對稱式和輪換對稱式及答案

對稱式與輪換對稱式一.填空題(共10小題)1.已知,a,b,c就是△ABC得邊,且,,,則此三角形得面積就是:_________.2.已知實數(shù)a、b、c,且b≠0.若實數(shù)x1、x2、y1、y2滿足x12+ax22=b,x2y1﹣x1y2=a,x1y1+ax2y2=c,則y12+ay22得值為_________.3.已知正數(shù)a,b,c,d,e,f滿足=4,=9,=16,=;=,=,則(a+c+e)﹣(b+d+f)得值為_________.4.已知bc﹣a2=5,ca﹣b2=﹣1,ac﹣c2=﹣7,則6a+7b+8c=_________.5.x1、x2、y1、y2滿足x12+x22=2,x2y1﹣x1y2=1,x1y1+x2y2=3.則y12+y22=_________.6.設(shè)a=,b=,c=,且x+y+z≠0,則=_________.7.已知,,其中a,b,c為常數(shù),使得凡滿足第一式得m,n,P,Q,也滿足第二式,則a+b+c=_________.8.設(shè)2(3x﹣2)+3=y,2(3y﹣2)+3=z,2(3z﹣2)+3=u且2(3u﹣2)+3=x,則x=_________.9.若數(shù)組(x,y,z)滿足下列三個方程:、、,則xyz=_________.10.設(shè)x、y、z就是三個互不相等得數(shù),且x+=y+=z+,則xyz=_________.二.選擇題(共2小題)11.已知,,,則得值就是() A. B. C. D.12.如果a,b,c均為正數(shù),且a(b+c)=152,b(c+a)=162,c(a+b)=170,那么abc得值就是() A.672 B.688 C.720 D.750三.解答題(共1小題)13.已知b≥0,且a+b=c+1,b+c=d+2,c+d=a+3,求a+b+c+d得最大值.答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一.填空題(共10小題)1.已知,a,b,c就是△ABC得邊,且,,,則此三角形得面積就是:.考點:對稱式與輪換對稱式。分析:首先將將三式全部取倒數(shù),然后再將所得三式相加,即可得:++=+++,再整理,配方即可得:(﹣1)2+(﹣1)2+(﹣1)2=0,則可得此三角形就是邊長為1得等邊三角形,則可求得此三角形得面積.解答:解:∵a=,b=,c=,∴全部取倒數(shù)得:=+,=+,=+,將三式相加得:++=+++,兩邊同乘以2,并移項得:﹣+﹣+﹣+3=0,配方得:(﹣1)2+(﹣1)2+(﹣1)2=0,∴﹣1=0,﹣1=0,﹣1=0,解得:a=b=c=1,∴△ABC就是等邊三角形,∴△ABC得面積=×1×=.故答案為:.點評:此題考查了對稱式與輪換對稱式得知識,考查了配方法與等邊三角形得性質(zhì).此題難度較大,解題得關(guān)鍵就是將三式取倒數(shù),再利用配方法求解,得到此三角形就是邊長為1得等邊三角形.2.已知實數(shù)a、b、c,且b≠0.若實數(shù)x1、x2、y1、y2滿足x12+ax22=b,x2y1﹣x1y2=a,x1y1+ax2y2=c,則y12+ay22得值為.考點:對稱式與輪換對稱式。分析:∵x12+ax22=b①,x2y1﹣x1y2=a②,x1y1+ax2y2=c③.首先將第②、③組合成一個方程組,變形把x1、x2表示出來,在講將x1、x2得值代入①,通過化簡就可以求出結(jié)論.解答:解:∵x12+ax22=b①,x2y1﹣x1y2=a②,x1y1+ax2y2=c③.由②,得④,把④代入③,得⑤把⑤代入③,得⑥把⑤、⑥代入①,得+=b∴,∴(a3+c2)(y12+ay22)=b(y12+ay22)2∴y12+ay22=.故答案為:點評:本題就是一道代數(shù)式得轉(zhuǎn)化問題,考查了對稱式與輪換對稱式在代數(shù)式求值過程中得運用.3.已知正數(shù)a,b,c,d,e,f滿足=4,=9,=16,=;=,=,則(a+c+e)﹣(b+d+f)得值為﹣.