七年級數(shù)學(xué)下冊知識點(diǎn)總結(jié)

第五章平行線與相交線

XI.互為余角和互為補(bǔ)角的有關(guān)概念與性質(zhì)

如果兩個角的和為90°〔或直角〕，則這兩個角互為余角；

如果兩個角的和為180°〔或平角〕，則這兩個角互為補(bǔ)角；

注意：這兩個概念都是對于兩個角而言的，而且兩個概念強(qiáng)調(diào)的是兩個角的數(shù)量關(guān)系，與兩

個角的相互位置沒有關(guān)系。

它們的主要性質(zhì)：同角或等角的余角相等；

同角或等角的補(bǔ)角相等。

對頂角是成對存在的，它們互為對頂角，如/I是/3的對頂角，同時，Z3是/I的對頂角，

也常說/I和N3是對頂角.

“互相垂直”與"垂線”的區(qū)別與聯(lián)系："互相垂直"指兩條直線的位置關(guān)系；"垂線”是

角的名稱特征性質(zhì)一樣點(diǎn)不同點(diǎn)

①兩條直線相交面成的角

對頂角對頂角沒有公共邊而鄰補(bǔ)

對頂角②有一個公共頂點(diǎn)都是兩直線相交

相等角有一條公共邊；兩條直

③沒有公共邊而成的角，都有一

線相交時，一個有的對頂

①兩條直線相交面成的角個公共頂點(diǎn)，它們

鄰補(bǔ)角角有一個，而一個角的鄰

鄰補(bǔ)角②有一個公共頂點(diǎn)都是成對出現(xiàn)。

互補(bǔ)補(bǔ)角有兩個。

③有一條公共邊

指其中一條直線對另一條直線的命名。如果說兩條直線"互相垂直"時，其中一條必定是另

一條的“垂線”，如果一條直線是另一條直線的“垂線”，則它們必定“互相垂直”。

(2)判斷以下兩條直線是否垂直：

①兩條直線相交所成的四個角中有一個是直角；

②兩條直線相交所成的四個角相等；

③兩條直線相交,有一組鄰補(bǔ)角相等；

④兩條直線相交，對頂角互補(bǔ).

垂線性質(zhì)1:過一點(diǎn)有且只有一條直線與直線垂直.

兩點(diǎn)間線段最短.

連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短.

直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離.

二、同位角、錯角、同旁角

如圖，直線a、b與直線c相交，或者說，兩條直線a、b被第三條直線c所截，得到八個甭。

我們來研究那些沒有公共頂點(diǎn)的兩個角的關(guān)系。

/I與/2、N4與/8、/5與/6、/3與/7有什么位置關(guān)系.

在截線的同旁，被截直線的同方向〔同上或同下〕.

Z.

具有這種位置關(guān)系的兩個角叫做同位角。

同位角形如字母"F"。

N3與/2、N4與N6的位置有什么共同的特點(diǎn).

在截線的兩旁，被截直線之間。

具有這種位置關(guān)系的兩個角叫做錯角.

錯角形如字母"Z"。

N3與/6、N4與N2的位置有什么共同的特點(diǎn).

在截線的同旁，被截直線之間。

具有這種位置關(guān)系的兩個角叫做同旁角.

二、平行線定義表示法

1平行定義:同一平面，存在一條直線a與直線b不相交的位置，這時直線a與b互相平行.換言

之，同一平面，不相交的兩條直線叫做平行線.

直線a與b是平行線，記作“II"，這里"http://"是平行符號.

平行線定義的本質(zhì)屬性，第一是同一平面兩條直線，第二是設(shè)有交點(diǎn)的兩條直線.

2.同一平面,兩條直線的位置關(guān)系

從同一平面，兩條直線的交點(diǎn)情況去確定兩條直線的位置關(guān)系.

在同一平面，兩條直線只有兩種位置關(guān)系:相交或平行,兩者必居其一.即兩條直線不相交就是

平行，或者不平行就是相交.

判斷兩直線平行的方法.

〔1〕平行線的定義：在同一平面不相交的兩條直線平行。

〔2〕平行公理的推論：如果兩條直線都平行于第三條直線，則這兩條直線也互相平行。

〔3〕兩直線平行的條件：兩條直線被第三條直線所截如果同位角相等,則這兩條直線平行.

兩條直線被第三條直線所截，如果錯角相等，則這兩條直線平行.

兩條直線被第三條直線所截，如果同旁角互補(bǔ),則這兩條直線平行.

平行線具有性質(zhì)：

性質(zhì)1:兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，簡稱為兩直線平行，同位角相等.

性質(zhì)2:兩條平行線被第三條直線所截，錯角相等，簡稱為兩直線平行，錯相等.

性質(zhì)3:兩條直線按被第三條線所截，同旁角互補(bǔ)，簡稱為兩直線平行，同旁角互補(bǔ).

命題、定理、證明

判斷一件事情的語句，叫做命題.

(3)命題的組成.

①命題由題設(shè)和結(jié)論兩局部組成.題設(shè)是事項(xiàng)，結(jié)論是由事項(xiàng)推出的事項(xiàng).

