《數(shù)據(jù)、模型與決策》 課件 第6章 庫存模型

第6章非線性規(guī)劃模型什么是

非線性規(guī)劃?本章主要內(nèi)容框架圖求解非線性規(guī)劃問題6.1非線性規(guī)劃基本概念在前面幾章中，所涉及規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性的。但在許多實際問題中，往往會遇到目標(biāo)函數(shù)或約束條件是非線性的情況，這類規(guī)劃問題就是非線性規(guī)劃問題。在規(guī)劃問題中，如果目標(biāo)函數(shù)或約束條件中有一個是決策變量的非線性函數(shù)，則這類規(guī)劃問題稱為非線性規(guī)劃問題。本章要討論的是其中一類比較簡單的情形，即目標(biāo)函數(shù)是決策變量的非線性函數(shù)，而約束條件全是線性的情況。6.1非線性規(guī)劃基本概念例6.1

給定一根長度為400米的繩子，用來圍成一塊矩形菜地，問長和寬各為多少，使菜地的面積最大？解：這是一個小學(xué)數(shù)學(xué)問題，現(xiàn)在把它當(dāng)作一個規(guī)劃問題來求解。6.1非線性規(guī)劃基本概念(1)決策變量設(shè)矩形菜地的長為x1米，寬為x2米。(2)目標(biāo)函數(shù)本題的目標(biāo)是使菜地的面積最大。(3)約束條件 ①繩子長度為400米 ②非負約束6.1非線性規(guī)劃基本概念例6.1的電子表格模型6.1非線性規(guī)劃基本概念非線性規(guī)劃問題存在著局部最優(yōu)解和全局最優(yōu)解。通常，非線性規(guī)劃的解是局部極大點或極小點（即局部最優(yōu)解），它使得目標(biāo)函數(shù)在一部分可行域上達到極大值或極小值（局部極值），具體的解與給定的決策變量初值有關(guān)，最后只能從這些局部最優(yōu)解中挑選出一個最優(yōu)解作為最后的答案。正是由于局部最優(yōu)解的存在，使得非線性規(guī)劃問題的求解要比線性規(guī)劃問題的求解復(fù)雜得多。當(dāng)求得一個最優(yōu)解時，常常無法確定該解是否為全局最優(yōu)解。但是在某些情況下，可以保證所求得的解就是全局最優(yōu)解。下面6.2節(jié)、6.3節(jié)所介紹的邊際收益遞減的二次規(guī)劃和可分離規(guī)劃就屬于這種情況。6.2二次規(guī)劃若某非線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)為決策變量的二次函數(shù)，約束條件又都是線性的，就稱這種規(guī)劃為二次規(guī)劃。二次規(guī)劃是非線性規(guī)劃中比較簡單的一類，它較容易求解。決策變量在有限域內(nèi)變動的邊際收益遞減的二次規(guī)劃問題存在最優(yōu)解，且此最優(yōu)解與初值無關(guān)，即局部最優(yōu)解為全局最優(yōu)解。實際上，二次規(guī)劃是非線性規(guī)劃中比較簡單的一種，只要問題不是太大，利用Excel“規(guī)劃求解”工具就能求解。6.2.1非線性營銷成本問題在營銷過程中，營銷成本往往是非線性的，而且隨著銷量的增加，單位營銷成本也增加，也就是說，單位利潤隨著銷量的增加而減少（邊際收益遞減）。例6.2考慮非線性營銷成本的例1.1。（提示:第1次和第2次印刷書上有錯，第3次及以后印刷的就改為如下）在例1.1的問題中，增加考慮新產(chǎn)品（門和窗）的營銷成本。原來估計每扇門的營銷成本是75元、每扇窗的營銷成本是200元。因此當(dāng)時估計的門和窗的單位利潤為300元和500元。也就是，如果不考慮營銷成本，每扇門的毛利潤為375元，每扇窗的毛利潤為700元。由于門和窗的營銷成本隨著銷量的增加而呈現(xiàn)非線性增長，設(shè)x1為門的每周產(chǎn)量，x2為窗的每周產(chǎn)量，而門的每周營銷成本為25x12，窗的每周營銷成本為60x22。6.2.1非線性營銷成本問題解：新的模型考慮了非線性的營銷成本，所以在原來模型的基礎(chǔ)上，需要修改目標(biāo)函數(shù)。(1)決策變量設(shè)x1為門的每周產(chǎn)量，x2為窗的每周產(chǎn)量。(2)目標(biāo)函數(shù)①每周門的銷售毛利潤為375x1，門的每周營銷成本為25x12

，因此，每周門的凈利潤為375x1－25x12

；②每周窗的銷售毛利潤為700x2，窗的每周營銷成本為60x22

，因此，每周窗的凈利潤為700x2－60x22

。本題的目標(biāo)是總的凈利潤最大，因此6.2.1非線性營銷成本問題(3)約束條件，還是原有的三個車間每周可用工時限制和非負約束。因此，該問題的數(shù)學(xué)模型為：6.2.1非線性營銷成本問題例6.2的電子表格模型6.2.2運用非線性規(guī)劃優(yōu)化

有價證券投資組合管理大量證券投資組合的職業(yè)經(jīng)理人，現(xiàn)在都習(xí)慣于用部分基于非線性規(guī)劃的計算機模型來指導(dǎo)他們的工作。因為投資者不僅關(guān)心預(yù)期回報，還關(guān)注著投資帶來的相應(yīng)風(fēng)險，所以非線性規(guī)劃經(jīng)常用來確定投資的組合，該投資組合在一定的假設(shè)下可以獲得收益和風(fēng)險之間的最優(yōu)平衡。這種方法主要來自于哈里

馬克維茨（HarryMarkowitz）和威廉

夏普（WilliamSharpe）開創(chuàng)性的研究，他們因為該項研究而獲得了1990年的諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。6.2.2運用非線性規(guī)劃優(yōu)化

有價證券投資組合這種方法是將3.2節(jié)的成本收益平衡問題非線性化。在這種情況下，成本是與投資有關(guān)的風(fēng)險，收益是投資組合的預(yù)期回報。因此，該模型的一般表達形式為：最小化風(fēng)險約束條件預(yù)期回報≥最低可接受水平這個模型關(guān)注投資組合的風(fēng)險和預(yù)期收益之間的平衡。6.2.2運用非線性規(guī)劃優(yōu)化

