河北省衡水中學2025屆高三數(shù)學下學期第二次聯(lián)合考試試題理II卷

PAGEPAGE15河北省衡水中學2025屆高三數(shù)學下學期其次次聯(lián)合考試試題理（II卷）本試卷4頁．總分150分．考試時間120分鐘．留意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，則（）A．B．C．D．2．已知，則（）A．B．C．D．3．已知復(fù)數(shù)，則的最小值為（）A．B．C．D．14．直線被過點和，且半徑為的圓截得的弦長為（）A．B．C．D．或5，已知一四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的較長側(cè)棱與底面所成角的正切值為（）A．B．C．D．6．已知雙曲線的焦點到漸近線的距離為，且點在雙曲線上，則雙曲線的方程為（）A．B．C．D．7．異或運算是一種邏輯運算，異或用符號“∧”表示，在二進制下，當輸入的兩個量的同一數(shù)位的兩個數(shù)字不同時，輸出1，反之輸出0．如十進制下的數(shù)10與9表示成二進制分別是1010，1001（即），那么，現(xiàn)有運算，則m的值為（）A．7B．9C．11D．138．已知奇函數(shù)的定義域為R，且滿意，以下關(guān)于函數(shù)的說法：①滿意②8為的一個周期③是滿意條件的一個函數(shù)④有多數(shù)個零點其中正確說法的個數(shù)為（）A．1B．2C．3D．49．已知三棱錐的高為1，底面為等邊三角形，，且P，A，B，C都在體積為的球O的表面上，則該三棱錐的底面的邊長為（）A．B．C．3D．10．甲、乙兩人拿兩顆如圖所示的正四面體骰子做拋擲嬉戲，規(guī)則如下：由一人同時擲兩個骰子，視察底面點數(shù)，若兩個點數(shù)之和為5，則由原擲骰子的人接著擲；若擲出的點數(shù)之和不是5，就由對方接著擲．第一次由甲起先擲，設(shè)第n次由甲擲的概率為，則的值為（）A．B．C．D．11．若表示正整數(shù)n的個位數(shù)字，，數(shù)列的前n項和為，則（）A．B．0C．1009D．101112．已知函數(shù)，則a，b，c，d的大小依次為（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若向量，滿意，則的取值范圍為_________．14．在一次去敬老院獻愛心活動中，甲、乙、丙、丁、戊5名同學比帶隊老師先到，老師想知道他們到的先后依次，甲說乙不是最早的，乙說甲不是最晚的，丙說他比乙先到．若他們說的都為真話，從上述回答分析，5人可能到的先后依次的不同狀況種數(shù)為___________．15．已知等差數(shù)列滿意是與的等比中項，則的值為_________．16．在長方體中，，E為棱上隨意一點，給出下列四個結(jié)論：①與不垂直；②長方體外接球的表面積最小為；③E到平面的距離的最大值為；④長方體的表面積的最大值為6．其中全部正確結(jié)論的序號為__________．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分)在四邊形中，對角線與相交于點E，為等邊三角形，．（1）求的大??；（2）求的面積．18．（12分）為貫徹“不忘立德樹人初心，牢記為黨育人、為國育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“”模式，“3”是語文、外語、數(shù)學三科必考，“1”是在物理與歷史兩科中選擇一科，“2”是在化學，生物，政治，地理四科中選擇兩科作為高考科目．某學校為做好選課走班教學，給出三種可供選擇的組合進行模擬選課，其中A組合：物理、化學、生物，B組合：歷史、政治、地理，C組合：物理、化學、地理依據(jù)選課數(shù)據(jù)得到，選擇A組合的概率為，選擇B組合的概率為，選擇C組合的概率為，甲、乙、丙三位同學每人選課是相互獨立的．（1）求這三位同學恰好選擇互不相同組合的概率；（2）記表示這三人中選擇含地理的組合的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望．19．（12分）如圖，兩個全等的梯形與所在的平面相互垂直，，P為的中點．（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．20．（12分）已知曲線C的方程為．（1）求曲線C的離心率；（2）設(shè)曲線C的右焦點為F，斜率為k的動直線l過點F與曲線C交于A，B兩點，線段的垂直平分線交x軸于點P，證明：為定值．21．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，方程有兩個實根，求實數(shù)m的取值范圍．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．假如多做，則按所做的第一題計分．22．【選修4—4：坐標系與參數(shù)方程】（10分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）求曲線的一般方程及曲線的直角坐標方程；（2）若曲線上存在點P到曲線的距離為1，求b的取值范圍．23．【選修4-5：不等式選講】（10分）已知函數(shù)．（1）當時，求不等式的解集；（2）當時，的最小值為1，證明：．河北衡水中學2025屆全國高三其次次聯(lián)合考試·理科數(shù)學一、選擇題1．A【解析】由題意得，所以．2．C【解析】由知，為其次象限角，所以為第一或第三象限角，所以．3．B【解析】因為，所以，所以的最小值為．4．B【解析】過點且半徑為的圓的方程為或，則圓心到直線的距離為或，則弦長．5．C【解析】設(shè)該四棱錐為，則由題意可知四棱錐滿意底面為矩形，平面平面，且．