第十章 桿及板的穩(wěn)定性

第十章

桿及板的穩(wěn)定性

§10-1概述

1、基本概念失穩(wěn)——由材料力學(xué)中知道,一根受軸壓的直桿,當(dāng)壓力大到一定程度時(shí)它將不能保持其原來的直線平衡狀態(tài),此時(shí)若稍微給桿一個(gè)干擾,桿就將在其最小剛度平面內(nèi)彎曲,這種現(xiàn)象就叫做桿件“喪失了穩(wěn)定性”,簡(jiǎn)稱“失穩(wěn)”,又稱“屈曲”(buck-ling)。（如圖a所示）

臨界力——桿件失穩(wěn)時(shí)相應(yīng)的壓力叫做桿的“臨界力”。桿件失穩(wěn)后若壓力繼續(xù)增加則彎曲將迅速增大直至破壞。一般說來，一個(gè)結(jié)構(gòu)中只要有受壓的構(gòu)件存在，就可能有失穩(wěn)現(xiàn)象發(fā)生。剛架失穩(wěn)板架失穩(wěn)桿件失穩(wěn)梁失去“側(cè)向穩(wěn)定性”板失穩(wěn)，平板“鄒折”當(dāng)壓力或剪力大到一定程度時(shí)板亦不能保持它原來的平面平衡狀態(tài)面將發(fā)生彎曲，叫做板失去穩(wěn)定性又稱平板“皺折”船體結(jié)構(gòu)中的受壓構(gòu)件——各種支柱、縱向布置的骨架和板。船舶結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性問題——除了各種支柱外，主要是討論甲板骨架和甲板板的穩(wěn)定性問題。甲板骨架和甲板板失穩(wěn)的可能性比船底的要大得多。結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的研究?jī)?nèi)容——即求出結(jié)構(gòu)的臨界壓力或臨界荷重。臨界荷重——結(jié)構(gòu)處于臨界狀態(tài)時(shí)的荷重。給結(jié)構(gòu)一個(gè)微小偏移（或干擾），若結(jié)構(gòu)在偏移位置能保持平衡，則結(jié)構(gòu)原來的平衡位置是中性的，此時(shí)結(jié)構(gòu)的荷重就等于臨界荷重。其大小取決于結(jié)構(gòu)的尺寸、形式和材料，是一個(gè)結(jié)構(gòu)的固有值。臨界狀態(tài)的判別方法——給結(jié)構(gòu)一個(gè)微小的偏移（或干擾）：結(jié)構(gòu)在偏移位置不能平衡而回到原處，則原平穩(wěn)位置是穩(wěn)定的，相應(yīng)的荷重必小于臨界荷重；結(jié)構(gòu)在偏移位置不能平衡但不復(fù)原而有繼續(xù)加大變形的傾向，則原平衡位置是不穩(wěn)定的，相應(yīng)的荷重必大于臨界荷重；結(jié)構(gòu)在偏移位置保持平衡，則此時(shí)的荷重就是臨界荷重。結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的研究方法——均先假定結(jié)構(gòu)處于中性平衡狀態(tài)，即結(jié)構(gòu)獲得小偏移時(shí)的平衡狀態(tài)，滿足此條件的最小荷重即為臨界荷重。由于臨界荷重是受壓結(jié)構(gòu)中性平衡彎曲狀態(tài)的最小荷重，因此研究方法有中性平衡微分方程式的積分法（解析法）和能量法兩種?！?0-2單跨桿的穩(wěn)定性1、解析法對(duì)于單跨的等斷面壓桿,描述小變形平衡狀態(tài)的中性平衡微分方程式可由梁的復(fù)雜彎曲微分方程式導(dǎo)得：當(dāng)時(shí)得

此式就是壓桿的中性平衡微分方程式。

齊次微分方程式的解為

式中為積分常數(shù)。

兩端自由支持的壓桿，在圖10-4所示的坐標(biāo)系統(tǒng)下，有邊界條件為及處代入此邊界條件中，得及上式中系數(shù)不能同時(shí)為零，所以只有：得或由此可知式中為正整數(shù)，即代入公式得滿足中性平衡狀態(tài)的壓力在理論上有許多個(gè)（相應(yīng)于n=1，2…）。實(shí)際所需的臨界力是其中最小的一個(gè)，故將n=1代入，可得兩端自由支持等斷面壓桿的臨界力為以上結(jié)果首先由歐拉導(dǎo)得,故所得的臨界力又稱為“歐拉力”,用TE來表示。對(duì)于所論的壓桿，當(dāng)時(shí)，由于C1=0，C3≠0，故兩端自由支持等斷面壓桿的彎曲形狀為即為一個(gè)正弦半波形。對(duì)于其它邊界情況的等斷面單跨壓桿，歐拉力可用同樣方法求得。表10－1幾種常見固定情況壓桿的歐拉力No

壓稈的結(jié)構(gòu)形式

歐拉力1234相當(dāng)長(zhǎng)度單跨桿的歐拉力

式中稱為桿的“相當(dāng)長(zhǎng)度”或“折算長(zhǎng)度”，即桿件彎曲時(shí)彎矩為零的點(diǎn)之間的長(zhǎng)度，也就是失穩(wěn)時(shí)桿件變形曲線中反曲點(diǎn)間的長(zhǎng)度。桿端的約束越大，則歐拉力亦越大。此處的約束大小指：

