排列與組合-2025年高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)

第十章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布

第2講排列與組合

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測

排列問題2022新高考卷IIT5本講每年必考，主要以實(shí)際

理解排列、組2023新高考卷IT13；2023新問題為情境考查計(jì)數(shù)問題，

合的概念；能組合問題高考卷HT3；2020新高考卷有時(shí)單獨(dú)命題，以小題為

利用計(jì)數(shù)原理IT3主，有時(shí)作為工具應(yīng)用于概

推導(dǎo)排列數(shù)公率的計(jì)算，以大題為主，難

排列與組2023全國卷甲T9；2021全

式、組合數(shù)公度中等偏易預(yù)計(jì)2025年高

合的綜合國卷乙T6；2020全國卷

式.考仍會(huì)以創(chuàng)新實(shí)際生活情境

應(yīng)用IIT14

為載體進(jìn)行命題.

n學(xué)生用書P226

1.排列、組合的定義

名稱定義

從〃個(gè)不同元素并按照①一定的順序排成一列,叫做從〃個(gè)不同元素中取

排列

中取出m出m個(gè)元素的一個(gè)排列.

組合（冽W幾）個(gè)元素作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.

注意排列有序，組合無序.

2.排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式及性質(zhì)（小〃?GN*,且機(jī)W”）

排列數(shù)組合數(shù)

從〃個(gè)不同元素中取出加（mWw）個(gè)從〃個(gè)不同元素中取出加（加W幾）個(gè)元素

定

元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，用符號(hào)的所有不同組合的個(gè)數(shù)，用符號(hào)③

義

②一表示.表示.

C7__n(n—l)(n—2)...(n—m+l)_④

暇=nQn-1)(〃一2)…(〃一冽+n

公nA常m!

式1)=乜、「規(guī)定0!=1.

kn—771)1“工、，一規(guī)定c9=i.

A*=〃！=nX(n—1)X(n—2)

性

X---X2X1；r,mr,n~m,rm—

'-?n=-'-,n，'-n+l-'-,n'^n?

質(zhì)

A7=(?—m+1)A：i=〃A7nA

nnn-l

說明（^=4一”的應(yīng)用主要是兩個(gè)方面：一是簡化運(yùn)算，當(dāng)機(jī)＞］時(shí)，通常將計(jì)算（：/轉(zhuǎn)化

為計(jì)算^一加；二是列等式，由g=Q可得x=y或x+y=〃.

1.5個(gè)相同的球，放入8個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒里至多放一個(gè)球，則不同的放法有

（B）

A.晶種B.出種C.58種DW種

解析由于球都相同，盒子不同，每個(gè)盒里至多放一個(gè)球，所以只要選出5個(gè)不同的盒子

即可.故共有源種不同的放法.

2,教材改編］從4本不同的課外讀物中，買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，則不同的送法

種數(shù)是（B）

A.12B.24C.64D.81

解析4本不同的課外讀物選3本分給3位同學(xué)，每人1本，則不同的分配方法種數(shù)為

Ai=24.

3.［教材改編］某班舉行了“弘揚(yáng)中華文化”演講比賽，有6人參加，并決出第1名到第6

名的名次（沒有并列名次）.甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對(duì)甲說：“很遺憾，你

和乙都沒有得到冠軍對(duì)乙說：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的從回答分析，6人的名次排列情

況可能有（D）

A.216種B.240種C.288種D.384種

解析由題可知，甲和乙都不是冠軍，所以冠軍有4種可能性，乙不是最后一名，所以最

后一名有4種可能性，所以6人的名次排列情況可能有4X4XA?=384（種）.

4.［多選］下列說法正確的是（BD）

A.所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列

B.兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同

C若席=C￡,則X=

D.AEi=A$+mA^T

5.［易錯(cuò)題］計(jì)算0+G+喘+Cg的值為210.（用數(shù)字作答）

解析原式=cW+a+c8=c2+c$=cfo=2io.

6.若鬣+1=%+墨，貝！In=6.

