學雙曲線知識點及例題專練講義高三數學一輪復習

定義（定義指出了雙曲線上的點具有的特點：）當|MF1|－|MF2|=2a時，表示焦點F2所對應的一支；當|MF2|－|MF1|=2a時，表示焦點F1所對應的一支；當2a=|F1F2|時，軌跡是一直線上以F1、F2為端點向外的兩條射線；標準方程注意誰正在誰上（注意誰正在誰上（a>0，b>0）圖形中心頂點焦點對稱軸范圍離心率離心率與漸進線相互決定(e越大，圖像張口越，e越大，圖像張口越)離心率與漸進線相互決定漸近線將右邊的常數設為0，即可用解二元二次的方法求出漸近線的解實軸虛軸其它性質當a=b時，雙曲線叫做此時離心率為漸進線（兩條漸近線）2.雙曲線焦點三角形面積公式：3.通徑的定義是：雙曲線的通徑長為4.焦點到漸近線的距離為5.雙曲線的焦點永遠在實軸上。6.若直線與雙曲線只有一個交點，則直線與雙曲線相切或與漸近線平行。雙曲線的定義已知兩點、，求與它們的距離差的絕對值是6的點的軌跡動點到點及點的距離之差為，則點的軌跡是（）A．雙曲線B．雙曲線的一支C．兩條射線D．一條射線點P在雙曲線x216-y220=1上，若點P到焦點F1已知雙曲線的右焦點分別為、，點在雙曲線上的左支上且，求的大小已知動圓M與圓C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，與圓C2：(x－4)2＋y2＝2內切，求動圓圓心M的軌跡方程利用標準方程確定參數雙曲線x2-2y2若方程+=1（1）表示圓，則實數k的取值是.（2）表示焦點在x軸上的橢圓，則實數k的取值范圍是.（3）表示焦點在y軸上的橢圓，則實數k的取值范圍是.（4）表示橢圓，則實數k的取值范圍是.（5）表示焦點在x軸上的雙曲線，則實數k的取值范圍是.（6）表示焦點在y軸上的雙曲線，則實數k的取值范圍是.（7）表示雙曲線，則實數k的取值范圍是.8.若雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的焦點坐標是_________．9.雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則_________．求雙曲線的標準方程根據下列條件，求雙曲線的標準方程．過點，且焦點在坐標軸上．，經過點（－5，2），焦點在軸上．雙曲線的漸近線方程為，焦距為與雙曲線有相同焦點，且經過點雙曲線C：x2a2-y焦點三角形雙曲線上一點P與雙曲線的兩個焦點構成的三角形稱之為雙曲線焦點三角形，面積公式推導：面積公式推導：橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構成的三角形稱之為橢圓焦點三角形．已知是的兩個焦點，在雙曲線上，且，求的面積.設為上的一點，是該雙曲線的兩個焦點，若，求的面積離心率的有關問題雙曲線的漸近線為，則離心率為已知F為雙曲線C：?x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于直線過雙曲線的右焦點，斜率k=2.若與雙曲線的兩個交點分別在左右兩支上，求雙曲線的離心率e的范圍漸近線的有關問題雙曲線x2a2-y已知F為雙曲線C：x2-my2=4m(m>0)的一個焦點，則點F焦點到漸近線的距離為b證明：證明：最值問題雙曲線的左焦點為F，定點A(1,4),P是雙曲線右支上動點，則弦長、中點弦問題設為雙曲線弦（不平行軸）的中點，則有證明：證明：橢圓中線弦斜率公式雙曲線x2y2=1的一弦中點為（2，1），則此弦所在的直線方程為_______在雙曲線x2設雙曲線的頂點是橢圓的焦點，該雙曲線又與直線交于A、B兩點，且（O為坐標原點）.（1）求雙曲線方程；（2）求.補充練習：一、單選題：在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，點A在C的過第二、四象限的漸近線l上，且A.2 B.5 C.62.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為32，F1,FA.263 B.4633.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，左、右頂點分別為A1，A.雙曲線的漸近線方程為y=±33x

