2023-2024學(xué)年山東省濟南市濟陽區(qū)九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案

山東省濟南市濟陽區(qū)九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案

一、選擇題：（每小題4分，共40分.）

1.如圖是一個由4個相同的小立方塊搭成的幾何體，這個幾何體的主視圖是（）

【解析】

【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中.

【詳解】解：從正面看易得上面第一層右邊有1個正方形，第二層有兩個正方形，如圖所示:

故選：A.

【點睛】本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖.

2.方程4%2一4%+1=0的根的情況是（）

A.有一個實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根C.有兩個相等的實數(shù)根D.無實數(shù)

根

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解：：4必—4%+1=0，

A=（^）2-4x4xl=0,

.?.一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根.

故選：C.

【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題

的關(guān)鍵.

x3x+v

3.如果一=彳，則一-=()

V2y

1352

A.-B.—C.-D.一

2225

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)合比性質(zhì)求解即可.

x3

【詳解】解：由一=彳，

y2

x+y_3+2_5

故選：C

【點睛】考查了比例的性質(zhì)，熟記合比性質(zhì)即可解題.

4.已知反比例函數(shù)y=上的圖象經(jīng)過點(-1,2),則k的值是()

X

A.-3B.-2C.3D.--

2

【答案】B

【解析】

【分析】直接將點(-1,2)代入反比例函數(shù)丁=月中，即可求解.

【詳解】解：將點(-1,2)代入反比例函數(shù)丁=工，

得：2=二，

一1

解得：k=-2,

故選：B.

【點睛】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵.

5.拋物線y=(x-2『+l的頂點坐標(biāo)是()

A.(―2,-1)B.(-2,1)C.(2,-1)D.(2,1)

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關(guān)鍵，即在

y=中，頂點坐標(biāo)為（九女），對稱軸為1=爪根據(jù)拋物線的解析式

直接寫出頂點坐標(biāo)即可.

【詳解】解：???y=（x-2y+l是拋物線的頂點式，

根據(jù)頂點式的坐標(biāo)特點可知，

拋物線y=（x-2『+1的頂點坐標(biāo)是（2,1）.

故選：D.

6.如圖，正五邊形至內(nèi)接于。，連接則4AE—NCOD=（）

C.48°D.36°

【答案】D

【解析】

【分析】先計算正五邊形的內(nèi)角，再計算正五邊形的中心角，作差即可.

【詳解】VZBAE=180°-3^6-0,0ZCOD=^36-0°,

3600360°

/.ZBAE-ZCOD=180°——-—=36°,

55

故選D.

【點睛】本題考查了正五邊形的外角，內(nèi)角，中心角的計算，熟練掌握計算公式是解題的關(guān)

鍵.

7.如圖，將一個可自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤平均分成4份，分別標(biāo)上“最”“美”“咸”“陽”四

個字，隨意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動后，記錄下指針?biāo)竻^(qū)域的漢字（若指針指在分

割線上，則重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤），通過轉(zhuǎn)動兩次轉(zhuǎn)盤后，指針?biāo)竻^(qū)域的漢字可以組成詞語“咸

陽”的概率為(

111

A.一B.-C.一D.

1684~2

【答案】B

【解析】

【分析】先列出表格得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到符合題意的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率

計算公式求解即可.

【詳解】解：設(shè)分別用A、B、C、D表示“最”“美”“咸”“陽”四個字，列表如下:

ABcD

A(A,A)(B,A)(C,A)(D,A)

B(A,B)(B,B)(C,B)(D,B)

C(A,C)(B,C)(C,C)(D,C)

D(A,D)(B,D)(C,D)(D,D)

由表格可知，一共有16種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中指針?biāo)竻^(qū)域的漢字可以組成詞語“咸

陽”的結(jié)果數(shù)有2種,即抽到(C,D),(D,C),

...通過轉(zhuǎn)動兩次轉(zhuǎn)盤后，指針?biāo)竻^(qū)域的漢字可以組成詞語“咸陽”的概率為2=」，

168

故選B.