解析?.,鬃+1=髭+第=第+1，.,."+1=3+4,解得〃=6.

-------------------------------］?春融透明■方向-----------------------------s

6學(xué)生用書P227

命題點(diǎn)1排列問題

例1有3名男生、4名女生.

（1）若排成前、后兩排，前排3人，后排4人，則不同的排列方法總數(shù)為5040

（2）若全體排成一排，女生必須站在一起，則不同的排列方法總數(shù)為576.

（3）若全體排成一排，男生互不相鄰，則不同的排列方法總數(shù)為1440.

（4）若全體排成一排，其中甲不站最左邊，也不站最右邊，則不同的排列方法總數(shù)為—

3600.

（5）若全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊，則不同的排列方法總數(shù)為—

3720.

（6）若全體排成一排，其中甲、乙、丙三人從左到右順序一定，則不同的排列方法總數(shù)為.

840.

解析（1）分兩步完成，先選3人站前排，有心種方法，余下4人站后排，有A?種方法，

共有A網(wǎng)=5040（種）.

（2）將女生看作一個(gè)整體與3名男生一起全排列，有4種方法，再將女生全排列，有4種

方法,共有A$A?=576（種）.

（3）先排女生，有A，種方法，然后在女生之間及首尾共5個(gè)空位中任選3個(gè)空位安排男

生，有A|種方法，共有A方Ag=1440（種）.

（4）解法一先排甲，有5種方法，其余6人有A3種排列方法，共有5XA后=3600

（種）.

解法二左、右兩邊位置可安排除甲外其余6人中的2人，有A看種排法，剩下的5人有A]

種排法,共有A看Ag=3600（種）.

（5）解法一甲在最右邊時(shí)，其他人可全排列，有A?種方法；甲不在最右邊時(shí)，因?yàn)榧滓?/p>

不在最左邊，所以可從余下的5個(gè)位置中任選1個(gè)，有瑪種，而乙可從除去最右邊的位置

后剩下的5個(gè)位置中任選1個(gè)，有瑪種，其余人全排列，有A]種不同排法，共有AS+

C|C|A|=3720（種）.

解法二7人全排列，有AZ種方法，其中甲在最左邊時(shí)，有A3種方法，乙在最右邊時(shí)，有

A?種方法，其中都包含了甲在最左邊且乙在最右邊的情形（Ag種方法），故共有A；-

2A|+A1=3720（種）.

（6）7人全排列，有A7種方法，由于甲、乙、丙的順序一定，則不同的排列方法總數(shù)為

|=840-

方法技巧

求解排列問題的常用方法

直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算.

優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置.

捆綁法相鄰問題捆綁處理，即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素進(jìn)行排

歹同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列.

不相鄰問題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元

插空法

素插在前面元素的排列空位中.

定序問題

定序問題，可先不考慮順序限制進(jìn)行排列，再除以定序元素的全排列.

除法處理

間接法正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化處理.

訓(xùn)練1（1）［2022新高考卷II］甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲

不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有（B）

A.12種B.24種C.36種D.48種

解析先將丙和丁捆在一起，有Aa種排列方式，然后將其與乙、戊排列，有Af種排列方

式，最后將甲插入中間兩空，有2種排列方式，所以不同的排列方式共有2A，A'=24

（種），故選B.

（2）［2023濟(jì)南市統(tǒng)考］由3個(gè)2,1個(gè)0,2個(gè)3組成的六位數(shù)中，滿足有相鄰4位恰好是

2023的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為（B）

A.3B.6C.9D.24

解析2023用了2個(gè)2,1個(gè)0,1個(gè)3,還余下1個(gè)2,1個(gè)3,故將2023視作一個(gè)整體

與余下的1個(gè)2,1個(gè)3全排列，有A§=6（種）不同的排法.故選B.

