2024-2025學年廣東省三校決勝高考夢圓乙巳第一次聯(lián)考數(shù)學試題及答案

絕密★啟用前6.世紀的法國數(shù)學家盧卡斯以研究斐波那契數(shù)列而著名，以他的名字命名的盧卡斯數(shù)列滿足2024-2025學年度上學期廣東省三?！皼Q勝高考，夢圓乙巳”第一次聯(lián)合模擬考試，若其前項和為，則()B.B.C.7.已知向量，，且，則向量與的夾角等于()C.參加學校：諾德安達學校、金石實驗中學、英廣實驗學校8.設函數(shù)函數(shù)，則()學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________無極值點為的極大值點B.為為的極小值點的極小值點注意事項:C.二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.午飯時間；同學從教室到食堂的路程與時間的函數(shù)關系如圖，記時刻的瞬時速度為上的平均速度分別為，則下列判斷正確的有(1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。，區(qū)間2.回答選擇題時，選出每小題答案后，請2B用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干)凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效。3.考試結束后，本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.一個圓臺的上、下底面的半徑分別為和，高為，則它的表面積為()B.C.2.某校高一年級有名學生中抽取一個樣本B.已知在高一年級中抽取了名學生，則在高二年級中應抽取的學生人數(shù)為()C.對于，存在，使得B.C.C.整個過程小明行走的速度一直在加快10.對于函數(shù)，下列說法正確的是(3.已知點心率等于(，分別是橢圓的左焦點、右頂點，滿足，則橢圓的離))在上單調遞減，在時，上單調遞增B.B.當4.由數(shù)字，，，，組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中偶數(shù)共有()C.若函數(shù)設有兩個零點，則，若對，個B.個C.個上單調遞增，個，使得過點成立，則5.已知是定義在在的解集為()11.已知為坐標原點，焦點為的拋物線，過且與垂直的直線與拋B.C.物線的另一交點為，則()．中，底面，，為的中點，為中點，，B.C.直線與拋物線的準線相交于點第卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若函數(shù)存在唯一極值點，則實數(shù)的取值范圍是分別在所成角的余弦值為______．14.已知等差數(shù)列的公差，且四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題．Ⅰ求證：Ⅱ求平面與平面；13.在正方體、、，，則異成角的正弦值；面直線與Ⅲ在線段由．上是否存在點平面，，成等比數(shù)列，則的值為______．18.本小題分分已知無窮數(shù)列滿足，若，滿足，，如圖，在三棱錐證明：中，；，，為中點．滿足為常數(shù)數(shù)列，則稱為階等差數(shù)列同理令為常數(shù)數(shù)列，則稱為階等比數(shù)平面上，若點在棱，且，求二面角的大?。?，，，，若列．已知為二階等差數(shù)列，且，，，求的通項公式若為階等差數(shù)列，為一階等比數(shù)列，證明：為階等比數(shù)列已知，令的前項和為，，，證明：．19.本小題分16.本小題已知實數(shù)證明：分如果三個互不相同的函數(shù)，則稱，與與在區(qū)間上恒有或滿足．；“”在區(qū)間上的分割函數(shù)．為證明：函數(shù)若函數(shù)為函數(shù)在上的分割函數(shù)；證明：．“”上的分割函數(shù)的取值范為函數(shù)與在17.本小題分圍；若，為函數(shù)與在區(qū)間“”上的分割函數(shù)，求的最大值．4.【答案】1.【答案】個位置有種不同的方法，由數(shù)字，，，【解析】解：依題意結合圓臺的上、下底面的半徑分別為和，圓臺的高為，，組成沒有重復數(shù)字的五位偶數(shù)有考點：本題考查了排列的運用，故選B所以圓臺的母線長為則圓臺的表面積為，．