【點睛】本題主要考查了用樹狀圖法或列表法求解概率，正確列出表格或畫出樹狀圖是解題

的關(guān)鍵.

8.如圖，每個小正方形的邊長均為1,若點A,8,C都在格點上，則tan/BAC的值為

()

B

'--

A.2B.還C.y/5D.y

52

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查勾股定理及其逆定理，銳角三角函數(shù).連接5C,由勾股定理可求得A5,

BC,AC的長，根據(jù)勾股定理的逆定理判定4ABe是直角三角形，根據(jù)正切的定義即可

解答.

【詳解】解：連接BC,

AB=M+?=20,3C=，仔+儼=0,4C=A/12+32=A/IO）

AB2+BC2=AC2,

是直角三角形，,

..tan?C=條金j

故選：D.

9.如圖，點。在，ABC的邊BC上，點E是AC的中點，連接AD、DE,若A5="6,

AD=3,BD=1,DE=2,則CD的長為（）

A.3B.4C.5D.不

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意和勾股定理的逆定理得ADB是直角三角形，即可得八位）。是直角三

角形，根據(jù)。石=2得AC=2DE=4,在R_A￡>C中，根據(jù)勾股定理進(jìn)行計算即可得.

【詳解】解：；45=再，AD=3,BD=1,

：.AD2+BD2=32+12=10=（而『=AB2,

.ADB是直角三角形，ZADB^9Q0,

：.ZADC=180°-90°=90°,

/.AADC是直角三角形，

;DE=2,

：.AC=2DE=4,

在中，AC=4,AO=3,根據(jù)勾股定理得，

DC=VAC2-AD1=V42-32=77>

故選：D.

【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌

握這些知識點.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=/+3x-4與x軸交于A、C兩點，與y軸交

于點B,若P是x軸上一動點，。（0,2）,連接P。，則7>。+后2。最小值是（）

A.6B.8C.2或D.472

【答案】A

【解析】

【分析】連接BC,過點P作垂足為H,過點Q作砥」3c垂足為〃'，先求出

A,C,B的坐標(biāo)，得到△03C為等腰直角三角形，求出p"=Y2pc，得到

2

PC+42PQ=s/2（PQ+PH）,利用垂線段最短可知，。。+9的最小值為。"'，進(jìn)而

得出結(jié)果.

【詳解】解：如圖，連接BC,過點P作垂足為H,過點Q作砥」BC,垂

是為H',

令＞=0,即無2+3%—4=0，

解得：x=-4或x=l,

.?.4(1,0),C(TO),

當(dāng)x=0時，y=-4,

-,OB=OC=4,ZBOC=90。,

:.ZPCH=45°,

PH=PC-sin45°=JPC，

2

V2

:.彳PC+PQ=PQ+PH，

即PC+yflPQ=42(PQ+PH),

根據(jù)垂線段最短可知，PQ+P”的最小值為Q8'的長度,

3Q=O5+OQ=4+2=6,NQBW=45。,

:.DH'=sin45°BQ=3近,

四(PQ+PH)=42DH'=6,

即PC+42PQ的最小值為6.

故選：A.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)中的線段最值問題，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，特殊三角

函數(shù)的應(yīng)用，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵得到PQ+PH的最小值為的長度.

二、填空（每小題4分，共24分）

11.如圖，在RtZkABC中，ZC=90°,AB=25,AC=1,貝UcosB等于

【答案】—##0.96

25

【解析】

【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義.先利用勾股定理計算出然后根據(jù)余弦的定

義求解.

【詳解】解：；NC=90。，AB=25,AC=1,

3C=4252—72=24,

「BC24

..cosB==—.

AB25

24

故答案為：—■.

25

12.投擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，兩枚硬幣恰好是一正一反的概率是

【答案】I

【解析】

【分析】畫樹狀圖可得共有4種等可能的結(jié)果，其中兩枚硬幣恰好是一正一反有2種等可能

的結(jié)果，再利用概率公式求解即可.

