第三章 圓錐曲線 章末總結(jié)及測(cè)試（解析版）-2024-2025學(xué)年【暑假預(yù)習(xí)】高二數(shù)學(xué)（人教A版2019選擇性必修一）

第三章圓錐曲線章末總結(jié)及測(cè)試考點(diǎn)一定義1．（2024·陜西商洛）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為20，離心率為，左?右焦點(diǎn)為，若上的點(diǎn)滿足，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題知，，解得橢圓，的左?右焦點(diǎn)為，若上的點(diǎn)滿足，由橢圓定義得①.由余弦定理得②，聯(lián)立①②，得，的面積是.故選：A.2．（2024·山東日照·一模）過雙曲線的右支上一點(diǎn)P，分別向和作切線，切點(diǎn)分別為M，N，則的最小值為（

）A．28 B．29 C．30 D．32【答案】C【解析】由雙曲線方程可知：，可知雙曲線方程的左、右焦點(diǎn)分別為，，圓的圓心為（即），半徑為；圓的圓心為（即），半徑為．連接，，，，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)P為雙曲線的右頂點(diǎn)時(shí)，取得等號(hào)，即的最小值為30.故選：C.3（23-24高三上·云南昆明·階段練習(xí)）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在雙曲線C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】因?yàn)殡p曲線C：，所以，因?yàn)?，所以，所以，由雙曲線的定義知：，兩邊同時(shí)平方得：，所以，故.故選：D4（2024·江西宜春）（多選）設(shè)橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，坐標(biāo)原點(diǎn)為O．若橢圓C上存在一點(diǎn)P，使得，則下列說法正確的有（

）A． B．C．的面積為2 D．的內(nèi)切圓半徑為【答案】ACD【解析】法1：由題意得，，則，．由對(duì)稱性可設(shè)（，），，，，由，解得，又，，所以，，所以．由橢圓的定義得，在中，由余弦定理，得，即，解得，故A正確；，故B錯(cuò)誤；的面積為，故C正確；設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，由的面積相等，得，即，解得，故D正確．故選：ACD．法2：設(shè)，，．易知，，由極化恒等式，得，故B錯(cuò)誤；由中線長(zhǎng)定理得，由橢圓定義得，所以，所以，所以，故A正確；由，得，所以，故C正確；設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，由的面積相等，得，即，解得，故D正確．故選：ACD．5．（23-24高二上·江蘇泰州·期末）（多選）下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為8B．橢圓上一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最大值為6C．雙曲線上一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為D．雙曲線上一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為17，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為1【答案】AC【解析】對(duì)于A：橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，正確；對(duì)于B：橢圓上一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最大值為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：根據(jù)雙曲線的定義，雙曲線上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為，這里，所以到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，C正確；對(duì)于D：根據(jù)雙曲線的定義，雙曲線上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為，這里，所以到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為或，D錯(cuò)誤.故選：AC.6．（23-24河北秦皇島·開學(xué)考試）（多選）為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為（F是的焦點(diǎn)），則（

）A．的最小值為 B．最小值為C．最小值為 D．最小值為【答案】BCD【解析】拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)到距離為