如圖，過點P作，則平面，連接，可知為直線與平面所成的角，則，，所以．6．D【解析】雙曲線的焦點到漸近線的距離為，解得，所以．又，所以．因為點在雙曲線上，所以，所以，所以雙曲線的方程為．7．D【解析】由，可得，表示成十進制為13，所以．8．D【解析】因為，所以．因為是奇函數(shù)，所以，所以，所以，所以8為的一個周期，故②正確；由可得，所以，故①正確；為奇函數(shù)滿意，且一條對稱軸為直線，故③正確；由為奇函數(shù)且定義域為R知，，又為周期函數(shù)，所以有多數(shù)個零點，故④正確．9．C【解析】設(shè)球O的半徑為R，由球的體積為可得，，解得．因為三棱錐的高h為1，所以球心O在三棱錐外．如圖，設(shè)點為的外心，則平面．在中，由，且，得．因為為等邊三角形，所以，所以．10．A【解析】拋擲兩顆正四面體骰子視察底面上的數(shù)字之和為5有4種狀況，得點數(shù)之和為5的概率為，第n次由甲擲有兩種狀況：一是第由甲擲，第n次由甲擲，概率為；二是第次由乙擲，第n次由甲擲，概率為．這兩種狀況是互斥的，所以，即，所以，即數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以．11．C【解析】由題意得，，，，，，，，，，，……所以數(shù)列為周期數(shù)列，且周期為10．因為，所以．12．B【解析】因為，所以．因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以b，c，d中b最?。畼?gòu)造函數(shù)，則，當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以．所以，所以，所以．二填空題13．【解析】設(shè)與的夾角為，則．因為，所以，所以．14．48【解析】按乙到達的名次依次進行分類：乙其次個到達有種，乙第三個到達有種，乙第四個到達有種，乙最終到達有種，所以不同的狀況種數(shù)為．5．或【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為是與的等比中項，所以，解得或．當時，；當時，，．16．②③④【解析】對于①，當長方體為正方體時，，故①錯誤；對于②，如圖，設(shè)，則，所以，當時，的最小值為，即長方體外接球的直徑為，所以外接球表面積的最小值為，故②正確；對于③，設(shè)點E到平面的距離為h，如圖，由可得，所以由②可知，，其中，當且僅當，即時等號成立，，當且僅當，即時等號成立，所以，當且僅當，即時，等號成立，故③正確；對于④，該長方體的表面積為，當時，S的最大值為6，故④正確．三、解答題17．解：（1）在中，，由余弦定理得．（3分）因為，所以，所以．（5分）（2）由知，，所以，（7分）所以，所以．因為，所以．（9分）所以．（12分）18．解：用表示第i位同學選擇A組合，用表示第i位同學選擇B組合，用表示第i位同學選擇C組合，．由題意可知，相互獨立，且．（1）三位同學恰好選擇不同組合共有種狀況，每種狀況的概率相同，故三位同學恰好選擇不同組合的概率．（4分）（2）由題意知的全部可能取值為0，1，2，3，且，（6分）所以，，，，（10分）所以的分布列為0123P（11分）所以．（12分）19．（1）證明：如圖，取的中點Q，連接．因為P，Q為的中點，所以，且．又因為，所以，且，（2分）所以四邊形為平行四邊形，所以．又平面，平面，所以平面．（5分）（2）解：因為平面平面，平面平面平面，所以平面．又平面，所以．又，所以以B為坐標原點，分別以所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．設(shè)，則．（8分）設(shè)平面的一個法向量為，則即令，得．（9分）易知平面的一個法向量為，（10分）所以．所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．（12分）20．（1）解：由可知，點到點的距離之和為4，且，依據(jù)橢圓的定義可知，曲線C為焦點在x軸上的橢圓．設(shè)橢圓的長軸長為，焦距為，則，所以曲線C的離心率為．（4分）（2）證明：設(shè)橢圓的短軸長為，由（1）可得，所以曲線C的方程為，則．由題意可知，動直線l的方程為，設(shè)，由得，所以．（6分）設(shè)的中點為，則，．當時，線段的垂直平分線的方程為，令，得，所以，，所以．（9分）當時，l的方程為，此時，．綜上，為定值．（12分）21．解：（1）由題意知函數(shù)的定義域為，因為，所以．（1分）①當時，在區(qū)間上恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間．（3分）②當時，令，得，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（5分）（2）方程有兩個實根，即關(guān)于x的方程有兩個實根，即函數(shù)有兩個零點．又，（7分）令，由（1）得t是關(guān)于x的單調(diào)遞增函數(shù)，且，所以只需函數(shù)有兩個零點．（8分）令，得，令，則，（9分）易知當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值．（10分）又因為當時，，當時，，，則函數(shù)的圖象如圖所示，所以當，即時，函數(shù)有兩個零點．所以實數(shù)m的取值范圍為．（12分）22．解：（1）由（為參數(shù)），消去參數(shù)，得曲線的一般方程為．（2分）由，得，（4分）令，得，所以曲線的直角坐標方程為．（5分）（2）設(shè)，因為點P到直線的距離為1，所以，化簡得①．（7分）若關(guān)于的方程①有解，則曲線上存在點P到曲線的距離為1，所以