【詳解】解：畫樹狀圖如下：

開始

第種iE反

第二種△△

共有4種等可能的結(jié)果，其中兩枚硬幣恰好是一正一反有2種等可能的結(jié)果，

21

，兩枚硬幣恰好是一正一反的概率是,

42

故答案為：■

【點睛】本題考查列表法或樹狀圖求概率、概率公式，熟練掌握列表法或樹狀圖求概率的方

法找出所有等可能的結(jié)果是解題的關(guān)鍵.

13.若二次函數(shù)y=爐一J%+cosa與x軸只有1個公共點，則銳角a度.

【答案】60

【解析】

【分析】本題考查了拋物線與x軸的交點問題，特殊角的三角函數(shù)值.先利用根的判別式的

21

意義得至1」公=卜忘4xlxcosa=0,則可得到cosa=Q,然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值

確定銳角&的度數(shù).

【詳解】解：???二次函數(shù)y=V—5+cosa與x軸只有1個公共點，

A=j—4x1xcosa=0,

解得cosa=—,

2

銳角cz=60。.

故答案為：60.

14.如圖，OB、0C是（。的半徑，A是（。上一點，若N5=30°,ZC=20°,貝U

ZBOC=度

A

【解析】

【分析】連接。4,利用等腰三角形的性質(zhì)易得N8=NQ4B=30°,ZC=ZOAC=20°,

則可得/B4C,再利用同弧所對圓周角等于它所對圓心角的一半即可得出答案.

【詳解】解：連接Q4,

OA=OB,OA=OC,

ZB=ZOAB=30°,ZC=ZOAC=20°,

ZBAC=ZOAB+ZOAC=50°,

ZBOC=2ZBAC=2x50°=100°.

故答案為：100°

【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，在ABC中，點。是A5邊上一點，連接CD.已知AD=4,5D=5,AC=6,

CD=3,那么線段BC的長度是.

BC

9

【答案】-

2

【解析】

【分析】證明.A3CS_ACD,根據(jù)相似比即可求解;

【詳解】AD=4,BD=5,AC=6,

AC_6_3AB4+5_3

"^D~4~2，^C~~6~~2,

ACAB

一而一IE'

ACAD=ABAC,

ABCs：.ACD,

CD2

???-__9

BC3

CD=3,

9

故答案為：

2

【點睛】該題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是證明三角形相似.

k

16.如圖，A、B兩點在反比例函數(shù)y=-圖象上，過點A作ACLx軸于點C,交0B于

點D.若BD=3OD,△AOD的面積為1,則k的值為

【答案】臺

【解析】

【分析】作軸于E,證明OCDsOEB,可得其=匚2=型=_1,設(shè)卯凡公

OEBEOB4Ia

可得514a,5,求出A。，然后根據(jù)△AOD的面積為1列式即可求出k的值.

【詳解】解：作軸于E,

/.AC//BE,

：.JOCDSJJEB,

,PCCDOP

"OE~BE~OBJ

'：BD=3OD,

.PCCDOP1

"OE~^E~OB~4'

設(shè)則OC=a,AC=~,

ka)a

OE-4〃，

???《4噓,

：.BE=—,

4a

：.CD=—

16。

kk15k

???AD=AC-CD=-

a16a16a

1A八115k1

?q—AD,OC——xxQ=I,

,?°AAOD2216a

15

故答案為:32

15?

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)△AOD的

面積為1列出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

三、解答題：（共78分）

17.計算：（兀一l）°+4sin60。一配+卜3|.

【答案】4

【解析】

【分析】本題考查了實數(shù)的運算，零指數(shù)塞，特殊角的三角函數(shù)值.先化簡各式，然后再進(jìn)

行計算即可解答.

【詳解】解：（兀一1）。+45皿60。一走+卜3|

=l+4x3—2百+3

2

=1+2^-273+3

=4.

