空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系-2025年高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)

第七章立體幾何與空間向量

第2講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)

平面的基2020新高考卷IT16；該講是立體幾何的基礎(chǔ)，

借助長(zhǎng)方體，在直觀

本性質(zhì)及2020全國(guó)卷UT16；主要以客觀題的形式出

認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、

應(yīng)用2020全國(guó)卷niT19現(xiàn)，考查平面的基本性質(zhì)

平面的位置關(guān)系的基

及應(yīng)用（如作截面），線

礎(chǔ)上，抽象出空間空間直

2023上海春季T15；線位置關(guān)系的判定等，難

點(diǎn)、直線、平面的位線、平面

2021新高考卷IITIO；度中等.在2025年高考備

置關(guān)系的定義，了解間的位置

2019全國(guó)卷IHT8考中要側(cè)重對(duì)基本性質(zhì)的

4個(gè)基本事實(shí)和定理.關(guān)系

理解和應(yīng)用.

n學(xué)生用書P142

1.平面的基本性質(zhì)

（1）三個(gè)基本事實(shí)

基本事實(shí)1過①不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.

基本事實(shí)2如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).

基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面②有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有③一條

過該點(diǎn)的公共直線.

（2）三個(gè)推論

利用基本事實(shí)1和基本事實(shí)2,結(jié)合“兩點(diǎn)確定一條直線”可得到以下推論.

推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

推論2經(jīng)過兩條④相交直線,有且只有一個(gè)平面.

推論3經(jīng)過兩條⑤平行直線,有且只有一個(gè)平面.

2.空間中直線間的位置關(guān)系

古?。ㄏ嘟恢本€：在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)?

共面直線《

I平行直線：在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).

異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).

助情（1）過平面外一點(diǎn)/和平面內(nèi)一點(diǎn)2的直線，與平面內(nèi)不過點(diǎn)3的直線是異面直

線；（2）異面直線既不平行，也不相交；（3）異面直線不具有傳遞性，即若直線。與6

是異面直線，6與c是異面直線，則。與c不一定是異面直線.

3.空間中直線、平面間的位置關(guān)系

圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言公共點(diǎn)

相交aGa=Z1個(gè)

直線與平面----a

平行4___/a//a0個(gè)

在平面內(nèi)/——/⑥無數(shù)個(gè)

平行Z___/a〃P⑦0個(gè)

/B/

平面與平面

相交會(huì)anp=7無數(shù)個(gè)

說明分另在兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線平行或異面.

「二正目

1.如圖，anp=/,A,BWa,Cep,且。生/,直線/gn/=M,過/,B,C三點(diǎn)的平面記

作Y，則丫與［3的交線必通過（D）一二5

A.點(diǎn)/B.點(diǎn)3'.」一~7

C.點(diǎn)C但不過點(diǎn)MD.點(diǎn)C和點(diǎn)M

2.［多選］以下說法正確的是（CD）

A.若一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)到一個(gè)平面距離相等，則這條直線與該平面平行

B.若一個(gè)平面上有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面距離相等，則這兩個(gè)平面平行

C.若三條直線a,b,c兩兩平行且分別交直線/于4,B,C三點(diǎn)，則這四條直線共面

D.不共面的四點(diǎn)中，任意三點(diǎn)都不共線

解析對(duì)于A,直線也可能在平面內(nèi)或與平面相交；對(duì)于B,兩平面也可能相交；易知

C,D正確.

3.［多選］如圖是一個(gè)正方體的展開圖，則在這個(gè)正方體中，下列命題正確的是（CD）

A.AF馬CN平行B.3M與/N是異面直線

C.N廠與AW■是異面直線D.BN與￡>￡是異面直線

解析把正方體的平面展開圖還原，如圖，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，AF

與CN是異面直線，故A錯(cuò)誤；

BM與AN平行,故B錯(cuò)誤；

BMU平面BCMF,FG平面BCMF,/生平面3cM￡F年BM,故AF與

8M是異面直線，故C正確；

DEU平面ADNE,NG平面ADNE,B年平面ADNE,N年DE,故BN與DE是異面直線，故

D正確.

a學(xué)生用書P143

命題點(diǎn)1平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用

例1已知在正方體N8CD—/iSGA中，E,月分別為。Ci,CiS的中點(diǎn)，ASBD=P,

AiCiHEF^Q.

求證：(1)。，B,F,E四點(diǎn)共面.

(2)若小。交平面DATE于點(diǎn)尺，則P,Q,R三點(diǎn)共線.

(3)DE,BF,CG三線交于一點(diǎn).

解析(1)如圖所示，連接囪Di.由題意知所是△D/iCi的中位線，所:一

以斯〃31D1.在正方體48。。一413口01中，BiDi//BD,所以EF〃BD,

所以昉，3。確定一個(gè)平面，即。，B,F,E四點(diǎn)共面.,,<

(2)記4,C,G三點(diǎn)確定的平面為平面a,平面8DE尸為平面0.因?yàn)椋弧?

