噸）的相關(guān)性，在生產(chǎn)過程中收集

4組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)（x,y）,如表所示.

3456

y2.534m

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出y關(guān)于尤的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.7x+0.35,則表中m的值為4.5.

【考點(diǎn)】經(jīng)驗(yàn)回歸方程與經(jīng)驗(yàn)回歸直線.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】4.5.

【分析】根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=0.7x+0.35過樣本中心點(diǎn)（元，y）求解即可.

1

【解答】解：由題意可知，h=^x（3+4+5+6）=4.5,

因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程y=0.7x+0.35過樣本中心點(diǎn)（元，歹），

所以歹=0.7X4.5+0.35=3.5,

所以歹=,x（2.5+3+4+/77）=3.5,

解得”2=4.5.

故答案為：4.5.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了經(jīng)驗(yàn)回歸方程的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15.某校數(shù)學(xué)建模興趣小組收集了一組恒溫動(dòng)物體重W（單位：克）與脈搏率單位：心跳次數(shù)/分鐘）

的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)（死，力）（z=l,2,8）,根據(jù)生物學(xué)常識(shí)和散點(diǎn)圖得出了與W近似滿足尸c鏟（c,k

為參數(shù)）.令雙yi^lnfi,計(jì)算得元=8,y=5,英=214.由最小二乘法得經(jīng)驗(yàn)回歸方程

為y=6久+7.4,則上的值為-0.3；為判斷擬合效果，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程求得預(yù)測(cè)值y（i=1,2,

…，8）,若殘差平方和￡乙（%-%）2=0.28,則決定系數(shù)網(wǎng)能0.98.（參考公式：決定系數(shù)R2=

1垢-f匕

Ci（y-y）2

【考點(diǎn)】決定系數(shù)與模型的擬合效果.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】-0.3；0.98.

【分析】把元=8,歹=5代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=6乂+7.4,求出6的值，即為左的值，再利用決定系數(shù)

R2的計(jì)算公式求出R2的值即可.

【解答】解：??%=8,歹=5,經(jīng)驗(yàn)回歸方程為丫=b%+7.4,

：?5=8b+7.4,

：.b=-0.3,

對(duì)尸c那（c,左為參數(shù)）兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，lnf=lnc+klnW,

,**令Xi=InWi9yi=Infi，

k=b=—0.3,

i+t八3-r/rnn2i0.280.280.28rico

由公式可知，---------n=11---------------=1A---------------2=0.98.

x幺1(y-y)■=1y；2-8y?214—8x5^

故答案為：-0.3；0.98.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線性回歸方程的性質(zhì)，考查了決定系數(shù)W的計(jì)算，屬于中檔題.

三.解答題（共5小題）

16.近年來，我國眾多新能源汽車制造企業(yè)迅速崛起.某企業(yè)著力推進(jìn)技術(shù)革新，利潤穩(wěn)步提高.統(tǒng)計(jì)該

企業(yè)2019年至2023年的利潤（單位：億元），得到如圖所示的散點(diǎn)圖.其中2019年至2023年對(duì)應(yīng)的

年份代碼依次為1,2,3,4,5.

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，＞=。+廄和〉='+公2哪一個(gè)適宜作為企業(yè)利潤y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x

的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）根據(jù)（1）中的判斷結(jié)果，建立y關(guān)于x的回歸方程;

（3）根據(jù)（2）的結(jié)果，估計(jì)2024年的企業(yè)利潤.

參考公式及數(shù)據(jù);

"J"x(yrnxy--

b=--------,a=y-bx,

\x^—nx2

乙i=]

￡乙*=55,xi=979,￡?=i%=390,￡之1々%=1221,=4607.9

八利潤y(億元)

100

90?

80?

75.??

70

12345年秋代碼工

【考點(diǎn)】經(jīng)驗(yàn)回歸方程與經(jīng)驗(yàn)回歸直線.

【專題】方程思想；數(shù)學(xué)模型法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)y=c+左適宜作為企業(yè)利潤y(單位：億元)關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型；

(2)y=68.65+0.85/；

(3)估計(jì)2024年的企業(yè)利潤為99.25億元.