18.用配方法解方程：d+4x—5=0

【答案[％]=1，9=-5

【解析】

【分析】本題考查了解一元二次方程一配方法.把常數(shù)項-5移項后，應(yīng)該在左右兩邊同時

加上一次項系數(shù)4的一半的平方.

【詳解】解：由原方程移項，得

x2+4x=5，

方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，得到好+4%+4=5+4，

配方得（x+2『=9.

開方，得

x+2=±3,

解得=1,%=—5.

19.如圖，菱形ABC。中，過點。分別作邊A3AD上的高C￡,C/,求證：BE=DF.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形性質(zhì)等知識，由菱形性質(zhì)結(jié)合條件，利用

全等三角形的判定與性質(zhì)即可得證，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】證明：在四邊形A3CD是菱形，NB=ND,BC=DC,

CEA.AB,CFAD,

ZBEC=ZDFC=90°,

在△CBE和.CDF中，

AB=ND

<ZBEC=ZDFC=90°

BC=DC

CBE^￡CDF(AAS),

/.BE=DF.

20.如圖1,某款線上教學(xué)設(shè)備由底座，支撐臂A3,連桿BC,懸臂CD和安裝在。處的

攝像頭組成.如圖2是該款設(shè)備放置在水平桌面上的示意圖，已知支撐臂

AB=18cm,BC=40cm,CD=44cm,固定NABC=148°,可通過調(diào)試懸臂CD與連桿

的夾角提高拍攝效果.

(1)當(dāng)懸臂CD與桌面/平行時，ZBCD=°

(2)問懸臂端點C到桌面/的距離約為多少？

(3)已知攝像頭點。到桌面/的距離為30cm時拍攝效果較好,那么此時懸臂CD與連桿

的夾角N3CD的度數(shù)約為多少？(參考數(shù)據(jù)：

sin58°?0.85,cos58°?0.53,tan58°?1.60)

【答案】⑴58°

(2)52

(3)28°

【解析】

【分析】(1)作出對應(yīng)的圖，關(guān)鍵平行線的性質(zhì)即可求解；

(2)過C作CE_L/與/交于E，過B作BFLCE與CE交于F,可推出四邊形ABEE為

矩形，EF=AB；在RtZXCBF中解出。下，即可求解；

(3)過。作DM，/,DN±CE,在Rt△。&V中解出ND&V即可求解.

【小問1詳解】

解：如圖：當(dāng)懸臂CD與桌面/平行時，作BE〃l

ZABC=148°=ZEBA+NCBE

.-.ZCBE=148°-90°=58°

QBE//1,懸臂CD也與桌面平行

BE//DC

:.ZBCD=NCBE=58。

故答案為：58°

【小問2詳解】

解：過。作與/交于E，過B作彼，CE與CE交于歹

c

???四邊形A3EE為矩形

N2=90°,EF=AB=18

?：ZABC=148°

/.Zl=58°

在RtACBF中ZCFB=90°

CF

sinZl=——=0.85

CB

?：CB=40

CF=34

CE=CF+EF=34+18=52

【小問3詳解】

解：過。作。DN±CE,DM=NE=3b

：.CN=CE-NE=22

在RtADOV中ZDCN=90°

CN

cosZDCN

CD2

.,.ZDC7V=60°

VZ1=58O

Z3=32°

AZZ）CB=60o-32o=28o

【點睛】本題考查了三角函數(shù)的實際應(yīng)用.作垂線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.

21.小穎設(shè)計了一個“配紫色”游戲：如圖是兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤A、B,A轉(zhuǎn)盤被分

成了面積1：2的兩個扇形，8轉(zhuǎn)盤被分成了面積相等的三個扇形，游戲者同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤,

如果一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色，另一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍(lán)色,那么他就贏了（紅色與藍(lán)色能配成紫色）.

（1）轉(zhuǎn)動B轉(zhuǎn)盤一次,指針指向紅色的概率是；

（2）請利用畫樹狀圖或列表的方法求游戲者獲勝的概率是多少？

【答案】（1）-

3

（2）游戲者獲勝的概率是*

9

【解析】

【分析】（1）根據(jù)幾何概率的意義求解即可；

（2）用列表法同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，指針指向區(qū)域所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況，進(jìn)而求出相應(yīng)

的概率.