有價證券投資組合投資組合優(yōu)化，就是確定投資項目中的一組最優(yōu)投資比例。這里所說的“最優(yōu)”，可以是在一定風(fēng)險水平下使得投資回報最大，也可以是在一定的投資回報水平下使得風(fēng)險最小。首先介紹關(guān)于均值、方差等概念，然后舉三個例子說明在不同數(shù)據(jù)條件下投資組合優(yōu)化問題的建模與求解方法。1、單項投資的期望回報率與風(fēng)險2、一組投資（即多項投資）的期望回報與風(fēng)險6.2.2運用非線性規(guī)劃優(yōu)化

有價證券投資組合例6.3：投資回報率的期望值、方差、標(biāo)準(zhǔn)方差和相關(guān)系數(shù)現(xiàn)有三個可投資的項目：股票1，股票2和債券。它們自1981年至2000年20年的投資回報率如表8-2所示。分別計算這三個單項投資回報率的期望值、方差、標(biāo)準(zhǔn)方差，以及三個項目之間的相關(guān)系數(shù)矩陣。并計算對三個投資項目的最優(yōu)投資比例，要求在總投資回報率不低于0.13的前提下，使得投資的風(fēng)險最小。

表8-2三個投資項目的單項回報率歷史數(shù)據(jù)例5投資組合優(yōu)化模型1歷史數(shù)據(jù)2時期股票1股票2債券3100.070.06420.040.130.07530.130.140.05640.190.430.0475-0.150.670.0786-0.270.640.08970.3700.061080.24-0.220.04119-0.070.180.0512100.070.310.0713110.190.590.114120.330.990.111513-0.05-0.250.1516140.220.040.1117150.23-0.110.0918160.06-0.150.119170.32-0.120.0820180.190.160.0621190.050.220.0522200.17-0.020.07解：用Excel中公式（見表8-1所示）計算這三個投資項目的單項回報率的期望值、方差、標(biāo)準(zhǔn)方差和相關(guān)系數(shù)。其Spreadsheet中的公式如表8-3所示表8-3三個投資項目的期望值、方差、標(biāo)準(zhǔn)方差和相關(guān)系數(shù)計算公式表ABCD1例投資組合優(yōu)化模型25統(tǒng)計量計算26期望值=AVERAGE(B4:B23)=AVERAGE(C4:C23)=AVERAGE(D4:D23)27方差=VAR(B4:B23)=VAR(C4:C23)=VAR(D4:D23)28標(biāo)準(zhǔn)方差=STDEV(B4:B23)=STDEV(C4:C23)=STDEV(D4:D232930相關(guān)系數(shù)31股票1股票2債券32股票11=CORREL(B4:B23,C4:C23)=CORREL(B4:B23,D4:D23)33股票2=C321=CORREL(C4:C23,D4:D23)34債券=D32=D331計算相關(guān)系數(shù)的另一個方法是打開Excel中的“工具”菜單，選擇項目“數(shù)據(jù)分析”，就會出現(xiàn)一張數(shù)據(jù)分析表，如圖8-2所示。表8-4三個投資項目的期望值、方差、標(biāo)準(zhǔn)方差和相關(guān)系數(shù)計算結(jié)果ABCD1例5投資組合優(yōu)化模型25統(tǒng)計量計算26單項期望值0.11300.18500.075527單項方差0.02740.11020.000828標(biāo)準(zhǔn)方差0.16560.33190.02782930相關(guān)系數(shù)31股票1股票2債券32股票11.0000-0.1959-0.028933股票2-0.19591.0000-0.013434債券-0.0289-0.01341.0000建立非線性規(guī)劃模型ABCD30協(xié)方差矩陣31股票1股票2債券32股票1=B27=COVAR(B4:B23,C4:C23)=COVAR(B4:B23,D4:D23)33股票2=C32=C27=COVAR(C4:C23,D4:D23)34債券=D32=D33=D27ABCDEFG25統(tǒng)計量計算26單項期望值0.11300.18500.075527單項方差0.02740.11020.000828標(biāo)準(zhǔn)方差0.16560.33190.02782930相關(guān)系數(shù)31股票1股票2債券32股票11.0000-0.1959-0.028933股票2-0.19591.0000-0.013434債券-0.0289-0.01341.00003536模型3738決策變量39股票1股票2債券投資比例之和40投資比例0.50630.32430.16931=141投資比例的平方0.25640.10520.02874243總回報率期望值44實際值要求值450.1300>=0.13464748總回報率方差0.01514950總回報率方差0.1228模型運行結(jié)果見表。由該表可得本問題的最優(yōu)解如下：股票1、股票2、債券的投資比例為0.5063:0.3243:0.1693。這時，投資組合的總回報率期望值達到所要求的0.13，而投資組合的總回報率的方差最小，為0.0151。（1）總回報率的值落在區(qū)間[總回報率期望值-總回報率標(biāo)準(zhǔn)方差，總回報率期望值+總回報率標(biāo)準(zhǔn)方差]的概率是68%；（2）總回報率的值落在區(qū)間[總回報率期望值-2總回報率標(biāo)準(zhǔn)方差，總回報率期望值+2總回報率標(biāo)準(zhǔn)方差]的概率是95%；（3）總回報率的值落在區(qū)間[總回報率期望值-3總回報率標(biāo)準(zhǔn)方差，總回報率期望值+3總回報率標(biāo)準(zhǔn)方差]的概率是99.7%。置信區(qū)間分析

本題中，總回報率期望值=0.13，總回報率的標(biāo)準(zhǔn)差=0.1228，所以當(dāng)總回報率服從正態(tài)分布時，有：總回報率以68%的概率落在區(qū)間[0.0072，0.2528]（即[0.13-0.1228，0.13+0.1228]）；以95%的概率落在區(qū)間[-0.1156，0.3756]（即[0.13-2*0.1228，0.13+2*0.1228]）；以99.7%的概率落在區(qū)間[-0.2384，0.4984]（即[0.13-3*0.1228，0.13+3*0.1228]）。6.2.2運用非線性規(guī)劃優(yōu)化

