江西省上饒市某中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)（理）考前模擬考試試題（含解析）

江西省上饒市橫峰中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)考前模擬考試試題理(含解

析)

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.每小題只有一項(xiàng)是符合題目要求的。)

1.已知集合A={x|y=lg(x—1)},6={-1,0,1,2,3},則8=()

A.{-1,0}B.{-1,0,1}C.{1,2,3}D.{2,3}

【答案】B

【解析】

【分析】

先化簡(jiǎn)集合A，求出4的補(bǔ)集，再和集合3求交集，即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)锳={x|y=lg(x—1)}={川%>1},所以。尺4={%卜<1},

又8={—1,0,1,2,3},所以(CM)IB={-1,0,1).

故選B

【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的混合運(yùn)算，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.

|z|

2.已知復(fù)數(shù)z=3—4乙則□=()

z

34.34.

A.—I—iB.------iC.1+zD.1—i

5555

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出|司，再由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閦=3—47,所以N=3+4i,因此同=5,

由…同55(3+旬3+413,4.

z-3-4z-(3-4z)(3+4z)-5一二M，

故選A

【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，與復(fù)數(shù)的模，熟記復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)模的

計(jì)算公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.

sinx+xcosx

3.設(shè)函數(shù)/(x)=(aeK,awO),若/(—2019)=2,/(2019)=()

ax2

A.2B.-2C.2024D.-2025

【答案】B

【解析】

【分析】

先推斷函數(shù)奇偶性,進(jìn)而可求出函數(shù)值,

sinx+xcosx

【詳解】因?yàn)?(x)

ax1

sin(-x)-xcos(-x)sinx+xcosx

所以/(—x)=一/(x)，

ax2ax2

因此函數(shù)/(X)為奇函數(shù),

又/(-2019)=2,所以/(2019)=-/(-2019)=-2.

故選B

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，熟記函數(shù)奇偶性的定義即可，屬于基礎(chǔ)題型.

4.等差數(shù)列｛4,｝前〃項(xiàng)和為S",若。8=2,邑=98，則%+佝=()

A.16B.14C.12D.10

【答案】A

【解析】

【分析】

先由邑=7%=98,求出為，再由。3+。9=4+。8，即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S",且邑=98,

所以S7=項(xiàng)產(chǎn)2=7%=98,解得久=14；

又。8=2,所以〃3+。9=。4+。8=14+2=16.

故選A

【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本量的計(jì)算，熟記等差數(shù)列的求和公式與通項(xiàng)公式，以

及等差數(shù)列的性質(zhì)即可，屬于基礎(chǔ)題型.

5.已知向量a=（—1,2）,,則＜g”是,，力為鈍角的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】

由充分條件與必要條件的概念，以及向量的夾角公式，即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閍=(-1,2),b=(1,m),所以a-b=~l+2m，則

2m-1

M3前-不游+1

2m-1

=<0

若嚕L則3伍司二箭一7萬(wàn)9

2r+1

但當(dāng)機(jī)=一2時(shí)，。力反向，夾角為180;所以由m■不能推出卜力）為鈍角；

反之，若（。力）為鈍角，則cos（a,”＜0且加工―2,即機(jī)＜|■且加工―2,能推出機(jī)＜g；

因此，“機(jī)＜;”是,涉）為鈍角的必要不充分條件.

【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件與必要條件的判定，熟記概念即可，屬于常考題型.

6.如圖所示的程序框圖，若尸5,則運(yùn)算多少次停止（

開(kāi)購(gòu)TWA,二

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】

依據(jù)程序框圖，逐步執(zhí)行，即可得出結(jié)果.

【詳解】輸入九=5,

第一步：x=3x5-2=13＜200,進(jìn)入循環(huán);

其次步：x=3xl3-2=37<200,進(jìn)入循環(huán)；

第三步：x=3x37-2=109<200,進(jìn)入循環(huán)；

第四步：x=3xl09-2=325>200,結(jié)束循環(huán)，輸出結(jié)果；

共運(yùn)行4次.

故選C

【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖，分析框圖的作用，逐步執(zhí)行即可，屬于基礎(chǔ)題型.

