人教版初中七年級數(shù)學上冊同步講義-整式（解析版）

第01講整式

學習目標

課程標準學習目標

1.掌握代數(shù)式的概念及其書寫要求，能夠列簡單的代數(shù)

①代數(shù)式及其書寫要求

式。

②整式的概念

2.掌握整式的概念并判斷整式。

③單項式

3.掌握單項式及其單項式的系數(shù)與次數(shù)。

④多項式

4.掌握多項式、多項式的項、多項式的次數(shù)。

⑤升塞與降暴排列

5.能夠對多項式進行升幕或降塞排列。

思維導圖

\開厚與?幕建列

知識清單

知識點01代數(shù)式及其書寫要求

1.代數(shù)式的概念:

代數(shù)式是由運算符號（加、減、乘、除、乘方、開方）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的

式子。單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式。

2.列代數(shù)式：

把問題中與數(shù)量有關的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來,就是列代

數(shù)式。同一個問題中同一個字母表示同一個量。

3.代數(shù)式的書寫要求：

①數(shù)與數(shù)相乘必須寫“義”，數(shù)與字母相乘，字母與字母相乘時把“義”用“?”代替或直接

省略。

②在數(shù)與字母相乘中，數(shù)字寫在前,字母寫在后,單項式寫在多項式的前面。

③帶分數(shù)寫成假分數(shù)。

④寫含有字母的除法時，要把除法寫成分數(shù)的形式。

⑤代數(shù)式后面有單位時一定要用括號把代數(shù)式括起來。

題型考點：①判斷代數(shù)式。

②代數(shù)式的書寫要求。

③列代數(shù)式。

④代數(shù)式的求值。

【即學即練1】

1.下列各式中，不是代數(shù)式的是()

A.-3B.三也C.5x-1=9D.x2-4x

a-b

【解答】解：A、-3是代數(shù)式，故A不符合題意.

B、生也是代數(shù)式，故2不符合題意.

a-b

C、5%-1=9不是代數(shù)式，故。符合題意.

D、7-4尤是代數(shù)式，故。不符合題意.

故選：C.

【即學即練2】

22

2.下列各式：(1)12xy2；(2)3(a+b)；(3)20%尤；(4)-6+c；(5)a-b；(6)m-3℃；其中符

7xy5

合代數(shù)式書寫要求的有()

A.5個B.4個C.3個D.2個

【解答】解：(1)孫2中分數(shù)不能為帶分數(shù)，故原式書寫錯誤；

(2)3(a+b)書寫正確；

(3)20%x書寫正確；

(4)-b+c除號改為分數(shù)線，故原式書寫錯誤；

2_,2

(5)--b.書寫正確;

5

(6)"L3。。前面的代數(shù)和應加括號，故原式書寫錯誤；

符合代數(shù)式書寫要求的有3個.

故選：C.

【即學即練3】

3.“機與〃差的3倍”用代數(shù)式可以表示成()

A.3m-nB.m-3nC.3Gi-m)D.3(tn-n)

【解答】解：“相與〃差的3倍”用代數(shù)式可以表示為：3(m-n).

故選：D.

【即學即練4】

4.某服裝店新開張，第一天銷售服裝a件，第二天比第一天多銷售12件，第三天的銷售量是第二天的2

倍少10件，則第三天銷售了()

A.(2a+2)件B.(2a+24)件C.(2?+10)件D.(2a+14)件

【解答】解：第二天銷售服裝(fl+12)件，第三天的銷售量2(a+12)-10=2G+14(件)，故選D

【即學即練5】

5.如果a-36=4,那么2a-66-1的值是()

A.-7B.5C.7D.-5

【解答】解：36=4,

原式=2(a-3b)-1

=2X4-1

=8-1

=7,

故選：C.

【即學即練6】

6.當x=l時，代數(shù)式°龍3+云+7的值為4,則當x=-1時，代數(shù)式ad+法+7的值為()

A.4B.-4C.10D.11

【解答】解：；當x=1時，代數(shù)式辦3+6無+7的值為4,

/.〃+/?+7=4,

a+b=-3.

當x=-1時，

代數(shù)式

=aX(-1)3+bX(-1)+7

=-a-。+7

(〃+b)+7

=-（-3）+7

=3+7

=10.

故選：c.