有價證券投資組合例6.4

現(xiàn)要投資三種股票（股票1、股票2和股票3）。表6-3給出了三種股票所需要的數(shù)據(jù)（這些數(shù)據(jù)主要是從前些年的股票收益中取幾個樣本，接著計算了這些樣本的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差和協(xié)方差，具體計算方法見例6.3。當(dāng)股票的前景與前幾年的不一致時，至少要對一個股票預(yù)期收益的相應(yīng)估計作出調(diào)整）。如果投資者預(yù)期回報的最低可接受水平為18%，請確定三種股票的最優(yōu)投資比例，使投資組合的總風(fēng)險最小。解：（這種情況要求掌握）數(shù)學(xué)模型：P249電子表格模型：P250結(jié)果分析：P251～252例6.4分析過程三種股票的投資比例（決策變量）－－投資組合x1—股票1占總投資的比例x2—股票2占總投資的比例x3—股票3占總投資的比例約束條件：這些比例相加必須等于100％：x1+x2+x3=100％根據(jù)每種股票的預(yù)期回報率，計算整個投資組合的預(yù)期回報：

總預(yù)期回報＝21％x1+30％x2+8％x3投資者當(dāng)前選擇的最低可接受水平為：

最低可接受預(yù)期回報＝18％總風(fēng)險(方差)：每種股票的獨立風(fēng)險(系數(shù)為方差=標(biāo)準(zhǔn)差的平方)＋兩種股票交叉風(fēng)險（系數(shù)為交叉風(fēng)險＝協(xié)方差的2倍），公式為：

Min總風(fēng)險（方差）＝

(0.25

2)

x12+(0.45

2)

x22+(0.052)

x32+2(0.04)x1x2+2(-0.005)x1x3+2(-0.01)x2x3注意：P249表6-3給的風(fēng)險系數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)差和協(xié)方差例6.4數(shù)學(xué)模型（二次）決策變量：三種證券的投資比例（投資組合）x1—股票1占總投資的比例x2—股票2占總投資的比例x3—股票3占總投資的比例目標(biāo)是總風(fēng)險（方差）最?。篗inz

＝

(0.25

2)

x12+(0.45

2)

x22+(0.052)

x32+2(0.04)x1x2+2(-0.005)x1x3+2(-0.01)x2x3約束條件：預(yù)期回報：21％x1+30％x2+8％x3

18％總比例：x1+x2+x3＝100％且 非負： x1，x2，x3

0這個模型的目標(biāo)函數(shù)是邊際收益遞減的，且是二次的，所以是一個二次規(guī)劃問題。是一個比較簡單的非線性規(guī)劃問題。例6.4

電子表格模型目標(biāo)函數(shù)：Min總風(fēng)險（方差）-------非線性，公式復(fù)雜結(jié)果：總風(fēng)險(方差

2

)=0.0238，總風(fēng)險(標(biāo)準(zhǔn)差

)=15.4%<預(yù)期回報()

＝18％（說明投資組合最終獲得的實際收益不大可能為負）求總風(fēng)險（方差）的一種簡便方法由于目標(biāo)函數(shù)“總風(fēng)險（方差）”的公式是非線性的，也復(fù)雜，希望找到一種不容易出錯且簡便的辦法構(gòu)造協(xié)方差矩陣（方差、協(xié)方差）總風(fēng)險（方差）=

SUMPRODUCT（MMULT（投資組合,協(xié)方差矩陣）,投資組合）注意:在輸入此公式時,要在“投資組合”中先輸入數(shù)據(jù)，如0尋找成本（風(fēng)險）和收益（預(yù)期回報）之間的最佳平衡P251利用多次運行“規(guī)劃求解”工具，將結(jié)果記錄在一個表中，表格中給出了當(dāng)預(yù)期回報最低可接受水平在某個范圍（8％－30％，每隔2％）變動時，分別獲得模型最優(yōu)解時的預(yù)期回報與風(fēng)險（表中還包括三種股票的投資比例）畫總風(fēng)險（標(biāo)準(zhǔn)差）和總預(yù)期回報的X-Y平滑散點圖（曲線）投資者需要在表格和曲線中決定哪個投資組合在預(yù)期回報和風(fēng)險之間提供了最佳平衡。6.2.2運用非線性規(guī)劃優(yōu)化

有價證券投資組合例6.5

某投資公司的最優(yōu)投資組合管理。某公司正在對資產(chǎn)進行股票的投資組合，要投資的股票包括一只科技股、一只銀行股、一只能源股。公司的金融分析師已經(jīng)收集了數(shù)據(jù)，并估計了有關(guān)這些股票的收益率的期望值，以及有關(guān)這些股票的標(biāo)準(zhǔn)差和相關(guān)系數(shù)信息，具體如表6-5所示。如果公司預(yù)期回報的最低可接受水平為11%，請確定三種股票的最優(yōu)投資比例，使投資組合的總風(fēng)險最小。解：數(shù)學(xué)模型：P253電子表格模型：P2546.3可分離規(guī)劃在二次規(guī)劃中，討論了邊際收益遞減的非線性規(guī)劃問題。這里討論的仍是邊際收益遞減的非線性規(guī)劃問題，區(qū)別在于利潤或成本曲線是分段直線。對于利潤或成本曲線是分段直線并且邊際收益遞減的非線性規(guī)劃問題，可利用可分離規(guī)劃技術(shù)將問題轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的線性規(guī)劃問題。這有助于非常有效地求解模型，并且可以對線性規(guī)劃問題進行靈敏度分析?？煞蛛x規(guī)劃技術(shù)為利潤或成本曲線上的每一段直線引入新的決策變量，以代替原來的單一決策變量。也就是為利潤曲線（成本曲線）的每個線段給出一個分離的決策變量。6.3可分離規(guī)劃例6.6