7.已知(l+/lx)"綻開(kāi)式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同，且

2n

(1+2%)"=%+qx+a2x+...+anx,若%+出=242,則(x+—)“綻開(kāi)式中常數(shù)

x

項(xiàng)()

A.32B.24C.4D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

先由二項(xiàng)綻開(kāi)式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同，求出〃；再由

(1+幾%)"+…+4/”求出彳，由二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?l+/lx)”綻開(kāi)式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同，

所以C；=C；,因此〃=5,

：L5

又(1+/Lx)，=aQ+alx+a2x+...+a5x,所以旬=1,

令X=1,則(1+4)5=%+%+/+…+。5，

又見(jiàn)+%+…+%=242,所以(1+2)5=243=35,因此4=2,

2

所以(x+—)4綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式為加1=0x42晨=以2晨"23

X

由4—2左=0得左=2,

?

因此(x+—)4綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為4=盤(pán)22=24.

X

故選B

【點(diǎn)睛】本題主要考查求指定項(xiàng)的系數(shù)，熟記二項(xiàng)式定理即可，屬于?？碱}型.

8.如圖所示的網(wǎng)格是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾

何體的體積為（）

101680

A.40B.—C.—D.—

333

【答案】D

【解析】

【分析】

依據(jù)三視圖先還原該幾何體，為一個(gè)三棱柱截去了一個(gè)三棱錐，結(jié)合棱柱與棱錐的體積公式,

即可求出結(jié)果.

【詳解】依據(jù)幾何體三視圖可得，該幾何體是三棱柱BCE-AGF'割去一個(gè)三棱錐A-BCD

所得的幾何體；如圖所示:

所以其體積為V=gx4x4x4—gxgx

—x4x4x4=——

2)3

故選D

【點(diǎn)睛】本題主要考查由幾何體三視圖求幾何體的體積，熟記幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以及體積

公式即可，屬于?？碱}型.

9.將函數(shù)"X)=2C°S21的圖像向右平移《個(gè)單位長(zhǎng)度'得到函數(shù)g(x)

的圖像，若g(x)=g(4萬(wàn)一幻則9的值為()

27171

A.——71Bc.D.

3--f~~6一5

【答案】A

【解析】

【分析】

先化簡(jiǎn)/(x)=cos(x+0)+l,再得到g(無(wú))，依據(jù)g(x)=g(4萬(wàn)一x)得至(龍)關(guān)于尤=2?對(duì)

稱，進(jìn)而可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?(x)=2cos2=cos(x+o)+l,

將其圖像向右平移W個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(E)的圖像,

71

所以g(x)=cos(x—§+0)+1,

又g(x)=g(4萬(wàn)一%),所以g(x)關(guān)于x=2乃對(duì)稱,

7T7T

所以2?—彳+夕=ki(kGZ),即o=§+(左一2)?(左GZ),

9yr

因?yàn)橐蝗f(wàn)＜。＜0,所以易得0=—--.

故選A

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換與三角函數(shù)的性質(zhì)，熟記三角函數(shù)的性質(zhì)與平移

原則，即可求解，屬于?？碱}型.

10.《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬；將四個(gè)

面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉膈。若三棱錐R/6c為鱉腌，序，面A園用當(dāng)廬2,A俏4,

三棱錐反:的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球0的表面積為()

A.8"B.12"C.20nD.24"

【答案】C

【解析】

【分析】

將三棱錐產(chǎn)一/8C放在長(zhǎng)方體中，三棱錐產(chǎn)一板的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球.

將三棱錐p-z6c放在長(zhǎng)方體中，如圖，三棱錐戶一/回的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球.因?yàn)?/p>

PA=AB=2,/C=4,△/比?為直角三角形，所以BC=收一手=26設(shè)外接球的半徑為R,依

題意可得（2而2=22+2?+（2有）2=20,故7？=5,則球。的表面積為4m下=20n,故答案選

C.

【點(diǎn)睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體中的特別點(diǎn)（一般為接、

切點(diǎn)）或線作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，再利用平面幾何學(xué)問(wèn)找尋幾何體中元素間的

關(guān)系，或只畫(huà)內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾

何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解.