考點:對稱式與輪換對稱式。分析:根據(jù)題意將六個式子相乘可得(abcdef)4=1,又a,b,c,d,e,f為正數(shù),即abcdef=1,再根據(jù)所給式子即可求出a,b,c,d,e,f得值,繼而求出答案.解答:解:根據(jù)題意將六個式子相乘可得(abcdef)4=1,且a,b,c,d,e,f為正數(shù),∴abcdef=1,∴bcdef=,∵=4,∴bcdef=4a,∴4a=,∴a=.同理可求出:b=,c=,d=2,e=3,f=4.∴原式=++3﹣﹣2﹣4,=.故答案為:﹣.點評:本題就是一道分式得化簡求值試題,考查了分式得輪換對稱得特征來解答本題,有一定難度,根據(jù)所給條件求出a,b,c,d,e,f得值就是關(guān)鍵.4.已知bc﹣a2=5,ca﹣b2=﹣1,ac﹣c2=﹣7,則6a+7b+8c=44或﹣44.考點:對稱式與輪換對稱式。分析:令bc﹣a2=5…①,ca﹣b2=﹣1…②,ac﹣c2=﹣7…③,用①式減②式得bc﹣a2﹣ca+b2=c(b﹣a)+(b+a)(b﹣a)=(a+b+c)(b﹣a)=6,②式減③式得ca﹣b2﹣ab+c2=a(c﹣b)+(c+b)(c﹣b)=(a+b+c)(c﹣b)=6,于就是求出b與a、c之間得關(guān)系,進一步討論求出a、b與c得值,6a+7b+8c得值即可求出.解答:解:令bc﹣a2=5…①,ca﹣b2=﹣1…②,ac﹣c2=﹣7…③,①式減②式得bc﹣a2﹣ca+b2=c(b﹣a)+(b+a)(b﹣a)=(a+b+c)(b﹣a)=6,②式減③式得ca﹣b2﹣ab+c2=a(c﹣b)+(c+b)(c﹣b)=(a+b+c)(c﹣b)=6,所以b﹣a=c﹣b,即b=,代入②得ca﹣=﹣1,4ac﹣(a+c)2=﹣4,(a﹣c)2=4,a﹣c=2或a﹣c=4,當(dāng)a﹣c=2時,a=c+2,b==c+1,代入③式得(c+2)(c+1)﹣c2=﹣7,3c+2=﹣7,c=﹣3,所以a=﹣1,b=﹣2,此時6a+7b+8c=6×(﹣1)+7×(﹣2)+8×(﹣3)=﹣44,當(dāng)a﹣c=﹣2時,a=c﹣2,b==c﹣1,代入③式得(c﹣2)(c﹣1)﹣c2=﹣7﹣3c+2=﹣7,c=3,所以a=1,b=2此時6a+7b+8c=6×1+7×2+8×3=44,所以6a+7b+8c=﹣44或6a+7b+8c=44,故答案為44或﹣44.點評:本題主要考查對稱式與輪換對稱式得知識點,解答本題得關(guān)鍵就是求出b=,此題難度不大.5.x1、x2、y1、y2滿足x12+x22=2,x2y1﹣x1y2=1,x1y1+x2y2=3.則y12+y22=5.考點:對稱式與輪換對稱式。分析:根據(jù)題意令x1=sinθ,x2=cosθ,又知x2y1﹣x1y2=1,x1y1+x2y2=3,列出方程組解出y1與y2,然后求出y12+y22得值.解答:解:令x1=sinθ,x2=cosθ,又知x2y1﹣x1y2=1,x1y1+x2y2=3,故,解得:y1=cosθ+3sinθ,y2=3cosθ﹣sinθ,故y12+y22=5.故答案為5.點評:本題主要考查對稱式與輪換對稱式得知識點,解答本題得關(guān)鍵就是令x1=cosθ,x2=sinθ,此題難度不大.6.設(shè)a=,b=,c=,且x+y+z≠0,則=1.考點:對稱式與輪換對稱式。分析:∵a=,b=,c=分別代入,,表示出,,得值,然后化簡就可以求出結(jié)果了.解答:解:∵a=,b=,c=,∴===∴=++=∵x+y+z≠0∴原式=1.故答案為:1.點評:本題就是一道代數(shù)式得化簡求值得題,考查了代數(shù)式得對稱式與輪換對稱式在化簡求值中得運用.具有一定得難度.7.已知,,其中a,b,c為常數(shù),使得凡滿足第一式得m,n,P,Q,也滿足第二式,則a+b+c=.考點:對稱式與輪換對稱式。分析:令P=(m+9n)x,Q=(9m+5n)x(x≠0),由可得:==,解出a、b與c得值即可.