2.4.2直線與圓錐曲線的綜合問題課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

4.2直線與圓錐曲線的綜合問題第二章圓錐曲線北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.能從方程聯(lián)立的角度理解直線與橢圓、直線與雙曲線、直線與拋物線的位置關(guān)系(相交、相切、相離).2.會(huì)求有關(guān)圓錐曲線的弦長(zhǎng)、過焦點(diǎn)的弦、中點(diǎn)弦等問題.3.逐步學(xué)會(huì)直線與圓錐曲線的綜合性問題(定點(diǎn)、定值、最值、存在性等問題).基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)1

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1.從幾何角度看,可分為三類:沒有公共點(diǎn),僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).2.從代數(shù)角度看,可通過將表示直線的方程代入圓錐曲線的方程消元后所得方程解的情況來判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.設(shè)直線l的方程為Ax+By+C=0(A,B不全為0),圓錐曲線方程f(x,y)=0.如消去y后得ax2+bx+c=0.(1)若a=0,當(dāng)圓錐曲線是雙曲線時(shí),直線l與雙曲線的漸近線平行;當(dāng)圓錐曲線是拋物線時(shí),直線l與拋物線對(duì)稱軸平行(或重合).(2)若a≠0,設(shè)Δ=b2-4ac.當(dāng)Δ

0時(shí),直線和圓錐曲線相交于不同的兩點(diǎn);

當(dāng)Δ

0時(shí),直線和圓錐曲線相切于一點(diǎn);

當(dāng)Δ

0時(shí),直線和圓錐曲線沒有公共點(diǎn).

名師點(diǎn)睛在使用根的判別式判斷位置關(guān)系時(shí)一定注意討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0,點(diǎn)斜式設(shè)直線時(shí)注意考慮斜率是否存在.>=<自主診斷1.[人教B版教材習(xí)題]舉例說明,直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)不是它們相切的充分條件.解

例如拋物線y2=4x與直線y=1只有一個(gè)公共點(diǎn),但它們相交.2.[人教B版教材習(xí)題]已知直線l:y=kx+2和橢圓C:=1.分別求直線l與橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)、只有一個(gè)公共點(diǎn)和沒有公共點(diǎn)時(shí)k的取值范圍.知識(shí)點(diǎn)2

直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長(zhǎng)問題1.斜率為k(k不為0)的直線與圓錐曲線交于點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),則所得弦長(zhǎng)|P1P2|=

或|P1P2|=

.

2.當(dāng)斜率k不存在時(shí),可求出交點(diǎn)坐標(biāo),直接運(yùn)算(用兩點(diǎn)間的距離公式).3.焦點(diǎn)弦:過圓錐曲線焦點(diǎn)的弦叫作焦點(diǎn)弦.4.通徑:若焦點(diǎn)弦垂直于焦點(diǎn)所在的圓錐曲線的對(duì)稱軸,此時(shí)焦點(diǎn)弦也叫通徑.名師點(diǎn)睛當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),不能用弦長(zhǎng)公式解決問題,此時(shí)思考辨析已知直線l:y=kx+m上兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的長(zhǎng)度如何表示?自主診斷[人教B版教材習(xí)題]已知直線x-2y+2=0與橢圓x2+4y2=4相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng).知識(shí)點(diǎn)3

圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題

點(diǎn)差法是解決“中點(diǎn)弦”問題的特殊方法名師點(diǎn)睛因?yàn)棣?gt;0是直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件,故在求解有關(guān)弦長(zhǎng)、對(duì)稱問題時(shí),務(wù)必要檢驗(yàn)Δ>0.自主診斷1.[人教B版教材習(xí)題]已知斜率為2的直線AB過拋物線y2=8x的焦點(diǎn),求弦AB的長(zhǎng).2.[人教B版教材習(xí)題]已知直線l:y=x-3與拋物線C:x2=-8y相交于A,B兩點(diǎn),且O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求弦長(zhǎng)|AB|以及線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo);(2)判斷

是否成立,并說明理由.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【例1】

(1)若直線y=kx+2與拋物線y2=8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則k的值為(

)A.1 B.1或3 C.0 D.1或0D解析

由

得k2x2+(4k-8)x+4=0.若k=0,則直線為y=2,與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),符合題意.若k≠0,則Δ=0,即64-64k=0,解得k=1,所以直線y=kx+2與拋物線y2=8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),k=0或1.(2)已知直線y=kx-k+1與橢圓C:x2+my2=3恒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.