設(shè)點(diǎn)為，則整理得，，即，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，設(shè)點(diǎn)為，則點(diǎn)到距離時(shí)，最小為，最小值為，故A錯(cuò)誤.點(diǎn)為，最小為最小值為1，最小為，故B正確.等于點(diǎn)到直線的距離，最小值為到直線的距離減去，即，故C正確.到的距離為最小值為到的距離與和的最小值，即到的距離最小值，設(shè)為則到距離為當(dāng)時(shí)，最小值為2，最小值為2，得最小值為，故D正確.故選：BCD考點(diǎn)二標(biāo)準(zhǔn)方程1．（2024安徽·期中）與橢圓有相同焦點(diǎn)，且過點(diǎn)的橢圓的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，設(shè)要求解的橢圓方程為：，將點(diǎn)代入得，解得：，所以，C正確.故選：C2．（22-23高二上·遼寧營(yíng)口·期末）過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)雙曲線的方程為，故，解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:A.3．（2024·廣東珠海·期末）已知雙曲線：與橢圓：有相同的焦點(diǎn)，且一條漸近線方程為：，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵雙曲線：的一條漸近線方程為：∴設(shè)雙曲線：∵雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)∴，解得：∴雙曲線的方程為.故選：B.4．（23-24高三下·湖北·開學(xué)考試）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)關(guān)于其準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，設(shè)拋物線的方程為，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)焦點(diǎn)關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為，可得，解得，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于其準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為，可得，解得，所以拋物線的方程為.故選：A.5．（24-25高二·上?！るS堂練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，頂點(diǎn)為橢圓的中心，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【解析】橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：．考點(diǎn)三離心率1．（23-24高二上·江西贛州·期中）中國(guó)刺繡作為一項(xiàng)傳統(tǒng)手工技藝，是中國(guó)傳統(tǒng)文化的一個(gè)重要組成部分．某個(gè)橢圓形的刺繡藝術(shù)品的尺寸如圖所示，則這個(gè)橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】以橢圓的對(duì)稱中心作為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則可得，所以，所以，所以該橢圓的離心率，故選：A．2．（2024·湖北武漢）已知橢圓C：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為C上一點(diǎn)，滿足，以C的短軸為直徑作圓O，截直線的弦長(zhǎng)為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，取弦的中點(diǎn)D，連接，則，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)镺為的中點(diǎn)，所以D是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以O(shè)D垂直平分弦，因?yàn)?，，所以，所以，由橢圓定義可得，，所以，解得，，所以離心率為，故選：A．3．（24-25湖北武漢·開學(xué)考試）已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，若以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與的一條漸近線交于兩點(diǎn)，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】不妨設(shè)該圓與漸近線分別交于、點(diǎn)，則，故，則，設(shè)，則，則有，，即有，則有，即，故，即，即，即，故有，即，故，即.故選：B.4．（2023·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B是雙曲線上位于第二象限的點(diǎn)．直線與雙曲線交于另一點(diǎn)A，，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，，因?yàn)?，則，則，解得又因?yàn)?，，則為的中點(diǎn)，所以，則，在直角三角形中，，即，化簡(jiǎn)得，將代入上式得，則，化簡(jiǎn)得，兩邊同除得，解得或1（舍去），則.故選：A.

考點(diǎn)四直線與曲線的位置關(guān)系1．（2024·湖南衡陽(yáng)）已知直線與橢圓相切，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，聯(lián)立，得，化解得，因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以，化簡(jiǎn)整理得，所以.故選：C.2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知雙曲線，過點(diǎn)作直線，使與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足條件的直線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【解析】易知雙曲線的焦點(diǎn)，頂點(diǎn)，漸近線為，由可得該點(diǎn)在雙曲線右頂點(diǎn)上方，易得過點(diǎn)與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線中，有兩條和雙曲線的漸近線分別平行的直線（圖1），有兩條雙曲線右支的切線（圖2），共4條.故選：D.3（23-24高三下·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）過雙曲線：左焦點(diǎn)為和點(diǎn)直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】由題意得雙曲線：左焦點(diǎn)為，則直線l的斜率為，故直線l的方程為，而雙曲線的漸近線方程為，故直線l與平行，且l過雙曲線的左焦點(diǎn)，故直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是1，故選：B4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)抽取一個(gè)實(shí)數(shù)，則事件“直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)分別在雙曲線左、右兩支上”發(fā)生的概率為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】聯(lián)立方程組，整理得，因?yàn)橹本€與雙曲線的左右兩支有兩個(gè)交點(diǎn)，則方程有異號(hào)的兩實(shí)數(shù)根，所以，解得，又因?yàn)閷?shí)數(shù)為區(qū)間內(nèi)的實(shí)數(shù)，由幾何概型的概率計(jì)算公式得所求概率為．故選：C．5．（2024·江蘇宿遷）已知拋物線，點(diǎn)，則“”是“過且與僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條”的（

）A．充分條件 B．必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】過且與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條，則當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)符合題意，此時(shí)直線為；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，則，消去整理得，即有兩個(gè)不同的解，所以即，解得或，所以“”是“過且與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條”的充分條件.故選：A.考點(diǎn)五弦長(zhǎng)1．（2023高二上·江蘇·專題練習(xí)）設(shè)直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】聯(lián)立直線與橢圓方程，消可得：，，設(shè)，則，，根據(jù)弦長(zhǎng)公式有：.故選：B.2．（23-24高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與交于點(diǎn)兩點(diǎn)，若面積是的2倍，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，則.所以，.因?yàn)樗?由得，即，.所以，解得或.因?yàn)榕c有兩個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立消得，則,解得.所以.故選：C.3．（24-25河南·開學(xué)考試）已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在的同一支上），且，則（

