2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第6章平面向量初步6.2.3平面向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算課時33平面向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算兩點間的距離公式與中點坐標(biāo)公式練習(xí)含解析新人教B版必修第二冊

PAGE1-課時33平面向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算、兩點間的距離公式與中點坐標(biāo)公式知識點一平面向量的坐標(biāo)1.如下圖，向量a，b，c的坐標(biāo)分別是________、________、________.答案(－4,0)(0,6)(－2，－5)解析將各向量向基底所在直線分解．a(chǎn)＝－4i＋0j，∴a＝(－4,0)，b＝0i＋6j，∴b＝(0,6)，c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．2．在平面直角坐標(biāo)系中，點A(2,3)，B(－3,4)，如圖所示，x軸、y軸正方向上的兩個單位向量分別為i和j，則下列說法正確的是________(只填序號)．①eq\o(OA,\s\up6(→))＝2i＋3j；②eq\o(OB,\s\up6(→))＝3i＋4j；③eq\o(AB,\s\up6(→))＝－5i＋j；④eq\o(BA,\s\up6(→))＝5i－j.答案①③④解析i，j互相垂直，故可作為基底，由平面向量基本定理，有eq\o(OA,\s\up6(→))＝2i＋3j，eq\o(OB,\s\up6(→))＝－3i＋4j，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－5i＋j，eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝5i－j，故①③④正確．知識點二平面上向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系3.設(shè)平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，則a－2b＝()A．(7,3) B．(7,7)C．(1,7) D．(1,3)答案A解析a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．4．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，則a＋b()A．平行于x軸B．平行于第一、三象限的角平分線C．平行于y軸D．平行于第二、四象限的角平分線答案C解析因為a＋b＝(0,1＋x2)，所以a＋b平行于y軸．5．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb與a－2b相等，則eq\f(m,n)＝________，|na＋mb|＝________.答案－eq\f(1,2)eq\r(41)解析ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－n＝4，,3m＋2n＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝－2，))∴eq\f(m,n)＝－eq\f(1,2).na＋mb＝－2a＋b＝(－5，－4)，∴|na＋mb|＝|－2a＋b|＝eq\r(－52＋－42)＝eq\r(25＋16)＝eq\r(41).知識點三兩點之間的距離公式與中點坐標(biāo)公式6.在△ABC中，已知點A(3,7)，B(－2,5)，若線段AC，BC的中點都在坐標(biāo)軸上．(1)求點C的坐標(biāo)；(2)求△ABC的三邊長．解(1)①若AC的中點在y軸上，則BC的中點在x軸上，設(shè)點C的坐標(biāo)為(x，y)，由中點坐標(biāo)公式得eq\f(3＋x,2)＝0，eq\f(y＋5,2)＝0，∴x＝－3，y＝－5，即C點坐標(biāo)為(－3，－5)．②若AC的中點在x軸上，則BC的中點在y軸上，則同理可得C點坐標(biāo)為(2，－7)．綜上C點坐標(biāo)為(－3，－5)或(2，－7)．(2)當(dāng)C點坐標(biāo)為(－3，－5)時，AB＝eq\r(－2－32＋5－72)＝eq\r(29)，AC＝eq\r(－3－32＋－5－72)＝6eq\r(5)，BC＝eq\r(－3＋22＋－5－52)＝eq\r(101).當(dāng)C點坐標(biāo)為(2，－7)時，AB＝eq\r(29)，AC＝eq\r(2－32＋－7－72)＝eq\r(197)，BC＝eq\r(2＋22＋－7－52)＝4eq\r(10).7．已知在△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N是AB，AC的中點，D是BC的中點，MN與AD交于點F，求eq\o(DF,\s\up6(→)).解因為A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4，－3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－3，－5)．又因為D是BC的中點，有eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝(－3.5，－4)，而M，N分別為AB，AC的中點，所以F為AD的中點．故有eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝(1.75,2)．知識點四向量的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用8.已知點O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))，試問：(1)t為何值時，點P在x軸上？點P在y軸上？點P在第二象限？(2)四邊形OABP能否為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請說明理由．解由已知得eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,3)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．(1)若點P在x軸上，則有2＋3t＝0，t＝－eq\f(2,3)；若點P在y軸上，則有1＋3t＝0，t＝－eq\f(1,3)；若點P在第二象限，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3t<0，,2＋3t>0，))解得－eq\f(2,3)<t<－eq\f(1,3).(2)eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝(4,5)－(1＋3t,2＋3t)＝(3－3t，3－3t)，若四邊形OABP是平行四邊形，則有eq\o(OA,\s\up6(→))＝Peq\o(B,\s\up6(→))，即有3－3t＝1，且3－3t＝2，這顯然是不可能的，因此，四邊形OABP不可能是平行四邊形．9．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up6(→))＝－2B．(1)求3a＋b－3c；(2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n；(3)求點M，N的坐標(biāo)及eq\o(MN,\s\up6(→))的坐標(biāo)．解由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(3)∵eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝3c，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝3c＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M(0,20)．又∵eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2b，∴eq\o(ON,\s\up6(→))＝－2b＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)．∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝(9，－18).易錯點轉(zhuǎn)換向量關(guān)系失誤10.平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三點，點C在直線AB上，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，連接DC并延長至點E，使|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝eq\f(1,4)|eq\o(ED,\s\up6(→))|，則點E的坐標(biāo)為________．易錯分析連接DC并延長至E，即E在DC的延長線上，注意向量的方向不要判斷錯誤．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，－7))正解設(shè)坐標(biāo)原點為O，∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))．∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3，－6)．∴點C的坐標(biāo)為(3，－6)．又∵|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝eq\f(1,4)|eq\o(ED,\s\up6(→))|，且E在DC的延長線上，∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)eq\o(ED,\s\up6(→)).設(shè)E(x，y)，則(x－3，y＋6)＝－eq\f(1,4)(4－x，－3－y)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3＝－\f(1,4)4－x，,y＋6＝－\f(1,4)－3－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,3)，,y＝－7，))∴點E的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，－7)).一、選擇題1．已知向量a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，則下列結(jié)論正確的是()A．向量a的終點坐標(biāo)為(－2,3)B．向量a的起點坐標(biāo)為(－2,3)C．向量a與b互為相反向量D．向量a與b關(guān)于原點對稱答案C解析a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，故a＝－B．故選C．2．已知a＝(－2,3)，b＝(1,5)，則3a＋b等于()A．(－5,14) B．(5,14)C．(7,4) D．(5,9)答案A解析3a＋b＝3(－2,3)＋(1,5)＝(－5,14)，故選A．3．如圖所示，{e1，e2}為正交基底，則向量2a＋b的坐標(biāo)為()A．(3,4) B．(2,4)C．(3,4)或(4,3) D．(4,2)或(2,4)答案A解析由圖可知2a＝2e1＋e2，b＝e1＋3e2，所以2a＋b＝3e1＋4e2＝(3,4)．4．設(shè)向量a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，則λ＋x的值是()A．－eq\f(11,2) B．eq\f(11,2)C．－eq\f(29,2) D．eq\f(29,2)答案C解析a＋b＝(1,2)＋(－3,5)＝(－2,7)，λc＝(4λ，xλ)，又a＋b＝λc，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2＝4λ，,7＝xλ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,x＝－14，))則λ＋x＝－eq\f(29,2).5．已知M(2，－1)，N(0,5)，且點P在MN的延長線上，|MP|＝2|PN|，則P點坐標(biāo)為()A．(－2,11) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，3))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，3)) D．(－2,12)答案A解析因為P在MN的延長線上且|MP|＝2|PN|，所以eq\o(MP,\s\up6(→))＝2eq\o(NP,\s\up6(→))，則eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝2(eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→)))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝2(0,5)－(2，－1)，即eq\o(OP,\s\up6(→))＝(－2,11)．二、填空題6．如圖，正方形ABCD中，O為中心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,1)，試用基底向量i，j表示下列向量：eq\o(OB,\s\up6(→))＝________，eq\o(OC,\s\up6(→))＝________，eq\o(AB,\s\up6(→))＝________，eq\o(AC,\s\up6(→))＝________.答案－i＋j－i－j－2i－2i－2j解析如題圖所示，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,1)＝i＋j，∴eq\o(OE,\s\up6(→))＝i，eq\o(EA,\s\up6(→))＝j(luò).∴eq\o(OF,\s\up6(→))＝－eq\o(OE,\s\up6(→))＝－i，eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＝j(luò)，eq\o(FC,\s\up6(→))＝－eq\o(FB,\s\up6(→))＝－j.∴eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＝－i＋j；eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝－i－j；eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－i＋j－(i＋j)＝－2i.同理，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝－i－j－(－i＋j)＝－2j，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2i＋(－2j)＝－2i－2j.7．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，則|a|＋|b|＝________.答案18解析聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2，－8，①,a－b＝－8，16，②))由①＋②得，a＝(－3,4)，由①－②得，b＝(5，－12)．故|a|＋|b|＝eq\r(－32＋42)＋eq\r(52＋－122)＝5＋13＝18.8．已知點A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)，若對于平面上任意一點O，都有eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))，λ∈R，則x＝________.答案2解析取O(0,0)，由eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))得，(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－λ＋1－λ，,5＝－λ＋31－λ.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,x＝2.))9．已知邊長為1的正方形ABCD，若點A與坐標(biāo)原點重合，邊AB，AD分別落在x軸、y軸的正方向上，則向量2eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))的坐標(biāo)為________．答案(3,4)解析根據(jù)題意建立坐標(biāo)系如圖，則A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)．∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,0)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,1)．∴2eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,0)＋(0,3)＋(1,1)＝(3,4)．三、解答題10．(1)已知平面上三個點A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，2eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))的坐標(biāo)；(2)已知a＝(1,2)，b＝(－3,4)，求向量a＋b，a－b,3a－4b的坐標(biāo)．解(1)∵A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)．∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)；eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)；eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)；eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)；2eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝2(3，－1)＋eq\f(1,2)(－3,2)＝(6，－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,