點評：對于有特殊元素的排列問題優(yōu)先安排，然后再排其余元素，屬基礎題5.【答案】故選：．根據題意，結合圓臺的側面積公式，即可求解．本題考查圓臺的表面積的計算，屬于基礎題．2.【答案】【解析】【分析】本題考查了函數(shù)的單調性與奇偶性，是中檔題．利用函數(shù)的單調性與奇偶性做出函數(shù)圖象，然后按的符號進行分類討論．【解析】【分析】【解答】解：由題意畫出的大致圖象如圖所示，【詳解】解：在總人數(shù)中高二與高一學生人數(shù)之比為所以在抽取的樣本中高二與高一學生人數(shù)之比仍為：：因為高一抽取了人，所以高二應抽取人故選：．【點睛】本題考查了分層抽樣，屬于基礎題．3.【答案】由，可得或【解析】解解：結合的圖象得或．，即，整理得即故選C．6.【答案】等號兩邊同時除以求得得，即【解析】【分析】本題考查裂項相消法求和，屬于基礎題．根據遞推公式累加即可．【解答】故選B解：因為累加得：所以首先根據推斷出和的方程求得即離心率的值．本題主要考查了橢圓的簡單性質．要求學生熟練掌握橢圓的標準方程中，和的關系以及橢圓的圖象．即．故選：．函數(shù)函數(shù)在上單調遞增，的單調遞增區(qū)間為7.【答案】．【解析】【分析】函數(shù)無極值點．利用向量垂直則數(shù)量積為零，可求出，再由利用向量數(shù)量積的坐標運算求向量的夾角即可．【解答】故選：．9.【答案】【解析】【分析】本題考查函數(shù)圖象的實際應用，瞬時速度，平均速度，屬于中檔題．，C解：因為所以，，，，，與直線的交點，即可判斷，選項，可以觀察曲線在各點處的切線方程的斜率，即可判斷．又，，【解答】所以則，解：由題意可知；，，，，所以由圖像可知所以，，即，因此，此時，，則，，因此，故A正確；，由，故由，故B不正確；時，，，故C正確；又，時刻的瞬時速度為由圖象可知，當判斷平均速度的快慢，可以看整個曲線在各點處的切線方程的斜率，時，切線方程的斜率最大，所以．故選：．8.【答案】【解析】【分析】本題考查函數(shù)的極值問題，屬基礎知識的考查．熟練掌握導數(shù)法求極值的方法步驟是解答的關鍵．首先求出函數(shù)的導函數(shù)【解答】，求得其單調區(qū)間，然后求極值．故而在此時，速度最快，故D不正確．故選：10.【答案】．解：，，11.【答案】【解析】解：對于選項，對于選項，的定義域為時，，所以選項錯誤；遞減，【解析】【分析】，當，本題考查拋物線的標準方程和定義，考查拋物線中的弦長問題，直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．由于，所以，，將點的由于，，得方程，與拋物線方程聯(lián)立解得點，從而求出【解答】，可判斷；易求出直線與準線交點，可判斷．所以由兩邊乘以，所以選項正確；解：由拋物線過點，故A正確；，準線方程為，故B錯誤；，對于選項，令由于，，可得，則，所以在區(qū)間，，，，遞減，拋物線所以，在區(qū)間當，遞增，，當時，的定義域為，所以函數(shù)的圖象如圖所示，時，，，由已知可得直線與，函數(shù)，垂直，且過，所以直線的方程為，即，又為偶函數(shù)，與聯(lián)立方程組由此畫出由圖可知，當即當或或時，直線的圖象有兩個交點，得，時，函數(shù)有兩個零點，所以選項錯誤；解得或，故，所以，故C正確；由直線的方程，得所以直線與拋物線的準線相交于點，令，，故D正確．對于選項，由上述分析可知，，則，，，“要使對”成立，，，使得則需，所以選項正確．．故選：故選：．根據函數(shù)的定義域即可判斷；利用導數(shù)判斷函數(shù)區(qū)間，作出函數(shù)的圖象，結合圖象即可判斷；結合選項即可判斷本題考查導數(shù)的綜合應用，化歸轉化思想，數(shù)形結合思想，屬難題．在上的單調性即可判斷；求出函數(shù)的單調．12.【答案】【解析】【分析】【分析】本題考查利用導數(shù)根據極值或極值點求參，屬于中檔題．由，可得出，可知直線與函數(shù)的圖象有一個交點非切點，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性與極值，數(shù)形結合可得出實數(shù)的取值范圍．【解答】解：，則，則，，，，若函數(shù)存在唯一極值點，，，則在上有唯一的根，可得設異面直線則與所成角為，所以由，則有唯一的根，．直線又與函數(shù)的圖象有一個交點非切點，，異面直線與所成角的余弦值為．