命題點(diǎn)2組合問題

例2（1）［多選］從6名男生和4名女生中選出4人去參加一項(xiàng)創(chuàng)新大賽，則下列說法正確

的有（CD）

A.若4人全部為男生，則有30種不同的選法

B.若4人中男生、女生各有2人，則有30種不同的選法

C.若男生中的甲和女生中的乙被選，則有28種不同的選法

D.若男生中的甲和女生中的乙至少有1人被選，則有140種不同的選法

解析4人全部為男生，選法有媒=15（種），故A錯(cuò)誤；如果4人中男生、女生各有2

人，男生的選法有量=15（種），女生的選法有鬣=6（種），則4人中男生、女生各有2

人的選法有15X6=90（種），B錯(cuò)誤；如果男生中的甲和女生中的乙被選，在剩下的8人

中再選2人即可，有a=28（種）不同的選法，故C正確；在10人中任選4人，有第0=

210（種）不同的選法，甲、乙都不在其中的選法有第=70（種），故男生中的甲和女生中

的乙至少要有1人被選的選法有210—70=140（種），故D正確.

（2）［2023新高考卷I］某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這

8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有64

種（用數(shù)字作答）.

解析解法一由題意，可分三類：第一類，體育類選修課和藝術(shù)類選修課各選修1門，

有以Q種方案；第二類，在體育類選修課中選修1門，在藝術(shù)類選修課中選修2門，有

黑鬣種方案；第三類，在體育類選修課中選修2門，在藝術(shù)類選修課中選修1門，有髭黑

種方案.綜上，不同的選課方案共有禺禺+禺禺+第&=64（種）.

解法二若學(xué)生從這8門課中選修2門課，則有禺一第一第=16（種）選課方案；若學(xué)生

從這8門課中選修3門課，則有《一值一。=48（種）選課方案.綜上，不同的選課方案共

有16+48=64（種）.

方法技巧

組合問題常見的兩類題型

（1）“含”與“不含”的問題：“含”，則先將這些元素取出，再由剩下的元素補(bǔ)足；

“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選取.

（2）“至少”與“最多”的問題：解這類題的關(guān)鍵是理解“至少”與“最多”這兩個(gè)詞的

含義，通常用直接法或間接法處理，分類復(fù)雜時(shí)，用間接法更容易處理.

訓(xùn)練2（1）[2023福州5月質(zhì)檢]“賽龍舟”是端午節(jié)重要的民俗活動(dòng)之一，龍舟比賽的

劃手分劃左槳和劃右槳.某訓(xùn)練小組有6名劃手，其中有2名只會(huì)劃左槳，2名只會(huì)劃右

槳，2名既會(huì)劃左槳又會(huì)劃右槳.現(xiàn)從這6名劃手中選派4名參加比賽，其中2名劃左槳，2

名劃右槳，則不同的選派方法共有（C）

A.15種B.18種C.19種D.36種

解析按照從全能者（既會(huì)劃左槳又會(huì)劃右槳）中選多少人參與劃左槳分類：①2名全能

者中選2人劃左槳，有C犯§=1（種）不同的選派方法；②2名全能者中選1人劃左槳，有

G的鬣=12（種）不同的選派方法；③2名全能者中選0人劃左槳，有最第=6（種）不同

的選派方法.所以共有1+12+6=19（種）不同的選派方法.故選C.

（2）[2023南京市、鹽城市二模]編號(hào)為1,2,3,4的四位同學(xué)，就座于編號(hào)為1,2,

3,4的四個(gè)座位上，每個(gè)座位恰好坐一位同學(xué)，則恰有兩位同學(xué)的編號(hào)和座位編號(hào)一致的

坐法種數(shù)為6.

解析先選擇兩位同學(xué)坐對(duì)編號(hào)，有第種方法，余下的兩位同學(xué)只能交叉坐，只有1種方

法，故共有第XI=6（種）不同坐法.