）A．6 B．8 C． D．【答案】D【解析】由可得.根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)過點(diǎn)的直線為，聯(lián)立可得.設(shè)，則.①由，則，又所以.②由①②可得，所以，解得或（舍），，所以.故選：D.4．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)為等軸雙曲線的焦點(diǎn)，過作軸的垂線與的兩漸近線分別交于兩點(diǎn)，則的面積為（

）A． B．4 C． D．8【答案】B【解析】設(shè)雙曲線為：，因?yàn)?，解得：，所以雙曲線為：，則雙曲線的漸近線為：，所以，解得：，則，所以為等腰直角三角形，所以的面積為.故選：B.5．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為的弦有（

）A．8條 B．4條 C．2條 D．1條【答案】B【解析】由，可得其通徑為，注意到左右頂點(diǎn)的距離為，所以過一個(gè)焦點(diǎn)，可作滿足題意與雙曲線交于兩支的弦有兩條，交于一支的情況不存在，結(jié)合雙曲線的對(duì)稱性，該雙曲線滿足題意的焦點(diǎn)弦共有4條.故選：B.6．（23-24高二上·北京通州·期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與C交于，兩點(diǎn)，若面積是面積的2倍，則m等于（

）A．6 B． C． D．【答案】D【解析】易得，故，設(shè)，，直線與軸交點(diǎn)，面積為，面積為，由題意得面積是面積的2倍，則，化簡(jiǎn)得，結(jié)合，故，解得，即，故，解得.故選：D.7．（23-24高二下·浙江杭州·期中）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)且在第一象限，，若將直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線，且直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，設(shè)，則，所以，則，故，所以，則直線的傾斜角，所以直線的斜率，所以直線的方程為，聯(lián)立，消得，，設(shè)，則，所以.

故選：A.8．（23-24高二下·四川成都·期末）拋物線繞它的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面叫拋物面，用于加熱水和水壺食物的太陽(yáng)灶應(yīng)用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)：一束平行于拋物線對(duì)稱軸的光線，經(jīng)過拋物面的反射后，集中于它的焦點(diǎn)．已知一束平行反射鏡于軸的入射光線與拋物線的交點(diǎn)為，則反射光線所在直線被拋物線截得的弦長(zhǎng)為（

）

A． B．214 C． D．【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，解得，所以拋物線方程為.故拋物線的焦點(diǎn)為，又因?yàn)榉瓷涔饩€經(jīng)過點(diǎn)及焦點(diǎn)，所以反射光線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，解得或，故反射光線與拋物線的交點(diǎn)為，由兩點(diǎn)距離公式得.所以反射光線所在直線被拋物線截得的弦長(zhǎng)為.故選：C.

考點(diǎn)六點(diǎn)差法1．（2024·陜西安康）已知橢圓，過點(diǎn)作傾斜角為的直線與交于，兩點(diǎn)，當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，所以，兩式相減得，即，又，所以，整理得，又，，所以，所以，所以橢圓的離心率.故選：D.2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）橢圓上的兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線對(duì)稱，則弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，，的中點(diǎn)為，則，由點(diǎn)在橢圓上得，兩式相減得，整理得，由，，即，將代入，解得，，所以.故選：D．3．（2024·陜西寶雞）已知直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【解析】設(shè)，則，且，所以，整理得到：，因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，所以，所以即所以，故選：A.4．（2024北京）已知雙曲線方程，則以為中點(diǎn)的弦所在直線的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)直線交雙曲線于點(diǎn)、，則，由已知得，兩式作差得，所以，，即直線的斜率為，故直線的斜率為，即.經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意故選：B.5（2024河南·階段練習(xí)）已知斜率為的直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為P，若直線OP的斜率為，則雙曲線C的離心率為（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【解析】設(shè)，，，則，兩式相減得，所以.因?yàn)椋?，所?因?yàn)?，，所以，，?故選：C6．（2024湖北·階段練習(xí)）已知斜率為的直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的中點(diǎn)為，若直線的斜率為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)、、，則，兩式相減得，所以．因?yàn)?，，所以．因?yàn)?，，所以，故，故．故選：A.考點(diǎn)七軌跡方程1．（23-24高二下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，等邊的邊長(zhǎng)為，M為BC中點(diǎn)，B，C分別在射線，上運(yùn)動(dòng)，記M的軌跡為，則（

