2023-2024學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)上冊重難點題型突破訓(xùn)練：角度計算熱點歸納（9大題型）（含答案與解析）

專題10角度計算熱點歸納（9大題型）

氫蚣獨____________________________________

【題型1角度換算計算】

【題型2求分針或時針轉(zhuǎn)過的角度】

【題型3求分針與時針的夾角】

【題型4角的大小比較】

【題型5方位角的計算】

【題型6角的直接計算】

【題型7運用方程思想求角】

【題型8分類討論思想】

【題型9角的旋轉(zhuǎn)】

國滿臺於優(yōu)

【題型1角度換算計算】

【典例1】計算：35°28'48"=°.

【變式1-1】請計算13.17。=—°—'—".

【變式1-2】26.25°=°/；57°27'=°.

【變式1-3354.12°=_度分秒.

【變式1-4］98°3018"=

【題型2求分針或時針轉(zhuǎn)過的角度】

【典例2］從8：10到8：30,時鐘的分針轉(zhuǎn)過的角度為°.

【變式2-1］從8：12分到8：35分，時鐘的分針轉(zhuǎn)過的角度是.

【變式2-2】時鐘的分針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度是°,時針每小時轉(zhuǎn)過的角度

是°,4時40分，時針與分針的夾角是.

【變式2-31時鐘的時針由2點30分走到2點55分，則它轉(zhuǎn)過度.

【題型3求分針與時針的夾角】

【典例3】上午9：30,鐘表的時針與分針的夾角是一度.

【變式3-1】小明一家早上9：50駕車從東平體育館出發(fā)，經(jīng)過20分鐘到達東平

大宋不夜城檢票口，到達檢票口時鐘面上的時針與分針的夾角是一度.

【變式3-2】如圖，當(dāng)鐘表上時刻為上午8：00整時，鐘表上時針與分針的夾角

為度.

【變式3-31上午10點20分時，鐘面上時針和分針的夾角為___度.

【變式3-4】如圖，當(dāng)鐘表指示9：20時，時針和分針的夾角（小于180°）的

度數(shù)是—.

【題型4角的大小比較】

【典例4】比較大小：40.15°40°15'（用>、=、<填空）.

【變式4-1】已知Nl=25°12',Z2=25.12°,Z3=24°75',則Nl、N2、

Z3的大小關(guān)系是.

【變式4-2］在如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點/、B、C、D、。均在格點（網(wǎng)

格線交點）上，那么N/OCZBOD（填“>”，"V”或“="）.

【變式4-3］己知Nl=4°18',Z2=4.4°,則N1Z2.（填“大于、小

于或等于”）

【變式4-4］比較圖中乙8OC、N5OQ的大?。阂驗?6和05是公共邊，OC

在的內(nèi)部，所以N5OCZBOD.（填“>”，"V”或“=”）

D

C

/

OA

【題型5方位角的計算】

【典例5】如圖所示，點2在點。的北偏東50°方向，點3在點。的南偏東

30°方向上，則N/O3=.

【變式5-1］如圖，某一時刻在燈塔。處觀測到游輪/在它的北偏西30°方向,

同時又觀測到貨輪5在它的北偏東45°方向，則N4O3的度數(shù)是—。.

【變式5-2】如圖，小軍從月點出發(fā)向北偏東60°方向速到5點，再從5點出

發(fā)向南偏西15°方向速到C點，則N48。等于

【變式5-3】一艘船從/點出發(fā)，向北偏西30°方向行駛了507〃到達3點，再

從5點向南偏東15°方向行駛了60"/到達。點，則N45。等于.

【變式5-3】如圖，/處在3處的北偏東45°方向，C處在/處的南偏東15°方

向，則NA4C等于__度.

【題型6角的直接計算】

【典例6】如圖，己知/、O、5三點在同一條直線上，平分N2OC,OE平

分乙BOC.若/8。。=62。,求NQOE的度數(shù).

【變式6-1】如圖，ZAOB=ZCOD^90°,。。平分NNO3,ZBOD=3Z

DOE.試求NCOE的度數(shù).

【變式6-2］如圖，ZAOD=10°,ZAOB=20°,05平分N/OC,求NCOQ

的度數(shù).

【變式6-3】如圖，點。在直線48上，ZCOZ>=90°,NBOC=a,OE是NBOD

的平分線.

(1)若a=20°,求f的度數(shù)；

(2)若OC為N5OE的平分線，求a的值.

【變式6-4】如圖，已知。為直線NC上一點，過點O向直線NC上引三條射線

OB,OD,OE,且OZ)平分NNO5.

(1)若OE平分N5OC,求乙0。￡的度數(shù)；

(2)若NBOE^/EOC，NDOE=50°,求NEOC的度數(shù).

【題型7運用方程思想求角】

【典例7】如圖，BD平分/HBC,/CBE：NABE=5；3,且NZ)5E=15°,求

N48C和N/5E的度數(shù).