Q^AiCi,所以QGOL又QGEF,所以所以。是a與p的公共點(diǎn).同理，P是a與|3的公

共點(diǎn)，所以aCp=P。.又NiCnp=R,所以RG4C,RGa,且RGp,則RGPQ,故P,

Q,R三點(diǎn)共線.

(3)因?yàn)镋F〃BD且EFVBD,所以DE與相交，設(shè)交點(diǎn)為則由DEU

平面。QCCi,得Md平面AOCG,同理，"G平面313CG.

又平面。⑷CGD平面BiBCCi=CCi,所以“eCCi.

所以BF,CG三線交于一點(diǎn).

方法技巧

1.證明點(diǎn)共線問題的常用方法

基本事先找出兩個(gè)平面，然后證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)基本事實(shí)3

實(shí)法證明這些點(diǎn)都在交線上.

納入直

選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其余點(diǎn)也在該直線上.

線法

2.證明線共點(diǎn)問題的常用方法

先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過該點(diǎn).

3.證明點(diǎn)、直線共面問題的常用方法

納入平面法先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi).

先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面a,再證明其余元素確定平面P，最后證明平

輔助平面法

面a,p重合.

訓(xùn)練1如圖，已知正方體4BCD—中,E,尸分別是棱CG,AAi

的中點(diǎn).“?

(1)畫出平面BEDF與平面N8CD的交線，并說明理由.

(2)設(shè)立為直線BLD與平面BEA尸的交點(diǎn)，求證：B,H,。三點(diǎn)共線.

解析(1)如圖1所示，直線尸3為平面3￡￡>訴與平面/BCD的交一

線，理由如下：，.J

在正方體/BCD-N/iCiA中，

因?yàn)镈/u平面44必0,OFU平面440點(diǎn)，且ZX4與。i/不平行，圖1

所以在平面44口。內(nèi)分別延長(zhǎng)。1尸，DA,則。砂與。/必相交于一點(diǎn)，不妨設(shè)為點(diǎn)尸，

所以PG/。，PGDF.

因?yàn)長(zhǎng)MU平面/BCD,DiFu平面BEDiF,

所以pe平面48。，PG平面BEDF,

即P為平面ABCD和平面BEDiF的公共點(diǎn).

連接P3,又8為平面N3CD和平面BEDiF的公共點(diǎn)、,

所以直線P8為平面BEDiF與平面ABCD的交線.

(2)如圖2所示，連接5D1,BD,BxDi,在正方體48cz)—4SGD1中，

因?yàn)锽Bi//DDi,且BBi=DDi,V：vjVI

所以四邊形551Ao為平行四邊形.]

因?yàn)镠為直線30與平面BEA尸的交點(diǎn)，所以HWBiD,圖2

入BiDu平面BBQ?,所以//G平面

又“G平面BEDxF,平面8￡Z>i尸C平面BBXD\D=BD\,

所以HGBDI,

所以8,H,A三點(diǎn)共線.

命題點(diǎn)2空間直線、平面間的位置關(guān)系

例2(1)[2023上海春季高考]如圖，在正方體NBC。一/由1GA中，尸是

/Ci上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中，始終與直線3尸異面的是(B)A'\\\\

A.DZ)iB.ACC.AD1D.SiC/L--\-LJC

解析對(duì)于A,如圖1,當(dāng)點(diǎn)P為4G的中點(diǎn)時(shí)，連接SDi,BD,則P在K-----Y

2boi上，BPU平面BDDIBI,又?！?gt;iu平面臺(tái)。。出，所以AP與共面，故A錯(cuò)誤；

圖1圖2

對(duì)于B,如圖2,連接/C,易知/C<=平面/CG/1,8PC平面NCG4,且3尸（~1平面

ACCxAi=P,P不在NC上,所以與NC為異面直線，故B正確；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G重合

時(shí)，連接4D1,BiC（圖略）,由正方體的性質(zhì)，易知5P〃4,與3c相交，故C,

D錯(cuò)誤.故選B.

（2）[2023高三名校聯(lián)考（一）]設(shè)01是空間中的一個(gè)平面，I,m,〃是三條不同的直線,

則下列說法正確的是（B）

A.若〃zu。，〃Ua,l.Lm,I.Ln,則l.La

B.若/〃m//n,Z±a,貝?。荨↗_a

C.若/〃wXa,則/_L〃

D.若加Ua,〃J_a,l.Ln,則/〃m

解析A選項(xiàng)，若"?Ua,nca,/J_m,/J_〃，則/與a相交、平行或/Ua,如圖1,m//n,

且滿足加Ua,〃Ua,/_!_〃?，/_!_〃，但此時(shí)/與a斜交，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)?〃%,

m//n,所以/〃“，因?yàn)?_La,所以"J_a,故B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)椤╛zl_a,n±a,所以

m//n,因?yàn)?〃/,所以/〃“，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，若mu。，〃_La,I-Ln,則/與加相

交、平行或異面，如圖2,滿足機(jī)Ua,〃J_a,ILn,但此時(shí)/與機(jī)異面，故D錯(cuò)誤.故選B.