命題點(diǎn)3排列與組合的綜合應(yīng)用

角度1有限制條件的排列、組合問題

例3（1）[2023沈陽市質(zhì)監(jiān)]甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必須

站在最中間兩個(gè)位置之一，且乙、丙2人相鄰，則不同的排隊(duì)方法共有（C）

A.24種B.36種C.72種D.96種

解析如圖所示，當(dāng)甲在3的位置時(shí)，乙、丙可能排在（1,2）,（4,5）,（5,6）,

先從這三種中選出一種安排乙、丙，然后在剩下的3個(gè)位置安排余下的3人，所以不同的

排隊(duì)方法有禺AgAg=36（種）；當(dāng)甲在4的位置時(shí)，由對(duì)稱性可知不同的排隊(duì)方法也有36

種.所以不同的排隊(duì)方法共有36X2=72（種），故選C.

123456

（2）[2023重慶市名校聯(lián)考]某校從8名教師中選派4名教師去4個(gè)偏遠(yuǎn)地區(qū)支教，每地1

人，其中甲和乙不能同去，甲與丙同去或者同不去，則不同的選派方案的種數(shù)是600.

（用數(shù)字作答）

解析分為兩步，第一步，先選4名教師，第一步又分兩類，第一類，甲去，則丙一定

去，乙一定不去，有髭=10（種）不同的選法；第二類，甲不去，則丙一定不去，乙可能

去也可能不去，有第=15（種）不同的選法.所以選4名教師，不同的選法有10+15=25

（種）.第二步，4名教師去4個(gè)偏遠(yuǎn)地區(qū)支教，有A1=24（種）分配方法.所以不同的選派

方案的種數(shù)是25X24=600.

方法技巧

有限制條件的排列、組合問題的解題策略

（1）先分析每個(gè)限制條件，然后考慮是分類還是分步，對(duì)于分類過多的問題可以采用間接

法；

（2）采用特殊元素（位置）優(yōu)先原則，即先滿足有限制條件的元素（位置），再考慮其他

元素（位置）.

角度2分組、分配問題

例4（1）有5個(gè)大學(xué)保送名額，計(jì)劃分到3個(gè)班級(jí)，每班至少一個(gè)名額，有6種不同

的分法.

解析一共有5個(gè)保送名額，分到3個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少1個(gè)名額，即將名額分成3

份，每份至少1個(gè)，（定份數(shù)）

將5個(gè)名額排成一列，中間有4個(gè)空，（定空位）

即只需在中間4個(gè)空中插入2個(gè)隔板，不同的方法共有髭=6（種）.（插隔板）

（2）若將6名教師分到3所中學(xué)任教，其中一所1名，一所2名，一所3名，則有360

種不同的分法.

解析先將6名教師分組，共有最以《=60（種）分法.

再將這3組教師分配到3所中學(xué)，有Ag=6（種）分法.

故不同的分法共有60X6=360（種）.

（3）將6本不同的書分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人至少1本的不同分法共有1560

種.（用數(shù)字作答）

解析把6本不同的書分成4組，故有“3,1,1,1”和“2,2,1,1”兩種不同的分組

方法.

若按“3,I,I,1”的分組方法，則不同的分法共有彗退=20（種）.（有三組元素個(gè)數(shù)

A3

相同，因與順序無關(guān)，故需除去重復(fù)情況）

若按“2,2,1,1”的分組方法，則不同的分法共有萼?萼=45（種）.（四組元素中，分

A2A2

別有兩組元素個(gè)數(shù)相同，分別為“2,2”和“1,1”，因與順序無關(guān)，故需除去重復(fù)情

況）

所以不同的分組方法共有20+45=65（種）.

然后把分好的4組書分給4個(gè)人，分法共有A，=24（種），所以不同的分法共有65X24=

1560（種）.

方法技巧

分組、分配問題的解題思路是先分組后分配.

1.常見的分組

整體均勻分組分組后一定要除以A*（〃為均分的組數(shù)），避免重復(fù)計(jì)數(shù).

部分均勻分組若有心組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以冽！.

不等分組分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等.

注意關(guān)于分組問題，應(yīng)注意無論分成幾組，只要其中某些組中的元素個(gè)數(shù)相等，就存在

均分現(xiàn)象.