【變式7-1】如圖，直線48,CZ)相交于點O,平分NEOC.

(1)若N￡OC=70°,求48QQ的度數(shù)；

(2)若N￡OC：/EOD=2：3,求N5QD的度數(shù).

【變式7-2】如圖，將直角三角板OMN的直角頂點。放在直線上，射線OC

平分N/QM

(1)當(dāng)/BON=60°時，求NC。區(qū)的度數(shù)；

(2)^ZAOM=2ZCOM,求N/ON的度數(shù).

【變式7-3］如圖，點。在直線48上，NC。。在直線45上方，且NC8=

60°,射線OE在NCOZ)內(nèi)部，ZAOE=2ZDOE.

(1)如圖1,若OZ)是N5OC的平分線，求NCOS的度數(shù)；

(2)如圖2,探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)拇笮“l(fā)生變化時，NCOE與NBOD的

數(shù)量關(guān)系保持不變.請你用等式表示出NCQE與N5OO的數(shù)量關(guān)系，并說明

理由.

【題型8分類討論思想】

【典例8】點O為直線48上一點，在直線48同側(cè)任作射線。。，OD,使得N

COD=90°.

(1)如圖1,過點O作射線OE,當(dāng)恰好為NNOC的角平分線時，另作

射線。尸，使得O尸平分N5QQ,則NEOC+NQO廠的度數(shù)是°；

(2)如圖2,過點O作射線OG,當(dāng)OG恰好為的角平分線時，求出

ZBOD與NCOG的數(shù)量關(guān)系；

(3)過點。作射線027,當(dāng)OC恰好為NZOH的角平分線時，另作射線。K,

使得OK平分NCOD,若/HOC=3/HOK,求出NNO//的度數(shù).

圖1圖2備用圖

【變式8-1］如圖，已知/力。5=120°,OC是N/O8內(nèi)的一條射線，且N

AOC：ZBOC=1：2.

(1)求NNOC,N5OC的度數(shù)；

(2)作射線QW■平分N/OC,在N3OC內(nèi)作射線。V,使得NCQV：ZBON

=1：3,求NMCW的度數(shù)；

(3)過點O作射線OD,若2/AOD=3NBOD,求NCOO的度數(shù).

【變式8-2］若兩個角的差的絕對值等于90°,則稱這兩個角互為“垂角”.例

如：

Zl=120°,Z2=30°,|Z1-Z2|=90°,則N1與N2互為“垂角”(本

題中所有角都是指大于0°且小于180°的角).

(1)己知一個角比它的“垂角"的」少20°,求這個角的度數(shù)；

2

(2)如圖所示，乙4。3=120°,ZBOC=45°,是否存在射線使得N

49Z)與NCO?；椤按菇恰?？若存在，直接寫出N5OZ)的度數(shù)；若不存在,

請說明理由.

【變式8-3】已知NNO5=90°,過頂點O作射線OC,且OE平分N/OC.

(1)如圖1,若OC平分NNO5,則NEOC的度數(shù)為；

（2）若NBOC[NAOB，求NEOC的度數(shù)；

（3）嘉嘉說：“如圖2,若OC在NNOB內(nèi)，平分N3OC,則的

度數(shù)不變.”

請你判斷嘉嘉的說法是否正確，并說明理由；

（4）若OC在N/O5外，設(shè)N5OC=a,平分N3OC,當(dāng)0°<a<180°

時，直接寫出NEO。的度數(shù).

【題型9角的旋轉(zhuǎn)】

【典例9】如圖，己知。4_LO5,射線OZ）在內(nèi)部，射線繞點。逆

時針旋轉(zhuǎn)〃。得到OC,OE是NNOC的角平分線.

（1）如圖1,若OD是NNO5的角平分線，且”=85時，求/DOE.

（2）如圖2,若。尸是NNOZ）的角平分線，則//。石-/2。尸=.（用

含有〃的代數(shù)式表示）

（3）在（1）的條件下，若射線O尸從OE出發(fā)繞點。以每秒5°的速度逆時

針旋轉(zhuǎn)，射線。。從8出發(fā)繞點。以每秒6。的速度順時針旋轉(zhuǎn).若射線

OP,。。同時開始旋轉(zhuǎn)，直至第一次重合，旋轉(zhuǎn)停止.在旋轉(zhuǎn)的過程中，何

時滿足NEO尸=旦//。0,請直接寫出答案.

備用圖圖1圖2

【變式9-2】如圖1,O為直線48上一點，過點O作射線OC,ZAOC=30°,

將一直角三角板（NM=30°）的直角頂點放在點。處，一邊ON在射線。4

上，另一邊3/與OC都在直線48的上方.