(0,1)∪(1,2]

解析

∵曲線x2+my2=3表示橢圓,∴m>0且m≠1,由題意可知直線恒過定點(diǎn)(1,1),且該點(diǎn)在橢圓內(nèi)或在橢圓上,所以有1+m≤3,解得m≤2,∴m的取值范圍為(0,1)∪(1,2].規(guī)律方法

直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法用直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組的解的個(gè)數(shù),可以研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,即用代數(shù)法研究幾何問題,這是解析幾何的重要思想方法,直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)問題,實(shí)際上是研究方程組解的個(gè)數(shù)問題.A(2)已知雙曲線x2-y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,動(dòng)直線l:y=kx+m與圓x2+y2=1相切,且與雙曲線左、右兩支的交點(diǎn)分別為P1(x1,y1),P2(x2,y2),則x2-x1的最小值為(

)A探究點(diǎn)二圓錐曲線中的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦問題角度1.弦長(zhǎng)問題【例2】

(1)經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)的直線l交該拋物線于M,N兩點(diǎn),則|MN|的取值范圍為

.

[4,+∞)解析

由題意知,拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線為x=-1.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則由拋物線的定義可知|MN|=|MF|+|NF|=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2.(方法一)當(dāng)過焦點(diǎn)F(1,0)的直線斜率不存在時(shí),直線的方程為x=1,此時(shí)|MN|=4.當(dāng)過焦點(diǎn)F(1,0)的直線斜率存在時(shí),顯然斜率不為0,設(shè)直線的方程為y=k(x-1)(k≠0),代入y2=4x,消去y,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,Δ>0顯然成立.則x1+x2=,所以|MN|=x1+x2+2=4+>4.綜上,|MN|的取值范圍為[4,+∞).(方法二)直線MN的斜率不為0,故設(shè)直線MN的方程為x=my+1,m∈R.將其代入y2=4x,消去x,整理得y2-4my-4=0,Δ>0顯然成立,所以y1+y2=4m,y1y2=-4.所以|MN|=x1+x2+2=[(y1+y2)2-2y1y2]+2=4m2+4≥4.即|MN|的取值范圍為[4,+∞).①求橢圓的方程;3★(2)斜率為1的直線l與橢圓

+y2=1相交于A,B兩點(diǎn),則|AB|的最大值為

.

角度2.中點(diǎn)弦問題【例3】

(1)已知雙曲線C:=1(a>0,b>0),斜率為1的直線與C交于兩點(diǎn)A,B,若線段AB的中點(diǎn)為(4,1),則雙曲線C的漸近線方程是(

)B(2)已知P(1,1)為橢圓

=1內(nèi)一定點(diǎn),經(jīng)過P引一條弦,使此弦被P點(diǎn)平分,則此弦所在的直線方程為

.

x+2y-3=0解析

(方法一)易知此弦所在直線的斜率存在,∴設(shè)其方程為y-1=k(x-1),弦所在的直線與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),A(x1,y1),B(x2,y2).(方法二)易知此弦所在直線的斜率存在,∴設(shè)斜率為k,弦所在的直線與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),規(guī)律方法

處理中點(diǎn)弦問題常用的求解方法(1)點(diǎn)差法:即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后,代入圓錐曲線方程,并將兩式相減,式中含有x1+x2,y1+y2,三個(gè)未知量,這樣就直接聯(lián)系了中點(diǎn)和直線的斜率,借用中點(diǎn)公式即可求得斜率.(2)根與系數(shù)的關(guān)系:即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組,化為一元二次方程后,由根與系數(shù)的關(guān)系求解.(2)已知橢圓C的焦點(diǎn)分別為F1(-2,0)和F2(2,0),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A,B兩點(diǎn),求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo).探究點(diǎn)三圓錐曲線中的定點(diǎn)或定值問題角度1.定點(diǎn)問題【例4】

已知橢圓

=1(a>b>0)過點(diǎn)(0,1),其長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的平方和是焦距的平方的2倍.直線l與x軸正半軸和y軸分別交于點(diǎn)Q,P,與橢圓分別交于點(diǎn)M,N,各點(diǎn)均不重合且滿足(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若λ1+λ2=-3,試證明:直線l過定點(diǎn),并求此定點(diǎn).(1)解

