平面向量的概念及線性運(yùn)算（六大題型）（講義）（原卷版）-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（含2024年高考試題+回歸教材）

第01講平面向量的概念及線性運(yùn)算

目錄

01考情透視目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破題型探究............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：向量的有關(guān)概念........................................................4

知識(shí)點(diǎn)2：向量的線性運(yùn)算........................................................4

知識(shí)點(diǎn)3：平面向量基本定理和性質(zhì)................................................5

知識(shí)點(diǎn)4：平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算..........................................7

解題方法總結(jié)...................................................................7

題型一：平面向量的基本概念.....................................................8

題型二：平面向量的線性運(yùn)算及求參數(shù)問題.........................................9

題型三：共線定理及其應(yīng)用.......................................................10

題型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及應(yīng)用...................................12

題型五：平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算.................................................15

題型六：向量共線的坐標(biāo)表示.....................................................16

04真題練習(xí)?命題洞見...........................................................16

05課本典例高考素材...........................................................17

06易錯(cuò)分析答題模板...........................................................19

易錯(cuò)點(diǎn)：忽視平面向量基本定理的使用條件.........................................19

答題模板：用基底表示向量.......................................................19

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考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

(1)向量的有關(guān)概念

2024年I卷第3題，5分

(2)向量的線性運(yùn)算和

2024年甲卷(理)第9題，5分通過對(duì)近5年高考試題分析可知，高考在

向量共線定理

2023年北京卷第3題，5分本節(jié)以考查基礎(chǔ)題為主，考查形式也較穩(wěn)定，

(3)平面向量基本定理

2022年I卷第3題，5分考查內(nèi)容一般為平面向量基本定理與坐標(biāo)運(yùn)

和性質(zhì)

2021年乙卷(文)第13題，5分算，預(yù)計(jì)后面幾年的高考也不會(huì)有大的變化.

(4)平面向量的坐標(biāo)表

2022年乙卷(文)第3題，5分

示及坐標(biāo)運(yùn)算

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.

(2)掌握向量的加法'減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.

(3)了解平面向量基本定理及其意義

(4)會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法'減法與數(shù)乘運(yùn)算

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㈤2

〃皿SM圖?里維己［骯

共線向量［如果1=超0￡/),則1〃不反之,一

平面向量的概念及線性運(yùn)算基本定理'如果3〃引|_后6,則一定存在唯一的實(shí)數(shù)入，使￡=入尻

如果4和.是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，

那么對(duì)丁該平面內(nèi)的任一向量入都存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)%,

平面向里

使得公=入￡+入￡,我們把不共線向量百，4叫做

基本定理

表示這一平面內(nèi)所有向址的一組基底，記為｛￡0｝,

入￡+入工叫做向量法丁基底｛￡司的分解式.

平面向量基本定理和性質(zhì)

在△中，若點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，W￡D=IDC

線段定比分點(diǎn)ABCDBC(Z*-l),

則向皿空空

的向量表達(dá)式

平面內(nèi)三點(diǎn)d,B,C共線的充要條件是：

三點(diǎn)共線定理

存在實(shí)數(shù)1小，使亦=九麗+|1彷，其中1+p=l,。為平面內(nèi)一點(diǎn).

在ZVLBC中，若點(diǎn)。是邊5c的中點(diǎn)，則中線向量近

平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算

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考占室硒?題刊摩宓」

知識(shí)J

知識(shí)點(diǎn)1:向量的有關(guān)概念

(1)定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模).

(2)向量的模：向量次的大小，也就是向量方的長度，記作|在

(3)特殊向量：

①零向量：長度為0的向量，其方向是任意的.

②單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.規(guī)定：0與任一向量平行.

④相等向量：長度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量.

【診斷自測】下列命題中，正確的是()

A.若同=慟，貝￡=BB.若向〉慟，貝日.

C.若"=B，則D.若［〃潤//",則Z//Z

知識(shí)點(diǎn)2：向量的線性運(yùn)算

(1)向量的線性運(yùn)算

運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律

.①交換律

求兩個(gè)向量和的ka+b=ba

加法

運(yùn)算■②結(jié)合律

三角形法則平行四邊形法則(a+b)+c=a+(b+c)

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求4與B的相反A/X*

向量的和的

減法Z._____a-b=g+(-B)

運(yùn)算叫做&與3.

