人教版九年級數(shù)學下冊相似《相似三角形（第9課時）》示范教學設計

相似三角形（第9課時）教學目標1．通過探索測量河寬的學習過程，使學生了解數(shù)學建模的思想，從而能夠將實際問題轉化為相似三角形的數(shù)學模型，提高學生分析問題、解決問題的能力．2．會運用相似三角形的知識，求出不能到達的物體的兩點之間的距離．教學重點利用相似三角形測量不能到達的物體的兩點之間的距離．教學難點理解數(shù)學建模的思想，能夠將實際問題轉化為相似三角形的數(shù)學模型．教學過程新課導入【問題】怎樣測量河寬呢？ 【師生活動】教師提出問題，學生分小組交流討論．教師提問：河的兩端可以直接測量嗎？學生回答：由于河的兩端不能直接到達，所以不能直接測量．教師追問：上節(jié)課我們學習了利用陽光下的影子測量頂端不能到達的物體的高度的方法，那么不能直接到達的物體的兩點之間的距離應該怎樣測量呢？學生自由發(fā)言，教師引出新課．【設計意圖】通過問題串的形式，引出新課內(nèi)容，激發(fā)學生的求知欲，調(diào)動學生學習的積極性．新知探究一、探究學習【探究】如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標點P，在近岸取點Q和S，使點P，Q，S共線且直線PS與河垂直，接著在過點S且與PS垂直的直線a上選擇適當?shù)狞cT，確定PT與過點Q且垂直PS的直線b的交點R．已測得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，請根據(jù)這些數(shù)據(jù)，計算河寬PQ．【師生活動】教師提示：結合學習過的相似三角形的知識，思考如何解決問題．學生思考并回答：根據(jù)題干，可知△PQR∽△PST，進而可以利用相似三角形中的對應線段之間的比值關系求出河寬PQ．學生嘗試獨立作答，教師巡查糾錯并板書講解．【答案】解：∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，∴△PQR∽△PST．∴．即，，PQ×90＝(PQ＋45)×60．解得PQ＝90m．因此，河寬大約為90m．【探究】如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標點A，在近岸取點B和C，使AB與河垂直，接著選擇適當?shù)狞cE，過點E作與河岸垂直的垂線，垂足為C，確定BC和AE的交點D．已測得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，請根據(jù)這些數(shù)據(jù)，求河寬AB．【師生活動】學生分小組交流討論，并派代表回答，教師板書講解．【答案】解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABD＝∠ECD＝90°，∴△ABD∽△ECD．∴，即．解得AB＝100（m）．因此，河寬大約為100m．【新知】利用相似三角形測量物體的寬度測量原理：（1）要求線段AB的長度，可先測量線段BE，BC及CD的長度，再說明△ADC∽△AEB，利用相似三角形的性質，得，即；（2）要求線段AB的長度，可先測量線段BE，EC及CD的長度，再說明△ECD∽△EBA，利用相似三角形的性質，得，即．特別提醒：（1）測量不能到達的物體的兩點之間的距離時，常構造“A”字型或“X”字型的相似三角形，并測量出必要的數(shù)據(jù)，然后根據(jù)相似三角形的性質求出要求的兩點之間的距離；（2）測量不能到達的物體的兩點之間的距離時，常根據(jù)公共角相等或對頂角相等構造相似三角形求解．【設計意圖】通過探索河寬的學習過程，使學生了解數(shù)學建模的思想，并學會運用相似三角形的知識，求出不能直接到達的物體的兩點之間的距離．二、典例精講【例1】如圖，為了測量水塘邊A，B兩點之間的距離，在可以看到A，B的點E處，取AE，BE延長線上的D，C兩點，使得CD∥AB．若測得CD＝5m，AD＝15m，ED＝3m，則A，B兩點間的距離為_____m．【答案】20【解析】∵CD∥AB，∴△ABE∽△DCE．∴，即．解得AB＝20m．【例2】某高中為高一新生設計的學生板凳從正面看到的平面圖形如圖所示，其中BA＝CD，BC＝20cm，BC與EF平行于AD，且到AD的距離分別為40cm，8cm．為使板凳兩腿底端A，D之間的距離為30cm，那么橫梁EF應為多長？（材質及其厚度等忽略不計）【師生活動】教師提出問題，學生思考并嘗試獨立作答，教師巡查糾錯并講解．【答案】解：如圖，過點C作CM∥AB，分別交EF，AD于點N，M．作CP⊥AD，分別交EF，AD于點Q，P．∵BC∥AD，EN∥AD，∴四邊形ABCM、四邊形AENM是平行四邊形．∴EN＝AM＝BC＝20cm．∴MD＝AD－AM＝30－20＝10（cm）．由題意知CP＝40cm，PQ＝8cm，∴CQ＝CP－PQ＝32cm．∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD．∴，即．解得NF＝8cm．∴EF＝EN＋NF＝20＋8＝28（cm）．答：橫梁EF應為28cm．【設計意圖