11.設(shè)雙曲線的方程為二—4=l（a>0,b>0）,若雙曲線的漸近線被圓M-.x2+y2-10x=0

ab

所截得的兩條弦長(zhǎng)之和為12,已知ABP的頂點(diǎn)48分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)尸

IsinPl

在雙曲線上，則一一匕的值等于（）

|sinA-siim|

A.-B.五C.-D.Jl

533

【答案】C

【解析】

【分析】

依據(jù)垂徑定理求出圓心到直線距離為d=4,再依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得

5b3

j、2=4,得到5b=4c,即可求出a=-c,依據(jù)正弦定理可得

2C

卜詁尸|==2c=5

卜inA-sin@BPAP2a3

2R2R

a

■雙曲線的漸近線被圓M-.x2+y2-10x=0BP(x—5『+y225所截得的兩條弦長(zhǎng)之和為

12,

設(shè)圓心到直線的距離為d,則d=J^=？=4

5b=4,即%:公，b=^c

y/a2+b2

a2=c2-b2=—c2

25

:.\AP-BP\^2a

ApPRAH

依據(jù)正弦定理可得--=——=--=2R

sinBsinAsinP

sinA^

:.sinB=—,=sinP=—

2R2R2R

2C

|sinP\2R_2c__5

|sinA-sinB|BPAP2a一3

2R—2R

故選。

【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的簡(jiǎn)潔性質(zhì)以及圓的有關(guān)性質(zhì)和正弦定理，考查了直線與圓的位

置關(guān)系和點(diǎn)到直線的距離公式，考查了學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題。

12.已知定義在R內(nèi)的函數(shù)/(尤)滿意/(x+4)=/(x),當(dāng)1,3]時(shí)，

/(x)={,----------則當(dāng)2]時(shí)，方程7/(幻—2尤=0的不等實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)

Jl-(x-2)2”(1,3],7

是()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】

9

試題分析：7于(x)-2x=0根的個(gè)數(shù)等價(jià)于y=/(x)與y=-x的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

oAon

/e(一,2],,xe[—1,1]時(shí)，/(x)ely,2,畫(huà)出y=/(X)與y=—x的圖象，如圖，由圖

2

知y=/(X)與y=的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，即實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為5,故選c.

考點(diǎn)：1、分段函數(shù)的解析式與圖象；2、方程根與函數(shù)圖象交點(diǎn)之間的關(guān)系.

【方法點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式與圖象、方程根與函數(shù)圖象交點(diǎn)之間的關(guān)系，

屬于難題.推斷方程/(力=0實(shí)根的個(gè)數(shù)的常用方法：(1)轉(zhuǎn)化法：函數(shù)y=/(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)

就是〃力=0則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)；⑵零點(diǎn)存在性定理法：推斷函數(shù)在區(qū)間可上是連綿

不斷的曲線，且/(。}/0)<0,再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)

稱性)可確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，

畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，本題的解答就利用了方(3).

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)

13.已知某中學(xué)高三理科班學(xué)生共有800人參與了數(shù)學(xué)與物理的水平測(cè)試，現(xiàn)學(xué)校確定利用隨

機(jī)數(shù)表法從中抽取100人進(jìn)行成果抽樣統(tǒng)計(jì)，先將800人按001,002,003,…,800進(jìn)行編號(hào)。

假如從第8行第7列的數(shù)起先向右讀，請(qǐng)問(wèn)檢測(cè)的第5個(gè)人的編號(hào)是:（如圖摘

取了第7行至第9行）。

U4217533197245906BK77（M7447672176335025R3921206M

6301637859169）S667J99*（10S07175128673M07443952共79

33211234297S64S607S2S24207443S1551U013429966027954

【答案】175

【解析】

【分析】

依據(jù)題意，結(jié)合隨機(jī)數(shù)表，干脆讀取，即可得出結(jié)果.

【詳解】由隨機(jī)數(shù)表，從第8行第7列的數(shù)起先向右讀，所取數(shù)據(jù)依次是：785,

667,199,507,175,…，

所以檢測(cè)的第5個(gè)人的編號(hào)是175.