②命題的形成，可以寫成“如果……，則……"的形式。

真命題與假命題：

命題的正確性是我們經(jīng)過推理證實(shí)的，這樣得到的真命題叫做定理，作為真命題，定理也可

以作為繼續(xù)推理的依據(jù).

5.4平移

平移:⑴把一個圖形整體沿*一方向移動,會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小

完全一樣.(2)新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的*一個點(diǎn)移動后得到的，這兩個點(diǎn)是對應(yīng)

點(diǎn).⑶連接各組對應(yīng)的線段平行且相等.圖形的這種變換，叫做平移變換，簡稱平移

Z.

小結(jié)：在平移過程中，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段也可能在一條直線上，當(dāng)圖形平移的方向

是沿著一邊所在直線的方向時，則此邊上的對應(yīng)點(diǎn)必在這條直線上。2利用平移的

特征，作平行線，構(gòu)造等量關(guān)系

第六章實(shí)數(shù)

平方根

4

如果正方形的面積分別是1、9、16、36、一，則正方形的邊長分別是多少.

25

2

學(xué)生會求出邊長分別是1、3、4、6、-

上面的問題，實(shí)際上是一個正數(shù)的平方，求這個正數(shù)的問題。

2.歸納：

⑴算術(shù)平方根的概念：

一般地，如果一個正數(shù)*的平方等于a,即*2=a則這個正數(shù)*叫做a的算術(shù)平方根。

⑵算術(shù)平方根的表示方法：

a的算術(shù)平方根記為‘萬，讀作"根號a"或"二次很號a",a叫做被開方數(shù)。

歸納：一個正數(shù)的算術(shù)平方根有1個；。的算術(shù)平方根是0；負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根。

即：只有非負(fù)數(shù)有算術(shù)平方根，如果彳=、萬■有意義，則

注：。20且抓20

平方根

第2課時

怎樣用兩個面積為1的小正方形拼成一個面積為2的大正方形.

如圖，把兩個小正方形沿對角線剪開，將所得的4個直角三角形拼在一起，就得到一個

面積為2的大正方形。你知道這個大正方形的邊長是多少嗎.

設(shè)大正方形的邊長為x,則％2=2,由算術(shù)平方根的意義可知X=及，

我們發(fā)現(xiàn)它的小數(shù)位數(shù)無限,且小數(shù)局部不循環(huán)，像這樣的數(shù)我們成為無限不循環(huán)小數(shù)。

%/2=1.41421356……73?1.732

6.1.3平方根

歸納:

Z.

1、平方根的概念:如果一個數(shù)的平方等于a,則這個數(shù)就叫做a的平方根.即：如果x2=a,

則*叫做a的平方根.

求一個數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方.

例如：±3的平方等于9,9的平方根是±3,所以平方與開平方互為逆運(yùn)算.

6.2立方根

1.探索：設(shè)這種包裝箱的邊長為,則用=27,

這就是要求一個數(shù)，使它的立方等于27.

因?yàn)?3=27,所以x=3,即這種包裝箱的邊長應(yīng)為3m。

2.歸納：

①立方根的概念：

一般地，如果一個數(shù)的立方等于。，則這個數(shù)叫做a的立方根或三次方根。

②立方根的表示方法：

如果％3=。，則x叫做a的立方根。記作x=C,V。讀作三次根號。。

其中。是被開方數(shù)，3是根指數(shù)，中的根指數(shù)3不能省略。

③開立方的概念：

求一個數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方。開立方與立方互為逆運(yùn)算，可以根據(jù)這種關(guān)系

求一個數(shù)的立方根。

6.3.1實(shí)數(shù)

歸納：任何一個有理數(shù)〔整數(shù)或分?jǐn)?shù)〕都可以寫成有限小數(shù)或者無限

34795

寫成小數(shù)的形式

Jo11y

發(fā)現(xiàn)上面的有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式

347Q..5.

即：3=3.0,--=-0.6,—=5.875,—=0.81,—=0.5

58119

循環(huán)小數(shù)的形式，

反過來，任何有限小數(shù)或者無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)。

通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道有很多數(shù)的平方根或立方根都是無限不循環(huán)小數(shù)，

把無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。

比方尺口等都是無理數(shù)。兀=3.14159265…也是無理數(shù)。

二、實(shí)數(shù)及其分類：

1、實(shí)數(shù)的概念：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。

2、實(shí)數(shù)的分類：

按照定義分類如下：

Z.

'整數(shù)..