(1)將圖1中的三角板繞點O以每秒3°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周.如

圖2,經(jīng)過/秒后■恰好平分N3OC,貝卜=(直接寫結(jié)果)

(2)在(1)問的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動的同時，射線OC也繞。點以每

秒6°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，如圖3,那么經(jīng)過多少秒后OC平分N

MON?請說明理由；

(3)在(2)問的基礎(chǔ)上，那么經(jīng)過多少秒NMOC=36°?請說明理由.

圖1圖2圖3

【變式9-3】如圖1,OALOB,/COD=60°.

(1)若NBOC=3N4OD,求/2。＞的度數(shù)；

7

(2)若OC平分N4。)，求乙8OC的度數(shù)；

(3)如圖2,射線05與OC重合，若射線06以每秒15°的速度繞點。逆

時針旋轉(zhuǎn)，同時射線OC以每秒10°的速度繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線

與。4重合時停止運動.設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為，秒，請直接寫出圖中有一條射線平

分另外兩條射線所夾角時/的值.

圖1圖2

專題10角度計算熱點歸納（9大題型）

氫蚣獨___________________________________

【題型1角度換算計算】

【題型2求分針或時針轉(zhuǎn)過的角度】

【題型3求分針與時針的夾角】

【題型4角的大小比較】

【題型5方位角的計算】

【題型6角的直接計算】

【題型7運用方程思想求角】

【題型8分類討論思想】

【題型9角的旋轉(zhuǎn)】

國滿臺於優(yōu)

【題型1角度換算計算】

【典例1】計算：35°28'48"=35.48°.

【答案】35.48.

【解答】解：???「=60",

；.48"=0.8',

.?.28'+0.8'=28.8',

VI0=60',

.?.28.8'=0.48°,

.*.35°28'48"=35.48°,

故答案為：35.48.

【變式1-1】請計算13.17°=13°10'127.

【答案】13；10；12.

【解答】解：=60',

AO.17°=10,2',

vr=60",

：.0.2'=12

.,.13,17°=13°10’12"

故答案為：13；10；12.

【變式1-2126.25°=26°15'；57°27'=57.45°

【答案】26；15；57.45°.

【解答】解：根據(jù)1°=60',

V0.25°X60=15z,

.,.26,25°=26°15',

?.?27'4-60=0.45°,

：.57°27'=57.45°.

故答案為：26；15；57.45°.

【變式1-3】54.12°=54度7分12秒.

【答案】54,7,12.

【解答】解：?二°=60',

.,.0.12°=7.2',

VI7=60",

.\0.2/=12",

.,.54,12°=54°7,12",

故答案為：54,7,12.

【變式1-4】98°3018"=98.505度.

【答案】98,505.

【解答】解：=60",

.,.18"=0.3',

VI°=60',

.,.30.3'=0.505°,

.?.98°30'187=98.505度.

故答案為：98.505

【題型2求分針或時針轉(zhuǎn)過的角度】

【典例2】從8：10到8：30,時鐘的分針轉(zhuǎn)過的角度為120

【答案】120.

【解答】解：?.?從8：10到8：30,

，時鐘一共走了20分鐘，

?.?360°4-60=6°,

二時鐘的分針一分鐘走6°,

.*.20X6°=120°.

故答案為：120.

【變式2-1］從8：12分到8：35分，時鐘的分針轉(zhuǎn)過的角度是138°.

【答案】138°.

【解答】解：由鐘面角的特征可知，分針每轉(zhuǎn)動“1分鐘”，轉(zhuǎn)過的角度為

36004-60=6°,

所以從8：12分到8：35分，時鐘的分針轉(zhuǎn)過的角度是6°X(35-12)=

138°,

故答案為：138。.

【變式2-2】時鐘的分針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度是6°,時針每小時轉(zhuǎn)過的角度是

30°,4時40分，時針與分針的夾角是100°.

【答案】6,30,100°.

【解答】解：時鐘的分針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度是360°4-60=6°,

時針每小時轉(zhuǎn)過的角度是30°；

時針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度是30°4-60=0.5°,

40分鐘時針轉(zhuǎn)過的角度是40X0.5=20°,

時針與5點時的夾角是10°,

4時40分，時針與分針的夾角是：30°X3+100=100°,

故答案為：6,30,100°.

【變式2-31時鐘的時針由2點30分走到2點55分，則它轉(zhuǎn)過12.5度.

【答案】12.5.

【解答】解：時針旋轉(zhuǎn)的角度是0.5°X(55-30)=12.5°.

故答案為：12.5.

【題型3求分針與時針的夾角】

【典例3】上午9：30,鐘表的時針與分針的夾角是105度.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：9：30,時針和分針中間相差3.5個大格.

?鐘表12個數(shù)字，每相鄰兩個數(shù)字之間的夾角為30°,

.,.9：30分針與時針的夾角是3.5X30。=105°.

【變式3-1】小明一家早上9：50駕車從東平體育館出發(fā)，經(jīng)過20分鐘到達東平

大宋不夜城檢票口，到達檢票口時鐘面上的時針與分針的夾角是115

度.