）A．為部分圓 B．為部分線段C．為部分拋物線 D．為部分橢圓【答案】D【解析】如圖，由題意不妨設(shè)，則，而，即，又，所以，即，因?yàn)?，所以，即為部分橢圓.故選：D.2（23-24高二下·湖北黃岡·階段練習(xí)）已知三角形的周長(zhǎng)為，且，，則頂點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?、，所以，又因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，得，由橢圓的定義可知：頂點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以為焦點(diǎn)的橢圓的一部分，且橢圓中，，，即，橢圓方程為，因?yàn)闀r(shí)，三點(diǎn)共線，不能構(gòu)成三角形．頂點(diǎn)的軌跡方程為，故選：C．3．（23-24高二上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使得，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，記的軌跡為.則的方程為.【答案】【解析】連接，如下圖所示：

因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由垂直平分線的性質(zhì)可知：，所以，所以的軌跡是以為焦點(diǎn)且實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線，所以，所以，所以軌跡方程為，故答案為：.4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知點(diǎn)與點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得.故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，的內(nèi)切圓與直線相切于點(diǎn)，記點(diǎn)M的軌跡為C.求C的方程.【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)、，的內(nèi)切圓與直線相切于點(diǎn)，所以，因此根據(jù)雙曲線的定義可知，點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)點(diǎn)的軌跡C的方程為，焦距為，所以，，所以，，，所以點(diǎn)的軌跡方程C為.考點(diǎn)八實(shí)際應(yīng)用1．（2024·重慶）如圖所示，“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)變軌進(jìn)入以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道II繞月飛行，最終衛(wèi)星在點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以為圓心的圓形軌道III繞月飛行，若用和分別表示橢圓軌道I和II的焦距，用和分別表示橢圓軌道I和II的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，則（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】如圖可知，，，，A不正確；，，；B不正確；由，可知，C不正確；，可得，故，即，，，即，D正確，故選:D.2．（22-23高二上·安徽蕪湖·階段練習(xí)）1970年4月24日，我國(guó)發(fā)射了自己的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號(hào)”，從此我國(guó)開始了人造衛(wèi)星的新篇章．人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行遵循開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律：衛(wèi)星在以地球?yàn)榻裹c(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時(shí)，其運(yùn)行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等．設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、焦距分別為2a，2c，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．衛(wèi)星向徑的取值范圍是B．衛(wèi)星在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間C．衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越扁D．衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最小【答案】C【解析】由題意可得衛(wèi)星的向徑是橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離，所以最小值為，最大值為，所以A正確；根據(jù)在相同時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，衛(wèi)星在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間，故B正確；衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值為越大，則越小，橢圓越圓，故C錯(cuò)誤．因?yàn)檫\(yùn)行速度是變化的，速度的變化，所以衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)向徑越小，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)向徑越大，衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時(shí)間，內(nèi)掃過的面積相等，則向徑越大，速度越小，所以衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最小，故D正確；故選：C．3（2024湖北荊州）某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的報(bào)告：正西、正北兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽到了一聲巨響，正東觀測(cè)點(diǎn)聽到的時(shí)間比其它兩觀測(cè)點(diǎn)晚.已知各觀測(cè)點(diǎn)到該中心的距離是.則該巨響發(fā)生在接報(bào)中心的（