的差三角形法則

(1)|25\=\A\\a\

求實(shí)數(shù)彳與向量(2)當(dāng)4>0時(shí)，25與5的方向相同；當(dāng)

數(shù)乘(Z+pi)a=Aa+jua

a的積的運(yùn)算2<0時(shí)，4G與&的方向相同；

2(萬+B)=Aa+Ab

當(dāng)4=0時(shí),2a=0

【注意】

(1)向量表達(dá)式中的零向量寫成0,而不能寫成o.

(2)兩個(gè)向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個(gè)向量共線滿足的條件是：兩個(gè)向量所在直線平行或

重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系.

(3)要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運(yùn)用平行四邊形法則時(shí)兩個(gè)向量的起點(diǎn)必須

重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量；運(yùn)用三角形法則時(shí)兩個(gè)向量必須首

尾相接，否則就要把向量進(jìn)行平移，使之符合條件.

(4)向量加法和減法幾何運(yùn)算應(yīng)該更廣泛、靈活如：OA-OB=~BA,AM-AN=NM,

OA=OB+CA^OA-OB=CAt^BA-CA=BA+AC=BC.

【診斷自測】MP+PQ-MN=()

A.QNB.NQC.PMD.MP

知識(shí)點(diǎn)3：平面向量基本定理和性質(zhì)

1、共線向量基本定理

如果)=焉(彳€五)，則,/區(qū)；反之，如果3/區(qū)且很看0,則一定存在唯一的實(shí)數(shù)X,使。=".(口

訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘).

2、平面向量基本定理

如果1和易是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)的任一向量方，都存在唯一的一對(duì)

實(shí)數(shù)4,4,使得m我們把不共線向量［,1叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記

為勺｝,\e叫做向量日關(guān)于基底的分解式.

｛0x+/l2e2｛00｝

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量［與最不共線，平面內(nèi)的任一向量1都可以分解成形如

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商+的形式，并且這樣的分解是唯一的.+叫做I，1的一個(gè)線性組合.平面向量基本

定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).

推論1：若/=4G+,則4=4,4=4.

推論2：^5=A1e1+22e2=61則4=4=0.

3、線段定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式

如圖所示，在4ABC中，若點(diǎn)。是邊BC上的點(diǎn)，且麗=WC(2^-1),貝!I向量

-=AB+AAC^在向量線性表示(運(yùn)算)有關(guān)的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神

1+A

奇”之功效，建議熟練掌握.

4、三點(diǎn)共線定理

平面內(nèi)三點(diǎn)/,B,C夬線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)尢〃，使反=4況+〃礪，其中2+〃=1，。為

平面內(nèi)一點(diǎn).此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握.

A,B、C三點(diǎn)共線

o存在唯一的實(shí)數(shù)X,使得％=2次；

O存在唯一的實(shí)數(shù)X,^OC=OA+AAB；

O存在唯一的實(shí)數(shù);I,使得玩=(1-2)a+2礪；

=存在2+〃=1,使得反二疝+必礪.

5,中線向量定理

如圖所示，在△/BC中，若點(diǎn)D溟邊BC的中點(diǎn)，則中線向量，5=:(次+/)，反之亦正確.

【診斷自測】在。中，已知。是8C邊上靠近點(diǎn)3的三等分點(diǎn)，E是/C的中點(diǎn)，且無=2萬+〃次,

則；I+4=()

11

A.—B.—1C.-D.1

22

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知識(shí)點(diǎn)4：平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算

(1)平面向量的坐標(biāo)表示.

在平面直角坐標(biāo)中，分別取與％軸，》軸正半軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，那么由平面

向量基本定理可知，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使5=行+行，我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)

(X,y)叫做向量值的坐標(biāo),記作萬=(x,y).

(2)向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的，即有

向量(X/)向量E、?―點(diǎn)A(x,y).

(3)設(shè)：=(再,%),刃=(%,%),則a+B=(X]+%,必+為)，a-b=(xx-x2,yx-y2)>即兩個(gè)向量的和

與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.

若及=(x,y),X為實(shí)數(shù)，則須=(&"?),即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實(shí)數(shù)乘原來向量的相

應(yīng)坐標(biāo).

(4)設(shè)/(X],%),B(x2,y2),則48=03-0/=(X[-%，%-%)，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量的有

向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo).

(5)平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

①已知點(diǎn)N(X]，M),8(%，%)，則=-%，%-%)，IAB|=^(x2-xlY+(y2-y^

②已知N=(再,%)，b-(x2,y2),貝!=(再±x?,弘土％),Aa=,

a-b=XjX2+yxy2.

a//boxxy2-x2yt=0,5±K<=>x1x2+yxy2=0

【診斷自測】已知點(diǎn)42,3),3(1,4),且N=_2兩，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)是—.