【分析】(1)由散點(diǎn)圖直接得結(jié)論；

(2)利用最小二乘法求出d與c的值，可得y關(guān)于尤的回歸方程；

(3)在(2)中求得回歸方程中，取x=6求解y值即可.

【解答】解：(1)由散點(diǎn)圖可知，y=c+公2適宜作為企業(yè)利潤》(單位：億元)關(guān)于年份代碼尤的回歸

方程類型；

(2)由題意得：x2=@)2=11,y-fSF=iy；=1X390=78,

,_詠1*%-5x(x2)7_4607.9—5x散手_317.9_

"=%的2-5x(逶2=979_5?野=討=。85,

c—y—dx(x2)=—0.85x津=68.65,

關(guān)于x的回歸方程為y=68.65+0.85/.

(3)在(2)中求得回歸方程y=68.65+0.85*2中,

令x=6,得y=68.65+0.85X62=99.25,估計(jì)2024年的企業(yè)利潤為99.25億元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

17.某學(xué)校舉辦一場(chǎng)建球比賽.已知建球比賽的規(guī)則是：若發(fā)球方勝，則發(fā)球方得1分，且繼續(xù)在下一回

合發(fā)球；若接球方勝，則接球方得1分，且成為下一回合發(fā)球方.甲隊(duì)教練現(xiàn)在對(duì)甲、乙兩隊(duì)得到發(fā)球

權(quán)與得分的相關(guān)性進(jìn)行分析，根據(jù)以往比賽結(jié)果得到下表所示的數(shù)據(jù)：

甲隊(duì)得分乙隊(duì)得分合計(jì)

甲隊(duì)發(fā)球302050

乙隊(duì)發(fā)球104050

合計(jì)4060100

(1)根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)回答，在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，可以認(rèn)為發(fā)球權(quán)與得分有關(guān)嗎？

(2)用以往頻率估計(jì)概率，且第一回合是甲隊(duì)發(fā)球，設(shè)第”回合是甲隊(duì)發(fā)球的概率為外.

(0求數(shù)列｛"｝的通項(xiàng)公式；

、31、12

⑺設(shè)/1=5口九一百，證明：Ek1(Qi+i-Qi)(sinqi+1-sinqi)

2

附.V2=-----n(ad-bc)------其中〃=a+6+c+d-

PIJ-X(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'只中〃a+D+c+a,

a=P(X22左)0.1000.0500.0250.0100.001

k2.7063.8415.0246.63510.828

【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn).

【專題】對(duì)應(yīng)思想；分析法；推理和證明；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】（1）犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，可以認(rèn)為發(fā)球權(quán)與得分有關(guān).

（2）

（i）｛p”｝的通項(xiàng)公式pn=|.

（ii）證明見解析.

【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可.

（2）（0由等比數(shù)列的性質(zhì)代入求解首項(xiàng)和公比即可.

（n）由所給表格數(shù)據(jù)，根據(jù)（i）式代入求解即可.

2

【解答】解：（1）依據(jù)表中數(shù)據(jù)，/2=嗎毀淺蒜普=挈~16.667>6.635,

所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，可以認(rèn)為發(fā)球權(quán)與得分有關(guān).

Q1

（2）（Z）由題意p=l,Pn=耳Pn—i+E（1-Pn—i），

21

所以Pn=百PnT+5,

日口12,1、

即PTI一可=5（Pn-1-3）'

122

所以｛P九—號(hào)是以-為首項(xiàng)，-為公比的等比數(shù)列.

所以=即Pn=/+|（|）nT.

（ii）證明：因?yàn)?!=|PL卷所以輸=（|尸e（0,1）,

設(shè)力（x）=x-sinx,xE（0,1）,

因?yàn)?（x）=1-cosx>0,

所以九（x）在（0,1）上單調(diào)遞增，顯然或>或+1,

則h（或）>h（或+1）,

所以夕〃-sinqn>qn+i-sin^n+i,

則-(-)"=qn—q.+i>sinqn-sinqn+1>0，(<?n+i-qn)(sinqn+1-sinqQ=(qn-qn+1)(sinqn-

sinqn+1)〈葛磷)”，

2i=1(Qi+i-Qi)(,sinqi+1-sinqj<25x25'=175"—(而)力*"175-

125

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是古典概型概率公式求概率，屬于復(fù)雜題.