需要加班時的例1.1。表6-6給出了車間1和車間2每周在正常工作時間和加班工作時間生產(chǎn)門、窗的最大數(shù)量及單位利潤。車間3不需要加班，約束條件也不需要改變。產(chǎn)品每周最大產(chǎn)量產(chǎn)品的單位利潤正常工作時間加班時間總計正常工作時間加班時間門314300200窗3365001006.3可分離規(guī)劃解：（1）決策變量例1.1中的決策變量是：x1為每周門的產(chǎn)量；x2為每周窗的產(chǎn)量。由于加班時的產(chǎn)品單位利潤減少，所以利用可分離規(guī)劃技術(shù)，將正常時間和加班時間的產(chǎn)量分開，引入新的決策變量：

x1R=正常工作每周門的產(chǎn)量；

x1O=加班工作每周門的產(chǎn)量；

x2R=正常工作每周窗的產(chǎn)量；

x2O=加班工作每周窗的產(chǎn)量。并且有：x1=x1R+x1O

x2=x2R+x2O6.3可分離規(guī)劃（2）目標(biāo)函數(shù)本問題的目標(biāo)是使得總利潤最大。由于正常工作和加班工作的產(chǎn)品單位利潤不同，所以在目標(biāo)函數(shù)中用的是新引入的決策變量。（3）約束條件①原有的例1.1的三個車間的約束還是有效的，只不過將x1以（x1R＋x1O）代替，x2以（x2R＋x2O）代替。②正常工作和加班工作的每周最大產(chǎn)量約束③非負6.3可分離規(guī)劃例6.6的電子表格模型6.3可分離規(guī)劃由于有“每周總產(chǎn)量”等于“每種產(chǎn)品在正常工作時間和加班工作時間的產(chǎn)量總和”，也就是說，有：x1=x1R+x1O，x2=x2R+x2O所以數(shù)學(xué)模型也可以為：Theendofchapter8第6章庫存模型什么是庫存模型?一、存儲的有關(guān)概念（一）、存儲存儲——就是將一些物資（如原材料、外購零件、部件、在制品等等）存儲起來以備將來的使用和消費；（二）、存儲的作用存儲是緩解供應(yīng)與需求之間出現(xiàn)供不應(yīng)求或供大于求等不協(xié)調(diào)情況的必要和有效的方法和措施。第一節(jié)有關(guān)存儲論的基本概念（三）存儲問題首先，有存儲就會有費用（占用資金、維護等費用——存儲費），且存儲越多費用越大。存儲費是企業(yè)流動資金中的主要部分。其次，若存儲過少，就會造成供不應(yīng)求，從而造成巨大的損失（失去銷售機會、失去占領(lǐng)市場的機會、違約等）。因此，如何最合理、最經(jīng)濟的制定存儲策略是企業(yè)經(jīng)營管理中的一個大問題。引例：毛巾訂貨量問題：“百花”小商店是一個專門經(jīng)營各類毛巾的商店。每年營業(yè)時間為360天，每天平均售出400張毛巾，每張毛巾的批發(fā)價平均為0·70元，每次訂貨的平均費用為112元。即每次訂貨，不論購買的數(shù)量多少都要支出112元?，F(xiàn)在商店是每半年進一次貨，一年進兩次貨

。每張毛巾的存貯費用一年為0·126元。這個商店的經(jīng)理感覺到每年訂貨兩次看來并非是一個好的訂貨方法，他希望能找到一種方法能幫助他確定每年應(yīng)該訂貨幾次。每次的數(shù)量應(yīng)該為多少，將可能為他節(jié)約一筆總的庫存費用。一、與庫存有關(guān)的費用

1、存貯費用∶為保持庫存量而耗用的費用統(tǒng)稱為存貯費用。存貯費用一般包括：

1）存貯物資占用的流動資金及這些資金的利息；

2）

物資在存貯中，因物品的腐蝕

、變質(zhì)、破損、遺失、被竊而產(chǎn)生的損失費用；某些物資因技術(shù)發(fā)展，新產(chǎn)品向世而降價或淘汰的損失費用。

3）由于保管而產(chǎn)生的費用，如倉庫的租金或稅金、保險費、修理費、通風(fēng)照明、保暖冷藏、水電、辦公用品費及保管人員工資等費用。

存貯費用是筆相當(dāng)大的開支，一般為庫存物資價值的12%—35%左右。存貯費用隨庫存量的增加而增加。

2、訂貨費用：每次物資從訂貨到入庫所需的費用統(tǒng)稱為訂貨費用。如發(fā)出訂單費、催辦聯(lián)絡(luò)費、旅差費、運輸費、進貨檢查費、調(diào)整費、驗收費、搬運費等等。這些費用一般是以每次訂貨來計算的

。因此，訂貨費用隨著訂貨次數(shù)的增加而增加。

3、脫銷費用：因庫存不足造成商品脫銷，工廠生產(chǎn)停工待料而產(chǎn)生

的直接和間接損失費用統(tǒng)稱為脫銷費用。如商店因脫銷而不能按期執(zhí)行供貨合同而受到罰款產(chǎn)生的直接損失費用；工廠停工待料使產(chǎn)量下降造成的直接損失費用。同時，商店或工廠因此而受到信譽上的間接損失費用，甚至可能永遠失掉一些“顧客”而造成未來業(yè)務(wù)上的間接損失費用，也稱為脫銷費用。這種間接損失費用往往難于直接計量而常被人忽視，許多工廠和商店不重視形象和信譽，以至于生意清淡或難以為繼還不知原因所在。