全自由（無約束）<自由支持<剛性固定

桿端固定情況無法確定時(shí)，常假定為自由支持，故一般算出的歐拉力最小，誤差偏安全。2、能量法設(shè)桿件在中性平衡時(shí)有小偏移v（x），現(xiàn)從v（x）開始再給以虛位移，于是若v（x）是平衡狀態(tài)，必有：此處為虛應(yīng)變能，而為桿件由直線位置到偏移位置的應(yīng)變能，即（參下圖）

為外力的虛功，為桿件自直線位置到偏移位置時(shí)外力的功。設(shè)桿件兩端在發(fā)生v（x）偏移時(shí)相對(duì)靠近了△，則,由于在發(fā)生△過程中外力T不變化，故計(jì)算時(shí)不加乘數(shù)1/2，顯然此外力功就等于力函數(shù)U。根據(jù)上圖中的幾何關(guān)系，可得當(dāng)轉(zhuǎn)角甚小時(shí)，故所以從而外力功H或力函數(shù)U為

這時(shí)虛位移原理可表達(dá)為

或式中為總位能,上式即為能量法中的位能駐值原理。應(yīng)用上式具體求解臨界力時(shí)，可仍采用李茲法來做，即首先假定一個(gè)滿足桿端位移邊界條件的撓曲線函數(shù)：按此算出V與U，同時(shí)得方程組：

即可求出臨界力。例如對(duì)于圖10-4中的兩端自由支持的壓桿，取可得則由于不能全為零，所以至少在某一個(gè)n值時(shí)，使從而解出最小的T值為例試求圖中受自重作用的懸臂桿的歐拉力

解：第一次近似時(shí)可取得變形能：因本例中故力函數(shù)：則因?yàn)?，故解得能量法的?yōu)缺點(diǎn)：

優(yōu)點(diǎn)——能方便的解決變斷面壓桿或壓力沿桿長(zhǎng)變化的情況，因此在實(shí)際應(yīng)用上應(yīng)用頗廣。

缺點(diǎn)——能量法求出的臨界荷重偏大，誤差偏于危險(xiǎn)。3、非彈性穩(wěn)定性事實(shí)上，壓桿在失穩(wěn)時(shí)材料可能已超出彈性范圍，且實(shí)踐表明超過彈性范圍時(shí)失穩(wěn)的力遠(yuǎn)小于理論歐拉力，所以有必要研究壓桿的非彈性穩(wěn)定性問題。

造船界中，通常把桿件在彈性范圍外失穩(wěn)的力叫做臨界力，以區(qū)別于在彈性范圍內(nèi)失穩(wěn)的歐拉力。壓桿的非彈性穩(wěn)定性問題用實(shí)驗(yàn)或理論分析方法解決。

實(shí)驗(yàn)方法就是通過不同的材料和尺度的壓桿穩(wěn)定性試驗(yàn)得出一條失穩(wěn)壓力與桿件尺度間關(guān)系曲線。在一般工程結(jié)構(gòu)中，這種曲線稱為“柱子曲線”（columncurve）。桿件的柔度定義為當(dāng)較大時(shí)，桿件細(xì)而長(zhǎng)，這時(shí)失穩(wěn)的壓力不會(huì)超過彈性范圍，因此曲線與歐拉公式應(yīng)該是一致的，如下圖BC段，是歐拉雙曲線；當(dāng)較小時(shí)，桿件粗而短，失穩(wěn)時(shí)材料已經(jīng)超過彈性范圍，如下圖AB段。當(dāng)相當(dāng)小時(shí)壓桿不會(huì)因失穩(wěn)而破壞，而是強(qiáng)度破壞，故相應(yīng)的破壞應(yīng)力為屈服應(yīng)力。非彈性穩(wěn)定性的理論分析法有好幾種，其中最簡(jiǎn)單的是“切線模數(shù)理論”。用這個(gè)理論處理非彈性穩(wěn)定的問題時(shí)僅需將彈性范圍公式中的彈性模數(shù)E用非彈性階段應(yīng)力-應(yīng)變曲線的切線斜率來代替（圖10-8），此稱為材料的“切線模數(shù)”。于是，對(duì)于兩端自由支持的壓桿，有臨界應(yīng)力的公式為

這個(gè)計(jì)算公式與材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線相配合就可以確定臨界應(yīng)力。具體的做法是先由曲線上依次找出不同值相應(yīng)的，再代入上式中求出對(duì)應(yīng)的，最后仍可畫出如圖10-7形式的柱子曲線以供應(yīng)用。按這個(gè)方法計(jì)算臨界應(yīng)力，對(duì)于一定的材料，必須具備應(yīng)力-應(yīng)變曲線。一般鋼材按切線模數(shù)公式得到的柱子曲線的AB段（圖10-7）可用二次拋物線作較好的趨近，假設(shè)曲線AB的方程為式中系數(shù)a、b可根據(jù)下列條件求得時(shí)，時(shí)，此處為比例極限，并且由此可解得