圖1圖2

方法技巧

1.判斷空間直線、平面間的位置關(guān)系時(shí)，注意對(duì)平面的基本性質(zhì)及有關(guān)定理的應(yīng)用.

2.判斷空間直線、平面間位置關(guān)系的命題的真假時(shí)，常借助幾何模型（長(zhǎng)方體、正方體）

或?qū)嵨铮▔?、桌面等?

3.注意反證法在判斷空間兩直線位置關(guān)系時(shí)的應(yīng)用.

訓(xùn)練2若直線/i和/2是異面直線，人在平面a內(nèi)，/2在平面B內(nèi)，/是平面a與平面B的交線,

則下列命題正確的是（D）

A./與/1，，2都不相交

B./與/”/2都相交

C./至多與/1，/2中的一條直線相交

D./至少與兒/2中的一條直線相交

解析解法一（反證法）若/〃/l,l//h,則/1〃/2,這與/1,/2是異面直線矛盾.故/至少

與/1,/2中的一條直線相交.

解法二（模型法）如圖1,/1與/2是異面直線，與/平行，/2與/相交，故A,B不正

確；如圖2,/1與辦是異面直線，/1,/2都與/相交，故C不正確.

ciritai?番2威電）

I.［命題點(diǎn)1］到空間不共面的四點(diǎn)距離相等的平面的個(gè)數(shù)為（C）

A.lB.4C.7D.8

解析當(dāng)空間四點(diǎn)/,B,C,。不共面時(shí)，則四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三棱錐.當(dāng)平面一側(cè)有一個(gè)點(diǎn)，

另一側(cè)有三個(gè)點(diǎn)時(shí)，如圖1,當(dāng)平面過/D,BD,CD的中點(diǎn)時(shí)，滿足條件.因?yàn)槿忮F有4

個(gè)面，則此時(shí)滿足條件的平面有4個(gè).

圖1圖2

當(dāng)平面一側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)，另一側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)時(shí),如圖2,當(dāng)平

面過N3,BD,CD,NC的中點(diǎn)時(shí)，滿足條件.因?yàn)槿忮F的相對(duì)棱有3對(duì)，則此時(shí)滿足條

件的平面有3個(gè).所以滿足條件的平面共有7個(gè).故選C.

2.［命題點(diǎn)2/多選］已知G,N,M,〃分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列表示

解析A中，魚統(tǒng)GH//MN;B中，G,H,N三點(diǎn)共面，但M守平面G//N,因此直線G8

與跖V異面；C中，連接MG,GM//HN,因此G8與跖V共面；D中，G,M,N三點(diǎn)共

面，但X生平面GMN,因此G//與ACV異面.

（-----------------------------（練習(xí)幫練透好題精準(zhǔn)分層---------------------------

6學(xué)生用書?練習(xí)幫P331

目叁礎(chǔ)愫

1.［2024廣東省深圳市第二高級(jí)中學(xué)模擬］已知平面a,0,丫兩兩垂直，直線a,b,c滿足

0Ua,6up,cj,則直線a,b,c不可能滿足以下哪種關(guān)系(B)

A.兩兩垂直B.兩兩平行

C.兩兩相交D.兩兩異面

解析如圖1,可得a,b,c可能兩兩垂直；如圖2,可得a,b,c可能兩兩相交；如圖

3,可得a,b,c可能兩兩異面.故選B.

圖1圖2圖3

2.［2024河南焦作模擬］已知"?，〃為異面直線，平面a,〃_L平面0.若直線/滿足/_!_〃?，

ILn,13,/邙，貝|(B)

A.a/7p,I//a

B.a與p相交，且交線平行于/

C.a±p,/邛

D.a與B相交，且交線垂直于/

解析若a〃［3,則由加工平面a,平面B，可得機(jī)〃“，這與也,〃是異面直線矛盾，故a

與B相交.

設(shè)anp=a,過空間內(nèi)一點(diǎn)P,作“〃加，，”與〃'相交，

設(shè)“與〃'確定的平面為丫.

因?yàn)?_!_加，/_L?,所以故/_Ly,

因?yàn)椤╛L0,所以a,"所以aJ_7〃'，a_L〃'，所以aLy,

又因?yàn)楸萢,/仁3所以/與a不重合，所以/〃a.故選B.