有理數(shù)r二（有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)）

實(shí)數(shù)＜分?jǐn)?shù)

無理數(shù)（無限不循環(huán)小數(shù)）

按照正負(fù)分類如下:

'正有理數(shù)

正實(shí)數(shù)＜

、負(fù)無理數(shù)

實(shí)數(shù)1零

’負(fù)有理數(shù)

負(fù)實(shí)數(shù)＜

、負(fù)無理數(shù)

3、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系：

歸納：①實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的。即沒一個實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示;

反過來，數(shù)軸上的每一個點(diǎn)都表示一個實(shí)數(shù)。

②對于數(shù)軸上的任意兩個點(diǎn)，右邊的點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大。

畫弧，與數(shù)軸正半軸的交點(diǎn)就表示G。

解：如下圖，0A=2,AB=1,

由勾股定理可知：=J5,以原點(diǎn)。為圓心，以長度為半徑畫弧,

與數(shù)軸的正半軸交于點(diǎn)c，則點(diǎn)c就表示F°

6.3.2實(shí)數(shù)

第二課時

通過復(fù)習(xí)有理數(shù)的相反數(shù)、絕對值、運(yùn)算律、運(yùn)算性質(zhì)，引出實(shí)數(shù)的相反數(shù)、絕對值、

運(yùn)算律、運(yùn)算性質(zhì)，并通過例題和練習(xí)題加以穩(wěn)固，適當(dāng)加深對它們的認(rèn)識。

①會數(shù)的相反數(shù)和絕對值；

②會進(jìn)展實(shí)數(shù)的加減法運(yùn)算；

③會進(jìn)展實(shí)數(shù)的近似計(jì)算。

有理數(shù)的一些概念和運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算律：

1、相反數(shù)：有理數(shù)。的相反數(shù)是一a。

2、絕對值：當(dāng)時，料=。，當(dāng)awo時，眄=一。。

3、運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)：有理數(shù)之間可以進(jìn)展加、減、乘、除〔除數(shù)不為0〕、乘方、非

負(fù)數(shù)的開平方、任意數(shù)的開立方運(yùn)算，有理數(shù)的運(yùn)算中還有交換律、結(jié)合律、分配律。

二、實(shí)數(shù)的運(yùn)算：

1.實(shí)數(shù)的相反數(shù)：數(shù)。的相反數(shù)是一

2.一個正實(shí)數(shù)的絕對值是它本身，一個負(fù)實(shí)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，。的絕對值是0.

3、實(shí)數(shù)之間可以進(jìn)展加、減、乘、除〔除數(shù)不為0〕、乘方、非負(fù)實(shí)數(shù)的開方運(yùn)算，還

有任意實(shí)數(shù)的開立方運(yùn)算，在進(jìn)展實(shí)數(shù)的運(yùn)算中，交換律、結(jié)合律、分配律等運(yùn)算性質(zhì)也適

Z.

用。

第六章復(fù)習(xí)

本章的知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造：

知識梳理

一.數(shù)的開方主要知識點(diǎn)：

[1]平方根：

1.如果一個數(shù)*的平方等于a,則，這個數(shù)*就叫做a的平方根；也即，當(dāng)x2=a(a20)

時，我們稱*是a的平方根，記做：X=+y/a(a>0)o因此：

2.當(dāng)a=0時，它的平方根只有一個，也就是0本身；

3.當(dāng)a>0時，也就是a為正數(shù)時，它有兩個平方根，且它們是互為相反數(shù)，通常記做:

X^+y/aQ

當(dāng)aVO時，也即a為負(fù)數(shù)時，它不存在平方根。

【算術(shù)平方根】：

1.如果一個正數(shù)*的平方等于a,即X2=。，則，這個正數(shù)*就叫做a的算術(shù)平方根，記

為：”的”，讀作，"根號a",其中，a稱為被開方數(shù)。特別規(guī)定：0的算術(shù)平方根仍然為

Oo

2.算術(shù)平方根的性質(zhì)：具有雙重非負(fù)性，即：Ja>0(G>0)0

3.算術(shù)平方根與平方根的關(guān)系：算術(shù)平方根是平方根中正的一個值，它與它的相反數(shù)共

同構(gòu)成了平方根。因此，算術(shù)平方根只有一個值，并且是非負(fù)數(shù)，它只表示為：、萬；而平

方根具有兩個互為相反數(shù)的值，表示為：土JZ。

【立方根】

1.如果*的立方等于a,則，就稱*是a的立方根，或者三次方根。記做：四'，讀作，3

次根號a。注意：這里的3表示的是開根的次數(shù)。一般的，平方根可以省寫根的次數(shù)，但是,

當(dāng)根的次數(shù)在兩次以上的時候，則不能省略。

2.平方根與立方根：每個數(shù)都有立方根并且一個數(shù)只有一個立方根；但是，并不是每個

數(shù)都有平方根，只有非負(fù)數(shù)才能有平方根。

【無理數(shù)】

1.無限不循環(huán)小數(shù)的小數(shù)叫做無理數(shù)；它必須滿足"無限"以及"不循環(huán)"這兩個條

件。在初中階段，無理數(shù)的表現(xiàn)形式主要包含以下幾種：〔1〕特殊意義的數(shù)，如：圓周郭

以及含有兀的一些數(shù)，如：2-兀，3兀等；⑵開方開不盡的數(shù)，如旗等；⑶特

殊構(gòu)造的數(shù)：如：2.01001000100001'--〔兩個1之間依次多1個0〕等。應(yīng)當(dāng)要注意的是：

帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，如：卷等；無理數(shù)也不一定帶根號，如：兀

2.有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別：〔1〕有理數(shù)指的是有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)則

是無限不循環(huán)小數(shù)；〔2〕所有的有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)的形式〔整數(shù)可以看成是分母為1的分