解題方法總結(jié)

(1)向量的三角形法則適用于任意兩個(gè)向量的加法，并且可以推廣到兩個(gè)以上的非零向量相加，稱

為多邊形法則.一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向

量.

即立+不;+…+：CS=N-

(2)\\a\-\b\\<\a±b\<\a\+\b\,當(dāng)且僅當(dāng)凡B至少有一個(gè)為6時(shí)，向量不等式的等號(hào)成立.

(3)特別地：恒|-向國]±3|或國即+向當(dāng)且僅當(dāng)扇】至少有一個(gè)為。時(shí)或者兩向量共線時(shí)，

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向量不等式的等號(hào)成立.

（4）減法公式：AB-AC=CB,常用于向量式的化簡.

（5）A>P、B三點(diǎn)共線o9=（1-。厲+f赤?eR）,這是直線的向量式方程.

題型一：平面向量的基本概念

【典例1-1】（2024?高三?福建廈門?開學(xué)考試）下列命題不正確的是（）

A.零向量是唯一沒有方向的向量

B.零向量的長度等于0

ab-

c.若石都為非零向量，則使口+付=°成立的條件是々與B反向共線

D.若￡=b=c，貝Ua=1

【典例1-2】給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；②兩個(gè)向量不能比較大小,

但它們的模能比較大?。虎廴籼K=0u為實(shí)數(shù)），貝！U必為零；④己知九〃為實(shí)數(shù)，若蘇=癡，則￡與3

共線.其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為（）

A.IB.2C.3D.4

【方法技巧】

準(zhǔn)確理解平面向量的基本概念是解決向量題目的關(guān)鍵.共線向量即為平行向量，非零向量平行具有傳

遞性，兩個(gè)向量方向相同或相反就是共線向量，與向量長度無關(guān)，兩個(gè)向量方向相同且長度相等，就是相

等向量.共線向量或相等向量均與向量起點(diǎn)無關(guān).

【變式1-1］下列說法中，正確的是（）

A.若［.|>由，則

B.若向=|浦,貝。

C.若a=石,則a〃6

D.若￡中譏貝上與B不是共線向量

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【變式1-2】設(shè)Z是非零向量，4是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()

A.Z與的方向相反B.々與萬￡的方向相同

C.|-2a|>|a|D.|-Aa|>|2|a

題型二：平面向量的線性運(yùn)算及求參數(shù)問題

【典例2-1】若麗=7,困卜4,貝1蜀的取值范圍是()

A.[3,7]B.(3,7)C.[3,11]D.(3,11)

【典例2-2】在平行四邊形48co中，E為8。的中點(diǎn)，尸為8C上一點(diǎn)，則方+N萬-2m=()

A.2FEB.2EFC.FED.2CF

【方法技巧】

(1)兩向量共線問題用向量的加法和減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為需要選擇的目標(biāo)向量即可，而此類問題又以“爪

子型”為幾何背景命題居多，故熟練掌握“爪子型”公式更有利于快速解題.

(2)進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基本向量或

首尾相接的向量，運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來求解.

(3)除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系外，有時(shí)還需要利用三角形中位線、相似

三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解.

【變式2-1]如圖，在平行四邊形/BCD中，下=￡,而=否，點(diǎn)E滿足及=；就，則詼=().

【變式2-2](2024?寧夏吳忠?模擬預(yù)測)如圖所示，平行四邊形/BCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，E為/O的

中點(diǎn)，若法=/L^+〃/b(/L,〃eR)，則〃等于().

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1

D.——

2

【變式2-3］已知矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)O,￡為4。的中點(diǎn)^DE=AAB+juAD（2,〃為實(shí)數(shù)）,

則22一ju1）

7C3-2。D.9

AB.-

-49■-2-2

【變式2-4］（2024?高三?安徽?開學(xué)考試）古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯（Theaetetus）利用如圖所示的直角三角