良好的庫存管理就是控制、壓縮和平衡這三類互相矛盾的費用，使總的庫存費用最少。

二、需求形式一般的，對需求問題的研究有三種角度：

1、間斷的還是連續(xù)的。比如羽絨服、空調(diào)、冷飲等這類有季節(jié)性的產(chǎn)品其需求是間斷的，而日常用品的需求是連續(xù)的；

2、均勻的還是不均勻的。如車間自動生產(chǎn)流水線對原料的需求是均勻的，而一個家庭對電的需求則不是均勻的；

3、確定性的還是隨機的。如生產(chǎn)活動對原材料的需求一般是確定的，而銷售活動中對商品的需求量通常具有不確定性，但我們可以通過大量觀察試驗，掌握其統(tǒng)計規(guī)律性。正是根據(jù)需求量的確定與否，我們的存儲模型分為了確定性存儲模型與隨機性存儲模型兩大類。三、補充形式為了滿足不斷的需求，存儲系統(tǒng)需要經(jīng)常補充存儲的物資品。補充的途徑有內(nèi)部生產(chǎn)和外部訂購兩種方式。但是在補充供應(yīng)時需要考慮補充的時滯性，也即是從訂貨到交貨之間是有一段滯后時間的，這一時滯可以是某一常量，也可以是隨機的?？傊?，為了在某一時刻獲得補充，就必須提前一段時間訂貨，這段時間稱作訂貨提前期。ABCDEFGH123基本數(shù)據(jù)最佳現(xiàn)金持有量規(guī)劃求解分析4現(xiàn)金總量T5000005每次交易成本b180最佳現(xiàn)金余額6有價證券利率r15%總成本789最佳現(xiàn)金持有量分析表10現(xiàn)金余額300003500038000420005000055000500011持有成本22502625285031503750412537512交易成本3000257123682143180016361800013總成本52505196521852935550576118375表1最優(yōu)訂貨批量模型ABCDEFG123基本數(shù)據(jù)最佳現(xiàn)金持有量規(guī)劃求解分析4現(xiàn)金總量T5000005每次交易成本b180最佳現(xiàn)金余額34641.026有價證券利率r15%總成本5196.152最佳現(xiàn)金持有量表ABCDE3存貨名稱甲乙丙丁4材料年需要量D180002000030000250005一次訂貨成本K252525256單位存儲成本C23437每日送貨量P1002003002508每日耗用量D203040259數(shù)量折扣di2%2%2%2%10單價U10203025

最優(yōu)訂貨批量模型ABCDE1415存貨名稱甲乙丙丁16最優(yōu)訂貨批量Q*75062665868017采購成本17640039200088200061250018訂貨成本599.99993798.436251140.1754918.5586719存儲成本600.00007798.43571140.1754918.5586420177600393596.87884280.35614337.1221總成本2069814.322最佳訂貨次數(shù)0.02666670.04790620.06080940.036742323最佳訂貨周期(月)37.50000420.87413616.44483827.21655224經(jīng)濟訂貨量占用資金3750.00046262.24079866.90268505.1726

計算結(jié)果ABCDE1415存貨名稱甲乙丙丁16最優(yōu)訂貨批量Q*17采購成本=B4*B10*(1-B9)=C4*C10*(1-C9)=D4*D10*(1-D9)=E4*E10*(1-E9)18訂貨成本=B4/B16*B5=C4/C16*C5=D4/D16*D5=E4/E16*E519存儲成本=(B16-B16/B7*B8)/2*B6=(C16-C16/C7*C8)/2*C6=(D16-D16/D7*D8)/2*D6=(E16-E16/E7*E8)/2*E620=B17+B18+B19=C17+C18+C19=D17+D18+D19=E17+E18+E1921總成本綜合成本=B20+C20+D20+E2022最佳訂貨次數(shù)=B8/B16=C8/C16=D8/D16=E8/E1623最佳訂貨周期(月)=1/B22=1/C22=1/D22=1/E2224經(jīng)濟訂貨量占用資金=B16/2*B10=C16/2*C10=D16/2*D10=E16/2*E10

計算公式四、存儲策略(供給形式)

在一個存儲系統(tǒng)中，有兩個基本問題需要我們做出決策——何時訂貨和訂貨數(shù)量，又分別稱作“期”和“量”的問題。關(guān)于“何時訂貨”和“訂貨數(shù)量”的決策，就稱為存儲系統(tǒng)的存儲策略，也稱為供給形式,管理者也就通過控制這兩個變量，來調(diào)節(jié)存儲系統(tǒng)的運行，以達到最優(yōu)的存儲安排。常用存儲策略有以下幾種類型：循環(huán)策略時間補充存貨，補充量為比較明確的存儲策略。即當(dāng)存儲量為s時立即補充，訂貨量為即每隔t時間檢查庫存，當(dāng)庫存量小于s時，立即補充庫存量到S；而當(dāng)庫存量大于s時，可以暫時不補充。即每隔1、2、。這是一種適用于需求策略，表明把庫存量補充到S。3、策略

第二節(jié)確定型庫存模型

一、無折扣的經(jīng)濟訂貨量模型

毛巾訂貨量問題：“百花”小商店是一個專門經(jīng)營各類毛巾的商店。每年營業(yè)時間為360天，每天平均售出400張毛巾，每張毛巾的批發(fā)價平均為0·70元，每次訂貨的平均費用為112元。即每次訂貨，不論購買的數(shù)量多少都要支出112元?，F(xiàn)在商店是每半年進一次貨，一年進兩次貨

。每張毛巾的存貯費用一年為0·126元。這個商店的經(jīng)理感覺到每年訂貨兩次看來并非是一個好的訂貨方法，他希望能找到一種方法能幫助他確定每年應(yīng)該訂貨幾次。每次的數(shù)量應(yīng)該為多少，將可能為他節(jié)約一筆總的庫存費用。

這里我們假定毛巾的需求量不變的，即每天都是售出400張毛巾。（以后我們將對這種假設(shè)提出疑問，但這種假設(shè)對于許多均衡生產(chǎn)的工廠是基本合理的）庫存量的補充是一次及時補充，即第一次庫存剛好用完時，第二次訂貨又一次進入庫房。這樣就得到一個簡單而理想的庫存圖

（圖5.1）庫存量

(Q)最大庫存量

平均庫存量

時間（t）圖5.1等量消耗，一次補充的庫存圖另外，我們假定毛巾的批發(fā)價不論購買數(shù)量多少，都是每張0·7元，這時稱為無折扣的訂貨價格（有時，批發(fā)部門為了鼓勵訂貨，對一次購買達到一定數(shù)量以上的實行優(yōu)惠價格，這時稱為有折扣的訂貨價格）現(xiàn)在“百花”商店是每年進貨兩次，每年毛巾的需求量是H=（400*360)144000張，則每次訂貨數(shù)量為144000/2=72000張。這個庫存問題是等量需求及時補充的，因此不會產(chǎn)生脫銷費用。這時的年度總庫存費用=年訂貨費用+年存貯費用，用公式表示為∶A=B+C