，所以得

或利用公式得這樣只要知道材料的，，即可算出臨界應(yīng)力。在實(shí)際材料中，與的數(shù)值往往在一定范圍內(nèi)變化，因此以上公式中應(yīng)選二者數(shù)值出現(xiàn)頻率所求得的可能最小值。目前實(shí)用上就取，這樣代入公式中分別得

或

在以后的分析中，常要用到切線模數(shù)與彈性模數(shù)的比值，并且符號(hào)表示，即因?yàn)橛晒剑?0-13）有故可得

顯然值取決于，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取時(shí)由上式有§10-3多跨桿的穩(wěn)定性在船體結(jié)構(gòu)中的多跨壓桿可分為兩種一種是中間支座是剛性的，另一種是中間支座是彈性的。當(dāng)船體中甲板縱骨在橫梁之間受壓失穩(wěn)時(shí)甲板縱骨就是在剛性支座上的連續(xù)壓桿，此時(shí)橫梁為甲板縱骨的剛性支座；如果整個(gè)甲板板架失穩(wěn)，則縱骨將成為在中間彈性支座上的連續(xù)壓桿，此時(shí)橫梁成了甲板縱骨的彈性支座。1、在剛性支座上連續(xù)壓桿的穩(wěn)定性在剛性支座上連續(xù)壓桿的穩(wěn)定性計(jì)算可以用力法來進(jìn)行?？紤]等斷面雙跨桿，設(shè)此桿在軸向壓力作用下處于中性平衡狀態(tài)。將桿在中間支座處切開，并加上相互作用的彎矩，用轉(zhuǎn)角連續(xù)方程式來保證兩段桿的變形連續(xù)。支座1斷面的轉(zhuǎn)角連續(xù)方程式寫作：

式中

由于M≠0，故又因?yàn)?，故?/p>

其中最小的一個(gè)根所對(duì)應(yīng)的軸向力就是所需的歐拉力。一般情況下求解方程式是比較困難的，但是如果對(duì)于給定的的值，那么求解還是方便的。通?？梢杂脠D解法來做。

例如：若，則有畫出曲線，曲線的交點(diǎn)即為根，實(shí)際上需要的是一個(gè)最小的根，其值為，代入上式即可解得此雙跨壓桿的歐拉力為如果，則方程式將變?yōu)椋哼@時(shí)，同樣用圖解法可得的最小一個(gè)根為，于是得等跨度壓桿的歐拉力為：

以上結(jié)果告訴我們：（1）當(dāng)時(shí)，所得的歐拉力在以下范圍之內(nèi)：即歐拉力是在兩個(gè)跨度作為單獨(dú)壓桿的歐拉力之間。（2）當(dāng)時(shí)，雙跨壓桿的歐拉力和每一個(gè)跨度單獨(dú)的歐拉力一樣。這個(gè)結(jié)論還可以推廣到任意多跨連續(xù)壓桿，只要其每個(gè)跨度是等間距等斷面的，并且兩端是自由支持的，這是不論跨度有多少，歐拉力都等于每跨單獨(dú)時(shí)的歐拉力。

2、在中間彈性支座上連續(xù)壓桿的穩(wěn)定性對(duì)于這種雙跨桿，它在中性平衡時(shí)可能有兩種彎曲形狀：a.彎曲時(shí)為兩個(gè)半波形，此時(shí)中間支座不發(fā)生移動(dòng)。如下圖中的曲線1所示。（此時(shí)桿的歐拉力就等于）b.彎曲時(shí)為一個(gè)半波形，此時(shí)中間支座發(fā)生移動(dòng)，如下圖中的曲線2所示?，F(xiàn)在考慮中間支座發(fā)生位移的中性平衡狀態(tài)。把雙跨桿分為圖10-14所示的兩根單跨壓桿。中間支座的轉(zhuǎn)角連續(xù)方程式：

式中

設(shè)中間彈性支座的剛性系數(shù)為K，故有式中R為中間支座所受到的力。分別計(jì)算兩段單跨梁在該支座處的支反力后疊加求得：得經(jīng)整理后即可得到下面兩個(gè)方程式：

在這個(gè)聯(lián)立方程式中，由于M和v不能同時(shí)為零，所以它們的系數(shù)的行列式要等于零，即將此行列式展開，并化簡(jiǎn)后可得方程式可以用圖解法求解，見圖10-15，即分別畫出函數(shù)及的曲線，曲線的交點(diǎn)的坐標(biāo)即為所求的根。設(shè)方程式的最小根為2u0，則可得所論的雙跨桿的歐拉力為：

TE隨K的增加而加大：（1）當(dāng)K比較小時(shí)，，此時(shí)

雙跨桿失穩(wěn)必為第二種情況。（2）當(dāng)K到某一臨界值時(shí)，

從而，，此時(shí)雙跨桿兩種失穩(wěn)情況的歐拉力相同，失穩(wěn)形狀可能為第一種或第二種。（3）當(dāng)時(shí)，，即歐拉力大于第一種失穩(wěn)情形的歐拉力。所以這個(gè)結(jié)果已無實(shí)際意義，這時(shí)雙跨桿將按第一種情況失穩(wěn)，