形來構(gòu)造無理數(shù).已知工8=8。=。。=1，48,5。,/。，。,幺（7與8。交于點(diǎn)。，若麗=入刀+"就，貝I］

%+〃=（）

A.V2-1B.1-72C.V2+1D--41-1

題型三：共線定理及其應(yīng)用

【典例3-1】已知平面向量Z，B不共線,AB=4a+6b，BC=-a+3^>CD=a+3b>貝U（）

A.A,B,。三點(diǎn)共線B.A,B,。三點(diǎn)共線

C.B,C,。三點(diǎn)共線D.A,C,。三點(diǎn)共線

+；衣，則實(shí)數(shù)用的值

【典例3-2］如圖，在A/LSC中，就=3酢,尸是BN上的一點(diǎn)，若不=

為（）

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A

N

上1

5

1221

AC

9-9-3-D.3-

【方法技巧】

要證明aB,。三點(diǎn)共線，只需證明通與瑟共線，即證刀=4元(2G7?).若已知4,B,。三

點(diǎn)共線，則必有益與前共線，從而存在實(shí)數(shù)4,使得割=4前.

___2―?

【變式3-1］如圖，/5。中，點(diǎn)M是5c的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足=4"與CN交于點(diǎn)。，

AD=AAM,則2=()

5

D.

6

【變式3-2］(2024?重慶?模擬預(yù)測)已知點(diǎn)G是“5C的重心，點(diǎn)M是線段4c的中點(diǎn)，若

GM=XAB+/LLAC,則九+〃=()

【變式3-3】已知q,%是兩個(gè)不共線的單位向量，方=9-與石=-2。+左色，若方與3共線，則左=___.

【變式3-4】已知28C的重心為G,經(jīng)過點(diǎn)G的直線交48于。，交AC于E,若為=%%，AE=^iAC,

e11

則丁丁

【變式3-5］如圖，點(diǎn)G為A4BC的重心，過點(diǎn)G的直線分別交直線45,4c點(diǎn)D,E兩點(diǎn),

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AB=3mAD(m>0),AC=3nAE(n>0),貝+；若〃>%>0,則'+二一的最小值為

mn-m

【變式3-6］如圖，在。8C中，工5==g/,CD與BE交于點(diǎn)P,AB=2,AC=3,AP-BC=1,

則關(guān)?關(guān)的值為;過點(diǎn)P的直線/分別交4民4C于點(diǎn)M,N,設(shè)AM=mAB,~AN=nAC（m>0,w>0）,

則加+2〃的最小值為.

題型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及應(yīng)用

【典例4-1】（2024?上海浦東新?三模）給定平面上的一組向量M、則以下四組向量中不能構(gòu)成平面向

量的基底的是（）

A.2,+4和,一4B.ex+3e2和e2+3e1

C.3,和四一69D.,和,+02

【典例4-2］如圖，在A45C中，點(diǎn)。,D,￡分別為5c和84的三等分點(diǎn)，點(diǎn)?？拷c(diǎn)5,AD交CE于

點(diǎn)尸，設(shè)數(shù)=5，BA=b^貝1麗=（)

1一4-24-

A.--a+-bB.—a+—bC.-a+-bD.-a+-b

77777777

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【方法技巧】

應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加法、減法或

數(shù)乘運(yùn)算，基本方法有兩種：

(1)運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)待求向量不斷進(jìn)行化簡，直至用基底表示為止.

(2)將向量用含參數(shù)的基底表示，然后列方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解.

(3)三點(diǎn)共線定理：A,B,尸三點(diǎn)共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)九〃，使赤=2厲+〃礪，其中

2+〃=1,0為4B外一點(diǎn)、.

AD

【變式4-1](2024?全國?模擬預(yù)測)在“3C中，點(diǎn)。在邊48上且滿足==2,E為3c的中點(diǎn)，直線

DB

交4C的延長線于點(diǎn)尸，則麗=()

A.BA+2BCB.-BA+2BCC.2BA-JCD.-2BA+JC

【變式4-2](2024?山西呂梁?三模)已知等邊“5C的邊長為1,點(diǎn)分別為力民5。的中點(diǎn)，若

麗=3而，則萬二（）

1—?5—?1—?3―?

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2624

1―?—?1ULDT3UUUT

C.-AB+ACD.-AB+-AC

222

【變式4-3】在力BC中，，5=2,/C=3,BC=4,/為的內(nèi)心，若萬=兀屈+質(zhì),貝|3%+6〃的值

為()

A.1B.2C.3D.4

【變式4-4](2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測)在中，丈=2而，M為線段4。的中點(diǎn)，過M的直線分別

.2—?__>__.

與線段力氏ZC交于尸、0,&AP=-AB,AQ=AAC,則2=()

A—6B-3C—2D.-3

【變式4-5]如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量方，OB，OC，其中班歷=120。，OA,OC=30°f且

|。/卜卜1,何。|=2>/J,若OC=mOA+nOB，則加+〃=___.