知識點02整式

1.整式的概念：

單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。簡單理解：即分母中不含字母的式子叫做整式。

題型考點：整式的判斷。

【即學即練1】

下列各式：——mn,m,8,1,d+2x+6,紅，2y2-5y+工中，整式有（

2a5兀y

A.3個B.4個C.6個D.7個

2

【解答】解:整式有加，8,X2+2X+6,2'.:'-x--+-4-y-，一共6個.

25兀

故選：c.

知識點03單項式

1.單項式的概念：

表示數(shù)或字母，字母與字母的積的式子叫做單項式,單獨的一個數(shù)或字母也是單項式。里

面只有乘法運算。

2.單項式的系數(shù)：

單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)。包含單項式前面的符號。特別的，單個的字母的系

數(shù)為1或-1。

3.單項式的次數(shù)：

一個單項式中所有字母的次數(shù)的和叫做單項式的次數(shù)。單項式的次數(shù)是幾次則就叫做幾次

單項式。沒有字母的單項式次數(shù)是0。

題型考點：①單項式的判斷。

②單項式的系數(shù)與次數(shù)。

【即學即練1】

8.代數(shù)式生生，_1_,馬-2,a,7/+6尤-2中，單項式有（）

22m3-b

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解答】解：代數(shù)式2色，A,生，-2,a,7/+6X-2中，單項式有：2?y,-2,。共3個.

2-2m3-b

故選：C.

【即學即練2】

9.單項式-2/y的系數(shù)和次數(shù)分別是（）

A.3,4B.-2,2C.3,-2D.-2,3

【解答】解：-2/y的系數(shù)為-2,次數(shù)為2+1=3.

故選：D.

【即學即練3】

22

10.下列關于單項式衛(wèi)三紅的說法正確的是（）

3

A.次數(shù)是2,系數(shù)是-2nB.次數(shù)是5,系數(shù)是上

3

C.次數(shù)是4,系數(shù)是N?兀D.次數(shù)是4,系數(shù)是2

33

22

【解答】解：根據單項式定義得：單項式用工上_的次數(shù)是4,系數(shù)是工兀.

33

故選：C.

【即學即練4】

11.如果蔣a2b2nT五次單項式，則〃的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：???二a2b2nT五次單項式，

2

：.2+2n-1=5,

解得n=2.

故選：B.

知識點04多項式

1.多項式的概念：

幾個單項式的和叫做多項式O

2.多項式的項：

組成多項式的每一個單項式叫做多項式的項。包含單項式前面的符號

3.多項式的次數(shù)：

組成多項式的項中，次數(shù)最高的項的次數(shù)即為多項式的次數(shù)。

4.多項式的名詞:

根據多項式的次數(shù)與項數(shù)把多項式命名為幾次幾項式。

題型考點：①多項式的判斷。

②多項式各項的判斷。

③多項式的次數(shù)以及命名。

【即學即練1】

12.在下列式子上浦，3也，ab2+b+l,3j，/+x3-6中，多項式有（）

22xy

A.2個B.3個C.4個D.5個

【解答】解：史主，al^+b+l,/+/-6是多項式,

2

故選：B.

【即學即練2】

13.多項式3/-2x-1的各項分別是（）

A.3<,2x,1B.3/,-2x,1C.-3X2,2x,-1D.3/,-2x,-1

【解答】解：多項式3/-2x-1的各項分別是：38-lx,-1.

故選：D.

【即學即練3】

14.多項式2?+4xy3-5?-1的次數(shù)和常數(shù)項分別是（）

A.5,-1B.5,1C.10,-1D.4,-1

【解答】解：多項式2?+4xy3-5/-1的次數(shù)和常數(shù)項分別是5,-1.

故選：A.

【即學即練4】

15.多項式6x4+2?y3-3孫2-1的次數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：：多項式的次數(shù)是多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù),

多項式6/+2X2/-3孫2-1的次數(shù)是5.

故選：C.

【即學即練5】

16.多項式2x3-x2j2-3xy+x-1是次項式.

【解答】解：多項式2x3-x272-3xy+x-1是四次五項式.

故答案為：四，五.