18.某公司為了解年研發(fā)資金x(單位：億元)對(duì)年產(chǎn)值y(單位：億元)的影響，對(duì)公司近8年的年研發(fā)

資金尤，?和年產(chǎn)值》?(ieN,1W?W8)的數(shù)據(jù)對(duì)比分析中，選用了兩個(gè)回歸模型，并利用最小二乘法求得

相應(yīng)的y關(guān)于尤的經(jīng)驗(yàn)回歸方程：

①y=13.05x-48.4；②y=0.76/+c.

(1)求c的值；

(2)已知①中的殘差平方和51^3610,②中的殘差平方和52^658,請(qǐng)根據(jù)決定系數(shù)選擇擬合效果更

好的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并利用該經(jīng)驗(yàn)回歸方程預(yù)測(cè)年研發(fā)資金為20億元時(shí)的年產(chǎn)值.

參考數(shù)據(jù):Ef=i=64,Xt=i%=448,xf=684,(y；-y)2=32900.

參考公式；刻畫回歸模型擬合效果的決定系數(shù)R2=1-迭;無).

y(-2

【考點(diǎn)】決定系數(shù)與模型的擬合效果.

【專題】綜合題；整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)-8.98；

(2)295.02億元.

【分析】(1)令"=/,求出(五，為，代入可得c值.

(2)由公式得回歸方程②y=0.76/_8.98的擬合效果更好，代入20可得結(jié)果.

【解答】解：(1)令〃=/,則y=0.76a+c,

因?yàn)檠?ixl=684,所以五=*鄧=1Ui-Xi==85.5.

又歹=W雪=i%=竿=56，

因?yàn)橹本€y=0.76“+c過點(diǎn)(正，y),

所以56=0.76X85.5+c,

從而c=56—0.76x85.5=56-64.98=-8.98,

所以c=-8.98.

(2)因?yàn)?610>658,

3610658

所以-22

工憶1(y-y)%(y-y)

3610658

所以i—即Ri22

27'<R2

現(xiàn)1仇一刃事(y-y)

因?yàn)閃越大擬合效果越好,

所以回歸方程②y=0.76/—8.98的擬合效果更好，

當(dāng)x=20時(shí)，y=0.76x202-8.98=295.02億元，

所以頂測(cè)當(dāng)年研發(fā)資金為20億元時(shí)，年產(chǎn)值大約為295.02億元.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性回歸方程，屬于中檔題.

19.人工智能發(fā)展迅猛，在各個(gè)行業(yè)都有應(yīng)用.某地圖軟件接入了大語言模型后，可以為用戶提供更個(gè)性

化的服務(wù)，某用戶提出：“請(qǐng)統(tǒng)計(jì)我早上開車從家到公司的紅燈等待時(shí)間，并形成統(tǒng)計(jì)表."地圖軟件就

將他最近100次從家到公司的導(dǎo)航過程中的紅燈等待時(shí)間詳細(xì)統(tǒng)計(jì)出來，將數(shù)據(jù)分成了[55,65),[65,

75),[75,85),[85,95),[95,105](單位：秒)這5組，并整理得到頻率分布直方圖，如圖所示.

(1)求圖中。的值；

(2)估計(jì)該用戶紅燈等待時(shí)間的中位數(shù)(結(jié)果精確到0.1)；

(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)該用戶在接下來的10次早上從家到公司的出行中，紅燈等待時(shí)間低于85秒

時(shí)間/秒

【考點(diǎn)】補(bǔ)全頻率分布直方圖.

【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)a=0.035；

(2)79.3；

(3)7次.

【分析】(1)根據(jù)頻率之和為1以及直方圖數(shù)據(jù)即可求解.

(2)先確認(rèn)頻率分布直方圖中頻率為0.5的位置，再結(jié)合中位數(shù)定義求解即可.

(3)根據(jù)頻率分布直方圖求出紅燈等待時(shí)間低于85秒的頻率即可求解.

【解答】解：(1)因?yàn)楦鹘M頻率之和為1,組距為10,

所以10X(0.01+