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【變式4-6］（2024?福建漳州?模擬預(yù)測）在力3C中，。是邊3C上一點(diǎn)，且&）=2QC,E是力。的中點(diǎn)，記

AC=m,AD=n,則礪=（）

A.-n-3nlB.-n-3mC.-m-3n-m-3n

22

【變式4-7］（2024?河北衡水?模擬預(yù)測）在中，。是BC的中點(diǎn)，直線/分別與交于點(diǎn)

M,E,N,且加=g萬7,AE=2ED,AC=AAN,則2=(

72

42

【變式4-8］（2024?河南?模擬預(yù)測）在“3C中，點(diǎn)￡為NC的中點(diǎn)，萬^2麗，與CF交于點(diǎn)P,且

滿足麗=彳而，則2的值為（）

1123

A.§B.了C.§D-4

【變式4-9］在“8C中，BE=^EC,BF=^（BA+BC）,點(diǎn)尸為/E與BF的交點(diǎn)，AP=AAB+^iAC,則

.

【變式4-10］（2024?高三?河南?期中）已知“3C為等邊三角形，分別以C4C5為邊作正六邊形，如圖

所示，則（）

BH

___9__?__?―?7—?―?

EF=-AD+4GHB.EF=—AD+3GH

22

EF=5AD+4GH

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題型五：平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

【典例5-1】已知。為“3C的外心，若N(0,0),8(2,0),/C=l,ZB/C=120。，且而=2益+〃就，則

4+4=()

213

A.-B.2C.1D.—

36

T1f

【典例5-2】。為坐標(biāo)原點(diǎn)，46,3),若點(diǎn)尸在直線上，且。尸=]尸4,尸是08的中點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐

標(biāo)為—.

【方法技巧】

(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),

則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).

(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解.

【變式5-1】已知點(diǎn)0(0,0),向量方=0,3),礪=(-3,5),點(diǎn)尸滿足點(diǎn)5=2而，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

【變式5-2】已知梯形/BCD中，AB/ICD,AB=2CD,三個(gè)頂點(diǎn)/(4,2),8(2,4),C(l,2).則頂點(diǎn)。的坐

標(biāo).

【變式5-3](2024?全國?模擬預(yù)測)在平行四邊形/BCD中，點(diǎn)/(0,0),5(-4,4),D(2,6).若/C與

的交點(diǎn)為“，則DM的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為,

【變式5-4】如圖所示，在四邊形/BCD中，已知/(2,6),5(6,4),C(5,0),￡>(1,0),則直線/C與

BD交點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

/、UUU

【變式5-5](2024?高三?上海普陀?期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，片(1,0),把向量。々順時(shí)針旋轉(zhuǎn)定角

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。得到西，。關(guān)于了軸的對(duì)稱點(diǎn)記為i=o,i，…/o,則用的坐標(biāo)為

題型六：向量共線的坐標(biāo)表示

【典例6-1］已知）=（4,一2）,t=（6,y）,且t/區(qū),貝”=—.

【典例6-2】已知向量存=（2,3）,就=（2~5）,麗=（3,-1）,若4瓦。三點(diǎn)共線，則機(jī)=

【方法技巧】

（1）兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：①若1=（匹,“），b=（x2,y2）,則的充要條件是

xty2—x2yt—0；②若）〃/0）,則止=焉.

（2）向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，

也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來求解.

【變式6-1】已知向量3=（3,4）石=（-1,5）忑=（2,3）,若1與歷+B共線，則實(shí)數(shù)/=.

【變式6-2】已知向量。==若a〃（a+3）,貝ij機(jī)=

【變式6-3］在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知點(diǎn)4T2）,C（-3,l）.則N3的中點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)

實(shí)數(shù)加=時(shí)，（加工+OB）//AB.

1.（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知向量瓦［滿足日+耳=（2,3）,3_［=（一2,1）,則|殲-標(biāo)『=（）

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A.-2B.-1C.0D.1

2.（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）在小BC中，點(diǎn)。在邊ZB上，BD=2DA.記而面=亢,則

CB=（）

A.3m—2nB.—2m+3nC.3玩+2為D.2m+3H

3.（2020年新高考全國卷n數(shù)學(xué)試題（海南卷））在。8c中，。是4g邊上的中點(diǎn)，則而=（）

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

4.（2024年上海秋季高考數(shù)學(xué)真題）已知上eR肖