歐拉力為以上的結(jié)果可以用10-16中的曲線來表示。

此圖中：橫坐標(biāo)為代表?xiàng)U的歐拉力；縱坐標(biāo)為代表彈性支座的剛性系數(shù)，j為連續(xù)桿失穩(wěn)時(shí)形狀的半波數(shù)。

由以上分析知，具有中間彈性支座連續(xù)壓桿的歐拉力將隨著彈性支座的剛性系數(shù)K的增加而增大，但當(dāng)K達(dá)到臨界剛度ke時(shí)，歐拉力將保持不變，這時(shí)中間的彈性支座就相當(dāng)于一個(gè)剛性支座。例下圖中三跨連續(xù)梁，若已知，材料為鋼,（1）如果中間彈性支座的剛性系數(shù)，求壓桿的歐拉力為多少？（2）如果給定歐拉力，求必需的彈性支座的剛性系數(shù)要多少？解（1）根據(jù)以知，可算出系數(shù)為于是，可查得時(shí)再由公式得（2）當(dāng)給定時(shí)，可得：仍由圖知，當(dāng)時(shí)，得相應(yīng)的，于是所需的彈性支座的剛性系數(shù)為

§10-4甲板板架的穩(wěn)定性

在穩(wěn)定性問題中所謂甲板板架通常是指由甲板縱骨與橫梁組成的縱骨架式的甲板板架。這種板架在船體總彎曲的壓應(yīng)力作用下，有可能整體喪失穩(wěn)定性。這種整體性的失穩(wěn)是不允許的。1、簡(jiǎn)單甲板板架穩(wěn)定性

甲板板架的縱骨相同并且是等間距布置，縱骨兩端自由支持；板架的橫梁也是相同和等間距的。甲板板架的穩(wěn)定性問題和前節(jié)中所述的在中間彈性支座上連續(xù)壓桿的穩(wěn)定性問題有密切的聯(lián)系。一根縱骨的情況：橫梁可以直接化為縱骨的彈性支座

多根縱骨的情況,橫梁對(duì)縱骨的影響相當(dāng)于中間彈性支座。三根縱骨的甲板板架

所有的縱骨所受的壓力都相同，甲板板架失穩(wěn)時(shí)，板架中所有縱骨的彎曲形狀都相同。將板架的縱骨與橫梁在相交點(diǎn)分開并加上相互作用的節(jié)點(diǎn)力第一根縱骨任意一點(diǎn)的撓度：

——第一根縱骨上的節(jié)點(diǎn)反力；

——影響系數(shù)。第二與第三根縱骨任意一點(diǎn)的撓度：

影響系數(shù)與縱骨所受的壓力有關(guān)，各根縱骨所受的壓力相同，故這些系數(shù)不隨縱骨的號(hào)碼變化。板架中任意一根橫梁，梁上受到縱骨作用的三個(gè)節(jié)點(diǎn)力：由對(duì)稱條件有：并設(shè)橫梁兩端是自由支持的情形：橫梁與縱骨相交節(jié)點(diǎn)處的撓度式子如下：

B——橫梁的長(zhǎng)度，I——橫梁的斷面慣性矩。根據(jù)彈性支座的概念，剛性系數(shù)應(yīng)為橫梁節(jié)點(diǎn)力與相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)撓度之比，即由上式可知K1與K2必然相等，即K1=K2=K3，這說明板架中橫梁作為縱骨彈性支座的剛性系數(shù)全部相同。將上述關(guān)系式代入方程組，并消去，可得到一個(gè)只包含K的方程式如下：解之，取K的一個(gè)小的根，得計(jì)及B=4b，此時(shí)b為縱骨間距，可將上式改寫為：這樣，我們就求出了縱骨的中間彈性支座的剛性系數(shù)。

對(duì)于每一根縱骨，其所有的彈性支座剛性系數(shù)都相同，對(duì)于不同的縱骨，其彈性支座的剛性系數(shù)也都相同橫梁兩端是自由支持的，不論縱骨數(shù)目有多少，只要縱骨是等間距的，則所得的彈性支座的剛性系數(shù)可表示為

2）橫梁兩端是彈性固定端，則用同樣方法算出彈性支座的剛性系數(shù)，并用一通式表示如下：示中值隨橫梁兩端的彈性固定的程度而定。

求得了縱骨的彈性支座的剛性系數(shù)后，甲板板架的穩(wěn)定性問題可化為在彈性支座上連續(xù)桿的穩(wěn)定性問題?？砂鸭装灏寮艿臍W拉力計(jì)算公式寫成下面的形式:

