北京市通州區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）

北京市通州區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題(含解析)

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.設(shè)集合〃={—2,—N={x,2+x—2<0},貝()

A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1}C.{-1,0}D.{0,1}

【答案】C

【解析】

【分析】

先計算集合N,再計算McN得到答案.

【詳解】N=+%-2<oj-=^x|-2<x<l},M={-2,-1,0,1,2}

則McN={_1,0}

故選：C

【點睛】本題考查了交集的運算，屬于簡潔題型.

2.等比數(shù)列{4}中，q=1,%=8.則%,=().

A.2‘TB.2nC.2"iD.2n+2

【答案】A

【解析】

【分析】

干脆利用等比數(shù)列公式計算得到答案.

【詳解】等比數(shù)列{4}中，q=1,%=%/=8\q=2,4=2"」

故選：A

【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題型.

3.下列函數(shù)中為偶函數(shù)且在(0,+8)上為增函數(shù)的是()

A.yB.J=lg|x|C.y=COSXD.y=2工

【答案】B

【解析】

【分析】

依次推斷每個選項的奇偶性和單調(diào)性，推斷得到答案.

【詳解】A.y=L,是奇函數(shù)，解除；B.y=lg|x|,是偶函數(shù)，x>0時，y=lgx,單調(diào)

X

遞增，正確；

C.y=COSX,偶函數(shù)，x>0時，是周期函數(shù)，解除；D.>=2",非奇非偶函數(shù)，解除;

故選：B

【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，記憶常規(guī)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.

4.“sin2a〉0”是“tana>0”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】

依據(jù)角度的范圍依次推斷充分性和必要性，推斷得到答案.

71

【詳解】sin2cif>0/.Ik7i<2a<2k7i+71k7i<a<k7r+—>0,充分性；

2

tana>02k兀<a<2左萬+乙或2k?i+7r<a<2kji+—

22

...2左乃<2。<2左4+乃或4左乃+2?<2。<4左萬+3萬，故sin2o>0,必要性.

故選：C

【點睛】本題考查了充分必要條件，意在考查學(xué)生的推斷實力.

5.直線/經(jīng)過點A(0,b),且與直線y=x平行，假如直線/與曲線>=必相切，那么匕等于

()

1111

A.——B.一一C.-D.-

4242

【答案】A

【解析】

【分析】

先表示出直線方程為y=x+b,求導(dǎo)計算切點為(工,工)，代入直線方程得到答案.

24

【詳解】直線/經(jīng)過點A(0/),且與直線丁=%平行，則直線方程為：y=x+b

直線/與曲線y=_相切，y=2%=l\%=;，切點為(g1)代入直線方程

解得：b=—

4

故選：A

【點睛】本題考查了切線問題，也可以聯(lián)立方程利用A=0計算答案.

6.在//回中，角4B,。所對的邊分別為a,b,c.若A=?,a=亞,b=&，則//回

的面積等于()

1-31正3

A.一或一B.—C.---D.一

22222

【答案】D

【解析】

【分析】

利用余弦定理得到c=3,代入面積公式計算得到答案.

【詳解】利用余弦定理得到：片=從+-2bcc一45=2+c?—2c,c=3或c=—1(舍

去)

13

^=2^81114=2

故選：D

【點睛】本題考查了余弦定理和面積公式，意在考查學(xué)生的計算實力.

9%<1

7.設(shè)函數(shù)/■(%)='~'若方程/(尤)—左=0有且只有一個根，則實數(shù)上的取值范圍

log2X,X>1,

是()

A.(0,2)B.(2,+oo)C.[2,+oo)D.[0,2]

【答案】B

【解析】

【分析】

方程/■(%)-左=0有且只有一個根，等價于/(%)=左圖像有一個交點，畫出函數(shù)圖像得到

答案.

2X<1

【詳解】/"(%)='X一'方程/'(%)—左=0有且只有一個根，等價于/(%)=左圖像有

log2%,%>!,

一個交點.

畫出函數(shù)圖像:

依據(jù)圖像知：k>2

故選：B

【點睛】本題考查了方程的解的問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像的交點是解題的關(guān)鍵.

8.2014年6月22日，卡塔爾首都多哈召開的第38屆世界遺產(chǎn)大會上宣布：中國大運輸河項

目勝利入選世界文化遺產(chǎn)名錄,成為中國第46個世界遺產(chǎn)項目.隨著對大運輸河的愛護與開

發(fā)，大運輸河已成為北京城市副中心的一張亮麗的名片，也成為眾多旅游者的巡游目的的.