數(shù)〕，而無理數(shù)則不能寫成分?jǐn)?shù)形式。

【實(shí)數(shù)】

1.有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。在實(shí)數(shù)中，沒有最大的實(shí)數(shù)，也沒有最小的實(shí)數(shù)；絕對

值最小的實(shí)數(shù)是0,最大的負(fù)整數(shù)是-1。

2.實(shí)數(shù)的性質(zhì)：實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-a；實(shí)數(shù)a的倒數(shù)是L〔aWO〕；實(shí)數(shù)a的絕對值

a

Z.

a(a>0)、

|a|=<,它的幾何意義是：在數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。

-a(a<0)

3.實(shí)數(shù)的大小比擬法則：實(shí)數(shù)的大小比擬的法則跟有理數(shù)的大小比擬法則一樣：即正數(shù)

大于0,0大于負(fù)數(shù)；正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個正數(shù)，絕對值大的就大，兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的

反而小。〔在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù)〕。對于一些帶根號的無理數(shù)，我們可以通

過比擬它們的平方或者立方的大小。

4.實(shí)數(shù)的運(yùn)算：在實(shí)數(shù)圍，可以進(jìn)展加、減、乘、除、乘方、開方六種運(yùn)算。運(yùn)算法則

的值。

第七章平面直角坐標(biāo)系

7.1.1有序數(shù)對

“北緯44.2°東經(jīng)125.7°"o

3.*人買了一8排6號的電影票，

二.概念確定

有序數(shù)對：用含有兩個數(shù)的詞表示一個確定的位置，其中各個數(shù)表示不同的含義，我們把這

種有順序的兩個數(shù)a與b組成的數(shù)對，叫做有序數(shù)對［orderedpair］，記作〔a,b〕。利用有序

數(shù)對，可以很準(zhǔn)確地表示出一個位置。

三.方法歸類

常見確實(shí)定平面上的點(diǎn)位置常用的方法

〔1〕以*一點(diǎn)為原點(diǎn)［0,0］將平面分成假設(shè)干個小正方形的方格，利用點(diǎn)所在的行和列的

位置來確定點(diǎn)的位置。

〔2〕以*一點(diǎn)為觀察點(diǎn)，用方位角、目標(biāo)到這個點(diǎn)的距離這兩個數(shù)來確定目標(biāo)所在的位置。

1.如圖，A點(diǎn)為原點(diǎn)〔0,0〕，則B點(diǎn)記為［3,1］

2.如圖，以燈塔A為觀測點(diǎn)，小島B在燈塔A北偏

東45,距燈塔3km處。

例2如圖是*次海戰(zhàn)中敵我雙方艦艇對峙示意圖

,對我方艦艇來說：

1:北偏向上有哪些目標(biāo).要想確定

敵艦B的位置，還需要什么數(shù)據(jù).

〔2〕距我方潛艇圖上距離為1cm處的敵小島

艦有哪幾艘.

〔3〕要確定每艘敵艦的位置，各需要幾個數(shù)據(jù).

7.1.2平面直角坐標(biāo)系

我方戰(zhàn)3

正確畫坐標(biāo)和找對應(yīng)點(diǎn).一二

一.利用已有知識，引入我方潛口敵方戰(zhàn)艦c

1.如圖，怎樣說明數(shù)軸上點(diǎn)A和點(diǎn)B的位置，

我方戰(zhàn)艦1號

2.根據(jù)以下圖，你能正確說出各個象棋子的位置嗎.

二.明確概念

平面直角坐標(biāo)系：平面畫兩條互相垂直、原點(diǎn)重合的數(shù)軸，組成平面直角坐標(biāo)系.水平的數(shù)

軸稱為*軸或橫軸，習(xí)慣上取向右為正方向；豎直的數(shù)軸為y軸或縱軸，正方向；兩個坐標(biāo)

軸的交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。

Z.

點(diǎn)的坐標(biāo)：我們用一對有序數(shù)對表示平面上的點(diǎn)，這對數(shù)叫坐標(biāo)。表示方法為￡,b〕.a是點(diǎn)

對應(yīng)橫軸上的數(shù)值，b是點(diǎn)在縱軸上對應(yīng)的數(shù)值。

7.2.1用坐標(biāo)表示地理位置

教學(xué)目標(biāo)：1.了解用平面直角坐標(biāo)系來表示地理位置的意義及主要過程；培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)

際問題的能力.

2.通過學(xué)習(xí)如何用坐標(biāo)表示地理位置，開展學(xué)生的空間觀念.

3.通過學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠用坐標(biāo)系來描述地理位置.

4.通過用坐標(biāo)系表示實(shí)際生活中的一些地理位置，培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)真、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖鍪聭B(tài)度.

重點(diǎn)：利用坐標(biāo)表示地理位置.

難點(diǎn)：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，利用平面直角坐標(biāo)系解決實(shí)際問題.

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)問題情境

觀察：教材第63頁圖7.2-1.

今天我們學(xué)習(xí)如何用坐標(biāo)系表示地理位置，首先我們來探究以下問題.