B.雙曲線C的離心率為2

C.若PF1⊥PF2，則4.設a>1，則雙曲線x2a2-y2A.(2,2) B.(2,二、多選題：在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。5.已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1(-4,0)，F2(4,0)，過點F2的直線與雙曲線E的右支交于P，Q兩點，PFA.雙曲線E的漸近線方程為y=±3x

B.若直線y=kx+2與雙曲線E有且僅有1個公共點，則k=±2

C.|PQ|的最小值為12

6.已知雙曲線：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為52，且雙曲線C的左焦點F在直線2x+3y+25=0上，A，B分別是雙曲線C的左、右頂點，點P是雙曲線C上異于AA.雙曲線C的方程為x24-y2=1 B.雙曲線C的漸近線方程為y=±2x

C.點F到雙曲線C的漸近線距離為7.已知雙曲線x2-y23=1的右頂點為A，右焦點為F，雙曲線上一點P滿足PA=2A.2 B.3 C.4 D.58.已知曲線M:x2cosθ+A.M可能是兩條平行的直線

B.M既不可能是拋物線，也不可能是圓

C.M不可能是焦點在y軸上的雙曲線

D.當0<θ<π2時，M是一個焦點在三、填空題：9.已知F1-c,0，F2c,0是雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點，圓O：x2+y210.設A是函數f(x)=2x2-147圖象上一點，M(-3,0)，N(3,0)，若|AM|?|AN|=21，則四、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。11.已知雙曲線x2-y22=1的左、右頂點分別為A、B，設點P在第一象限且在雙曲線上，O為坐標原點．

(1)求雙曲線的兩條漸近線夾角的余弦值；

(2)若PA?PB≤9，求|OP|的取值范圍；

(3)橢圓C的長軸長為22，且短軸的端點恰好是A、B兩點，直線AP與橢圓的另一個交點為Q.記△POA

補充練習：（含答案）一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，點A在C的過第二、四象限的漸近線A.2 B.5 C.6【答案】B

【解答】

解：∵|BF2|-|BF1|=2a，∴點B在雙曲線C的左支上，坐標原點為O，

∵F2B+2BA=0，∴點A為線段F2B的中點，

線段|AF2|的長度等于點F2(c,0)到直線l:y=-bax的距離，

由點到直線的距離公式求得|AF2|=b，2.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為32，F1A.263 B.463【答案】B

【解答】

解：設|PF1|=m，|PF2|=n，則有m+n=8，m-n=2a，可得m=4+a，n=4-a，

因為ca=32，

所以|F1F2|=2c=3a，

在△PF1F2中，由余弦定理得|3.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，左、右頂點分別為AA.雙曲線的漸近線方程為y=±33x

B.雙曲線C的離心率為2

C.若PF1⊥PF2，則【答案】D

【解答】

解：設雙曲線的焦距為2c，(c>0)，

對于A，設Px1,y1，因為直線PA1與PA2的斜率存在，故x1≠±a，

則y12=b2x12a2-1，

因為A1(-a,0)，A2(a,0)，直線PA1與PA2的斜率之積等于3，

所以kPA1?kPA2=y1x1+a?y1x1-a=y12x12-a2=b2a2=3，

故雙曲線的漸近線方程為y=±3x，故A錯誤；

雙曲線的離心率e=1+b24.設a>1，則雙曲線x2a2-A.(2,2) B.(2,【答案】B

【解答】

解：∵雙曲線方程為x2a2-y2(a+1)2=1，

∴c=

2a2+2a+1

∴e=ca二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。5.已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1(-4,0)，F2(4,0)，過點F2的直線與雙曲線E的右支交于P，Q兩點，A.雙曲線E的漸近線方程為y=±3x