【答案】115.

【解答】解：由題意得：經(jīng)過20分鐘到達東平大宋不夜城檢票口，到達檢票

口的時間=9：50+20分=10：10,

.?.30°X4-0.5°X10

=120°-5°

=115°,

.?.到達檢票口時鐘面上的時針與分針的夾角是115度.

故答案為：115.

【變式3-2】如圖，當(dāng)鐘表上時刻為上午8：00整時，鐘表上時針與分針的夾角

為120度.

【答案】120.

【解答】解：由題意得:

4X30°=120°,

故答案為：120.

【變式3-3】上午10點20分時，鐘面上時針和分針的夾角為170度.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：10點20分時，鐘面上時針和分針的夾角為30X（5+黑）=

60

170°,

故答案為：170.

【變式3-4】如圖，當(dāng)鐘表指示9：20時，時針和分針的夾角（小于180°）的

度數(shù)是16數(shù).

【答案】160°.

【解答】解：由題意得：

5X30°+20X0.5°

=150°+10°

=160°,

當(dāng)鐘表指示9：20時，時針和分針的夾角（小于180°）的度數(shù)是160°,

故答案為：160°.

【題型4角的大小比較】

【典例4】比較大小：40.15°V40°15'（用>、=、<填空）.

【答案】V.

【解答】解：V40.15°=40°9',

.?.40.15°<40°15'.

故答案為：V.

【變式4-1］已知Nl=25°12',Z2=25.12°,Z3=24°75'，則Nl、N2、

Z3的大小關(guān)系是N3>N1>N2.

【答案】Z3>Z1>Z2.

【解答】解：Z2=25.12°=25°7T2",Z3=24°75'=25°15',

V25°15'>25°12'>25°7'12",

.'.Z3>Z1>Z2.

故答案為：Z3>Z1>Z2.

【變式4-2］在如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點/、B、C、D、。均在格點（網(wǎng)

格線交點）上，那么N/OC<NBOD（填“>”，"V”或“=”）.

【答案】V.

【解答】解：由圖可知，/AOCV/BOD.

故答案為：V.

【變式4-3］已知Nl=4°18',Z2=4.4°,則N1小于N2.（填“大于、

小于或等于"）

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：VZ1=4°18',Z2=4.4°=4°24',

.\ZKZ2,

故答案為：小于.

【變式4-4］比較圖中N5OC、的大小：因為05和03是公共邊，OC

在N58的內(nèi)部，所以N5OC</BOD.（填“>”，“V”或

【答案】V.

【解答】解：因為05和05是公共邊，OC在的內(nèi)部，所以N5OCVN

BOD.

故答案為：V.

【題型5方位角的計算】

【典例5】如圖所示，點Z在點O的北偏東50°方向，點5在點。的南偏東

30°方向上，則乙4。5=100°.

北

東

【答案】100°.

【解答】解：如圖:

由題意得：

ZAOE=50a,ZBOF=3Qa，

：.ZAOB=180°-ZAOE-ZBOF=100°,

故答案為：100。.

【變式5-1］如圖，某一時刻在燈塔。處觀測到游輪工在它的北偏西30°方向,

同時又觀測到貨輪5在它的北偏東45°方向，則N495的度數(shù)是

75°.

【答案】75.

【解答】解：ZAOB=3Q°+45°=75°,

故答案為：75.

【變式5-2】如圖，小軍從幺點出發(fā)向北偏東60°方向速到5點，再從5點出

發(fā)向南偏西15°方向速到C點，則N45C等于45°.

【答案】45°.

【解答】解：從圖中發(fā)現(xiàn)N4BC+15。=60°,

；.N4BC=45°,

故答案為：45°.

【變式5-3】一艘船從N點出發(fā)，向北偏西30°方向行駛了50加到達5點，再

從5點向南偏東15°方向行駛了60加到達。點，則N4gC等于15°.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：根據(jù)題意可得4048=30°,

'JEB//AD,

，NEA4=30°,

'：ZEBC=15°,

：.ZABC=30°-15°=15°,

【變式5-3】如圖，/處在5處的北偏東45°方向，。處在N處的南偏東15°方

向，則向加C等于60度.

B

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：如圖，

?：AE,是正南正北方向，

：.BD//AE,

,：NDB4=45°,

：.NBAE=NDB4=45°,

VZEAC=15°,

/.ZBAC=ZBAE+ZEAC=450+15°=60°,

故答案為：60.

B

【題型6角的直接計算】

【典例6】如圖，已知/、O、8三點在同一條直線上，。口平分N/OC,OE平

分/BOC.若N3OC=62°,求/。OE的度數(shù).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：平分NZOC，OE平分N5OC,

ZDOC=^ZAOC,NCOE=工乙BOC

22

/.ADOE=^DOC+ZCOE=1(ZBOC+ZCOA)=』X(62°+180°-

22

62°)=90°.