知識點05多項式的升幕或降幕排列

1.升幕排列（降幕排列）的概念：

把多項式按照各項的次數(shù)由高到低（由低到高）的順序排列的方式叫做升幕（降塞）排列。有

時也按照某個字母進行升哥排列或者降嘉排列。

題型考點：對多項式進行升幕或降幕排列。

【即學即練1】

17.將代數(shù)式4/計3"2,2/+/按a的升嘉排列的是（）

A.-2Z?3+3aZ?2+4fl2/j+a3B.c^+4crb+3ab2-2b3

C.4a2b+3ab2-2Z?3+a3D.4crb+3ab2+ai-2Z?3

【解答】解：多項式4/6+3。/-2b3+/的各項為4J43步,-2b3,a3.

按字母a升幕排列為：-2bi+3ab1+Acrb+ai.

故選：A.

【即學即練2】

18.把多項式/-/_3a2b+3"2重新排列.

（1）按。升幕排列；

（2）按。降幕排列.

【解答】解：⑴多項式a3-b3-3辦+3步按a的升幕排列是-/+3/-3?2W；

（2）按a的降暴排列的是a3-3<rb+3ab1-b3.

題型精講

題型01代數(shù)式的求值

【典例1】

已知代數(shù)式尤+2y的值是3,則代數(shù)式2x+4y+l的值是.

【解答】解：Vx+2y=3,

**?2x+4y+1—2（x+2y）+1

=2X3+1=7.

故答案為：7.

【典例2】

若m2+3n-1的值為5,則代數(shù)式2m2+6n+5的值為.

【解答】解：由題意得：m2+3n-1=5,即〃P+3"=6,

則原式=2（m2+3n）+5=12+5=17,

故答案為：17

【典例3】

已知當x=l時，2a的值為3,則當x=2時，辦2+少尤-8的值為.

【解答】解：當x=l時，2axi2+bxi=3,

整理得，2a+b=3,

當x=2時，o?+6x-8=aX22+6X2-8=4。+26-8=2(2a+b)-8=2X3-8=6-8=-2.

故答案為：-2.

【典例4】

若代數(shù)式尤-2y=3,則代數(shù)式2(x-2y)2+4y-2x+l的值為()

A.7B.13C.19D.25

【解答】解：：x-2y=3,

.'.2(x-2y)2+4y-2x+l

=2(x-2y)2-2(x-2y)+1

=2X32-2X3+1

=18-6+1

=13.

故選：B.

題型02整式的判斷

【典例1】

x2+4y

下列各式-工機孔，m,8,X2X乙'>'

—,+2+6,■,--------,工中，整式有（）

2a5兀y

A.3個B.4個C.6個D.7個

2

/+2x+6,2x-y,x+4y

【解答】解：整式有—-mn,m,8,--------,

25兀

故選：C.

【典例2】

在以下的6個代數(shù)式：TT,尤，3孫，三包，2，2a+l中，整式有（）個.

2X

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：根據題意得：單項式有m尤，3孫;

多項式有：211,2°+1；

2

這些單項式和多項式都是整式，所以整式有5個.

故選：C.

【典例3】

在式子」，a,2x+5y,0.9,-3—,-2a,-37y,三包中，單項式的個數(shù)是（)

x23

A.5個B.4個C.3個D.2個

【解答】解：單項式有：a,0.9,-3工，-2a,-3/y,

2

故選：A.

【典例4】

在整式5abe,-77+1,--,21-1,"ZZ一中，單項式共有（)

532

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解答】解：5abe,-區(qū)，21工是單項式，

53

故選：C.

【典例5】

22UU2

2x+yzab-c

下歹U式子：2ab,3孫-2y2，——答—，4,-iri，-----，，其中是多項式的有（)

2x冗

A.2個B.3個C.4個D.5個

222

【解答】解：由題意得3盯-2/，a+b,ab-c-均是多項式,共三個;

2兀

生是分式；

2x

2a2匕，4,-tn,是單項式；

故選：B.

【典例6】

明明在學習完多項式后，自己設計了如下一道題目：在工ab，—ab2+b+\,33f+x3-6中，多項

22xy

式有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【解答】解：多項式有：/+N-6,

2

故選：B.

題型03單項式的次數(shù)與系數(shù)

【典例1】

若單項式《xy3z2的系數(shù)、次數(shù)分別是。、b,則（）

A.a=—,b—6B.a=--,b=6C.a——,b=lD.a=--,b=l

3333

【解答】解：單項式」xy'2的系數(shù)、次數(shù)分別是。、b,

3

則a=-—,b—6.

3

故選：B.