其中∶A為年總庫存費用，B為年訂貨費用，B=HS/Q，式中H為年需求量，本例H=144000張。S為每次訂貨費用，S=112元。Q為每次訂貨量，本例Q=72000張。則B=HS/Q=144000×112/72000=224元。

每年訂貨次數(shù)（N=H/Q)，則B=NS=2×112=224元。

C為年存貯費用，C=Q/2×K，K為單位商品的存貯費用，Q/2為平均庫存量。本例K=0.126元，則C=72000/2×0.126=4536元。

因此“百花”商店每年訂貨兩次，每次訂貨量為

72000張時的總庫存費用為A=B十C=224＋4536=4760元。

問題在于是否還有其它更好的訂貨次數(shù)和訂貨批量能使總的庫存費用更省呢？讓我們先用列舉法來看能否找到一個更好的庫存策略。我們考慮年訂貨次數(shù)為2、4、6、9、

12、

18時總庫存費用的情況是怎樣的呢？（表5.l）年需求量（張）

每次訂量（張）

年訂貨次數(shù)（次

）

每次訂貨費用（元

）

單位年存貯費用（元

）

年訂貨費用（元

）

年存貯費用（元

）

年總庫存費用（元

）

HQN=H/QSKB=NSC=QK/2A=B+C1440007200021120.126224453647601440003600041120.126448226827161440002400061120.126672151221841440001600091120.12610081008201614400012000121120.126134475621001440008000181120.12620165042520表

5.1不同訂貨次數(shù)和不同訂貨量的庫存費用

從表5.1中我們可以清楚地看到，年訂貨費用隨著訂貨次數(shù)的增加而增加，而年存貯費用隨著每次訂貨量的增加而增加。而當(dāng)年訂貨費用等于年存貯費用時，年總的庫存費用最低，這時為2016元，對應(yīng)的每次訂貨批量為16000張，年訂貨次數(shù)為9次。這就是“百花”商店應(yīng)該采用的最好的訂貨策略，較之每年訂貨2次，每次訂貨量為72000張的年度總庫存費用4760元，節(jié)約了2744元（4760-2016）。“百花”商店采用每年訂貨9次，每次訂貨量為16000張毛巾時。意味著每次訂貨能供應(yīng)(16000/400=40天)。如果每次從訂貨到入庫的時間為15天，則每次進貨后的第26天是下一次開始訂貨的時間。從上面的列舉法，我們可以得到訂貨量與庫存費用的關(guān)系圖（圖66.2）圖6.2訂貨批量與庫存費用的關(guān)系

訂貨批量庫存費用總庫存費用存貯費用訂貨費用QEG

從圖中可以看出，當(dāng)存貯費用等于訂貨費用時。即圖中表現(xiàn)為兩曲線的交點

E時，總庫存費用最低，圖中E點對應(yīng)于總庫存費用曲線的最低點G，這時G對應(yīng)在橫軸上的交點Q就是最佳的每次訂貨批量（

EOQ）

。

在實際工作中，不會使用列舉的笨辦法。因年存貯費用等于年訂貨費用的總庫存費用最低．我們利用這一等式可以推出經(jīng)濟訂貨量Q，即∶

時

A最小

利用這一公式，“百花”商店的經(jīng)濟訂貨量為：張存儲費=訂貨費=二、有折扣的經(jīng)濟訂貨量模型“百花”商店的采購人員在向批發(fā)部門進貨時得知，每次若購買的數(shù)量低于18000張時，每張毛巾的單價為0.7元；若每次購買的數(shù)量在18000及以上至70000張以下，每張毛巾的單價給予I0％的折扣，即每張毛巾的單價為0.7X0.9=0.63元；若每次購買的數(shù)量在70000張及以上，給予12％的折扣，即每張毛巾的單價為0.7X0·88=0.616元。商店負責(zé)人想知這在這種有價格折扣的情況下，他是否能夠利用這一價格折扣的好處？并且在有兩種以上的價格折扣時，他應(yīng)該利用那一種價格折扣更合適呢？

在很多時候，商品的供應(yīng)方為了多推銷產(chǎn)品，規(guī)定每次購買達到一定數(shù)量時，給以價格上的折扣予以優(yōu)惠，以鼓勵購買方多購買。這時，購買方則面臨著有價格折扣下的訂貨決策問題。利用價格折扣的好處，在于可獲得較低的單價，并且由于每次訂貨的數(shù)量大，可以減少訂貨的次數(shù)而降低年訂貨費用。有時還因大批購貨可得到運輸上的好處，如鐵路上的整車發(fā)運就比零擔(dān)發(fā)運的價格低。但另一方面，批量過大會使存貯費用增加，積壓資金。由于有價格折扣這一因素的加入，存貯費用與購買物品的費用直接有關(guān)，這時決策者是從總費用（包括購買物品的費用）最小的標(biāo)準(zhǔn)來選擇訂貨批量的。

現(xiàn)在讓我們來幫助“百花”商店在有兩種價格折扣的情況下來進行訂貨批量的選擇。我們已知每張毛巾的年存貯費用為0.126元。在有價格折扣的條件下，年度的單位存貯費用顯然就與單位商品的價格直接有關(guān)。因此我們需要將單位存貯費用分為兩部分，使K=PI，其中P為訂貨單價，I為單位存貨價格的百分比。我們知K=0·126元是在單價為0.7元時的單位存貯費用，I=K/P=0.126/0.7=0.18，表示單位存貯費用是單價的18%，這一般是一個不變的比例。在有價格折扣的條件時，則可計算出不同的單位存貯費用，例：當(dāng)P1=0·7元時，K1=P1I1=0·7*0.18=0·126元；當(dāng)P2=0·63元時，K2=P2I2=0·63*0.18=0.1134元；當(dāng)P3=0·616元時，K3=P3I3=0·616*0·18=0.11088元。這時經(jīng)濟訂貨批量的公式可寫成∶當(dāng)不同的訂貨單價時，經(jīng)濟訂貨批量也不一樣