【變式6-1】如圖，4AOB=4COD=90°,。。平分NNO5,4BOD=34

DOE.試求NCOE的度數(shù).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：'：ZAOB=90°,OC平分N4O6,

:./COB=：AOB=45°,

2

VZCOD=90°,

ZBOD=45°,

ZBOD=3ZDOE,

：./DOE=15°,

:./BOE=30°,

ZCOE=ZCOB+ZBOE=450+30°=75°.

【變式6-2】如圖，ZAOD=70°,ZAOB=20°,03平分NNOC,求NCOD

的度數(shù).

【答案】NCOD的度數(shù)為30°.

【解答】解：YOB平分乙4OC,

ZAOC=2ZAOB,

VZAOB=20°,

AZJOC=40°.

VZCOD=ZAOD-ZAOC,ZAOD=70°,

：.ZCOD=70°-40°=30°.

.,.NCOZ)的度數(shù)為30。.

【變式6-3】如圖，點。在直線48上，ZCOZ>=90°,/BOC=a,OE是NBOD

的平分線.

(1)若a=20°,求N/OD的度數(shù)；

(2)若OC為N5OE的平分線，求a的值.

【答案】（1）70°；（2）30°.

【解答】解：（1）'：ZCOD=9Q°,ZBOC=a=20°,

:.AAOD=180°-/COD-ABOC

=180°-90°-20°

=70°,

答:N/OZ）的度數(shù)為70°；

（2）,.,OC是N5O石的平分線，

Z/EOC=ZBOC=a,

是/反組的平分線，

ZDOE=/EOB=NEOC+N5OC=a+a=2a,

/./DOC=NDOE+NEOC=2a+a=3a,

：.3a=90°,

；.a=30°.

【變式6-4］如圖，已知。為直線NC上一點，過點O向直線NC上引三條射線

OB,OD,OE,且OD平分N/O3.

(1)若OE平分N5OC,求上的度數(shù)；

(2)若/BOEA/EOC，ZDOE=50°,求NEOC的度數(shù).

O

D

AOC

【答案】(1)90°；

(2)120°.

【解答】解：(1)：級＞平分N49B平分N60C,

AZAOB=2ABOD,/BOC=2/BOE,

'：ZAOB+4BOC=2ZBOD+2/BOE=180°,

ZBOD+ZBOE=ZDOE=90°,

答：NQO￡的度數(shù)為90°；

⑵Y/B0E=2/E0C，NDOE=50°,

?，-ZB0D=50o-YZEOC-

?.?8平分/496,

ZAOB=2ZBOD,

,：ZAOB+ZBOE+ZEOC=1SO°,

2(50°-yZEOC)^-ZE0C+ZE0C=180o，

解得：ZEOC=120°,

答：NEOC的度數(shù)為120。.

【題型7運用方程思想求角】

【典例7】如圖，BD平分乙4BC,ZCBE：ZABE=5：3,且NO跳：=15°,求

N48c和N4B￡的度數(shù).

【答案】120。，45°.

【解答】解：設(shè)NC班為5x,則ZABE為3x,

ZABC=ZCBE+ZAB=(5x+3x)=8x,

■:BD平分N48C,

/.ZABD=1ZABC=4x,

2

又：ZABE+ZDBE=/ABD,ZDBE=15

即3x+15=45

解得x=15,

AZJ5C=8X15=120°,ZZ3￡=3X15=45°.

【變式7-1】如圖，直線48,CZ)相交于點O,平分NEOC.

(1)若N￡OC=70。，求N89O的度數(shù)；

(2)若N￡OC：/EOD=2：3,求N5OD的度數(shù).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）平分NEOC,

ZJOC=AZ￡OC=AX70°=35°,

22

AZBOD=ZAOC=35°；

(2)設(shè)NEOC=2x,AEOD=3x,根據(jù)題意得2x+3x=180°,解得x=36°,

Z￡OC=2r=72°,

AZAOC=^ZEOC=^X72°=36°,

22

ZBOD=ZAOC=36°.

【變式7-2］如圖，將直角三角板OMN的直角頂點。放在直線ZB上，射線OC

平分NNOM

(1)當(dāng)/BON=60°時，求NCOM■的度數(shù)；

(2)^ZAOM=2ZCOM,求NNON的度數(shù).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）,:/BON=60°,

/.ZAON=120°,

'：OC平分N/CW,

ZCON=yZAON=yX120°=60°，

"：ZMON=90°,

：.ZCOM=90°-60°=30°；

(2)設(shè)NCOM=x,

4A0M=2/C0M,

ZAOM=2x,

：.^AOC=3x,

,：OC平分乙AON,

：.ZAOC=ZCON,

，ZCON=ZAOC=3x,

'：ZCOM+ZCON=90°,

.?.x+3x=90°,

解得x=22.5°,

AAON=6x=135°.