2.常見的分配

（1）相同元素的分配問題，常用“隔板法”求解.

（2）不同元素的分配問題，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，先分組，后分配.

（3）有限制條件的分配問題，采用分類討論法或間接法求解.

訓(xùn)練3（1）［多選/2023重慶八中模擬］將甲、乙、丙、丁4名志愿者分別安排到/,B,C

3個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，要求每個(gè)社區(qū)至少安排1名志愿者，每名志愿者只能被

安排到1個(gè)社區(qū)，則下列選項(xiàng)正確的是（BD）

A.共有72種安排方法

B.若甲、乙被安排在同一個(gè)社區(qū)，則有6種安排方法

C.若/社區(qū)需要2名志愿者，則有24種安排方法

D.若甲被安排在/社區(qū)，則有12種安排方法

解析對(duì)于A選項(xiàng)，將4名志愿者先分為3組，再分配到3個(gè)社區(qū)，所以安排方法種數(shù)為

519><Ag=36,所以A選項(xiàng)不正確.

對(duì)于B選項(xiàng)，甲、乙被安排在同一個(gè)社區(qū)，先從3個(gè)社區(qū)中選1個(gè)安排甲與乙，再把剩余

2個(gè)社區(qū)進(jìn)行全排列，所以安排方法種數(shù)為《A芻=6,所以B選項(xiàng)正確.

對(duì)于C選項(xiàng)，/社區(qū)需要2名志愿者，所以先從4名志愿者中選擇2名安排到/社區(qū)，再

把剩余2名志愿者進(jìn)行全排列，所以安排方法種數(shù)為C/A芻=12,C選項(xiàng)不正確.

對(duì)于D選項(xiàng)，甲被安排在/社區(qū)，分為兩種情況，（對(duì)甲安排在《社區(qū)進(jìn)行分類討論，討

論/社區(qū)是甲單獨(dú)一人還是甲與另外一人）

第一種為/社區(qū)安排了2名志愿者，則從剩余3名志愿者中再選擇1名，分到/社區(qū)，然

后把剩余2名志愿者進(jìn)行全排列，安排方法共有的Ag種；第二種是/社區(qū)只安排了甲志愿

者，此時(shí)剩余3名志愿者分為2組，再分配到剩余的2個(gè)社區(qū)中，此時(shí)安排方法有種.

（這兩組是不均勻分組，故不需除以任何數(shù)）

所以安排方法種數(shù)一共為+髭A；=12,D選項(xiàng)正確.故選BD.

（2）將9名大學(xué)生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天參加社區(qū)公益活動(dòng)，每天分

別安排3人，每人參加一次，則不同的安排方案共有1680種.（用數(shù)字作答）

解析先選出3人，有舄種選法，再從剩下的6人中選出3人，有髭種選法，最后剩下的

3人為一組，有0種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理以及整體均勻分組方法，可知不同的安排方

案共有回孽我=1680（種）.

A3s

1.［命題點(diǎn)1,023大同學(xué)情調(diào)研］現(xiàn)有高中數(shù)學(xué)新教材必修一、二，選擇性必修一、二、

三，共5本書，把這5本書放在書架上排成一排，必修一、必修二不相鄰的排列方法種數(shù)

是（A）

A.72B.144C.48D.36

解析解法一先將選擇性必修一、二、三這3本書排成一排，有A|=6（種）排列方法，

再將必修一、必修二這2本書插入兩端或3本書間的兩個(gè)空隙中，有A：=12（種）排列方

法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，把這5本書放在書架上排成一排，必修一、必修二不相鄰的

排列方法種數(shù)是6X12=72.

解法二5本書放在書架上排成一排的排列方法共有恁種，其中必修一、必修二相鄰的排

列方法有A弘，種，所以把這5本書放在書架上排成一排，必修一、必修二不相鄰的排列方

法種數(shù)為Ag—A孤￡=72.