設(shè)橢圓的焦距為2c,由題意知b=1,且(2a)2+(2b)2=2(2c)2,又a2=b2+c2,∴a2=3.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+y2=1.規(guī)律方法

定點(diǎn)問題的探索與證明(1)探索直線過定點(diǎn)時(shí),可先設(shè)直線方程為y=kx+b,再利用條件建立b,k的等量關(guān)系進(jìn)行消元,借助于直線系的思想找出定點(diǎn).(2)從特殊情況入手,先探求定點(diǎn),再證明與變量無關(guān).(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)P是直線x=1上的動(dòng)點(diǎn),直線PA與橢圓的另一交點(diǎn)為M,直線PB與橢圓的另一交點(diǎn)為N.求證:直線MN經(jīng)過一定點(diǎn).角度2.定值問題【例5】

如圖,已知拋物線C:x2=4y,過點(diǎn)M(0,2)任作一直線與C相交于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)B作y軸的平行線與直線AO相交于點(diǎn)D(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)證明:動(dòng)點(diǎn)D在定直線上;(2)作C的任意一條切線l(不含x軸),與直線y=2相交于點(diǎn)N1,與(1)中的定直線相交于點(diǎn)N2.證明:|MN2|2-|MN1|2為定值,并求此定值.(1)證明

依題意可設(shè)直線AB的方程為y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1x2=-8,(2)解

依題設(shè),切線l的斜率存在且不等于0.設(shè)切線l的方程為y=ax+b(a≠0),將其代入x2=4y,得x2=4(ax+b),即x2-4ax-4b=0.由Δ=0,得(4a)2+16b=0,化簡(jiǎn)整理得b=-a2.故切線l的方程可寫為y=ax-a2.

規(guī)律方法

求定值問題常見的兩種方法(1)先從特殊情況入手,求出定值,再證明這個(gè)值與變量無關(guān).(2)直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過程中消去變量,從而得到定值.變式訓(xùn)練5已知A(1,2)為拋物線y2=2px(p>0)上的一點(diǎn),E,F為拋物線上異于點(diǎn)A的兩點(diǎn),且直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù).(1)求直線EF的斜率;(2)由題意可設(shè)直線l的方程為l:x=ty+m,P(x3,y3),Q(x4,y4),N(-m,0),把直線l的方程代入y2=4x,得y2-4ty-4m=0,所以y3+y4=4t,y3y4=-4m.探究點(diǎn)四圓錐曲線中的最值或范圍問題【例6】

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△ABC的周長(zhǎng)為12,AB,AC邊的中點(diǎn)分別為F1(-1,0)和F2(1,0),點(diǎn)M為BC邊的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)M的軌跡方程;(2)設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線T,直線MF1與曲線T另一個(gè)交點(diǎn)為N,線段MF2中點(diǎn)規(guī)律方法

圓錐曲線中最值與范圍的求法有兩種:(1)求橢圓的方程;(2)過點(diǎn)(1,0)的直線l與C交于M,N兩點(diǎn),P為線段MN的中點(diǎn),A為C的左頂點(diǎn),求直線PA的斜率k的取值范圍.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)12345678910A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練A1112131415123456789102.[探究點(diǎn)二(角度2)]已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為(

)A.x=1 B.x=-1C.x=2 D.x=-2B11121314151234567891011121314153.[探究點(diǎn)一]直線y=x+1被橢圓x2+2y2=4所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是(

)B1234567891011121314154.[探究點(diǎn)二(角度1)]過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),如果x1+x2=6,且|AB|=8,那么拋物線方程為(

)A.y2=2x B.y2=4x C.y2=8x D.y2=6xB1234567891011121314155.

[探究點(diǎn)四]過雙曲線

=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)且斜率為2的直線,與該雙曲線的右支交于兩點(diǎn),則此雙曲線離心率的取值范圍為

.

1234567891011121314156.[探究點(diǎn)三]已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(0,2),且在x軸上截得的弦長(zhǎng)為4.(1)求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程C;(1)解

設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x,y),則x2+(y-2)2-4=y2,化簡(jiǎn)得x2=4y.123456789101112131415123456789101112131415AB級(jí)關(guān)鍵能力提升練123456789101112131415123456789101112131415C123456789101112131415D123456789101112131415123456789101112131415C12345678910111213141512345