【變式7-3］如圖，點。在直線48上，NCOZ)在直線48上方，且NC6?=

60',射線。石在NCO￡>內(nèi)部，ZAOE=2ZDOE.

(1)如圖1,若0。是NH9c的平分線，求NCO￡的度數(shù)；

(2)如圖2,探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)拇笮“l(fā)生變化時，/CO石與的

數(shù)量關(guān)系保持不變.請你用等式表示出NCO后與480。的數(shù)量關(guān)系，并說明

理由.

【答案】(1)20°；

(2)ZBOD=3ZCOE,理由見解析.

【解答】解：⑴是NH9C的平分線,

^BOD=ZCOD=60°，

/.ZAOD=180°-Z5OZ>=120°.

?:/AOD=/AOE+/DOE,ZAOE=2ZDOE,

:.ZAOD=3ZDOE,

?，?ZDOE=4ZAOD=40°，

/.ZCOE=/COD-NZ)OE=20°.

(2)4BOD=3/COE,

設(shè)NCOE=x,則NZ)OE=60°-x,

'：ZAOE=2ZDOE,

：.ZAOD=3ZDOE=3(60°-x)=180°-3x,

ZJBOZ)=180°-ZJOZ)=180°-(180°-3x)=3x,

ZBOD=3ZCOE.

【題型8分類討論思想】

【典例8】點O為直線48上一點，在直線4s同側(cè)任作射線OC,OD,使得N

COD=90°.

(1)如圖1,過點。作射線OE,當(dāng)O￡恰好為NZOC的角平分線時，另作

射線。尸，使得O尸平分N58,則NEOC+NDO0的度數(shù)是45°；

(2)如圖2,過點O作射線OG,當(dāng)OG恰好為N/。。的角平分線時，求出

ZBOD與NCOG的數(shù)量關(guān)系；

(3)過點。作射線07/,當(dāng)OC恰好為的角平分線時，另作射線OK,

使得OK平分NCOD,若/HOC=34HOK,求出NNW的度數(shù).

圖1圖2備用圖

【答案】(1)45；

(2)/BOD=2/COG；

(3)NNOH的度數(shù)為67.5。或135°.

【解答】解：(1)VZCOZ>=90°,

；.N4OC+/BOD=90°,

為N/OC的角平分線，O產(chǎn)平分N5OQ,

，NEOCT/ZOC,ZDOF=1ZBOD,

22

：.ZEOC+ZDOF=^-(ZAOC+ZBOD)=Ax90°=45°,

22

故答案為：45；

(2):/COD=90°,

：.ZCOG+ZGOD^90°,

ZGOZ)=90°-NCOG,

?/0G為NNOZ)的角平分線，

：.AAOD=2^GOD=2(90°-ZCOE)=180°-2ZCOG,

VZBOD+ZAOD=\SO°,

AZ5(9Z)=18O0-ZAOD=1SO°-180°+2ZCOG=2ZCOG,

即ZBOD=2ZCOG；

(3)①如圖3所示時，

VZCOZ)=90°,OK平分/COD,

：.ZCOK=ZHOC+4HoK=45°,

4HOC=3/HOK,

：.4NHOK=45°,

/.ZHOK=11.25°,

.?.400=33.75°,

*：0c為/月077的角平分線，

：.4AOH=24HOC=675°；

②如圖4所示時，

?；/CVD=90°,OK平分/COD,

，NCOK=45°,

*.*/HOC=34HOK,

:./COK=2/HOK=45°,

ZHOK=22.5a,

，NCOK=45°+22.5°=67.5°,

,ZOC為ZAOH的角平分線，

ZAOH=2ZCOH=\35°；

圖3

【變式8-1］如圖，已知NNO3=120°,OC是NNO8內(nèi)的一條射線，且N

AOC：ZBOC=1：2.

(1)求N/OC,N5OC的度數(shù)；

(2)作射線QW平分N/OC,在N89C內(nèi)作射線OM使得NCQV：ZBON

=1：3,求NMON的度數(shù)；

(3)過點O作射線。刀，若2NNOZ)=3N5QZ),求NCO。的度數(shù).

【答案】（1）N/OC=40。，Z5OC=80°；

（2）NCOZ）的度數(shù)為32?；?76°.