今有一旅游團乘游船從奧體公園碼頭動身順流而下至漕運碼頭，又馬上逆水返回奧體公園碼

頭.已知游船在順?biāo)械乃俣葹樨?，在逆水中的速度為?匕工匕)，則游船此次行程的平

均速度I與七以的大小關(guān)系是()

A,b山B.三二c.D.

222

建工

2

【答案】C

【解析】

【分析】

先計算平均速度v=^，再計算v_=-(%—嶺)<0得到答案.

Vl+V22匕+匕

-_2S_2vlv2

【詳解】設(shè)兩碼頭距離為S,則.一?+?―匕+嶺

匕%

V)+v_2Vly2vi+v2_4Vly2一(V1+v2)一(%-4)

2<0(%w%)即v<"+"

2匕+嶺22(%+%)2(%+嶺)

故選：C

【點睛】本題考查了不等式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的應(yīng)用實力.

其次部分（非選擇題共110分）

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

9.已知。+歷（i為虛數(shù)單位，a,Z?eR）,則

【答案】-3；

【解析】

【分析】

化簡復(fù)數(shù)得到再計算G+6得到答案.

【詳解】a+bi=——=—l—2ia=-l,b=—2a+b=—3

故答案為：-3

【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題型.

3

10.已知a=log27,6=2-3,C=33，則三個數(shù)的大小關(guān)系是—

【答案】c〉a〉b；

【解析】

【分析】

依次推斷三個數(shù)與1和3的大小關(guān)系，推斷得到答案.

【詳解】1=log22<a=log27<log28=3；

匕=2-3<2°=1；

c=32>3'=3

故答案為：c>a>b

【點睛】本題考查了數(shù)的大小比較，意在考查學(xué)生對于函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用實力.

11.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，若$=22,%=1,則數(shù)列｛an｝的公差等于.

【答案】—1；

【解析】

分析】

依據(jù)S1]=22計算得到%+%=4,再計算%=3得到答案.

【詳解】Su=—-----=22%+a”=4.,.%+%=4

%=1%=3d=—1

故答案為：-1

【點睛】本題考查了等差數(shù)列的公差，也可以依據(jù)數(shù)列公式聯(lián)立方程組解得答案.

12.定義在7?上的函數(shù)/（尤），給出下列三個論斷：

①f（x）在月上單調(diào)遞增；②x>l；③

以其中的兩個論斷為條件，余下的一個論斷為結(jié)論，寫出一個正確的命題：.

【答案】①②推出③；

【解析】

【分析】

寫出答案，再依據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到證明.

詳解】①②推出③；

證明：/（尤）在人單調(diào)遞增且當(dāng)時，有了。）>〃1）,得證.

故答案為：①②推出③

【點睛】本題考查了利用函數(shù)單調(diào)性推斷命題，意在考查學(xué)生的推斷實力.

13.若函數(shù)/（尤）=acosx+sin尤在區(qū)間（巴，巴）上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的取值范圍是—.

64―

【答案】a2-\/3；

【解析】

【分析】

求導(dǎo)依據(jù)函數(shù)單調(diào)遞減得到嗎<a恒成立，計算函數(shù)8（%）=出日的最大值為百，得

sinxsinx

到答案.

兀兀_

【詳解】/（x）=acosx+sinx/./'（%）=-asinx+cosx?。在（一,一）恒成立

64

即止恒成立，8（均=2在（5,巴）的最大值為石，即a2G

sinxsinx64

故答案為：a>43

【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題是解題的關(guān)鍵.

14.設(shè)A是整數(shù)集的一個非空子集，對于左wA,若左—10A,且左+1史A,則稱上是A的

一個“孤立元”.集合T={1,2,3,5}元素中7的“孤立元”是；對給定集合

S={1,2,3,4,5,6},由S中的3個元素構(gòu)成的全部集合中，含“孤立元”的集合有—

個

【答案】(1).5(2).16.

【解析】

【分析】

(1)依次推斷每個元素是否為孤立元得到答案.

(2)3個元素構(gòu)成的全部集合為C；=20個，解除不滿意的狀況得到答案.

【詳解】(1)依次推斷每個元素是否為孤立元：對于1,2eA，不是孤立元；對于2,

1GA,3GA,不是孤立兀；對于3,2wA，不是孤立兀；對于5,4A,6A,是孤立

元；

故答案為：5

(2)3個元素構(gòu)成的全部集合為C；=20個

不含孤立元的集合有{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5}{4,5,6}4個

故含“孤立元”的集合有16個

故答案為：16

【點睛】本題考查了集合的新定義問題，集合個數(shù)問題，意在考查學(xué)生的應(yīng)用實力.

三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

15.己知函數(shù)/'(%)=J^sin2x+2cos2尤一1.

(1)求/((f)的值；

(2)求/(尤)的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間.