2」命題點(diǎn)2/2023合肥市二檢］某高中學(xué)校在新學(xué)期增設(shè)了“傳統(tǒng)文化”“數(shù)學(xué)文化”“綜

合實(shí)踐”“科學(xué)技術(shù)”和“勞動(dòng)技術(shù)”5門校本課程.小明和小華兩位同學(xué)商量每人選報(bào)2

門校本課程.若小明必須選報(bào)“數(shù)學(xué)文化”課程，兩位同學(xué)所選的課程至多有一門相同，則

不同的選課方案有（B）

A.24種B.36種C.48種D.52種

解析解法一當(dāng)小明和小華兩位同學(xué)所選的課程恰有一門相同時(shí)，若相同的課程為“數(shù)

學(xué)文化”，則不同的選課方案有黑禺=12（種）；若相同的課程不是“數(shù)學(xué)文化”，則不

同的選課方案有最?=12（種）.所以小明和小華兩位同學(xué)所選的課程恰有一門相同時(shí)，共

有12+12=24（種）選課方案.當(dāng)小明和小華兩位同學(xué)所選的課程都不相同時(shí)，不同的選課

方案有禺髭=12（種）.所以不同的選課方案有24+12=36（種），故選B.

解法二小明在“數(shù)學(xué)文化”課程外任選一門課程，小華任選2門課程時(shí)，不同的選課方

案有C：釐=40（種），其中小明和小華2門課程都相同時(shí)，選課方案有禺=4（種），故兩

位同學(xué)所選的課程至多有一門相同時(shí)，不同的選課方案有40—4=36（種），故選B.

3.［命題點(diǎn)3角度1］某旅游景區(qū)有如圖所示A至H共8個(gè)停車位，現(xiàn)有兩輛不同的白色車

和兩輛不同的黑色車，要求相同顏色的車不停在同一行也不停在同一列，則不同的停車方

法總數(shù)為（B）

ABCD

EFGH

A.288B.336C.576D.1680

解析由題意知，每行停放一輛白色車和一輛黑色車.第一步：取一輛白色車和一輛黑色車

停放到第一行，共有弓弓鬣A；=48（種）方法.第二步：把剩下的兩輛車停放到第二行.若白

色車與第一行的黑色車在同一列，此時(shí)黑色車有3種停放方法；若白色車與第一行的黑色

車不在同一列，則白色車有2種停放方法，黑色車也有2種停放方法，所以共有2X2=4

（種）停放方法.所以把剩下的兩輛車停放到第二行共有3+4=7（種）方法.由分步乘法計(jì)

數(shù)原理可知，滿足題意的停車方法總數(shù)為48X7=336.

4.［命題點(diǎn)3角度2/2021全國卷乙］將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、

冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志

愿者，則不同的分配方案共有（C）

A.60種B.120種C.240種D.480種

解析根據(jù)題設(shè)中的要求，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿

者，可分兩步進(jìn)行安排：第一步，將5名志愿者分成4組，其中1組2人，其余每組1

人，共有髭種分法；第二步，將分好的4組安排到4個(gè)項(xiàng)目中，有A5種安排方法.故滿足題

意的分配方案共有量XA/=240（種）.

5.［命題點(diǎn)3/2023福建適應(yīng)性測試］中國救援力量在國際自然災(zāi)害中為拯救生命做出了重要

貢獻(xiàn)，很好地展示了國家形象，增進(jìn)了國際友誼，多次為祖國贏得了榮譽(yù).現(xiàn)有5支救援隊(duì)

前往4B,C3個(gè)受災(zāi)點(diǎn)執(zhí)行救援任務(wù)，若每支救援隊(duì)只能去其中的一個(gè)受災(zāi)點(diǎn)，且每個(gè)