【解答】解：（1）VAAOC-./BOC=k2,ZAOB=120°,

/.ZJOC=-lz^O5=lx120°=40°，

33

ZBOC=^-ZAOB=^-X120°=80°；

33

(2)YOA/平分N/OC,

/.ZCOM=^ZAOC=lx40°=20°，

22

?:/CON：NBON=1：3,

；./CON=LNBOC=、X80°=20°，

44

：.4MON=4COM+4cON=200+20°=40°；

(3)如圖，當(dāng)OZ)在乙405內(nèi)部時，

D

設(shè)N58=x°,

?：2/AOD=3/BOD,

：.ZAOD=^-x°,

2

VZAOB=120°,

.,..r+i.r=120,

2

解得：x=48,

；.NBOD=48°,

:.NCOD=NBOC-NBOD=80°-48°=32°,

如圖，當(dāng)OZ)在NHOB外部時，

D

備用圖

設(shè)N5OQ=.y°,

\"2ZAOD=3ZBOD,

：.ZAOD=^-v°,

2

VZAOB=120°,

■什葉120°=360°

2,

解得：y=96。，

ZCOD=ZBOD+ZBOC

=96°+80°

=176°,

綜上所述，NC8的度數(shù)為32°或176°.

【變式8-2］若兩個角的差的絕對值等于90°,則稱這兩個角互為“垂角”.例

如：

Zl=120°,Z2=30°,|Z1-Z2|=90°,則N1與N2互為“垂角”(本

題中所有角都是指大于0°且小于180°的角).

(1)已知一個角比它的“垂角”的工少20°,求這個角的度數(shù)；

2

(2)如圖所示，ZAOB=12Q°,ZBOC=45°,是否存在射線OZ),使得N

AOD與NCOD互為“垂角”？若存在，直接寫出的度數(shù)；若不存在,

請說明理由.

【答案】(1)50°；

(2)N5OZ)的度數(shù)為：7.5°或82.5°或97.5°.

【解答】解：(1)設(shè)這個角為x°,它的垂角為十,

r|x°-y°|=90°,

根據(jù)題意，得。1°

x=yYToUn,

解得產(chǎn)"

y=140,

故這個角的度數(shù)為50°；

(2)N5a)的度數(shù)為：7.5°或82.5°或97.5°.

理由如下：

分兩種情況：

①8在N2OC的內(nèi)部時，

有［INA0D-NC0D|=90°,

IZAOD+ZCOD=120°+45°,

解得NC8=37.5?；騈COQ=127.5°,

ABOD=ZBOC-ZCOD=45°-37.5°=7.5°,

或4BOD=/COD-/BOC=\275°-45°=82.5°；

②8在NNOC外部時，

IZAOD-ZCOD|=90°,

'ZAOD+ZCOD=360°-120°-45°,

解得NCOZ)=52.5°或NCOZ)=142.5°,

:./BOD=/BOC+/COD=450+52.5°=97.5°,

或4BOD=/BOCMCOD=450+142.5°=187.5°>180°(舍去),

故乙BOQ的度數(shù)為：7.5°或82.5°或97.5°.

【變式8-3】已知乙405=90°,過頂點O作射線OC,且OE平分N/OC.

(1)如圖1,若OC平分NZO5,則NEOC的度數(shù)為22.5°；

(2)若NBOCQNAOB，求NEOC的度數(shù)；

⑶嘉嘉說：“如圖2,若OC在N2O5內(nèi)，平分N5OC,貝U/EOZ)的

度數(shù)不變.”

請你判斷嘉嘉的說法是否正確，并說明理由；

(4)若OC在N/O3外，設(shè)N5OC=a,平分48。。，當(dāng)0°<a<180°

時，直接寫出的度數(shù).

【答案】(1)22.5°；(2)60°；(3)正確，理由見解答；(4)4EOD

的度數(shù)為45°或135°.

【解答】解：(1)'：ZAOB=90a,OC平分NNO5,

NNOC=￡/AOB=45°，

平分NNOC,

AZ￡OC-AZAOC=22.5°,

故答案為：22.5°；

(2)因為N8OC=工NNO5,所以N3OC=30°.

3

當(dāng)OC在/AOB內(nèi)時，ZAOC=ZAOB-ZBOC=60°.

因為OE平分NNOC,

所以NEOC=工NNOC=30。；

2

當(dāng)OC在NZO5外時，ZAOC=ZAOB+ZBOC^120°.

因為OE平分N/OC,所以NEOC=」NNOC=60°；

2

(3)正確；

理由：因為OE平分N/OC,平分N3OC,所以NEOC=-1NZOC,ZDOC

2

=^ZBOC,

2

所以NEOZ>=ZEOC+ZDOC=^ZAOC+^ZBOC=1ZAOB=45°；

222

(4)NEO。的度數(shù)為45°或135°.

如圖1,

當(dāng)0°<a^90°時，因為O￡,分別是NZOC和N5O。的平分線,

所以NEOC=工NNOC,ZDOC=^ZBOC.

22

因為NEOD=NEOC-ZDOC,ZAOB=ZAOC-ZBOC,

所以N￡OZ)=」NNOC-1ZBOC=^ZAOB=45°；

222

當(dāng)90°<a<180°時，若OC在05的下方，

如圖2,

因為OE,8分別是NZOC和N30C的平分線，所以NEOC=L//OC,Z

2

DOC=^ZBOC.