二、師生互動，探究用坐標(biāo)表示地理位置的方法

〔1〕建立坐標(biāo)系，選擇一個適當(dāng)?shù)膮⒄拯c(diǎn)為原點(diǎn)，確定1t軸、y軸的正方向；

〔2〕根據(jù)具體問題確定適當(dāng)?shù)谋壤?，在坐?biāo)軸上標(biāo)出單位長度；

〔3〕在坐標(biāo)平面畫出這些點(diǎn)，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)和各個地點(diǎn)的名稱.

應(yīng)注意的問題：

用坐標(biāo)表示地理位置時，一是要注意選擇適當(dāng)?shù)奈恢脼樽鴺?biāo)原點(diǎn)，這里所說的適當(dāng)，通常要

么是比擬有名的地點(diǎn)，要么是所要繪制的區(qū)域較居中的位置；二是坐標(biāo)軸的方向通常是以正

北為縱軸的正方向，這樣可以使東西南北的方向與地理位置的方向一致；三是要注意標(biāo)明比

例尺和坐標(biāo)軸上的單位長度.

有時，由于地點(diǎn)比擬集中，坐標(biāo)平面又較小，各地點(diǎn)的名稱在圖上可以用代號標(biāo)出，在圖外

另附名稱.

7.2.2用坐標(biāo)表示平移

〔1〕如圖將點(diǎn)A〔一2,—3〕向右平移5個單位長度，得到點(diǎn)A1,在圖上標(biāo)出它的坐標(biāo)，

把點(diǎn)A向上平移4個單位長度呢.

〔2〕把點(diǎn)A向左或向下平移4個單位長度，觀察他們的變化，你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎

規(guī)律：在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)〔*,y〕向右〔或左〕平移a個單位長度，可以得到對應(yīng)

點(diǎn)[*+a,y〕〔或〔，〕〕；將點(diǎn)巴y]向上〔或下〕平移b個單位長度，可以得到對應(yīng)點(diǎn)巴

y+b〕〔或〔,〕〕.

教師說明：對一個圖形進(jìn)展平移，這個圖形上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都要發(fā)生相應(yīng)的變化；反過來,

從圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)的*種變化，我們也可以看出對這個圖形進(jìn)展了怎樣的平移.

例如圖〔1〕，三角形ABC三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A[4,3],B〔3,1〕，C〔1,2].

〔1〕將三角形ABC三個頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)后減去6,縱坐標(biāo)不變，分別得到點(diǎn)Al、Bl、C1,

依次連接Al、Bl、C1各點(diǎn)，所得三角形A1B1C1與三角形ABC的大小、形狀和位置上有

什么關(guān)系.

〔2〕將三角形ABC三個頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)都減去5,橫坐標(biāo)不變，分別得到點(diǎn)A2、B2、C2,

依次連接A2、B2、C2各點(diǎn)，所得三角形A2B2c2與三角形ABC的大小、形狀和位置上有

什么關(guān)系.

引導(dǎo)學(xué)生動手操作，按要求畫出圖形后，解答此例題.

Z.

解：如圖〔2〕，所得三角形A1B1C1與三角形ABC的大小、形狀完全一樣，三角形A1B1C1

可以看作將三角形ABC向左平移6個單位長度得到.類似地，三角形A2B2C2與三角形ABC

的大小、形狀完全一樣，它可以看作將三角形ABC向下平移5個單位長度得到.

第七章平面直角坐標(biāo)系

小結(jié)

一、本章知識構(gòu)造圖：

二、平面直角坐標(biāo)系

1、平面有公共原點(diǎn)且互相垂直的兩條數(shù)軸，構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系平面直角坐標(biāo)系，水平的

數(shù)軸叫做*軸或橫軸（正方向向右），鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸（正方向向上），兩軸交點(diǎn)。

是原點(diǎn).這個平面叫做坐標(biāo)平面.

*軸和y把坐標(biāo)平面分成四個象限（每個象限都不包括坐標(biāo)軸上的點(diǎn)），要注意象限的編

號順序及各象限點(diǎn)的坐標(biāo)的符號：由坐標(biāo)平面一點(diǎn)向*軸作垂線，垂足在*軸上的坐標(biāo)叫做這

個點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由這個點(diǎn)向y軸作垂線，垂足在y軸上的坐標(biāo)叫做這個點(diǎn)的縱坐標(biāo)，這個點(diǎn)

的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)合在一起叫做這個點(diǎn)的坐標(biāo)〔橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后）.一個點(diǎn)的坐標(biāo)

是一對有序?qū)崝?shù)，對于坐標(biāo)平面任意一點(diǎn)，都有唯——對有序?qū)崝?shù)和它對應(yīng)，對于任意一對

有序?qū)崝?shù)，在坐標(biāo)平面都有一點(diǎn)和它對應(yīng)，也就是說，坐標(biāo)平面的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對是對

應(yīng)的.

2、不同位置點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：

〔1〕、各象限點(diǎn)的坐標(biāo)有如下特征：

點(diǎn)P〔*,y〕在第一象限*>0,y>0；

點(diǎn)P〔*,y〕在第二象限*<0,y>0；

點(diǎn)P〔*,y〕在第三象限*<0,y<0；

點(diǎn)P〔*,y〕在第四象限*>0,y<0.