）處.（假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為3，相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面上）A．西偏北方向，距離 B．東偏南方向，距離C．西偏北方向，距離 D．東偏南方向，距離【答案】A【解析】如圖，以接報(bào)中心為原點(diǎn)，正東、正北方向?yàn)檩S、軸正向，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)、、分別是西、東、北觀測(cè)點(diǎn)，則，，，設(shè)為巨響為生點(diǎn)，由、同時(shí)聽到巨響聲，得，故在的垂直平分線上，的方程為，因點(diǎn)比點(diǎn)晚聽到爆炸聲，故由雙曲線定義知點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的雙曲線上，依題意得，，，故雙曲線方程為，將代入上式，得，，，，即故.故巨響發(fā)生在接報(bào)中心的西偏北距中心處．故選：A4．（23-24高三上·江西·期末）阿波羅尼斯（約公元前262年～約公元前190年），古希臘著名數(shù)學(xué)家﹐主要著作有《圓錐曲線論》、《論切觸》等.尤其《圓錐曲線論》是一部經(jīng)典巨著，代表了希臘幾何的最高水平，此書集前人之大成，進(jìn)一步提出了許多新的性質(zhì).其中也包括圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，通過雙曲線的反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過其另一個(gè)焦點(diǎn).已知雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，其離心率，從發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線C的右支上一點(diǎn)E的反射，反射光線為EP，若反射光線與入射光線垂直，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，，由題意知，，，所以，，，所以，又，所以，解得，所以.故選：B.5．（22-23高二上·浙江嘉興·期中）從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).如圖①，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)、的橢圓與雙曲線構(gòu)成，現(xiàn)一光線從左焦點(diǎn)發(fā)出，依次經(jīng)與反射，又回到了點(diǎn)，歷時(shí)秒；若將裝置中的去掉，如圖②，此光線從點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)兩次反射后又回到了點(diǎn)，歷時(shí)秒：若，則的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與的實(shí)軸長(zhǎng)之比為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)橢圓方程為，雙曲線方程為，由圖①可得，其中，故上面兩式相減得，由圖②可得，故，由題意得，即，即，解得，故的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與的實(shí)軸長(zhǎng)之比為.故選：C6（2024·新疆·一模）從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).如圖①，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)的橢圓T與雙曲線S構(gòu)成，現(xiàn)一光線從左焦點(diǎn)發(fā)出，依次經(jīng)S與T反射，又回到了點(diǎn)，歷時(shí)秒；若將裝置中的S去掉，如圖②，此光線從點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)T兩次反射后又回到了點(diǎn)歷時(shí)秒.已知，則T的離心率與S的離心率之比.【答案】/0.5【解析】由得，由橢圓定義可得，由橢圓和雙曲線定義得，，故，故，解得，設(shè)橢圓T與雙曲線S的公共焦點(diǎn)為，故，所以故答案為：一、單選題1．（23-24高二下·廣西桂林·期中）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為上有一點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（

）A． B．20 C． D．16【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以，故的周長(zhǎng)為．故選：B．2．（23-24高二上·江西贛州·期中）以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，離心率的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)為，雙曲線的半焦距，離心率，，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：A．3．（23-24高二下·陜西西安·期末）已知橢圓，則“”是“橢圓C的離心率為”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由橢圓的方程，可得：當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)橢圓的離心率為，由，可得，解得；當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)橢圓的離心率為，由，可得，解得，所以所以是橢圓C的離心率為的充分不必要條件．故選：A.4．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是C的右支上的一點(diǎn)，C在點(diǎn)P處的切線與C的漸近線交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①直線的斜率的取值范圍是；②點(diǎn)P到C的兩條漸近線的距離之積為；③；④．其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由題意知，，設(shè)，又點(diǎn)P在C上，所以，所以，所以直線的斜率，所以，令，，所以所以，即直線的斜率的取值范圍是，故①正確；C的漸近線方程為，所以點(diǎn)P到C的兩條漸近線的距離之積為．故②錯(cuò)誤；，故③正確；當(dāng)時(shí)，顯然C在點(diǎn)P處的切線的斜率存在，設(shè)點(diǎn)P處的切線方程為，由得，所以得，，解得，所以C在點(diǎn)P處的切線方程為，即．當(dāng)時(shí)，C在點(diǎn)P處的切線方程為，所以點(diǎn)P處的切線方程為．由，解得，由解得又，，所以點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)，所以，故④正確．故選：C．5．（24-25高二·上?！るS堂練習(xí)）阿基米德不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他最早利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，且橢圓C的離心率為，面積為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則橢圓的面積為，又，聯(lián)立解得．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：D.6．（23-24高二下·安徽亳州·期末）設(shè)分別是離心率為的橢圓的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以．設(shè)，則．在中，．在中，，所以，整理得，．于是．故選：D．7．（2024·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C的方程為，過點(diǎn)作直線與雙曲線左右兩支分別交于點(diǎn)M，N.若，則直線的方程為（）A．