故答案為175

【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)數(shù)表，會(huì)讀隨機(jī)數(shù)表即可，屬于基礎(chǔ)題型.

x+3y<3

14.設(shè)滿意約束條件1x-y>1，則2=生4的取值范圍是______________o

x-2

y>0

【答案】z"或zKT

【解析】

【分析】

先由約束條件作出可行域，再由目標(biāo)函數(shù)z=2匕&可化為2=生吧=2?比工，而江2

x—2x-2x—2X-2

表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)（2,-2）連線的斜率，結(jié)合圖像，即可得出結(jié)果.

x+3y<3

【詳解】由約束條件作出可行域如下：

y>0

五2表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)P（2,-2）連線的斜率,

x-2

由題意易得：3（3,0）,A（l,0）,

22

所以kBP=§7^=2，左"=匚1=-2，

所以，由圖像可得上至22,匕』<一2,

故z24或z〈T.

故答案為z24或z<T

【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)潔線性規(guī)劃問(wèn)題，只需由約束條件作出可行域，依據(jù)目標(biāo)函數(shù)的

幾何意義，結(jié)合圖像求解，屬于?？碱}型.

15.已知直線上尸"（『2）與拋物線C:7=8x交于A,8兩點(diǎn)，尸為拋物線C的焦點(diǎn)，若|AF\=3\BF\,

則直線1的傾斜角為—

【答案】g或與

33

【解析】

設(shè)交點(diǎn)4（西,％）,3（々,％），由于直線/：y=依無(wú)一2）過(guò)焦點(diǎn)E（2,0）,所以將y=k（x—2）代入

Q

9=8x并整理可得上2J—（4公+8）x+4左2=0,則%+%=4+記=4,又由拋物線

的定義可得|AF|=%+2,忸同=9+2,故由題設(shè)可得玉=3々+4代入石馬=4可得

29

3%；+4X2—4=0,解之得％=§或％2=—2（舍去），故時(shí)，%=6,代入

%+%2=4+yj可得k1=3=＞左=tana=±A/3，所以直線的傾斜角是a='或。=—■,

應(yīng)填答案g或多。

33

點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是求出直線的斜率，再借助斜率與傾斜角之間的關(guān)系求出傾斜角。求

解時(shí)先將直線與拋物線聯(lián)立，借助題設(shè)條件探求交點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，通過(guò)建立方程求出交

點(diǎn)坐標(biāo)及直線的斜率，從而使得問(wèn)題獲解。

16.如圖都是由邊長(zhǎng)為1的正方體疊成的幾何體,例如第(1)個(gè)幾何體的表面積為6個(gè)平方單

位，第(2)個(gè)幾何體的表面積為18個(gè)平方單位，第(3)個(gè)幾何體的表面積是36個(gè)平方單位.依

此規(guī)律,則第月個(gè)幾何體的表面積是個(gè)平方單

Z&矗*

(1)(2)(3)(4)

【答案】3〃(〃+[

【解析】

試題分析：L從上向下看，每層頂面的面?zhèn)€數(shù)為：第一層是1,其次層是2,第三層是3.....

第五層是5,共5個(gè)面；

2.左邊和右邊還有底面的面積相等，5層時(shí)為，1+2+3+4+5=15個(gè)面

3.剩下最終2個(gè)面了，這2個(gè)面的特征就是都有一個(gè)角，一個(gè)角有3個(gè)面，一共有第一層1

個(gè)角，其次層2角，第三層3個(gè)角……第五層5個(gè)角，共有1+2+3+4+5=15個(gè)角，45個(gè)面；

4.計(jì)算：1層時(shí)=6

2層時(shí)=(1+2)X3+(1+2)X3=9+9=18

3層時(shí)=(1+2+3)X3+(1+2+3)X3=18+18=36

第n層時(shí)為(1+2+3+...+n)X3+(1+2+3+....+n)X3

也就6X(1+2+3+...+n)

所以當(dāng)n=5是，表面積為6X15=90

故第八個(gè)幾何體的表面積是3n(n+1)個(gè)平方單位

考點(diǎn)：本題主要考查歸納推理，等差數(shù)列的求和。

點(diǎn)評(píng)：常見(jiàn)題，逐個(gè)考查，發(fā)覺(jué)規(guī)律，大膽做出猜想。

三、解答題:本大題共6個(gè)大題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.在，ABC中，角/,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且J3acosC=（2Z?—J§c）cosA

（I）求角力的大小；

（II）若a=2,求二ABC面積的最大值.