〔2〕、坐標(biāo)軸上的點(diǎn)有如下特征：

點(diǎn)P〔*,y〕在*軸上y為0,*為任意實(shí)數(shù).

點(diǎn)P〔*,y〕在y軸上*為0,y為任意實(shí)數(shù).

3、點(diǎn)P〔*,y〕坐標(biāo)的幾何意義：

⑴點(diǎn)P〔*,y〕到*軸的距離是|y|；

〔2〕點(diǎn)P〔*,y〕到y(tǒng)袖的距離是|*|；

〔3〕點(diǎn)P〔*,y〕到原點(diǎn)的距離是

4、關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：

⑴點(diǎn)P〔a,b〕關(guān)于*軸的對稱點(diǎn)是；

〔2〕點(diǎn)P〔a,b〕關(guān)于*軸的對稱點(diǎn)是；

〔3〕點(diǎn)P〔a,b〕關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是；

三、坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用

〔一〕、表示地理位置：〔注意點(diǎn)〕

1、建立坐標(biāo)系，選擇一個適當(dāng)?shù)膮⒄拯c(diǎn)為原點(diǎn)，確定軸、y軸的正方向.〔說清楚以什么為

原點(diǎn)，什么所在的方向?yàn)?軸的正方向，什么所在的方向?yàn)閥軸的正方向〕.

2、根據(jù)具體問題確定適當(dāng)?shù)谋壤撸谧鴺?biāo)軸上標(biāo)出單位長度.〔比例尺不能漏，單位長

度不要忘記〕.

3、在坐標(biāo)平面畫出這些點(diǎn)，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)和各個點(diǎn)的名稱.

〔二；|、用坐標(biāo)表示平移

Z.

1、圖形的平移：在平面，將一個圖形沿*個方向移動一定距離，這種圖形的運(yùn)動稱為平移

2、圖形的移動引起坐標(biāo)變化的規(guī)律：

〔1〕、將點(diǎn)〔*,y〕向右平移a個單位長度，得到的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是：〔*+a,y]

〔2〕、將點(diǎn)〔*,y]向左平移a個單位長度，得到的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是：〔*-a,y〕

〔3〕、將點(diǎn)〔*,y〕向上平移b個單位長度，得到的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是：〔*,y+b]

〔4〕、將點(diǎn)〔*,y〕向下平移b個單位長度，得到的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是：[*,y-b]

3、點(diǎn)的變化引起圖形移動的規(guī)律：

〔1〕、將點(diǎn)〔*,y〕的橫坐標(biāo)加上一個正數(shù)a,縱坐標(biāo)不變，即[*+a,y],則其新圖形就是

把原圖形向右平移a個單位.

〔2〕、將點(diǎn)〔*,y〕的橫坐標(biāo)減去一個正數(shù)a,縱坐標(biāo)不變，即〔*-a,y]，則其新圖形就是

把原圖形向左平移a個單位.

〔1〕、將點(diǎn)〔*,y〕的縱坐標(biāo)加上一個正數(shù)b,橫坐標(biāo)不變，即[*,y+b],則其新圖形就

是把原圖形向上平移a個單位.

〔1〕、將點(diǎn)〔*,y〕的縱坐標(biāo)加上一個正數(shù)b,橫坐標(biāo)不變，即[*,y+b],則其新圖形就

是把原圖形向下平移b個單位.

4、平移的性質(zhì)：

〔1〕、平移后，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等；

〔2〕、平移后，對應(yīng)線段平行且相等；

〔3〕、平移后，對應(yīng)角相等；

〔4〕、平移后，只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小.

5、決定平移的因素：平移的方向和距離.

6、畫平移圖形，必須找出平移的方向和距離、畫平移圖形的依據(jù)是平移的性質(zhì)

7、在實(shí)際生活中，同一個圖案往往可以由不同的根本圖案經(jīng)過平移形成的，選取了不同的

根本圖案之后，分析這個圖案的形成過程就有所不同.

第八章二元一次方程組

8.1二元一次方程組

一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解

二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

從上面兩個方程組的解法可以發(fā)現(xiàn)，把兩個二元一次方程的兩邊分別進(jìn)展相加減，就可以消

去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程。

兩個二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相減,

就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。

⑴用加減消元法解二元一次方程組的根本思路仍然是"消元".

（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟

第一步:在所解的方程組中的兩個方程,如果*個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)，可以把這兩個方

程的兩邊分別相加，消去這個未知數(shù);如果未知數(shù)的系數(shù)相等，可以直接把兩個方程的兩邊相

減，消去這個未知數(shù).

第二步:如果方程組中不存在*個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等，則應(yīng)選出一組系數(shù)（選最小公倍數(shù)

較小的一組系數(shù)），求出它們的最小公倍數(shù)（如果一個系數(shù)是另一個系數(shù)的整數(shù)倍，該系數(shù)即為

最小公倍數(shù)），然后將原方程組變形，使新方程組的這組系數(shù)的絕對值相等（都等于原系數(shù)的最

小公倍數(shù)）,再加減消元.