式中為的函數(shù)，即歐拉應(yīng)力的函數(shù)因?yàn)?/p>

式中——縱骨的歐拉應(yīng)力；

－縱骨的斷面慣性矩；

—縱骨的斷積；

—縱骨的跨長(zhǎng)，即橫梁的間距。目前計(jì)算甲板板架穩(wěn)定性的通用形式如下：

或

顯然，如果彈性支座的剛度大于臨界剛度，甲板板架的歐拉應(yīng)力就等于縱骨作為單跨桿時(shí)的歐拉應(yīng)力，即

彈性支座的臨界剛度——就是橫梁的臨界剛度，可根據(jù)公式當(dāng)時(shí)求得，此時(shí)就是當(dāng)時(shí)的的值，因此有

為橫梁的臨界斷面慣性矩。由此可知，一般來說提高橫梁的慣性矩可以提高甲板板架的穩(wěn)定性，但是若橫梁的慣性矩已超過其臨界慣性矩，則再加大橫梁尺寸對(duì)甲板板架的穩(wěn)定性并無好處。在這種情況下，要提高甲板板架的穩(wěn)定性只有增大甲板縱骨的尺寸。2、非彈性穩(wěn)定性問題

以上公式都是假定材料是在彈性范圍之內(nèi)。如果實(shí)際板架失穩(wěn)時(shí)，縱骨的材料已超過了彈性范圍，需要將原來公式中的縱骨的彈性模數(shù)E用切線模數(shù)Et來代替，就可以得到相應(yīng)的臨界力計(jì)算公式。因?yàn)?，式中為修正系?shù)，所以將用來代替后，即得材料在超過彈性范圍時(shí)的甲板板架穩(wěn)定性計(jì)算公式如下：或

相應(yīng)的公式應(yīng)改為

式中仍保持形式不變。橫梁的臨界慣性矩公式相應(yīng)的變?yōu)?/p>

以上公式的修正系數(shù)與材料的性質(zhì)有關(guān)，并且其數(shù)值直接取決于臨界應(yīng)力的大小。因此實(shí)際上我們無法直接算出板架的臨界應(yīng)力，而只能用“試算法”才行。例題用簡(jiǎn)單板架的穩(wěn)定性公式計(jì)算某遠(yuǎn)洋貨輪舯部貨艙上甲板板架的臨界應(yīng)力（圖10－23）。已知甲板厚縱骨為200×44×10球扁鋼，面積連帶板的慣性矩為橫梁的斷面慣性矩為橫梁兩端的相當(dāng)固定系數(shù)為甲板的材料為高強(qiáng)度鋼，解：因橫梁兩端的相當(dāng)固定系數(shù)為及，故可得＝3.24。然后，把已知數(shù)據(jù)全部代入，得

故算出：于是可假定一系列臨界應(yīng)力的值，找到相應(yīng)的值，從而可以求出一系列的的值。再求出不同的時(shí)值，代入相應(yīng)的式子，當(dāng)剛好等于0.0518時(shí)的值，就代表板架的臨界應(yīng)力。上述計(jì)算再表10－2中進(jìn)行。

表10－228000.84072000.3890.0380.031930000.75064400.4560.0500.037532000.64054900.5830.0850.054434000.51043700.7780.1660.0850根據(jù)上表結(jié)果,用為橫坐標(biāo),為縱坐標(biāo),畫出的曲線(圖10-24)當(dāng)=0.0518時(shí),由曲線上得=318N/mm2,這就是甲板板架的臨界應(yīng)力。4、橫骨架式甲板板架得穩(wěn)定性問題對(duì)于縱骨架式甲板板架的穩(wěn)定性公式可推廣到橫骨架式甲板。

甲板結(jié)構(gòu)中只有橫梁與甲板板，沒有縱向骨架。由于實(shí)際上橫梁之間的甲板板格的邊長(zhǎng)比相當(dāng)大，在甲板失穩(wěn)時(shí)可認(rèn)為是發(fā)生筒形彎曲，故我們可把橫梁間的板視為由無數(shù)根單位寬度的板條梁所組成。設(shè)甲板板的厚度為，則板條梁的斷面慣性矩為，板條梁的剛度為：于是在公式中，將代替，即得橫骨架式甲板板架的穩(wěn)定性計(jì)算公式如下：此時(shí)式中為橫梁之間的板條梁的歐拉應(yīng)力，可按下式計(jì)算：或?qū)⒋牒?，?/p>

這個(gè)就是矩形平板在長(zhǎng)邊受壓時(shí)得臨界應(yīng)力公式，在這種情況下，橫梁也有其臨界剛度，它可求得：§10-5板的中性平衡微分方程式及求解1、矩形板的中性平衡微分方程式

板的中性平衡狀態(tài)可以用微分方程式來描述。與桿的情況相仿，板的中性平衡微分方程式可借助板在復(fù)雜彎曲（既有橫載荷又有中面力作用）時(shí)的彎曲微分方程式得到，我們先導(dǎo)出矩形板的復(fù)雜彎曲微分方程式前面一章中我們導(dǎo)得剛性板得彎曲微分方程式.