2

因為NEOO=NEOC+NZ>OC,ZAOC+ZBOC=360°-ZAOB,

所以NEOZ)=」NZOC+2N5OC=180°-^ZAOB=135°；

222

圖3

因為OE,分別是N/OC和N5OC的平分線,

所以/EOC=工乙4OC,4DOC=上/BOC.

22

因為NEOZ）=NOOC-/EOC,NAOB=ZBOC-ZAOC,

所以NEQD=2N5OC-^ZAOC=^ZAOB=45°.

222

【題型9角的旋轉(zhuǎn)】

【典例9】如圖，己知。射線OD在NZO5內(nèi)部，射線OQ繞點。逆

時針旋轉(zhuǎn)〃。得到OC,OK是NZOC的角平分線.

（1）如圖1,若8是NNO3的角平分線，且”=85時，求NDOE.

（2）如圖2,若OF是/AOD的角平分線，則ZAOE-ZAOF=工

一2

￡—.（用含有〃的代數(shù)式表示）

（3）在（1）的條件下，若射線。尸從。石出發(fā)繞點O以每秒5°的速度逆時

針旋轉(zhuǎn)，射線。。從出發(fā)繞點O以每秒6°的速度順時針旋轉(zhuǎn).若射線

OP.O0同時開始旋轉(zhuǎn)，直至第一次重合，旋轉(zhuǎn)停止.在旋轉(zhuǎn)的過程中，何

時滿足N￡O尸=2//。0,請直接寫出答案.

【解答】解：(1)'：OALOB,

.*.403=90°,

YOD平分4AOB,

：.ZAOD^ZAOB=45°,

2

VZCOZ)=85°,

ZJOC=85°+45°=130°,

,.,。石平分乙40。，

AZAOE=-^ZAOC=65°,

2

:./DOE=NAOE-/4OD=65°-45°=20°；

(2)?:。尸平分//。。，

，/AOF=L/AOD,

2

平分N/OC,

，/AOE=L/AOC,

2

:.NAOE-ZAOF=^-(ZAOC-/AOD)=^ZCOD=^i°

222

故答案為：；

2

(3)設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為/秒，

如圖，當(dāng)O0在N/O。內(nèi)部時，

由題意可得：ZEOP=5t°,ZDOQ=6t°,

?.,48=45°,

ZAOQ=(45-6r)°,

,/ZEOP=^ZAOQ,

：.5t=^-(45-6f),

4

解得―理；

38

當(dāng)O0在NZOD外部時，

BE

：/EOP=5t°,/DOQ=6t°,VZAOD=45°,

：.4AOQ=(6r-45)°,

,/ZEOP^ZAOQ,

.,.5r=」(6/-45),

4

解得：t=-磔(舍去)，

2

綜上，，=期時，ZEOP=1ZAOQ.

184

【變式9-1］如圖，以直線48上一點O為端點作射線OC,使480c=70°,

將一個直角三角形的直角頂點放在點。處.(注：ZDOE=90°)

(1)如圖①，若直角三角板OOE的一邊。。放在射線05上，則NCOE=

20°；

(2)如圖②，將直角三角板。。￡繞點。逆時針方向轉(zhuǎn)動到某個位置，若

OC恰好平分N5QE,求NCO。的度數(shù)；

(3)如圖③，將直角三角板DOE繞點。轉(zhuǎn)動，如果始終在N5OC的內(nèi)

部，試猜想N5O。和NCQE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)如圖①，ZCOE=ZDOE-Z5OC=90°-70°=20°,

故答案為：20；

(2)如圖②，：。。平分NE08,Z50C=70°,

ZEOB=2ZBOC=140°,

VZDOE=90°,

ZBOD=ZBOE-ZDOE=50°,

"：/BOC=10°,

...ZCOD=ZBOC-ZBOD=20°；

(3)ZCOE-ZBOD=2Q°,

理由是：如圖③，,.,N8O0+NCO￡)=N5OC=7O°,ZCOE+ZCOD=ZDOE

=90°,

CZCOE+ZCOD)-(ZBOD+ZCOD)

=ZCOE+ZCOD-ZBOD-ZCOD

=NCOE-ZBOD

=90°-70°

=20°,

即NCOS-N8OD=20°.

【變式9-2］如圖1,。為直線48上一點，過點。作射線。C,ZAOC=3Q°,

將一直角三角板(NM=30°)的直角頂點放在點。處，一邊ON在射線。4

上，另一邊0河與。。都在直線48的上方.

(1)將圖1中的三角板繞點。以每秒3°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周.如

圖2,經(jīng)過f秒后(W恰好平分N80C,則t=5秒(直接寫結(jié)果)

(2)在(1)問的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動的同時，射線OC也繞。點以每

秒6。的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，如圖3,那么經(jīng)過多少秒后平分/

MON?請說明理由；

(3)在(2)間的基礎(chǔ)上，那么經(jīng)過多少秒NMOC=36°?請說明理由.

圖1圖2