第三步:對于較復(fù)雜的二元一次方程組，應(yīng)先化簡（去分母，去括號，合并同類項(xiàng)等），通常要把每

Z.

個方程整理成含未知數(shù)的項(xiàng)在方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)在方程的右邊的形式，再作如上加減消元

的考慮.

（三）歸納總結(jié)，知識回憶

本節(jié)課，我們主要是學(xué)習(xí)了二元一次方程組的另一解法——加減法.通過把方程組中的兩個方

程進(jìn)展相加或相減，消去一個未知數(shù)，化"二元"為"一元".

8.4三元一次方程組解法舉例

這個方程組有三個一樣的未知數(shù)，每個方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,并且一共有三個

方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.

二、探究三元一次方程組的解法

【解法探究】怎樣解這個方程組呢.能不能類比二元一次方程組的解法，設(shè)法消去一個或兩

個未知數(shù)，把它化成二元一次方程組或一元一次方程呢（展開思路，暢所欲言）

x+y+z=12①

<x+2y+5z=22②

=4y（3）

例1.解方程組〔x」

分析1：發(fā)現(xiàn)三個方程中*的系數(shù)都是1,因此確定用減法“消*”.

分析2:方程③是關(guān)于*的表達(dá)式，確定“消*”的目標(biāo)

【方法歸納】根據(jù)方程組的特點(diǎn)，由學(xué)生歸納出此類方程組為：

類型一：有表達(dá)式，用代入法.

針對上面的例題進(jìn)而分析，例1中方程③中缺z,因此利用①、②消z,可到達(dá)消元構(gòu)成二元一

次方程組的目的.

根據(jù)方程組的特點(diǎn)，由學(xué)生歸納出此類方程組

類型二：缺*元，消*元.

教師提示：當(dāng)然我們還可以通過消掉未知項(xiàng)y來到達(dá)將“三元”轉(zhuǎn)化為"二元”目的，同學(xué)

可以課下自行嘗試一下.

三、課堂小結(jié)

1.解三元一次方程組的根本思路：通過“代入"或"加減"進(jìn)展消元，把"三元"化為"二

元”，使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解一元一次方程.

消元消元

即三元一次方程組.二元一次方程組.一元一次方程

2.解題要有策略，今天我們學(xué)到的策略是：有表達(dá)式，用代入法；缺*元，消*元.

本章小結(jié)

一、知識構(gòu)造

實(shí)際問題設(shè)未知數(shù)，列方程

二元或三元一次方程組第九章不

代

解

人

方等式與不等

法

程

加

組

減式組

法

▼〔一〕不等式、一

樓吟

實(shí)際問題的答案二元或三元一次方程組的解

Z.

元一次不等式的概念

在學(xué)生充分發(fā)表自己意見的根底上，師生共同歸納得出：用或表示大小關(guān)系的

式子叫做不等式；用“并"表示不等關(guān)系的式子也是不等式。

〔二〕不等式的解、不等式的解集

2、直接想出不等式的解集，并在數(shù)軸上表示出來：〔1〕*+3>6〔2〕2*<8〔3〕*-2>0

2、不等式的解與不等式的解集；3、不等式的解集在數(shù)軸上的表示.

不等式的性質(zhì)〔一〕

共同歸納得出：

不等式性質(zhì)1：不等式兩邊都加上〔或減去〕同一個數(shù)〔或式子〕，不等號的方向不變.

不等式性質(zhì)2:不等式兩邊都乘〔或除以〕同一個正數(shù)，不等號的方向不變.

不等式性質(zhì)3:不等式兩邊都乘〔或除以〕同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變.

9.3一元一次不等式組〔一〕

歸納解一元一次不等式組的步驟：⑴求出各個不等式的解集；⑵找出各個不等式的解集的

公共局部〔利用數(shù)軸〕.

布置作業(yè)：教科書130頁習(xí)題9.3第4、5、6題.

不等式與不等式組知識總結(jié)

一、不等式的概念

1.不等式：用不等號表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式。

2.不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，任何一個適合這個不等式的未知數(shù)的值，

都叫做這個不等式的解。

3.不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解

的集合，簡稱這個不等式的解集。

4.解不等式：求不等式的解集的過程，叫做解不等式。

5.用數(shù)軸表示不等式的解集。

二、不等式的根本性質(zhì)

1.不等式兩邊都加上〔或減去〕同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變。

2.不等式兩邊都乘以〔或除以〕同一個正數(shù)，不等號的方向不變。

3.不等式兩邊都乘以〔或除以〕同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變。

說明：

①在一元一次不等式中，不像等式那樣，等號是不變的，是隨著加或乘的運(yùn)算改變。

②如果不等式乘以0,則不等號改為等號所以在題目中，要求出乘以的數(shù)，則就要看看題中

是否出現(xiàn)一元一次不等式，如果出現(xiàn)了，則不等式乘以的數(shù)就不等為0,否則不等式不成立。

三、一元一次不等式

1.一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1,且

不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。

2.解一元一次不等式的一般步驟：〔1〕去分母〔2〕去括號〔3〕移項(xiàng)

〔4〕合并同類項(xiàng)〔5〕將*項(xiàng)的系數(shù)化為1

四、一■元一1次不等式組

Z.

