2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)5.1.1任意角應(yīng)用案鞏固提升新人教A版必修第一冊

PAGE1-5.1.1任意角[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．下列角的終邊位于第二象限的是()A．420° B．860°C．1060° D．1260°解析：選B.420°＝360°＋60°，終邊位于第一象限；860°＝2×360°＋140°，終邊位于第二象限；1060°＝2×360°＋340°，終邊位于第四象限；1260°＝3×360°＋180°，終邊位于x軸非正半軸．故選B.2．與1303°終邊相同的角是()A．763° B．493°C．－137° D．－47°解析：選C.因?yàn)?303°＝4×360°－137°，所以與1303°終邊相同的角是－137°.3．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°＜β＜180°}，則A∩B＝()A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°}解析：選C.令k＝－1，0，1，2，則A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.4．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角α的終邊在單位圓中的位置(陰影部分)是()解析：選C.當(dāng)k＝2n，n∈Z時，n·360°＋45°≤α≤n·360°＋90°，n∈Z；當(dāng)k＝2n＋1，n∈Z時，n·360°＋225°≤α≤n·360°＋270°，n∈Z.故選C.5．若角α，β的終邊相同，則α－β的終邊落在()A．x軸的非負(fù)半軸上 B．x軸的非正半軸上C．x軸上 D．y軸的非負(fù)半軸上解析：選A.因?yàn)榻铅粒碌慕K邊相同，故α－β＝k·360°，k∈Z.所以α－β的終邊落在x軸的非負(fù)半軸上．6．在0°～360°范圍內(nèi)，與－120°終邊相同的角是________．解析：與－120°終邊相同的角為α＝－120°＋k·360°(k∈Z)，由0°≤－120°＋k·360°＜360°，k∈Z，得eq\f(1,3)≤k＜eq\f(4,3)，又k∈Z，所以k＝1，此時α＝－120°＋360°＝240°.答案：240°7．50°角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，把其終邊按順時針方向旋轉(zhuǎn)3周，所得的角是________．解析：順時針方向旋轉(zhuǎn)3周轉(zhuǎn)了－(3×360°)＝－1080°，又50°＋(－1080°)＝－1030°，故所得的角為－1030°.答案：－1030°8．終邊在第一或第三象限的角的集合是________．解析：因?yàn)榻K邊在第一象限的角的集合為{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}，終邊在第三象限的角的集合為{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}，故終邊在第一或第三象限的角的集合為{α|k·180°<α<90°＋k·180°，k∈Z}．答案：{α|k·180°<α<90°＋k·180°，k∈Z}9．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列問題：(1)集合M有幾類終邊不相同的角？(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪幾個？(3)寫出集合M中的第二象限角β的一般表達(dá)式．解：(1)集合M的角可以分成四類，即終邊分別與－150°角，－60°角，30°角，120°角的終邊相同的角．(2)令－360°<30°＋k·90°<360°，k∈Z，則－eq\f(13,3)<k<eq\f(11,3)，k∈Z，所以k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8個，分別是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.(3)集合M中的第二象限角與120°角的終邊相同，所以β＝120°＋k·360°，k∈Z.10．已知角β為以O(shè)為頂點(diǎn)，x軸為始邊，逆時針旋轉(zhuǎn)60°所成的角．(1)寫出角β的集合S；(2)寫出S中適合不等式－360°<β<720°的元素．解：(1)由題可知，角β的集合S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．(2)在S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}中，取k＝－2，得β＝－300°，取k＝－1，得β＝－120°，取k＝0，得β＝60°，取k＝1，得β＝240°，取k＝2，得β＝420°，取k＝3，得β＝600°.所以S中適合不等式－360°<β<720°的元素分別是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.[B能力提升]11．若α是第二象限角，那么eq\f(α,2)和2α都不是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析：選B.由α是第二象限角可知eq\f(α,2)是第一或第三象限角，2α是第三或第四象限角，所以eq\f(α,2)和2α都不是第二象限角．12．角α滿足180°<α<360°，角5α與α有相同的始邊，且又有相同的終邊，則角α＝________．解析：因?yàn)?α與α的始邊和終邊相同，所以這兩個角的差應(yīng)是360°的整數(shù)倍，即5α－α＝k·360°，α＝k·90°.又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°.答案：270°13．已知α，β都是銳角，且α＋β的終邊與－280°角的終邊相同，α－β的終邊與670°角的終邊相同，求角α，β的大?。猓河深}意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z，因?yàn)棣?，β都是銳角，所以0°＜α＋β＜180°.取k＝1，得α＋β＝80°.①因?yàn)棣粒拢?70°＋k·360°，k∈Z.因?yàn)棣?，β都是銳角，所以－90°＜α－β＜90°.取k＝－2，得α－β＝－50°.②由①②，得α＝15°，β＝65°.[C拓展探究]14．如圖，一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個半徑為1的圓上爬動，若兩只螞蟻同時從點(diǎn)A(1，0)按逆時針勻速爬動，紅螞蟻每秒爬過α角，黑螞蟻每秒爬過β角(其中0°<α<β<180°)，如果兩只螞蟻都在第14秒回到A點(diǎn)，并且在第2秒時均位于第二象限，求α，β的值．解：根據(jù)題意可知14α，14β均為360°的整數(shù)倍，故可設(shè)14α＝m·360°，m∈Z，14β＝n·360°，n∈Z.由于兩只螞蟻在第2秒時均位于第二象限，又由0°<α<β<180°，知0°<2α<2β<360°，進(jìn)而知2α，2β都是鈍角，即90°<2α<2β<180°，即45°<α<β<90°，所以45°<α＝eq\f(m,7)·180°<90°，45°<β＝eq\f(n,7)·180°<90°，所以eq\f(7,4)<m<eq\f(7,2)，e