【答案】（I）J；（H）2+6.

6

【解析】

分析：（1）由正弦定理進(jìn)行邊角互化得JGsinB=2sinBcosA。

（2）由余弦定理片=b?+°2—2）ccosA結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解。

詳解：（I）由正弦定理可得：A/3sinAcosC=2sinBcosA-V3sinCcosA

從而可得：A^sin（A+C）=2sinBcosA,即忌inB=2siaBcosA

又3為三角形內(nèi)角，所以sinfiwO,于是COSA=，3

2

TT

又A為三角形內(nèi)角，所以A=：.

6

22

（II）由余弦定理：a?=/J?+/—2/JCCOSA得：4=Z?+c-2bc>2bc-y/3bc>

2

所以bc<4（2+6）,所以S=g/?csinA=2+6

點(diǎn)睛：本題主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積公式和基本不等式的應(yīng)用，屬于中

檔題。

x—2>0

18.如圖，在三棱錐尸—ABC中，｛,AB=2BC,。為線段43上一點(diǎn)，且

x-2>8

AD=3DB,P￡>_L平面ABC,與平面ABC所成的角為45.

p

(1)求證:平面平面PCD；

(2)求二面角P—AC—￡>的平面角的余弦值。

【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)昱

5

【解析】

【分析】

(1)先由線面垂直的判定定理，證明平面進(jìn)而可得平面RLB，平面PCD；

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為羽軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求

出平面AC。與平面PAC的一個(gè)法向量，依據(jù)向量夾角公式，求出兩向量夾角的余弦值，進(jìn)

而可得出結(jié)果.

x—2>0

【詳解】⑴因?yàn)椋?，AB=2BC,

x-2>8

所以人產(chǎn)=(6BC)2+BC2=4BC2

所以AA5C是直角三角形，AC±BC；

x—2>0

在處A4CD中，由｛c、。，NCAB=30，

x-2>8

不妨設(shè)3D=1,由AD=35。得，AD=3,BC=2,AC=26，

在HAACD中，由余弦定理得

CD2=AD2+AC2-2AD-ACcos30=32+(2A/3)2=2x3x2^xcos30=3,

故CD=6

所以CZ52+AD2=AC2,所以GD，A￡)；

因?yàn)槠矫鍭BC,COu平面ABC,

所以PDLCD,又尸。AD=D,

所以平面又CDu平面PCD,

所以平面平面PCD；

⑵因?yàn)槠矫鍭BC,所以K4與平面ABC所成的角為NR4D，即/口4。=45，

可得△7%￡＞為等腰直角三角形，PD=AD，

由(1)得9=4。=3,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DCD5DP所在直線為羽％z軸，建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則。(0,0,0),C(A0,0),A(0,-3,0),P(0,0,3),

則DP=(0,0,3)為平面ACD的一個(gè)法向量。

設(shè)”=(x,y,z)為平面PAC的一個(gè)法向量,

因?yàn)镻A=(0,-3,-3),PC=(^,0,-3),

PCn=0］氐-3z=0

則由《得z《

PA-n=0-3y-3z=0

令z=1,則x=百，y=-1,

則n=(1,百1)為平面PAC的一個(gè)法向量,

故cos(n,DP\=—=

'/75x35

故二面角P—AC—O的平面角的余弦值為亞

5

【點(diǎn)睛】本題主要考查面面垂直的證明以及求二面角的余弦值，熟記面面垂直的判定定理,

敏捷運(yùn)用空間向量的方法求二面角即可，屬于?？碱}型.

22

Vy=l（a〉6〉0）的離心率為:，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為長(zhǎng)為

19.已知橢圓C:=+

a

半徑的圓與直線x-y+#=0相切，過(guò)點(diǎn)P（4,o）的直線/與橢圓。相交于A,3兩點(diǎn).

（1）求橢圓。的方程；

（2）若原點(diǎn)。在以線段為直徑的圓內(nèi)，求直線/的斜率上的取值范圍.