。當(dāng)P1=0·7元時，當(dāng)P2=0·63元時，當(dāng)P3=0·616元時，（張）

（張）（張）

從上面的計算可以看出，當(dāng)訂貨單價為0·63元時，“百花”商店應(yīng)該每批訂貨I6865張，這時總的庫存費用最低，但是訂16865張不能取得折扣10%的好處，因供應(yīng)方規(guī)定取得折扣好處的最低訂貨量是18000張，為了取得折扣，“百花”商店女必須

一次訂購18000張。但這是否合算呢？當(dāng)單價為0.616時，取得總庫存費用最低的訂貨數(shù)量應(yīng)為17056張，但這個訂購數(shù)量也不能取得折扣12%的好處，要能得到12％的折扣，商店必須“強迫”一次進貨70000張以上，但這對商店是否有利呢？要對這幾種訂貨批量作出評價。必須從總費用（T）的角度來加以衡量∶

總費用=年存貯費用十年訂貨費用十年購貨費用用D表示年購貨費用，則D=PH，則T=B＋C＋D．當(dāng)訂貨單價為0.7元

，訂貨批量為16000件時，則年訂貨費用為∶元年存貯費用年購貨費用元元則總費用

元

當(dāng)訂貨單價為0·63元時，經(jīng)濟訂貨批量=16865張，但這不能取得價格折扣10%的優(yōu)惠，迫使要將一次貨批量定為18000張，這18000張是帶限制性的最優(yōu)量，計算總費用時應(yīng)以=18000代入進行計算，這時的年訂貨費用不等于年存貯費用，這時：年訂貨費用年存貯費用年購貨費用則總費用元元元元

當(dāng)訂貨單價為0·616元時，經(jīng)濟訂貨批量為=17056張，同樣不能取得價格折扣12％的優(yōu)惠

，商店一次訂貨量要在70000張以上，為了使訂貨次數(shù)為整數(shù)，將每次取得價得折扣12％的訂貨批量定為72000張，以=72000張，來計算總費用，這時：年訂貨費用年存貯費用年購貨費用則總費用

可見三種訂貨單價下，以每次訂貨18000張毛巾的總費用92637元為最低，商店負責(zé)人應(yīng)選擇每年訂貨8次，這時能獲得價格折扣I0％的好處，且總費用為最低。

元元元元三、邊補充邊消耗的庫存模型“百花”商店的經(jīng)理最近得到供應(yīng)方的通知，由于對方運輸和生產(chǎn)上的原因，近幾年準(zhǔn)備將原來的一次訂貨量一次送達的供貨方式，改為每天送60打一包的毛巾來，即每天送來720張，保證商店的銷售。經(jīng)理考慮到由于毛巾是陸續(xù)分批到達，商店實際上是處于一邊進貨一邊售貨的狀況，在這種情況下，是否應(yīng)該改變商店的訂貨策略以適應(yīng)這種變他化，而使總的庫存費用最低呢？

有的時候

，訂貨由于生產(chǎn)或者運輸方面的原因，不能一次到齊，而是分批送到，庫存就是陸續(xù)補充陸續(xù)消耗的，而在貨物一次到達時，庫存是一次補充陸續(xù)消耗的，就企業(yè)來說，大多數(shù)情況都是邊補充邊消耗的，如加工車間向裝配車間提供零部件，就是陸續(xù)送到裝配車間的，就裝配車間來講，庫存就是邊補充邊消耗的。邊補充邊等量消耗的庫存情況如圖5.3。

圖

5.3等量消耗，分次補充的庫存圖

庫存量

最大庫存量訂貨批量

時間

從圖中可以看出，在邊補充邊消耗的情況下，最大的庫存量低于經(jīng)濟訂貨批量。而在等量消耗，一次補充的庫存圖中，最大庫存量是等于訂購批量的（圖5.1）。在這種情況下，我們將會找到新的訂貨策略。

當(dāng)“百花”商店面臨供貨方式改變的情況下，讓我們來考慮新的訂貨策略。令商店每天的銷售量為U，則U=400張，令每天進貨量為R，則R=720張。商店在獲得價格折扣10％的最優(yōu)訂貨是18000張，每年訂貨8次，訂貨單價為P=0.63元，單位存貯費用為單位價格的18%，每次訂貨費用還是S=112元。由于是分批進貨，銷售與進貨同時進行，因此最大庫存量小于訂貨批量。這時的最大庫存量是多少呢？假定在分批進貨的訂貨批量仍是18000張，現(xiàn)在是每天進貨R=720張。則原來一次進的貨現(xiàn)在要18000/720=25天才能進貨完畢。當(dāng)25天進完18000張毛巾時，由于商店每天售出400張，進貨完時商店已經(jīng)售出了25*400=10000張毛巾，這時倉庫的最大庫存量為18000-10000=8000張。因為平均庫存量為最大庫存量的一半，則平均庫存量為4000張。則得到分批進貨時的平均庫存量∶年存貯費用為∶年訂貨費用為∶即有∶則∶在分批進貨的條件下，”百花”商店的每次訂貨量應(yīng)為∶但這時的訂貨次數(shù)N=H/=144000/25298=5.7（次）不是整數(shù)，用“四舍五入”得到每年訂貨次數(shù)為6次，得到修正后的訂貨批量=144000/6=24000張，這時的年訂貨費用為∶張

較之每年訂貨8次，訂貨量為18000張，全部訂貨一次入庫的年總庫存費用896+1021=1917元要少。年存貯費用為∶年總庫存費用為∶元元元投產(chǎn)批量決策（經(jīng)濟訂貨模型的應(yīng)用）火星機械廠成批生產(chǎn)一種類型的家用電器，年產(chǎn)量為6000臺。這種類型的家用電器有幾種不同的規(guī)格和型號，每換一種規(guī)格和型號的生產(chǎn)時，需要對設(shè)備作一些小的調(diào)整，清洗和開始生產(chǎn)的質(zhì)量控制試驗及生產(chǎn)和材料的準(zhǔn)備等，這需要花一筆費用。每次為375元。每個電器未出廠前在倉庫的年存貯費用為2元。負責(zé)生產(chǎn)的廠長希望能確定每批產(chǎn)品的數(shù)量和年調(diào)整次數(shù)，以使每批產(chǎn)品調(diào)整的總費用最少。