3.［多選Z2024貴州省遵義市南白中學(xué)聯(lián)考］已知a,6是兩條不重合直線，a,(3是兩個(gè)不重

合平面，則下列說法正確的是(BC)

人.若?！?,aUa,6up,則0與6是異面直線

B若a〃b,6Ua,則直線a平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線

C.^a//p,aUa,則a〃0

D.若aCp=6,aUa,則a與。一定相交

解析

選項(xiàng)正誤原因

AX若a〃(3,qUa,bup,則Q與6平行或異面.

Bq美aHb,6<=a,則平面a內(nèi)所有與6平行的直線都與a平行.

C若?！?,則平面a內(nèi)所有直線都與。平行，因?yàn)閍Ua,所以a〃0.

DX若aA|3=6,qua,則當(dāng)a〃6時(shí)，a//^>.

4.［多選/2023廣東省廣州市模擬］已知直線/與平面a相交于點(diǎn)P,則下列結(jié)論正確的是

（ABD）

A.a內(nèi)不存在直線與/平行

B.a內(nèi)有無數(shù)條直線與/垂直

C.a內(nèi)所有直線與/是異面直線

D.至少存在一個(gè)過/且與a垂直的平面

解析直線/與平面a相交于點(diǎn)尸，故a內(nèi)不存在直線與/平行，A正確.若/J_a,則a內(nèi)的所

有直線都與/垂直；若/與a不垂直，設(shè)與/在平面a內(nèi)的射影垂直的直線為〃，則平面a內(nèi)與

〃平行的直線都與/垂直，有無數(shù)條，B正確.平面a內(nèi)過點(diǎn)P的直線與/相交，C錯(cuò)誤.若

l±a,則過/的任一平面都與a垂直；若/與a不垂直，取/上異于點(diǎn)尸的一點(diǎn)0,過。作

QW_L平面a于點(diǎn)則平面PQN_La,D正確.故選ABD.

5.［多選/2023高三名校模擬］下列關(guān)于點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的命題中不正確的是

（ABC）

A.若兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則它們一定重合

B.空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)

C.兩條直線a,6分別和異面直線c,4都相交，則直線a,6是異面直線

D.正方體/BCD—中，點(diǎn)。是8boi的中點(diǎn)，直線4c交平面于點(diǎn)則

A,M,。三點(diǎn)共線，且/,M,O,C四點(diǎn)共面

解析如圖，在正方體48cgi中，A,D,E三個(gè)點(diǎn)在一條直『_71c

a,b確定一個(gè)平面，且a,b分別與直線c,d的交點(diǎn)都在此平面內(nèi)，則A'H

c,d共面，與c,d是異面直線矛盾，所以直線a,6可能是異面直線，也可能是相交直線

（c,"中的一條直線過a,6的交點(diǎn)），故C不正確；如圖，平面441CA平面=

AO,因?yàn)橹本€NC交平面于點(diǎn)所以MG/。，即N,M,。三點(diǎn)共線，因?yàn)橹本€

和直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，所以/,O,C,M四點(diǎn)共面，故D正確.故選ABC.

能力練

6.如圖，點(diǎn)N為正方形/BCD的中心，△￡［￡>為正三角形，平面￡CDJ_平面/BCD,M是

線段￡￡）的中點(diǎn)，則（B）

A.BM=EN,且直線EN是相交直線

且直線EN是相交直線

C.BM=EN,且直線EN是異面直線

D.BM^EN,且直線BM,EN是異面直線

解析設(shè)C￡>的中點(diǎn)為。，連接ON,EO,因?yàn)椤鳌??￡>為正三角形，所以EO_LCD,又平

面￡CDJ_平面N3C2平面ECDC平面/8Cr>=CD,所以￡O_L平面/BCD設(shè)正方形

ABCD的邊長(zhǎng)為2,則￡。=k，ON=\,所以￡1平=￡02+0用=4,得EN=2.過點(diǎn)M作

CD的垂線，垂足為尸，連接8P,則〃P=f,。尸=|,所以BTUA廬+2戶=(爭(zhēng)2+

(|)2+22=7,得BM=布,所以BM豐EN連摟BD,BE,因?yàn)樗倪呅?8CD為正方形，

所以N為的中點(diǎn)，即EN,上必均在平面助￡內(nèi)，所以直線EN是相交直線.故選

B.

7.［多選/2024云南昆明高三?？迹萑鐖D，在正方體/BCD—431GA中，E,F,G,X分別

是棱CG,BC,CD,5cl的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(AC)

A./F〃平面NiDE?“二

B./G〃平面4DE

加-4］(

C.4,D,E,〃四點(diǎn)共面'

D./1,D,E,Cl四點(diǎn)共面

解析如圖I,取4。的中點(diǎn)連接NM,EF,ME,BCi,則EF〃BCi,EF=^BC\,

AM//BC1,AM=^BCi,所以EF〃4M,EF=AM,則四邊形4F