【答案】（1）—+^=1（2）左

【解析】

【分析】

（1）由離心率公式和直線與圓相切的條件，列出方程組求出a、b的值，代入橢圓方程即可;

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積，即可直線斜率

的取值范圍.

【詳解】解（1）由e=E=!可得片=±",又〃=^^=6...力=4,/=3.

a23V1+1

故橢圓的方程為三+匕=1.

43

（2）由題意知直線/方程為丁=左（％-4）.

y=^（x-4）

聯(lián)立《%2y2得（4左2+3）x2-32k2*+64k2—12=0.

---二1

[43

4?①

由△=（―32左2）2—4（4左2+3）（64左2一12）＞0,得K

32k26442—12

設(shè)，則西+々=4/+3，卒2―442+3

；?X%=氏（%一4）?%（X2—）+左2%蒼_%2（S]+x,）+左2.

Q原點(diǎn)。在以線段AB為直徑的圓外,

OA*OB=%尤2+%%=（1+K）無(wú)科2—4左2（玉+無(wú)2）+16左2

由①②，解得一旦入叵

55

二當(dāng)原點(diǎn)。在以線段A3為直徑的圓外時(shí)，直線/的斜率左e--

I55J

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程，考查向量的運(yùn)算，解題時(shí)要仔細(xì)審題，留意根的判別式、韋達(dá)

定理、數(shù)量積的合理運(yùn)用，屬于中檔題.

20.某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，一條流水線年產(chǎn)量為1OOOO件，該生產(chǎn)線分為兩段，流水線第一段

生產(chǎn)的半成品的質(zhì)量指標(biāo)會(huì)影響其次段生產(chǎn)成品的等級(jí)，詳細(xì)見(jiàn)下表:

第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量指標(biāo)x<74或74Vx<78或

78<x<82

X%>8682<x<86

其次段生產(chǎn)的成品為一等品概

0.20.40.6

率

其次段生產(chǎn)的成品為二等品概

0.30.30.3

率

其次段生產(chǎn)的成品為三等品概

0.50.30.1

率

(I)以各組的中間值估計(jì)為該組半成品的質(zhì)量指標(biāo)，估算流水線第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量

指標(biāo)的平均值；

(II)將頻率估計(jì)為概率，試估算一條流水線一年能為該公司創(chuàng)建的利潤(rùn)；

(Ill)現(xiàn)在市面上有一種設(shè)備可以安裝到流水線第一段，價(jià)格是20萬(wàn)元，運(yùn)用壽命是1年,

安裝這種設(shè)備后，流水線第一段半成品的質(zhì)量指標(biāo)聽(tīng)從正態(tài)分布N(80,2?),且不影響產(chǎn)量.

請(qǐng)你幫該公司作出決策，是否要購(gòu)買(mǎi)該設(shè)備？說(shuō)明理由.

(參考數(shù)據(jù)：P(/z-a<X<jU+a)—0.6826,P(〃-2cr<X<〃+2cr)=0.9548,

—3。<XW〃+3cr)=0.9974)

【答案】(I)80.2；(II)30萬(wàn)元；(III)見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

(I)首先依據(jù)頻率分布直方圖確定各組的頻率及中間值，再依據(jù)樣本平均數(shù)的計(jì)算公式計(jì)

算得到平均數(shù)；(II)首先確定隨機(jī)變量X的全部可能取值，再依據(jù)獨(dú)立事務(wù)的概率公式求出

分布列，最終利用數(shù)學(xué)期望公式求X的數(shù)學(xué)期望；(III)首先依據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)確定好

〃-6〃-2b等，然后類似其次問(wèn)求出隨機(jī)變量F的分布列及數(shù)學(xué)期望，最終依據(jù)隨機(jī)變量

X1的數(shù)學(xué)期望的大小作決策.

【詳解】(I)平均值為：72x0.1+76x0.25+80x0.3+84x0.2+88x0.15=80.2.