【答案】⑴0⑵最小正周期兀，〃龍)的單調(diào)增區(qū)間為兩-當(dāng)(左eZ)

【解析】

【分析】

(1)干脆代入數(shù)據(jù)計算得到答案.

71

(2)化簡得到/'(x)=2sin(2x+—),再計算周期和單調(diào)增區(qū)間.

【詳解】(1)/(x)=A/3sin2%+2cos2x-1

f[2]=Gsin(2x2)+2cos2(||^)—1=6sin(2x1^)+cos(2x

=A/3sin(—)+cos(—)=0

66

(2)/(x)=A/3sin2x+2cos2x-1=A/3sin2x+cos2x=2sin(2x+—)

6

27r

所以/(x)最小正周期7二萬=兀.

11V/\I

令2kit——<2x-\——<2kn+—,角星得ku——<x<kn+—{kGZ)

26236

所以/(%)的單調(diào)增區(qū)間為［E-￥,E+當(dāng)(左eZ)

36

【點睛】本題考查了三角函數(shù)求值，三角函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間，意在考查學(xué)生對于三角函

數(shù)公式和性質(zhì)的敏捷運用.

16.在AABC中，NB=60°,cosC=-,AC=7,〃是48邊的中點.

7

(1)求48的長；

(2)求切的長.

【答案】(1)8(2)國

【解析】

【分析】

(1)先計算sinC=逑，依據(jù)正弦定理得到答案.

7

(2)先計算c0sA=+'再利用余弦定理得到答案.

ArAB

【詳解】(1)cosC=工則sinC由正弦定理得到：-----

7sin5sinC

7473

7x---

解得：AB=-"-=8

2

(2)cosA=—cos(B+C)=—cos(60°+C)=—gcosC+sinC="

因。是中點，則AO=4,在AADC中，由余弦定理得：

CZ>2=AC2+AD2-2AC-AD-cosA=72+42-2x7x4x—=21

14

解得:C廬國.

【點睛】本題考查了正余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生的計算實力.

17.已知數(shù)列｛4｝的前6項依次成等比數(shù)列，設(shè)公比為數(shù)列從第5項起先各項

依次為等差數(shù)列，其中4=%=7,數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”.

(1)求公比1及數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)若S.20,求項數(shù)〃的取值范圍.

32.(二)"T,“<4

【答案】(1)q=--，%2(2)n<9neN*

2

—3〃+17,n>5

【解析】

【分析】

(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為°,%=-4-4，。6=-4-/,代入/=%=-4,解得q=l,再探

討〃W4和5兩種狀況得到答案.

37

(2)先計算數(shù)列前4項的和為20,構(gòu)造數(shù)列｛縱｝,前必項和圖=-萬加+萬用計算不等式

得到答案.

【詳解】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為<?,則％=-4/,。6=-4?/

,/從第5項起先各項依次為等差數(shù)列，二%+%=2&

\'a7--4,2q'-q-1-0,解得q=］或q=

V數(shù)列｛an｝為特別數(shù)列，...q=—；

當(dāng)“W4時，a?=32.(-1r1

當(dāng)〃25時，%=2,4=—1,=2+(〃—5),(―3)=—3n+17

—3n+17,n>5

⑵易知數(shù)列前4項的和為20,從第5項起先為等差數(shù)列，

當(dāng)〃25時，數(shù)列為2,-1,-4,-7,

37

可令數(shù)列｛狐｝為2,-1,-4,-7,數(shù)列｛鬣｝的前〃項和*=-鼻/+萬機，

37

依題意，—MT—機+2020,0<7775

22

綜上所述：〃<9,

【點睛】本題考查了數(shù)列的通項公式，先N項和，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式和方法的駕馭

狀況.

18.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面/皿為菱形，且NN吐60°,平面/夕必，

PA=AB,點、E,F為PC,處的中點.

*

(1)求證：平面劭歐L平面/灰力；

(2)二面角—漢一尸的大??；

(3)設(shè)點〃在加(端點除外)上,試推斷◎/與平面戚是否平行，并說明理由.

兀

【答案】(1)證明見解析(2)-(3)"與平面叱不平行，詳見解析

4

【解析】

【分析】

(1)連接2C與9設(shè)交點為。，連接刀。證明平面”卬，得到答案.

（2）以。為原點，以如，0C,%'為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，計算坐標(biāo)得到平面的法

向量，計算夾角得到答案.

⑶假設(shè)存在，設(shè)PM=2P8（O<；1<1）,計算得到COS〈M,CM〉H0,所以不存在.

【詳解】（1）證明：連接/C與初，設(shè)交點為。，連接戶

由已知￡,。分別為尸C,4c中點，可得EO//PA,

又因為平面4靦,

所以EOJ_平面力及力，EOu平面8應(yīng)

所以平面〃力_L平面ABCD.