所以當時，，單調遞增，當時，，當，單調遞減，，故答案為：．14.【答案】所以，函數(shù)則函數(shù)的極大值為，且當時，時，的圖象如下圖所示：【解析】解：等差數(shù)列的公差，解得，且，，成等比數(shù)列，，，故答案為：．所以，當時，即當時，直線與函數(shù)的圖象有一個交點非切點，根據等差數(shù)列的公差求出答案．，且，，成等比數(shù)列，求出與等量關系，再根據通項公式代入式子，即可因此，實數(shù)的取值范圍是13.【答案】本題綜合考查了等差，等比數(shù)列的性質，運算解決求值問題，注意通項公式的運用．【解析】【分析】15.【答案】解：證明：因為，且為中點，所以，本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線所成角的余弦值．因為，且為中點，所以，以與因為所以所以又，且為中點，，，因為，，【解答】，所以，解：設正方體中棱長為，為軸，為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，，平面，以為原點，為軸，所以因為所以如圖，建立以為原點，以平面；當時等號成立，則，所以，，且為中點，，兩兩垂直，因為，從而，，，分別為，，軸的空間直角坐標系，【解析】根據絕對值不等式并結合17.【答案】【解析】【分析】Ⅰ根據線面垂直判定與性質定理進行論證，Ⅱ先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，列方程組解得平面Ⅲ先設直接利用即可證明．中結論即可證明．Ⅰ見證明；ⅡⅢ點是靠近點的四等分點易知設，，，，，由，即，可求得，坐標，再根據與平面的法向量的數(shù)量積為零解得結果．所以，，【詳解】Ⅰ證明：底面，，不妨設平面的一個法向量為，則又，，平面平面，，即．令，則，，所以，為的中點，，取平面所以的一個法向量為，．．，平面；所以二面角的大小為．Ⅱ【解析】本題考查平面與平面所成角的向量求法，線面垂直的判定，屬于中檔題．證得，然后根據線面垂直的判定定理即可得出結論；建立空間直角坐標系，利用空間向量的夾角坐標公式即可求出結果．16.【答案】解：和因為，18.【答案】解：由，由，則則則為公差為，首項為的等差數(shù)列，，則，．設為階等差數(shù)列，則為一次多項式，為常數(shù)，則猜測是關于的次多項式，下用數(shù)學歸納法證明：由題意建立空間直角坐標系．，，，當時，顯然成立時，是關于的次多項式，當，，．假設當時，則是關于的次多項式，，，．由又是次多項式，故是關于的次多項式，設平面設的法向量為，則，?。且浑A等比，則是關于的次多項式，則是常數(shù)列，故，則，與平面成角為，由故是關于的次多項式，則是階等差數(shù)列．則．是階等比數(shù)列．由，所以與平面成角正弦值為上存在點，使得，設則，Ⅲ假設在線段平面．設，．故則則，，的法向量為，則，得證，平面，平面，解得，．【解析】本題考查數(shù)列的新定義，等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，數(shù)學歸納法，屬于難題．點是靠近點的四等分點．由新定義得為公差為，首項為的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式求解；能力，屬中檔題．設為階等差數(shù)列，則為常數(shù)，則為一次多項式，猜測是關于的次多項式，用數(shù)學歸納法證明；設相消求和證明結論．19.【答案】解：證明：設，，則當時，，在上單調遞增，當時，在，在單調遞減，所以故F設處取得極大值，即為最大值，關于函數(shù)，，所以，則時，，，令當，可得與，，時，；，當時，，在上單調遞減，當時，在，在上單調遞增，當與時，所以故H綜上：處取得極小值，即為最小值，可知是函數(shù)極小值點，是極大值點，的圖象如圖所示：，所以時，時，，該函數(shù)與，“”上的分割函數(shù)；所以函數(shù)若函數(shù)則為函數(shù)與在“”在區(qū)間上的分割函數(shù)，是函數(shù)與對一切實數(shù)恒成立，又因為，當時，它的值為，的圖象在“”上的分割函數(shù)，由為與在區(qū)間可知它也是處的切線為直線，故存在使得并且切點橫坐標此時切線方程為且直線與的圖象相切，的圖象在，可得處的切線，，所以所以即，對一切實數(shù)恒成立，對一切實數(shù)恒成立，，即，，且設直線與的圖象交于點，，可得又且，即則由所以，可得，時，