(II)由頻率直方圖，第一段生產(chǎn)半成品質(zhì)量指標(biāo)尸(x<74或x>86)=0.25,

P(74<x<78或82<x<86)=0.45,P(78<x<82)=0.3,

設(shè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)為X元，則

P(X=100)=0.2x0.25+0.4x0.45+0.6x0.3=0.41,

P(X=60)=0.3x0.25+0.3x0.45+0.3x0.3=0.3,

P(X=-100)=0.5x0.25+0.3x0.45+0.1x0.3=0.29,

所以生產(chǎn)一件成品的平均利潤(rùn)是100x0.41+60x0.3—100x0.29=30元，

所以一條流水線一年能為該公司帶來(lái)利潤(rùn)的估計(jì)值是30萬(wàn)元.

(III)〃-3b=74,〃一b=78,〃+b=82,〃+3b=86,

設(shè)引入該設(shè)備后生產(chǎn)一件成品利潤(rùn)為Y元，則

p(y=100)=0.0026X0.2+0.3148X0.4+0.6826x0.6=0.536,

p(y=60)=0.0026X0.3+0.3148x0.3+0.6826x0.3=0.3,

P(y=-100)=0.0026x0.5+0.3148x0.3+0.6826x0.1=0.164,

所以引入該設(shè)備后生產(chǎn)一件成品平均利潤(rùn)為

EY=100x0.536+60x0.3-100x0.164=55.27E,

所以引入該設(shè)備后一條流水線一年能為該公司帶來(lái)利潤(rùn)的估計(jì)值是55.2萬(wàn)元，

增加收入55.2—30—20=5.2萬(wàn)元，

綜上，應(yīng)當(dāng)引入該設(shè)備.

【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、樣本平均數(shù)的估算、獨(dú)立事務(wù)的概率、隨機(jī)變量的分布

列及數(shù)學(xué)期望、正態(tài)分布，考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析實(shí)力.

21.已知函數(shù)/(x)=e2?+(a—以把、(e為自然對(duì)數(shù)的底，。為常數(shù)，aeR)有兩個(gè)極值點(diǎn)

xt,x2,JL0<Xj<x2.

(I)求。的取值范圍；

(II)若+根(玉+工2)<°恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【答案】(I)(2e,+co)；(II)(―叫―g].

【解析】

【分析】

(I)首先通過(guò)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算將極值點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程解的問(wèn)題，從而轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)

問(wèn)題，再依據(jù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用確定函數(shù)的極值點(diǎn)、單調(diào)性，從而畫(huà)出簡(jiǎn)圖，推斷出所求范圍；(II)

首先依據(jù)隱含條件消元，將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于五的不等式，從而構(gòu)造函數(shù)，建立函數(shù)模型，

x2

再通過(guò)分類探討該函數(shù)的單調(diào)性，確定實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【詳解】(I)f(x)=2e2x-axex,由/'(X)=0得。=工，

X

依題意，該方程有兩個(gè)不同正實(shí)數(shù)根，記〃(力=竺，則〃(#=一9

當(dāng)0<%<1時(shí)，//(x)<0；當(dāng)x>l時(shí)，"(x)>0,

所以函數(shù)在x=l處取得最小值MD=2e,所以〃的取值范圍是(2e,+8).

(II)由(I)得：—￡。，+8),且a%=2e*，所以Ina+lnXi=ln2+玉,Ina+lnx2=1D2+X2,

xl

所以/_/=ln%2-1nxi,

因此菁工2+帆(%+%)<0恒成立，即X1X2-1叫)+m(尤2?一尤<0恒成立，

即In逡+根上———<0,設(shè)三=/,即1皿+〃2卜一［］<0在/e(l,+8)上恒成立，

玉石％2xikd

從而加<0,記8(。=1皿+加”一；］,g⑴=0,g'(/)=；+m+=鞏1+；)+，,

①當(dāng)相〈一:時(shí)，1+/>2/,所以m(1+產(chǎn))<V,從而g'(/)<0,

則g0)在區(qū)間［1,+8)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)》〉1時(shí)，g(/)<g(l)=0恒成立；

②一!<機(jī)<0時(shí)，g'(t)>0等價(jià)于/+!/+1<0,A=3—4>0,

2mm

所以產(chǎn)H1+1=0有兩根。,12，且g2=1,%+，2=--->0，可以不妨設(shè)0<。<1<%2，

mm

g'⑺>0在小(5)時(shí)成立，所以g(0在區(qū)間(1,幻上單調(diào)遞增，當(dāng)fG(")時(shí)，

g