考慮中面應(yīng)力，設(shè)板內(nèi)產(chǎn)生的中面應(yīng)力為板在和方向單位寬度的中面應(yīng)力為和單位寬度的中面剪力為,它們分別是，及在板段面上的合力。這些中面力滿足方程事實(shí)上，的存在，對(duì)x和y軸形成了力矩，參看圖2，有對(duì)y軸形成的力矩為：

此外有對(duì)x軸形成的力矩為：的存在相當(dāng)于板上增加有附加荷重，參見圖（3）。在z方向的分力為略去高階微量后有同理可得在z方向上的分力為將以上的兩個(gè)分力相加得：現(xiàn)在將式中的力矩除以后分別加到公式中等號(hào)的左邊，考慮到各式中的力矩的方向?？傻玫剑簭亩校涸俚玫剑撼院螅詈罂傻玫剑杭纯傻玫桨宓膹?fù)雜彎曲微分方程為：

當(dāng)時(shí)，板在中面力作用下的中性平衡方程如下：2、四邊自由支持單向受壓板的解

先討論在一個(gè)方向受壓，四周自由支持在剛性周界上矩形板的解（如圖3）由于板在x=0及x=b的邊上受到均布的壓應(yīng)力，因此有此處為板厚，將代入方程得：相應(yīng)的邊界條件為

滿足邊界條件的方程式的解可以用下面的雙三角級(jí)數(shù)表示：得到：

由于在荷重作用下，上式中任一大括號(hào)內(nèi)的式子為零時(shí)，板都可能失去穩(wěn)定性，板失穩(wěn)的力可由：求到，此式給出而相應(yīng)的板的失穩(wěn)的形狀為

為求得板得臨界應(yīng)力，應(yīng)選擇m,n使得式中的括號(hào)內(nèi)的值為最小，取n=1,這表示板在失穩(wěn)時(shí)在ｙ方向形成一個(gè)半波形，這樣假定m=1,2,3….畫出的曲線，曲線的最低部分極為臨界應(yīng)力。式中從而臨界應(yīng)力為：

由圖（4）可知，當(dāng)a/b>1時(shí)，所以實(shí)用上可?。寒?dāng)如，則可略去括號(hào)里，于是3、三邊自由支持，一邊完全自由的板

接著我們研究三邊自由支持在剛性支座上，另一邊完全自由的矩形板，單向受壓的穩(wěn)定性（如圖5）對(duì)于此種板，其邊界條件變?yōu)椋涸谔帪樽杂蛇叄溥吔鐥l件為：

根據(jù)這些邊界條件，取板中性平衡時(shí)的擾曲面為單三角級(jí)數(shù)：將其代入中性平衡方程中，可得到函數(shù)應(yīng)滿足的常微分方程為：

再將式代入邊界條件中得：方程式通解可以寫成：式中并有得到同時(shí)得到

由于

不能同時(shí)為零，所以上式中

系數(shù)行列式為零?？傻眠@是一個(gè)包括的方程式，解出最小根，即為求的板的臨界應(yīng)力。計(jì)算表明，無論為多少，總是在時(shí)臨界應(yīng)力為最小。擾曲線方程為

，解出臨界應(yīng)力§10-6

板穩(wěn)定性的能量解法1.中性平衡時(shí)的應(yīng)變能與外力功

和壓桿的情形一樣，板的中性平衡狀態(tài)亦可以用虛位移原理來表達(dá)，從而導(dǎo)出板穩(wěn)定性問題的能量解法即李茲法。下面我們先來說明板在中性平衡時(shí)的應(yīng)變能及外力功。設(shè)板在中性平衡狀態(tài)由平面位置到達(dá)彎曲位置。

現(xiàn)推導(dǎo)板中面壓力與剪力在板彎曲變形所引起的位移上作的功。為此在板中面考慮一個(gè)——的微塊（參看圖10－26a）,微塊上有力與，微塊在彎曲變形后的位置見圖10－34。

先考慮，的功，由于微塊在x方向的邊長(zhǎng)dx變形后兩端相對(duì)靠近了d△，此d△的值為，因此的功為

同理有的功為

微塊上剪力的功等于乘以剪應(yīng)變。在圖10－34b中令的方向余弦為則其中的

再令的方向余弦為則其中的

A’B’和A’C’的夾角的方向余弦為

根據(jù)剪應(yīng)變的定義，因此在小角度的情況下，有

于是得剪力=所作的功為

將式子相加，即得微塊上全部中面力所作的功為

整個(gè)板內(nèi)中面力之功為

由于在板彎曲過程中外力下變化，故上式所得的外力功即是力函數(shù)U。計(jì)及彎曲應(yīng)變能V，得板的總位能為板中性平衡的虛位移原理表達(dá)式為δΠ=0，在利用李茲法計(jì)算時(shí)，只需先假定板的撓曲面方程式再由δΠ=0求解2、四周自由支持壓應(yīng)力線性分布的板

研究圖10－35中一對(duì)邊上受到線性分布應(yīng)力的四周自由支持的矩形板，外壓力一般地用下面的式子表示：

式中η為參數(shù)，表示壓應(yīng)力不均勻的程度：當(dāng)η＝0時(shí)，，板均壓受壓；當(dāng)η＝2時(shí)，,板受純彎曲應(yīng)力。由于板為四周自由支持，故可假定撓曲函數(shù)為

分別計(jì)算V與U：對(duì)于本例中的荷重，得U為

將ω代入上式，經(jīng)計(jì)算后得——

將V，U代入δ(V－U)=0中，或建立方程式：得此方程式的一般展開式為包含的無窮多個(gè)齊次方程式。例如當(dāng)m=1,n取不同值時(shí)就有….因不能同時(shí)為零，故有