（2）以。為原點，以O(shè)B,0C,在'為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè)/比2因為底面/aZ?為菱形，且NZ叱60°,PA=AB，則〃BO=—a

2

。,0,0),C(0,-^,0),D(—^^~a,0,0),E(0,0,g,

貝！JFB=（—^。,鼻,一費，。3=（氐,0,0）.

設(shè)平面BFD的法向量為m=（x,y,z）.

y/3ax=0

x=0

m-DB—0,即《

則有《N3ad,即＜

m-FB=0——ax+—y—z=0y=z

I222

令y=l,則〃2=(0』,1)

m-OC

又由⑴可知OC=（0,■!，（））為平面叱的法向量，卜os〈私。?！挡?也

m||0C

71

所以二面角E—BD—夕的大小為一

4

（3）因為點〃在陽（端點除外）上，設(shè)PM=/IP8（O<；1<1）,

則尸（0,—,。），Aa,---,a-Aa),CM?--,/l6Z-6Z)

2222

|cos(m,CAf)

所以〃與平面不平行.

【點睛】本題考查了面面垂直，二面角和線面平行，意在考查學(xué)生的計算實力和空間想象實

力.

19.設(shè)函數(shù)/(x)=x3-(b+l)x2+bx.

(1)當(dāng)為0時，求函數(shù)/(無)的微小值；

(2)若已知垃1且函數(shù)/(x)與直線尸-x相切，求6的值；

(3)在(2)的條件下，函數(shù)/'(x)與直線產(chǎn)-x+0有三個公共點，求"的取值范圍.(干脆寫

出答案)

432

【答案】(1)——(2)為3(3)0<m<—

T127

【解析】

分析】

(1)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再計算微小值.

2

r(x0)=3x0-(2Z2+2)x0+&=-l

(2)設(shè)切點是(毛,%),求導(dǎo)，依據(jù)條件得到(為=一/計算得

=x3z?+1

y0o-()V+H

到答案.

(3)化簡得到機=X3—4/+4%,設(shè)g(x)=x3—4/+4x,畫出函數(shù)圖象得到答案.

2

【詳解】(1)當(dāng)先0時，/(%)=%3—必則/，(元)=3元2—2%，由1(x)=0得％=0,9=§，

22

當(dāng)％<0或％〉耳時，f\x)>0；當(dāng)0<%<9時，f\x)<0,

則當(dāng)x=g時，Mx)取得微小值=_]|]=~

(2)因/(x)=--bx?-爐,則/'(x)=31一(2沙+2)x+b

設(shè)函數(shù)f(x)與直線產(chǎn)-x相切的切點是(毛，%)，

因為/'(。)=人>1，所以與w0,

/(%)=3/2_(26+2兒+8=-1

所以有%=f

%=%3-(6+1)/2+皿

又3/2—(2Z?+2)%o+Z?=—1,相減得級。？—(Z?+1)%。=0,

b+1Z?+l

所以笠，所以T=(三一1)答一匕)，解得於3.

(3)/(x)=x3-4%之+3x=-x+mm=x3-4x2+4x

設(shè)g(x)=x3-4x2+4x,g'(x)=3x2-8x+4=(3x-2)(x-2)

【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，切線問題，零點，意在考查學(xué)生的計算實力和轉(zhuǎn)化實力.

20.已知函數(shù)/(x)=x—〃lnx(a>0).

(1)求函數(shù)/(1)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求函數(shù)g(x)=gx2一雙一/(%)的零點個數(shù)；

(3)當(dāng)。=1時，求證不等式/(x)<2土解集為空集.

x

【答案】(1)/(尤)的單調(diào)增區(qū)間為3+8),單調(diào)減區(qū)間為(0,。)(2)g(x)在(0,+8)上只

有一個零點(3)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)求導(dǎo)得到尸(x)=l-@==，計算得到答案.

XX

(2)求導(dǎo)得至i]g'(x)=^W”二D,分類探討a>1,。=1和0<。<1三種狀況得到答案.

X

(3)原題等價于"(%)=工+工-111犬-1>0恒成立，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，計算最小值

X

力(@±1)〉0得到證明.

2

【詳解】(1)的定義域為(o,+s).r(x)=i—q==

XX

令/'(x)=0,得x=a

當(dāng)x>a時，有/'(x)>0,所以/Xx)在(a,y)上單調(diào)遞增.

當(dāng)0(尤<a時，有/'(x)<0,所以f(x)(0,。)上單調(diào)遞減.

綜上所述：f(x)的單調(diào)增區(qū)間為3,+8),單調(diào)減區(qū)間為(0,。)

(2)函數(shù)