【典例2】

單項式-xy2z3的系數(shù)及次數(shù)分別是（）

A.系數(shù)是0,次數(shù)是5B.系數(shù)是1,次數(shù)是6

C.系數(shù)是-1,次數(shù)是5D.系數(shù)是-1,次數(shù)是6

【解答】解：根據單項式系數(shù)、次數(shù)的定義可知：

單項式-孫的系數(shù)是-1,次數(shù)是1+2+3=6.

故選：D.

【典例3】

單項式-工町3的系數(shù)是，次數(shù)是

7

【解答】解：單項式-工孫3的系數(shù)是-工，次數(shù)是4,

7-7

故答案為：——,4.

7

【典例4】

如果單項式2a72c是六次單項式，那么〃的值?。ǎ?/p>

A.6B.5C.4D.3

【解答】解：???單項式2a%2c是六次單項式，

幾+2+1=6,

解得：〃=3,

故〃的值取3.

故選：D.

【典例5】

已知單項式3/一》的次數(shù)是3,則a的值為（）

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：由題意知a-1+1=3,

解得〃=3.

故選：B.

題型04多項式的項與次數(shù)

【典例1】

X2/-3孫3一2的次數(shù)和項數(shù)分別為（）

A.5,3B.5,2C.2,3D.3,3

【解答】解：xY一3孫3-2的次數(shù)和項數(shù)分別為5,3.

故選：A.

【典例2】

多項式2?+4盯3-5?-1的次數(shù)和常數(shù)項分別是（）

A.5,-1B.5,1C.10,-1D.4,-1

【解答】解：多項式22+4盯3-5?-1的次數(shù)和常數(shù)項分別是5,-1.

故選:A.

【典例3】

已知多項式x-3xy^+jc'y-3x4-1是五次多項式，則m=.

【解答】解:「多項式x-3x/M+1+x3y-3x4-1是五次多項式，

l+m+l=5,

解得：m=3.

故答案為：3.

【典例4】

多項式5amb4-2a2b+3與單項式6a%3c的次數(shù)相同，則m的值為.

【解答】解：???多項式5amb4-2a2^+3與單項式6a%3c的次數(shù)相同，

/.加+4=4+3+1,

解得：m=4.

故答案為：4.

【典例5】

已知多項式-25j^ym+l+xy2-4x3-8是五次多項式，單項式3口嚴加與該多項式的次數(shù)相同，求機+江

【解答】解：???多項式的次數(shù)是5,

/.2+僧+1=5,

??加=2,

;單項式與該多項式的次數(shù)相同，

2H+6-2=5,

??n—,

2

故答案為：

2

題型05升哥或降塞排列

【典例1】

將多項式5/y+y3-3孫2一一按x的升塞排列為.

【解答】解：按尤的升塞排列為/-3盯2+50--

故答案為：y3-3盯2+5號-%3.

【典例2】

3

將代數(shù)式3fy+5町2-3y3-5x按y的降塞排列是（）

A.-5?+3o+5xy2-3^3B.-3j3+5Ay2+3^-5x3

C.-5x3-3y3+3/y+5孫2D.ijTy+Sxy2-3y3-5x3

【解答】解：3x1y+5xy2-3y3-5x3=-3/+5^/+3^-5x3.

故選：B.

強化訓練

2

1.代數(shù)式/+2,工+4,至工，獨，5,上，-X中，整式的個數(shù)是（）

afc兀

A.7B.6C.5D.4

【解答】解：整式有/+2,絲直，5,

—,-工,共5個.

7兀

故選：C.

22

2.下列關于單項式-2兀&b的說法正確的是（）

3

A.次數(shù)是2,系數(shù)是-2nB.次數(shù)是5,系數(shù)是上

3

D.次數(shù)是4,系數(shù)是2

C.次數(shù)是4,系數(shù)是-TT

33

22

【解答】解：根據單項式定義得：單項式b的次數(shù)是%系數(shù)是N■兀.

33

故選：C.

3.下列結論中正確的是（）

2

A.單項式.nxy.的系數(shù)是工,次數(shù)是4

44

B.單項式機的次數(shù)是1,沒有系數(shù)

C.多項式2?+盯2+3是二次三項式

2

D.在2，2x+y,-^a,工二E,旦，0中整式有4個

x3冗4x

2

【解答】解：A、單項式2EAJL的系數(shù)是的系數(shù)是111,次數(shù)是3,不符合題意；

44

B、單項式相的次數(shù)是1,系數(shù)是1,不符合題意；

C、多項式2?+孫2+3是三次三項式，不符合題意；

22

D、在』，2x+y,—a,工二E,且，0中整式有2x+y,—a,2二工，0,一共4個，符合題意.

x37T4x3兀

故選：D.