解答:解:令P=(m+9n)x,Q=(9m+5n)x(x≠0),又知,即==,解得a=2,c=,b=﹣,即a+b+c=2﹣+=.故答案為.點評:本題主要考查對稱式與輪換對稱式得知識點,解答本題得關(guān)鍵就是令P=(m+9n)x,Q=(9m+5n)x,此題難度不大.8.設(shè)2(3x﹣2)+3=y,2(3y﹣2)+3=z,2(3z﹣2)+3=u且2(3u﹣2)+3=x,則x=.考點:對稱式與輪換對稱式。專題:計算題。分析:先化簡各式,將各式聯(lián)立相加,然后分別將y、z與u關(guān)于x得式子代入消去y、z與u,即可求出x得值.解答:解:將各式化簡得:,(1)+(2)+(3)+(4)得:x+y+z+u=⑤,分別將y、z與u關(guān)于x得式子代入⑤中,得:x+6x﹣1+6(6x﹣1)﹣1+=,解得:x=.故答案為:.點評:本題考查對稱式與輪換對稱式得知識,難度適中,解題關(guān)鍵就是將y、z與u關(guān)于x得式子代入消除y、z與u.9.若數(shù)組(x,y,z)滿足下列三個方程:、、,則xyz=162.考點:對稱式與輪換對稱式。分析:將3個方程分別分別由第一個方程除以第二方程,再由第一個方程除以第三個方程.就可以把x、y用含z得式子表示出來,然后代入第一個方程就可以求出z、x、y得值,從而求出其結(jié)果.解答:解:由①÷②,得y=④由①÷③,得x=⑤把④、⑤代入①,得,解得z=9∴y=6,x=3∴原方程組得解為:∴xyz=3×6×9=162.故答案為:162.點評:本題就是一道三元高次分式方程組,考查了運用分式方程得輪換對稱得特征解方程得方法,解方程組得過程以及求代數(shù)式得值得方法.10.設(shè)x、y、z就是三個互不相等得數(shù),且x+=y+=z+,則xyz=±1.考點:對稱式與輪換對稱式。專題:計算題。分析:分析本題x,y,z具有輪換對稱得特點,我們不妨先瞧二元得情形,由左邊得兩個等式可得出zy=,同理可得出zx=,xy=,三式相乘可得出xyz得值.解答:解:由已知x+=y+=z+,得出x+=y+,∴x﹣y=﹣=,∴zy=①同理得出:zx=②,xy=③,①×②×③得x2y2z2=1,即可得出xyz=±1.故答案為:±1.點評:此題考查了對稱式與輪換式得知識,有一定得難度,解答本題得關(guān)鍵就是分別求出yz、zx、xy得表達式,技巧性較強,要注意觀察所給得等式得特點.二.選擇題(共2小題)11.已知,,,則得值就是() A. B. C. D.考點:對稱式與輪換對稱式。專題:計算題。分析:先將上面三式相加,求出+,+,+,再將化簡即可得出結(jié)果.解答:解:∵,∴+=15①,∵,∴+=17②;∵,∴+=16③,∴①+②+③得,2(++)=48,∴++=24,則===,故選D.點評:本題考查了對稱式與輪換對稱式,就是基礎(chǔ)知識要熟練掌握.12.如果a,b,c均為正數(shù),且a(b+c)=152,b(c+a)=162,c(a+b)=170,那么abc得值就是() A.672 B.688 C.720 D.750考點:對稱式與輪換對稱式。分析:首先將a(b+c)=152,b(c+a)=162,c(a+b)=170分別展開,即可求得ab+ac=152①,bc+ba=162②,ca+cb=170③,然后將三式相加,即可求得ab+bc+ca值,繼而求得bc,ca,ab得值,將它們相乘再開方,即可求得abc得值.解答:解:∵a(b+c)=152,b(c+a)=162,c(a+b)=170,∴ab+ac=152①,bc+ba=162②,ca+cb=170③,∴①+②+③得:ab+bc+ca=242④,④﹣①得:bc=90,④﹣②得:ca=80,④﹣③得:ab=72,∴bc?ca?ab=90×80×72,即(abc)2=7202,∵a,b,c均為正數(shù),∴abc=720.故選C.點評:此題考查了對稱式與輪換對稱式得知識,考查了方程組得求解方法.此題難度較大,解題得關(guān)鍵就是將ab,ca,bc瞧作整體,利用整體思想與方程思想求解.三.解答題(共1小題)13.已知b≥0,且a+b=c+1,b+c=d