【小問1詳解】

解：???B轉(zhuǎn)盤被分成了面積相等的三個扇形，且紅色區(qū)域占一個扇形，

...紅色區(qū)域占整體的工，

3

；?轉(zhuǎn)動A轉(zhuǎn)盤一次，指針指向紅色的概率是工；

3

故答案為：—；

3

【小問2詳解】

解：用列表法表示同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，指針指向區(qū)域所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況如下：

紅紅藍(lán)

紅（紅，紅）（紅，紅）（紅，藍(lán)）

藍(lán)（藍(lán)，紅）（藍(lán),紅）（藍(lán)，藍(lán)）

藍(lán)（藍(lán)，紅）（藍(lán)，紅）（藍(lán)，藍(lán)）

???共有9種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中“能配成紫色”的有5種，

“能配成紫色”的概率為上，

9

答：游戲者獲勝的概率是*.

9

【點睛】本題考查列表法或樹狀圖法求等可能事件發(fā)生的概率，使用此方法一定注意每一種

結(jié)果出現(xiàn)的可能性是均等的，即為等可能事件.

22.如圖在中，AB=AC,以A3為直徑的。交于點。，過點。作。的

切線交AB的延長線于點尸，交AC于￡.

（1）求證：DE1AC-,

（2）若AE=6,EB=4,求（。的半徑.

【答案】（1）證明見解析

（2）。的半徑為4.

【解析】

【分析】本題考查切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識.

（1）連結(jié)A。、0D,首先證得結(jié)合斯是「0的切線，0D±EF,

0D//AC,得到EE1AC；

（2）設(shè)、。的半徑為R,則R9=4+R,FA=4+2R,OD=R,連接0D,由

/\FOD^Z\FAE,得型=￡9列出方程即可解決問題.

AEDA

【小問1詳解】

解析：連結(jié)AD、0D,如圖,

AB為。的直徑，

.-.ZADB=90°,即ADIBC,

AB=AC,

BD=CD,

而Q4=Q3,

:.OD為AABC的中位線,

OD//AC,

EF是（。的切線；

：.OD±EF

■：OD//AC,

:.EF±AC；

【小問2詳解】

解：設(shè)1。的半徑為A,

?/OD//AE,

:.Z\FOD^/\FAE,

.OPFO

''AEDA'

R4+R

—=------,

64+2R

.?.R=4或（一3舍棄）.

。的半徑為4.

23.9月，教育部正式印發(fā)《義務(wù)教育課程方案》，《勞動教育》稱為一門獨立的課程，某學(xué)

校率先行動，在校園開辟了一塊勞動教育基地；一面利用學(xué)校的墻（墻的最大可用長度為

15米），用長為30米的籬笆，圍成矩形養(yǎng)殖園如圖1,已知矩形的邊CD靠院墻，AD和

與院墻垂直，設(shè)A5的長為何.

DCD

/----------------------B/----------------------B

圖1圖2

(1)當(dāng)圍成的矩形養(yǎng)殖園面積為lOOn?時，求的長；

(2)如圖2,該學(xué)校打算在養(yǎng)殖園飼養(yǎng)雞、鴨、鵝三種家禽，需要在中間多加上兩道籬笆

作為隔離網(wǎng)，并與院墻垂直，請問此時養(yǎng)殖園的面積能否達(dá)到lOOm??若能，求出A3的

長；若不能，請說明理由.

【答案】(1)的長為10m；

(2)不能，理由見解析

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及根的判別式.

(1)設(shè)A3的長為Q，根據(jù)籬笆的總長及A3的長，可得出的長，利用矩形的面積公

式，可列出關(guān)于》的一元二次方程，解之即可求出結(jié)論；

(2)假設(shè)養(yǎng)殖園的面積能達(dá)到lOOn?,設(shè)AB的長為炳，則的長為羋2m,利用

矩形的面積公式，可列出關(guān)于y的一元二次方程，由根的判別式△=-700<0,可得出原方

程沒有實數(shù)根，進(jìn)而可得出假設(shè)不成立，即養(yǎng)殖園的面積不能達(dá)到100m2.