受災(zāi)點(diǎn)至少安排一支救援隊(duì)，其中甲救援隊(duì)只能去8,C2個(gè)受災(zāi)點(diǎn)中的一個(gè)，則不同的安

排方法種數(shù)是（D）

A.72B.84C.88D.100

解析解法一（間接法）將5支救援隊(duì)分成3組，有兩種分法：3：1：1和2：2：1,再

將這3組分配到B,C3個(gè)受災(zāi)點(diǎn)，有A1種分配方法，故共有C|Ag+回籌XA［=15（）

（種）安排方法，其中含有甲救援隊(duì)去/受災(zāi)點(diǎn)的情形.當(dāng)甲救援隊(duì)去/受災(zāi)點(diǎn)時(shí)，變?yōu)橛?/p>

下4支救援隊(duì)隨機(jī)去B,C3個(gè)受災(zāi)點(diǎn)，則/受災(zāi)點(diǎn)可以再去0支或1支或2支救援

隊(duì)，B,C受災(zāi)點(diǎn)均至少去1支救援隊(duì)，當(dāng)/受災(zāi)點(diǎn)再去0支救援隊(duì)時(shí)，余下4支救援隊(duì)分

成兩組（3：1或2：2）去B,C2個(gè)受災(zāi)點(diǎn)，不同的安排方法種數(shù)為+第；當(dāng)N受災(zāi)

點(diǎn)再去1支救援隊(duì)時(shí)，余下3支救援隊(duì)只能按2：1分組去8,C2個(gè)受災(zāi)點(diǎn)，不同的安排

方法種數(shù)為最髭Ag;當(dāng)/受災(zāi)點(diǎn)再去2支救援隊(duì)時(shí)，余下2支救援隊(duì)只能1支去8受災(zāi)

點(diǎn)，1支去C受災(zāi)點(diǎn)，不同的安排方法種數(shù)為CjAa.故滿足題意的不同的安排方法種數(shù)為

150-（舉卜+田+4弼+孕。=100.故選D.

解法二（直接法）將5支救援隊(duì)分成3組，有兩種分法：3：1：1和2：2：1,再將這3

組分配到/,B,C3個(gè)受災(zāi)點(diǎn).

①按3：1：1分組，若甲救援隊(duì)單獨(dú)一組，且甲救援隊(duì)去2,C2個(gè)受災(zāi)點(diǎn)中的一個(gè)，則有

分中不同的安排方法；若甲救援隊(duì)不單獨(dú)一組，則甲救援隊(duì)所在的組還

需2支救援隊(duì)，有此種選法，甲救援隊(duì)所在的組去8,C2個(gè)受災(zāi)點(diǎn)中的一個(gè)，有?種方

法，余下的2支救援隊(duì)分成兩組各去一個(gè)受災(zāi)點(diǎn)，有用種方法，故有（：犯叢芻種不同的安排

方法.

②按2：2：1分組，若甲救援隊(duì)單獨(dú)一組，且甲去8,C2個(gè)受災(zāi)點(diǎn)中的1個(gè)，則有

?X零XA9種不同的安排方法；若甲救援隊(duì)不單獨(dú)一組，則甲救援隊(duì)所在的組還需1支救

援隊(duì)，有禺種選法，甲救援隊(duì)所在的組去3,C2個(gè)受災(zāi)點(diǎn)中的1個(gè)，有6種方法，余下的

3支救援隊(duì)按2：1分成兩組各去一個(gè)受災(zāi)點(diǎn)，有禺A；種方法，故有黑的髭Aa種不同的安排

方法.

故滿足題意的不同的安排方法種數(shù)為?CjA；+鬣笠XA；+C；禺髭A；=16+24

A2

+12+48=100.故選D.

（---------------------:練習(xí)幫;，練透好題精準(zhǔn)分層---------------------------

。學(xué)生用書?練習(xí)幫P383

1.［新高考卷口6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場館，甲場館

安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（C）

A.120種B.90種C.60種D.30種

解析第1步，抽1名志愿者安排到甲場館，有最種安排方法；第2步，從剩下的5名志

愿者中抽取2名安排到乙場館，有禺種安排方法；第3步，將剩下的3名志愿者安排到丙

場館.由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的安排方法共有心以=60（種），故選C.