4.當x=l時，代數(shù)式〃%3+析+7的值為4,則當％=-1時，代數(shù)式〃%3+析+7的值為（）

A.4B.-4C.10D.11

【解答】解：?.?當犬=1時，代數(shù)式法+7的值為%

/.〃+。+7=4,

.?.〃+。=-3.

當x=-1時，

代數(shù)式〃/+法+7

=aX(-1)3+bX(-1)+7

=-a-b+1

=-(a+b)+7

=-(-3)+7

=3+7

=10.

故選：c.

5.在下列給出的四個多項式中，為三次二項式的多項式是()

A.a~-3B.+2.ab~1C.-bD.4a2-3b+2

【解答】解：A選項是二次二項式，故該選項不符合題意；

8選項是三次三項式，故該選項不符合題意；

C選項是三次二項式，故該選項符合題意；

。選項是二次三項式，故該選項不符合題意；

故選：C.

6.有一個數(shù)值轉換器，原理如圖所示，若開始輸入x的值是5,可發(fā)現(xiàn)第1次輸出的結果是16,第2次輸

出的結果是8,第3次輸出的結果是4.依次繼續(xù)下去，第2022次輸出的結果是()

力為奇數(shù)

A.8B.4C.2D.1

【解答】解：第1次輸出結果是16,

第2次輸出結果是8,

第3次輸出結果是4,

第4次輸出結果是方=2，

第5次輸出結果是

第6次輸出結果是3X1+1=4,

從第3次開始，輸出結果每3個數(shù)一個循環(huán)，分別是4、2、1,(2022-2)4-3=673--1,

,第2022次輸出結果是4.

故選：B.

7.探索規(guī)律：觀察下面的一列單項式：X、-2/、4?、-8尤％16尤5、…，根據其中的規(guī)律得出的第9個單

項式是（）

A.-256/B.256尤9C.-512x9D.512x9

【解答】解：根據題意得：

第9個單項式是2%9=256#.

故選：B.

8.甲，乙兩商場以相同的價格出售同樣的商品，當購物金額超出一定數(shù)額后，各自推出不同的優(yōu)惠方案，

若在兩個商場購買無（x＞100）元的商品，在甲商場需付費［100+0.9（%-100）］元，在乙商場需付費［50+0.95

（尤-50）］元，下列關于兩個商場優(yōu)惠方案的說法正確的是（）

A.購買金額不超過100元時，兩個商場都不優(yōu)惠

B,購買金額超過50元時，兩個商場都有優(yōu)惠

C.購買金額超過100元時，甲商場按90%收費，乙商場按95%收費

D.購買金額超過100元時，超出100元的部分，甲商場按90%收費，乙商場按95%收費

【解答】解：?當尤＞100時，在甲商場需付費［100+0.9（X-100）］元,

甲商場推出的優(yōu)惠方案是：購買金額不超過100元時，不優(yōu)惠，購買金額超過100元時，超出100元

的部分按90%收費；

；當比＞100時,在乙商場需付費［50+0.95（x-50）］元,

???乙商場推出的優(yōu)惠方案是：購買金額不超過50元時，不優(yōu)惠，購買金額超過50元時，超出50元的部

分按95%收費.

故選：D.

9.已知cr+3a-2023=0,則2a2+6rz-1的值為.

【解答】解：：（r-+3a-2023=0,

/+30=2023,

2a-1

—2（a2+3cz）-1

=2X2023-1

=4045,

故答案為：4045.

10.若x-3y=4,貝l|（尤-3y）2+法-6y-10的值為.

【解答】解：：（尤-3y）2+2X-6y-10

=（x-3y）2+2（x-3y）-10,

.,.當x-3y=4時,

原式=42+2X4-10

=16+8-10

=14,

故答案為：14.

11.已知方程組JX+V-7，則4(x+y)-2(3x-5y)的值是_______

13x-5y=-3

【解答】解：?*+y=?,

\3x-5y=-3

?".4(x+y)-2(3x-5y)

=4X7-2X(-3)

=28+6

=34,

故答案為：34.

12.把7個長和寬分別為a,6的小長方形紙片（如