解此行列式即可求出臨界應(yīng)力。用這個(gè)方法通過取足夠多的行與列的計(jì)算結(jié)果，得此種板的臨界應(yīng)力足夠精確的值?？杀硎緸槭街蠯隨板的邊長(zhǎng)比a/b及η而變化。當(dāng)η＝2即純彎曲時(shí)的值可查相應(yīng)圖中的曲線，其他情形下的結(jié)果可參考。這種情況可用來校核船體結(jié)構(gòu)中縱腹板在彎曲應(yīng)力作用下的穩(wěn)定性。3.四周自由支持剪應(yīng)力作用的板

現(xiàn)研究圖10－37中四周自由支持受剪應(yīng)力作用的矩形板，設(shè)剪應(yīng)力為τ，是均勻的，因此有=。由于板四周自由支持，有力函數(shù)為將ω代入上式，經(jīng)計(jì)算后得將V，U代入=0中，得

令可得

展開此式得一組關(guān)于的齊次方程式，當(dāng)≠0時(shí)，有系數(shù)的行列式為零，解之可得臨界應(yīng)力。鐵木辛柯取五個(gè)齊次方程式得到的行列式，展開后得由此式之λ求得之臨界應(yīng)力可表示為

式中與a（即邊長(zhǎng)比）有關(guān)，對(duì)于正方形板，K=9.4。

進(jìn)一步分析證明，此式對(duì)于a/b≤1.5是可用的，對(duì)于a/b更大的情況應(yīng)取更多的方程式求解。4、板在復(fù)合受力時(shí)的穩(wěn)定性

以上我們討論了矩形板在壓應(yīng)力與剪應(yīng)力單獨(dú)作用時(shí)的穩(wěn)定性問題。在實(shí)際結(jié)構(gòu)中往往有的板會(huì)同時(shí)受到幾種力的共同作用，例如一般桁材腹板，它既受線性分布的壓應(yīng)力又受剪應(yīng)力。

板在復(fù)合受力時(shí)的穩(wěn)定性原則上可以用能量法來解決，但計(jì)算過程比較復(fù)雜，因而不作推導(dǎo)，僅把一些結(jié)果介紹如下。

對(duì)于同時(shí)受均布?jí)簯?yīng)力與均布剪應(yīng)力作用的矩形板，計(jì)算結(jié)果表明當(dāng)壓應(yīng)力與剪應(yīng)力形成某一組合時(shí)板將喪失穩(wěn)定性。對(duì)于一定邊長(zhǎng)比的板，這種組合有許多個(gè)。

設(shè)與代表某一組合時(shí)，壓應(yīng)力與剪應(yīng)力的值，則可畫出如圖所示的曲線，在此曲線上的任意點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的與組合都將使板失穩(wěn)

圖中與分別為僅有壓應(yīng)力或僅有剪應(yīng)力時(shí)板的臨界壓力。因此，圖中的曲線代表了所論板穩(wěn)定與不穩(wěn)定的分界線。在曲線以內(nèi)的壓應(yīng)力與剪應(yīng)力不會(huì)使板失穩(wěn)，故為穩(wěn)定區(qū)；在曲線以外的壓應(yīng)力與剪應(yīng)力都將使板失穩(wěn)，故為不穩(wěn)定區(qū)。圖中的曲線可以用二次拋物線來表示：

設(shè)板所受的壓應(yīng)力與剪應(yīng)力之比為β=，在到達(dá)臨界狀態(tài)時(shí)有β=，將此關(guān)系代入，得解此方程式，得式中，

因?yàn)楫?dāng)板的邊長(zhǎng)比=a/b≥1時(shí)，有故得將代入,有

式中于是已知可求出x，根據(jù)實(shí)際板上的應(yīng)力比得β，從而可求得K，并求得，而=。

在附錄H中給出了板在剪應(yīng)力及幾種分布的壓應(yīng)力共同作用下的臨界應(yīng)力的解，都是用上述的方法解決的。

在近似的計(jì)算中，也可以將圖中的曲線用直線來代替（見圖中的虛線），這時(shí)板失穩(wěn)的條件為稱為“相關(guān)方程”?！?0-7板的后屈曲性能1、基本概念

在討論壓桿的穩(wěn)定性時(shí)，我們認(rèn)為壓桿失穩(wěn)時(shí)斷電可以自由趨近，因而桿件能自由彎曲，這樣當(dāng)壓力大于桿的臨界力時(shí)，即使壓力略為增加，桿件就將發(fā)生很大的變形而導(dǎo)致破壞。因此通常認(rèn)為壓桿的臨界力就是其最大受壓承載力，或破壞壓力。板在失穩(wěn)后的現(xiàn)象與壓桿有所不同。對(duì)于船體結(jié)構(gòu)中的板，它四周由骨架支持著，并且實(shí)際上骨架的臨界力遠(yuǎn)大于板的臨界力。