小問1詳解】

解：設(shè)A3的長為由，則矩形的寬BC=；(3O—x),

由題意得：%xl(30-%)=100,

解得再=10.x2=20,

墻的最大可用長度為15米，

二.x=10,

即5。的長為10m；

【小問2詳解】

解：不能，理由如下：

設(shè)AB的長為地，則矩形的寬BC=；（30—x）m,

由題意得：x—（30—x）=100,

整理得：x2-30x+400=0,

?/A=（-30）2-4x1x400=-700<0,

該方程沒有實數(shù)根，

此時養(yǎng)殖園的面積不能達(dá)到lOOm?.

24.如圖①，有一塊邊角料ABODE,其中AB，BC,DE,EA是線段，曲線CD可以

看成反比例函數(shù)圖象的一部分.測量發(fā)現(xiàn)：ZA=ZE=90°,AE=5,AB=DE=1,點、

C到AB,AE所在直線的距離分別為2,4.

4T°）圖②

（1）小寧把A,B,C,D,E這5個點先描到平面直角坐標(biāo)系上，記點A的坐標(biāo)為；

點B的坐標(biāo)為（-1,1）.

請你在圖②中補全平面直角坐標(biāo)系并畫出圖形ABCDE；

（2）求直線曲線CD的函數(shù)表達(dá)式；

（3）小寧想利用這塊邊角料截取一個矩形MNQP,其中M,N在AE上（點M在點N左側(cè)）,

點P在線段上，點Q在曲線CD上.若矩形MVQP的面積是|,則

PM=.

35

【答案】（1）見解析（2）直線的函數(shù)表達(dá)式丁二^X+萬，曲線CD的函數(shù)表達(dá)式

【解析】

【分析】(1)根據(jù)A的坐標(biāo)為(-1,0),點B的坐標(biāo)為(-1.1)補全平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)AE=5,

AB=DE=1,ZA=ZE=90°,點C到AB,AE所在直線的距離分別為2,4,AB,

BC,DE,石4是線段，曲線CD是反比例函數(shù)圖象的一部分畫圖；

(2)設(shè)線段的解析式為、=履+)，把。(1,4)代入，得到k、b的方程組，

解方程組得到k、b的值，即得線段5c的解析式；再設(shè)曲線。的解析式為y=幺，把

X

。(1,4)代入，得到方程，解方程得到笈的值，即得曲線CD的解析式；

354

⑶設(shè)M(m,0),根據(jù)PMLx軸，9，尸?！?gt;^在丁=—工+—上，點、在丁=—上,

22x

用m的表達(dá)式寫出點P、Q的坐標(biāo)，得到線段PM、R2的長的表達(dá)式，根據(jù)=*

3

建立方程，解方程得到m的值，即可求出的長.

【小問1詳解】

根據(jù)點A的坐標(biāo)為(-1,0),點B的坐標(biāo)為(-1,1),補全x軸和y軸，

?：ZA=ZE=90°,AE=5,A5=O石=1,點C到A3,AE所在直線的距離分別為2,

4,

.?.0(1,4),0(4,1),

根據(jù)A3,BC,DE，E4是線段，曲線。是反比例函數(shù)圖象的一部分，畫出圖形ABCDE,

【小問2詳解】

設(shè)線段BC的解析式為y=kx+b,

把3(-1,1),C(l,4)代入得,

-k+b=l

<

k+b-4-

k二

解得，<

k‘

設(shè)曲線CD的解析式為y=一,

x

把C(L4)代入得，4=二一，上'=4,

1

4

X

【小問3詳解】

35、八435

設(shè)則

22丫32

(22)

4

…35PQ=----——m

：.PM=—〃？+—,~35,

22—m+—

22

(\

(3“4

PM-PQ=\-m+^-------——m

1)35

122；

355

4Am"2m=—

223

*,?9m2+15根—14=0

2、7

m=—,或根=——(舍去)，

33

““3257

,PM=-x—+—=—

232：*

7

故答案為：—.