1、一元一次不等式組的概念：

幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。

2、幾個一元一次不等式的解集的公共局部，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。

3、求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。

4、當(dāng)任何數(shù)*都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集。

5、一元一次不等式組的解法

〔1〕分別求出不等式組中各個不等式的解集

〔2〕利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共局部，即這個不等式組的解集。

練習(xí)題：P133

第十章數(shù)據(jù)的收集、整理與描述

10.1統(tǒng)計(jì)調(diào)查〔一〕

數(shù)據(jù)的描述

為了更直觀地看出上表中的信息，我們還可以用條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖來描述數(shù)據(jù)。

繪制條形統(tǒng)計(jì)圖[投影7]

繪制扇形統(tǒng)計(jì)圖

我們知道，扇形圖用圓代表總體，每一個扇形代表總體的一局部。扇形圖通過扇形的大小來

反映各個局部占總體的百分比。扇形的大小是由圓心角的大小決定的，所以，我們只要知道

圓心角的度數(shù)就可以畫出代表*一局部的扇形。

因?yàn)榻M成扇形圖的各扇形圓心角的和是3600,所以只需根據(jù)各類節(jié)目所占的百分比就可以

算出對應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)。

新聞:3600X10%^360,

體育：3600X25%=900,

動畫：3600X20%=720,

娛樂：3600X45%=1620.

在一個圓中，根據(jù)算得的圓心角的度數(shù)畫出各個扇形，并注明各類節(jié)目的名稱及相應(yīng)的百分

比。[投影8]

10.1統(tǒng)計(jì)調(diào)查〔二〕

Z.

可以抽取一局部學(xué)生進(jìn)展調(diào)查.

這種只抽取一局部對象進(jìn)展調(diào)查，然后根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)推斷全體對象的情況的方法就是抽樣調(diào)

查。這里要考察的全體對象稱為總體，組成總體的每一個考察對象稱為個體，被抽取的那些

個體組成一個樣本，樣本中個體的數(shù)目稱為樣本容量。上面問題中全校學(xué)生是總體，每一名

學(xué)生是個體，我們從總體中抽取的局部學(xué)生是一個樣本，抽取的學(xué)生數(shù)就是樣本容量。例如

抽取100名學(xué)生，樣本容量就是100。

三、樣本的抽取

抽樣調(diào)查的關(guān)鍵是樣本的抽取，如果抽取的樣本得當(dāng)，就能很好地反映總體的情況，否則，

抽樣調(diào)查的結(jié)果會偏離總體情況。上面的問題，抽取樣本的要什么呢

一、抽取的學(xué)生數(shù)目要適當(dāng)。如果抽取的學(xué)生數(shù)太少，則樣本就不能很好地反映總體的情況；

如果抽取的學(xué)生人數(shù)太多，則達(dá)不到省時省力的目的。我們可以取100名學(xué)生作為一個樣本。

二、要盡量使每一個學(xué)生抽取到的時機(jī)相等。例。

四、樣本的處理

表格中的數(shù)據(jù)也可以用條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖來表示描述。

1、對于總體量大，個差異程度較大的問題，需要采取分層抽樣的方法確定樣本，這樣可使

樣本更具有代表性。

2、對樣本進(jìn)展分析、歸納，得出的結(jié)論可以用來估計(jì)總體的情況，這就是統(tǒng)計(jì)的思想。

10.2直方圖〔一〕

收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)是統(tǒng)計(jì)的一般過程。我們學(xué)習(xí)了條形圖、折線圖、扇形圖等

描述數(shù)據(jù)的方法，今天我們學(xué)習(xí)另一種描述數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖——直方圖。

二、頻數(shù)分布直方圖

計(jì)算最大值與最小值的差〔極差〕

最小值是149,最大值是172,它們的差是23。說明身高的變化圍是23cm.

2、決定組距與組數(shù)

把所有的數(shù)據(jù)分成假設(shè)干組，每個小組的兩個端點(diǎn)之間的距離〔組數(shù)據(jù)的取值圍〕稱為組距。

作等距分組〔各組的組距一樣〕，取組距為3cm〔從最小值起每隔3cm作為一組〕。

將數(shù)據(jù)分成8組：149W*<152,152<*<155,---,170<*<173,

注意：①根據(jù)問題的需要各組的組距可以一樣或不同；

②組距和組數(shù)確實(shí)定沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)，要憑借經(jīng)歷和所研究的具體問題來決定；

③當(dāng)數(shù)據(jù)在100個以時，按照數(shù)據(jù)的多少，常分成5?12組，一般數(shù)據(jù)越多分的組數(shù)也越多。

3、頻數(shù)分布表

對落在各個小組的數(shù)據(jù)進(jìn)展累計(jì)，得到各個小組的數(shù)據(jù)的個數(shù)〔叫做頻數(shù)〕。用表格整理可

得頻數(shù)分布表：

4、畫頻數(shù)分布直方圖

為了更直觀形象地看出頻數(shù)分布的情況，可