B.若直線y=kx+2與雙曲線E有且僅有1個公共點，則k=±2

C.|PQ|的最小值為12

【答案】ACD

【解答】

解：因為△PAF2的內切圓與邊AF2相切于點B，如圖，

由切線長定理可知|PM|=|PN|，|F2B|=|F2N|，|AM|=|AB|，|AF1|=|AF2|，

所以|PF1|-|PF2|=|PM|+|AM|+|AF1|-(|PN|+|F2N|)

=|AM|+|AF1|-|F2N|=|AB|+|AF2|-|F2B|=2|AB|=4，

所以a=2，c=4，b=16-4=23，

則雙曲線E的方程為x24-y212=1，

雙曲線E的漸近線方程為y=±bax=±3x，故A正確．

對于B選項，由y=kx+2,x24-y212=1,消去y并化簡得(3-k2)x2-4kx-16=0，(*)

注意到當3-k2=0，k=±3時，方程(*)有唯一解，

即此時直線y=kx+2與雙曲線E6.已知雙曲線：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為52，且雙曲線C的左焦點F在直線2x+3y+25=0上，A，B分別是雙曲線C的左、右頂點，點P是雙曲線CA.雙曲線C的方程為x24-y2=1 B.雙曲線C的漸近線方程為y=±2x

C.點F到雙曲線C的漸近線距離為【答案】AD

【解答】

解：∵雙曲線C的左焦點F在直線2x+3y+25=0上，

∴F(-5,0)，c=5，

又離心率為52，

∴ca=5a=52，即a=2，

∴b=c2-a2=1，

∴雙曲線C的方程為x24-y2=1，即選項A7.已知雙曲線x2-y23=1的右頂點為A，右焦點為F，雙曲線上一點PA.2 B.3 C.4 D.5【答案】AB

【解答】

解：由題意A(1,0)，F(2,0)，

當P在左支上，當PA=2時，此時P為左頂點，P(-1,0)，此時PF=3；

當P在右支上，此時設P(x0,y0)，x0?1，

當PA=2時，可得x0-12+8.已知曲線M:x2A.M可能是兩條平行的直線

B.M既不可能是拋物線，也不可能是圓

C.M不可能是焦點在y軸上的雙曲線

D.當0<θ<π2時，M是一個焦點在【答案】AB

【解答】

解：A項：當cosθ=0即θ=π2時，B項：若M是圓，

當cosθ≠0時，

方程化為x21cos?θ由于無一次項，故不可能是拋物線，正確；C項：由

θ∈(0,π),sinθ>0，為雙曲線時cosθ<0，

D項：若M是焦點在y軸上的橢圓，

則

sin?θ>1cos?θ>0?sin三、填空題：本題共2小題，每小題5分，共10分。9.已知F1-c,0，F2c,0是雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點，圓O：x2+【答案】2

【解答】解：如圖，

雙曲線C：x2a2因為圓O：x2+y2=c2所以y=baxx2則x=a,y=b，即Pa,b，

設雙曲線的右頂點為A，則A連接AP，則AP⊥x軸，且AP=b,由勾股定理可得b2化簡可得c2同時除以a2可得e2-e-2=0，解得e=2或e=-1(則C的離心率e=2．故答案為：210.設A是函數f(x)=2x2-147圖象上一點，M(-3,0)，N(3,0)，若【答案】4【解答】

解：設y=2x2-147，則x27-y22=1(y≥0)，則f(x)=2x2-147的圖象是雙曲線x四、解答題：本題共1小題，共12分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。11.(本小題12分)

已知雙曲線x2-y22=1的左、右頂點分別為A、B，設點P在第一象限且在雙曲線上，O為坐標原點．

(1)求雙曲線的兩條漸近線夾角的余弦值；

(2)若PA?PB≤9，求|OP|的取值范圍；

(3)橢圓C的長軸長為22，且短軸的端點恰好是A、B兩點，直線AP與橢圓的另一個交點為Q.【答案】解：(1)兩條漸近線方程為2x±y=0，

所以n1=(2,1),n2=(2,-1)

設兩條直線夾角為θ，則cosθ=|2