2

【點睛】本題主要考查了補全平面直角坐標(biāo)系，畫圖形,

一次函數(shù)，反比例函數(shù)，矩形面積，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握依照點的坐標(biāo)補全平面直角

坐標(biāo)系，畫出坐標(biāo)系中的圖形，待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與

反比例函數(shù)性質(zhì)，根據(jù)點坐標(biāo)寫線段長的表達(dá)式，運用矩形面積公式列方程解方程.

25.【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1,在ABC中，ZACB=90°,AC=3C,D是AB邊上一點,

F是邊上一點，ZCDF=45°.求證：ACBF=ADBD；

【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2,在四邊形ABFC中，點D是A3邊的中點，ZA=ZB=ZCDF=45°,

若AC=9,BF=8,求線段C尸的長.

【拓展提高］（3）在中.AB=4&，ZB=45°,以A為直角頂點作等腰直角三角

形ADE,點D在上，點E在AC上.若CE=2非,求CD的長.

圖3

【答案】(1)見解析；（2）5；(3)10

【解析】

ACAD

【分析】(1)利用一線三等角模型，可說明一ACDS-BD巴得zn——二——

BDBF

ACAri

⑵如圖2中,延長AC交所的延長線于點T.證明一ACDS-瓦方,推出訪

求出A。，CT=FC,再利用勾股定理求解;

（3）過點E作EF與CD交于點R,使NEFD=45°,由（1）同理得,

可知。E=&AB=2,再利用△班可得答案;

【詳解】（1）證明:ZABC=90°,AC=BC,

\ZA=?B45?,

ZA=ZCDF=45°,

:.ZA+ZACD=ZCDA+NBDF,

:.ZACD=ZBDF,

._ACD^_BDF,

ACAD

BD—BF，

.ACBF=ADBD；

(2)解：如圖2中，延長AC交砂1的延長線于點T.

ZA=ZCDF=Zfi=45°,

:.ZT=90°,TA=TB，

ZCDB=ZA+ZACD=ZCDF+ZBDF,

:.ZACD=ZBDF,

：.ACD^.BDF,

,ACAD

"詬一訴’

AD=DB,

,9AD

,,一，

AD8

AD=672，

AB=2AD=1272，

:.TA=TB=12,

.?.CT=12—9=3,7F=12—8=4,

:.CF=^]CT2+TF2=A/32+42=5；

(3)解：如圖，過點E作所與CD交于點R，使NEFD=45°,

ZB=ZADE=45。,

:.ZBAD=ZEDF,

:qABD^DFE,

,AB=AD

DF~DE"

DE=42AD>AB=4啦,

:.DF=y/2AB=8>

NEFD=45。,ZADE=45°,

ZEFC=ZDEC=135°,

EFCs：DEC,

,FCEC

"EC~CD'

EC=2出,

EC?=FCCD=FC義(3+FC),

20=FCx(8+FC),

:.FC=2,

.".CD=10.

【點睛】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練

掌握一線三等角基本幾何模型是解題的關(guān)鍵.

26.如圖①，拋物線y=ax2+bx-3^x軸交于點A(—4,0)和點5(1,0),與y軸交于點C,

點P是直線下方拋物線上點，？。，4。于點》,PELx軸于點F,交線段AC于點E,

圖①圖②

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)△/?￡1的周長最大時，求P點的坐標(biāo)；

(3)如圖(2),點M是在直線上方的拋物線上■動點，當(dāng)=時，求點M的

坐標(biāo).

3Q

【答案】（1）y——%2H—x-3

44

⑵%,高

（3）wk,|

【解析】

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可;

34

⑵求出C（0,—3）,由。4=4,00=3,得到AC=5,則sinNOAC=《cosZ0AC=—,

5