因此當(dāng)板失穩(wěn)時(shí)，骨架尚未失穩(wěn)，它對(duì)板還起著支持作用，使板的周界不能自由彎曲和趨近。另一方面，船體板是連續(xù)的板，每一板格都受到相鄰板格的牽制作用，因此它和孤立的板不同，板邊不能自由趨近。因此，使得板在所受的壓力大于臨界壓力之后，即板在失穩(wěn)后，如果繼續(xù)增加壓力，板的撓度不會(huì)迅速增大，甚至在一定范圍內(nèi)撓度的增加率反而會(huì)減少，這說明板失穩(wěn)后還能繼續(xù)承載。

板失穩(wěn)后能夠繼續(xù)承載的原因在于板的中面力起了很大的作用。板由于支持骨架的作用以及相鄰板格的作用使板邊不能自由彎曲和趨近，因此當(dāng)失穩(wěn)彎曲后，板的中面就被拉長(zhǎng)，這樣就發(fā)生了中面拉應(yīng)力。這個(gè)中面力隨著板撓度的增加而加大，從而使得板的變形不能迅速變大。這種板的中面力通常叫做板的“薄膜應(yīng)力”。

總之，板在失穩(wěn)后不是立即破壞，還能繼續(xù)承受一定程度的壓縮荷重，這一現(xiàn)象稱為板具有“后屈曲強(qiáng)度”（post-bucklingstrength）,研究板后屈曲強(qiáng)度的問題又叫做研究板的后屈曲性能。2、板后屈曲的應(yīng)力分布板后屈曲性能的研究一般來說是比較復(fù)雜的，它不僅要考慮板的中面力，還要考慮板的大撓度問題，因?yàn)榍蟀宓膿隙纫严喈?dāng)大，屬大撓度的范疇；同時(shí)為了了解板在屈曲后到底在怎樣的載荷下才破壞（即板的極限壓縮載荷問題）還要考慮材料在超過比例極限之后的非線性問題。

在本節(jié)中我們僅對(duì)板后屈曲后的應(yīng)力現(xiàn)象，破壞載荷的大小以及與后屈曲性能有關(guān)的“折減系數(shù)”概念作一簡(jiǎn)要的說明。先分析板后屈曲時(shí)應(yīng)力分布情況。如果一塊受壓板的板邊能夠自由趨近的話，則板在失穩(wěn)后的板邊將達(dá)到圖中的虛線位置，但實(shí)際上板邊不能自由趨近，因此板中部的纖維將被拉長(zhǎng)，即產(chǎn)生有中間拉應(yīng)力。受壓板邊的壓應(yīng)力不再為均布，板邊的壓應(yīng)力大于板中部的壓應(yīng)力；在非受壓的板邊原來無應(yīng)力，而現(xiàn)在出現(xiàn)了自身平衡的拉應(yīng)力和壓應(yīng)力。

右圖中進(jìn)一步畫出了板在受壓方向截面中應(yīng)力隨外載荷變化的情形：圖中1表示板尚未失穩(wěn)，即外壓力小于板的臨界應(yīng)力，此時(shí)板中的壓應(yīng)力為均布；2表示外壓力已大于板的臨界應(yīng)力，板已經(jīng)彎曲，此時(shí)板的壓應(yīng)力不再為均布，在板邊的壓應(yīng)力大于板中的壓應(yīng)力；3表示外壓力繼續(xù)增加，此時(shí)板中壓應(yīng)力的不均勻程度更為明顯，即板邊壓應(yīng)力與板中壓應(yīng)力之間的差額更為擴(kuò)大。

板失穩(wěn)后，在支持邊的壓應(yīng)力大于板中部壓應(yīng)力的現(xiàn)象叫做板后屈曲中應(yīng)力重新分布。這個(gè)現(xiàn)象說明與板邊骨架相連的那部分材料起著更大的作用，承擔(dān)了外載荷的絕大部分，而離骨架較遠(yuǎn)的板相對(duì)來說承擔(dān)的載荷就小得多。3、板的極限荷重

板在屈曲后能夠繼續(xù)承載的現(xiàn)象已經(jīng)說明，現(xiàn)在來研究板在屈曲后最大能承受多大的荷重才破壞，即板的破壞荷重或“極限荷重”（ultimateload）的問題。在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，只有了解了板的極限荷重才能充分利用板的后屈曲強(qiáng)度，因此是有實(shí)際意義的。

理論上確定板極限荷重的方法需研究板失穩(wěn)后的應(yīng)力狀態(tài)，求出板中最大應(yīng)力達(dá)到屈服極限時(shí)的外荷重。此外荷重就是極限荷重，極限荷重除以板的截面積叫做板的“極限應(yīng)力”或“極限強(qiáng)度”（ultimatestrength）。

實(shí)用上，最早由卡門（V.Karman）提出了矩形板的極限強(qiáng)度公式?？ㄩT認(rèn)為，既然板屈曲后板邊的應(yīng)力大于板中部的應(yīng)力，并且板越接近于極限狀態(tài)，這種差別亦越大；那么在極限狀態(tài)時(shí)，可假設(shè)板的載荷完全由臨近板邊的一定寬度的板來承受。設(shè)該部分板每邊的寬度為c,總共寬度為2c(圖10－44)，則此部分板的臨界應(yīng)力可用前面導(dǎo)得的公式計(jì)算如下