經(jīng)濟批量的確定在于使總的庫存費用最少。這個模式對于一些分批或間斷性生產(chǎn)的工廠如何確定合理的投產(chǎn)批量也是十分有用的。如許多機械廠生產(chǎn)一定數(shù)量的某一產(chǎn)品后轉(zhuǎn)而生產(chǎn)另一種產(chǎn)品，這是分批生產(chǎn)的例子；一個化工廠，生產(chǎn)一定數(shù)量的美容油脂后，轉(zhuǎn)而生產(chǎn)一種工業(yè)用油脂，這是間斷生產(chǎn)的例子。為了使—定批量調(diào)整的總費用最少，這相當(dāng)于庫存問題中使總庫存費用最少。

轉(zhuǎn)產(chǎn)時，如設(shè)備改裝費、調(diào)整費、生產(chǎn)和材料準(zhǔn)備費等統(tǒng)稱為調(diào)整費用，相當(dāng)于訂貨費用。生產(chǎn)批量則相當(dāng)于訂貨批量。要使年度的調(diào)整要用降低，一則需減少調(diào)整次數(shù)（這相當(dāng)于年訂貨次數(shù)）但調(diào)整次數(shù)降低，則要加大生產(chǎn)批量，生產(chǎn)批量加大會增加產(chǎn)品在倉庫的存貯費用。平衡兩種費用的辦法就是選擇一個經(jīng)濟的投產(chǎn)批量。而使其調(diào)整的總費用最少。因此經(jīng)濟訂貨批量的公式在解決生產(chǎn)批量問題時是完全適用的。家用電器的投產(chǎn)批量中，年產(chǎn)量H=6000臺，每次調(diào)整費用

S=375元，單位存貯費用k=2元，則經(jīng)濟批量為∶因此，火星機械廠一種規(guī)格和型號的投產(chǎn)批量應(yīng)為1500臺，每年的調(diào)整次數(shù)為4次。這時的年調(diào)整費用B=NS=4*375=1500元，年存貯費用C=KQ/2=2*1500/2=1500元,年總費用為A=B+C=1500+1500=3000元。臺

第二節(jié)不確定型庫存模型

一、有安全庫存量的訂貨模型火炬商店經(jīng)營一種汽車配件，商店一年營業(yè)360天，平均每天售出10件，這種配件是從附近一家汽車配件廠進的貨，每次訂貨費用為126元，每件的年存貯費用為2.5元。這家商店用經(jīng)濟批量模型計算出每次的最優(yōu)訂貨量為600件，訂貨后25天汽車配件廠一次交貨入庫。因此商店每當(dāng)庫存量降到250件時就開訂下一批貨，這樣當(dāng)庫存量剛好售完時則另一批貨正好運到。但實際的銷售情況并非如此理想，銷售10件產(chǎn)品是一個平均數(shù)，并不是每天都不多不少正好銷出10件，而是時多時少，在10件左右浮動。有時，在下一批訂貨還未到時，商店里已經(jīng)售完了庫存的最后一個配件，產(chǎn)生脫銷；有時，則是因為汽車配件廠的貨沒有按時到達而造成脫銷。該商店經(jīng)理估計每脫銷一件配件將損失5元的利潤，但更使經(jīng)理憂慮的是，當(dāng)商店的汽車配件脫銷后，顧客將到其它的商店購買，并且有可能永遠失去這些顧客。他認為這是比直接利潤損失更嚴重的事情。

解決脫銷的辦法是提前訂貨或者是增加每批的訂貨量，這樣將得到一個保險的安全庫存量，以減少脫銷的機會，這將降低或消除由脫銷而損失的費用。但提前訂貨或者增加訂貨批量將會增加庫存而使存貯費用增加，他希望能找到一個能平衡脫銷費用和存貯費用的方法。在“百花”商店的毛巾訂貨問題中，我們就提到對每天平均銷售400張毛巾提出過疑問，這400張毛巾的銷量也是一個平均數(shù)，而實際的銷售情況是變化的，有時減少有時增加，這種情況也將使商店有面臨脫銷危險而造成脫銷損失，同樣也有可能由于進貨不及時而造成脫銷損失。這兩種情況的脫銷如圖5.4。圖5.4脫銷圖

缺貨缺貨0時間CBA庫存量D訂貨點訂貨點

減少脫銷費用的一個有效辦法是廠商保有一個安全庫存量。所謂安全庫存量就是一種能防止因意外情況售完正常庫存商品而保持的庫存量。假定廠商有一個數(shù)量為M的安全庫存量，這時的最大庫存量為Q+M，因此，在擁有安全庫存量的情況下，當(dāng)由于再訂貨后需求量增加而將發(fā)生脫銷時，或者由于發(fā)貨方延期交貨將發(fā)生脫銷時，則可動用安全庫存量來防止脫銷情況的發(fā)生。最大庫存量安全庫存量訂貨點庫存量時間M1M2M3Q1Q2Q3Q4圖5.5利用安全庫存量防止脫銷

但顯然我們不能把安全庫存量M定得太多來防止全部的脫銷情況。因為過多的安全庫存量將增加年存貯費用，我們需要確定一個合理的安全庫存量以使存貯費用和脫銷貨用的總和為最小。而這一數(shù)值決定于存貯費用、脫銷費用和發(fā)生脫銷的概率。我們現(xiàn)在來為火炬商店確定一個合理的安全庫存量M*。其步驟是：首先確定在一個訂貨周期內(nèi)不同需求量下的脫銷概率并計算各種安全庫存于下年度的期望脫銷費用；其次計算出存貯費用；最后比較各種安全庫存量下的總費用?？傎M用最少的安全庫存量則為最優(yōu)的安全庫存量。

一個訂貨周期是指從訂貨到貨物入庫間的時間?；鹁嫔痰暧嗀浿芷跒?5天，經(jīng)濟訂貨批量Q*=600件，即當(dāng)庫存為250件時，應(yīng)開始進行下一次的訂貨活動。在這個時期內(nèi)，若需求量超過250件則會發(fā)生脫銷。商店過去50