B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)，直線的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立，則①，②因?yàn)?，則③，①③聯(lián)立解得，代入②得，則直線的方程為或，故答案為：C8．（23-24高二下·安徽·期末）關(guān)于橢圓有如下結(jié)論：“過橢圓上一點(diǎn)作該橢圓的切線，切線方程為.”設(shè)橢圓：的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，過F且垂直于x軸的直線與C的一個(gè)交點(diǎn)為M，過M作橢圓的切線，若切線與直線的傾斜角互補(bǔ)，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知：，令代入橢圓方程可得，不妨設(shè)，則切線，即，可知直線的斜率，切線的斜率，由題意可知：，即.故選：C.二、多選題9．（24-25高二下·上?！て谀┮阎€C：，下列結(jié)論中正確的有（

）A．若，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B．若，則C是圓，其半徑為C．若，則C是雙曲線，其漸近線方程為D．若，，則C是兩條直線【答案】ACD【解析】對(duì)于A，若，則可化為，∴，∴，即曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故A正確；對(duì)于B，若，則可化為，此時(shí)曲線C表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓，故B不正確；對(duì)于C，若，則可化為，此時(shí)曲線C表示雙曲線，由可得，故C正確；對(duì)于D，若，，則可化為，，此時(shí)曲線C表示平行于x軸的兩條直線，故D正確．故選：ACD.10．（23-24江蘇無錫）設(shè)橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為、，左?右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．離心率B．面積的最大值為1C．以線段為直徑的圓與直線相切D．動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)的距離的最小值為【答案】BD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，由已知得，，則，即，故A錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)B，由已知得，要使的面積最大，當(dāng)?shù)走吷系母咦畲蠹纯?，高的最大值即?，則的面積最大值為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，以線段為直徑的圓的方程為，則該圓的圓心到直線的距離為，即以線段為直徑的圓與直線相交，故C錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)點(diǎn)，則又，故時(shí)取得最小值為，故D正確．故選：BD．11．（江蘇省南通市名校聯(lián)盟2025屆新高三暑期學(xué)習(xí)（全國(guó)普通高考調(diào)研模擬測(cè)試）數(shù)學(xué)試題）已知拋物線Γ：的焦點(diǎn)為F，P為Γ上一動(dòng)點(diǎn)．過F且斜率大于0的直線與Γ交于不同的兩點(diǎn)A，B，且滿足，．則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．直線AB的傾斜角大于60°B．若，則C．點(diǎn)P可能在第一象限D(zhuǎn)．直線PB的橫截距不可能是【答案】AC【解析】拋物線Γ：的焦點(diǎn)為，直線過F且斜率大于0，設(shè)直線方程為，，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，由韋達(dá)定理，設(shè)，，，代入韋達(dá)定理得，又點(diǎn)不在直線上，則，即只有，當(dāng)，即時(shí)，有實(shí)數(shù)解，且存在點(diǎn)，又，則點(diǎn)在第四象限，故C錯(cuò)誤.設(shè)直線的斜率為，則，直線的傾斜角小于等于，故A錯(cuò)誤.若，則，，代入，解得，，所以，即，故B正確.取，則直線的直線方程為，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，方程其中一個(gè)根為點(diǎn)縱坐標(biāo)，則另一根為，若另一根為點(diǎn)縱坐標(biāo)，則，此時(shí)，代入方程無解，所以與無法垂直，則不存在這樣過的直線，即直線的橫截距不可能是，故D正確.故選：AC.三、填空題12．（24-25高二·上海·課堂例題）已知點(diǎn)，直線，若動(dòng)點(diǎn)P到l的距離等于，則點(diǎn)P的軌跡是．【答案】拋物線【解析】因?yàn)?，可知，且拋物線的定義：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離等于到定直線距離，所以點(diǎn)P的軌跡是拋物線.故答案為：拋物線.13．（24-25高二·上海·隨堂練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓C上一點(diǎn)，的最小值為1，且的周長(zhǎng)為34，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【解析】令橢圓的半焦距為，由的最小值為1，得，由的周長(zhǎng)為34，得，解得，，由，得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：14．（2023·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：的上頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P在線段AB上（不包括端點(diǎn)），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)M在第一象限，則的最大值為．【答案】【解析】設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為：，聯(lián)立方程得，則，所以，因?yàn)闄E圓C：的上頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為B，所以，則直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)P在線段AB上，直線OP與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，所以，因?yàn)辄c(diǎn)M在第一象限，所以，，，則所以，，，由，整理得，，當(dāng)時(shí)，故答案為：四、解答題15．（24-25高二下·上海·期末）已知