2.［2024吉林市田家炳高級(jí)中學(xué)模擬］從/,B,C,D,E這5人中選出4人，安排在甲、

乙、丙、丁4個(gè)崗位上，如果/不能安排在甲崗位上，則不同的安排方法有（D）

A.56種B.64種C.72種D.96種

解析解法一（優(yōu)先特殊元素）根據(jù)題意可知，按/是否入選進(jìn)行分類.

若/入選，則先從乙、丙、丁3個(gè)崗位上安排1個(gè)崗位給/,有心=3（種）安排方法，再

給剩下3個(gè)崗位安排人，有Aj=24（種）安排方法，共有3X24=72（種）安排方法.

若/不入選，則4個(gè)人4個(gè)崗位，有A》=24（種）安排方法.

綜上，共有72+24=96（種）安排方法.故選D.

解法二（優(yōu)先特殊位置）先安排去甲崗位的，/不能去，其他4人中選1人，因而有Q

種安排方法，再選3人安排其他崗位，有局種安排方法，從而共有C；A,=96（種）安排方

法.故選D.

3.［2024北京市第十二中學(xué)模擬］4位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時(shí)，又來了2位同學(xué)要加入，

如果保持原來4位同學(xué)的相對(duì)順序不變，則不同的加入方法種數(shù)為（D）

A.10B.20C.24D.30

解析解法一不考慮限制條件，將6位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相，共有A?種排法，如果保

持原來4位同學(xué)的相對(duì)順序不變，則有第=30（種）排法，故選D.

解法二插入2位同學(xué)后變成6位同學(xué)6個(gè)位置，原4位同學(xué)占4個(gè)位置，但相對(duì)順序沒

變，因而有藻種排法，再排新插入的2位同學(xué)有Ag種排法，從而共有C/§=30（種）排

法，故選D.

解法三6個(gè)位置可以先排后加入的2位同學(xué)，有A卷=30（種）排法，剩下4個(gè)位置原4

位同學(xué)按原順序排入即可，只有1種方法，因而共有30種排法，故選D.

4.［2024湖南衡陽模擬］2023年春節(jié)，在北京工作的五個(gè)家庭開車搭伴一起回老家過年，若

五輛車分別為4,B,C,D,E,五輛車隨機(jī)排成一列，則/車與3車相鄰，且N車與C

車不相鄰的排法有（A）

A.36種B.42種C.48種D.60種

解析將/車與3車?yán)υ谝黄甬?dāng)成一個(gè)元素使用，有八§種不同的捆法，將其與除C車外的

2個(gè)元素全排列，有種排法，將C車插入，不與/車相鄰，有A］種插法，故共有

A^XA|XA1=36（種）排法.故選A.

5.5個(gè)小朋友站成一圈，不同的站法一共有（D）

A.120種B.60種C.30種D.24種

解析先將5個(gè)小朋友編為1?5號(hào)，然后讓他們按1?5的順序站成一圈，這樣就形成了

一個(gè)圓排列.分別以1,2,3,4,5號(hào)作為開頭將這個(gè)圓排列打開，就可以得到5種排列：

12345,23451,34512,45123,51234.這就是說，這個(gè)圓排列對(duì)應(yīng)了5個(gè)排列.因此，要求

圓排列數(shù)，只需要求出全排列數(shù)再除以5就可以了，即這些小朋友不同的站法一共有g(shù)=

A：=24（種），故選D.

6.［多選］下列關(guān)于排列數(shù)與組合數(shù)的等式中，正確的是（ABD）

A.（?+1）人尸八雷1B.mC尸工1

C.q看"D.—A?+1=A?

n!n—m

解析對(duì)于A,(H+1)A7=("+1)n(H—1)…(n—m+1)=AM，故A正確；對(duì)

工.c1(n—1)!n!n-(n-1)!n(n—1)!n廠m-1己乙

于B,C=-----------------,C^=----------=——-------------------------------------=—C,所

n—1(771—l)!(n-Tn)!m\(n—m)\m-(7n-l)!(n—m)!m(TTI-l)!(n—m)!mn—1

以mcr=〃cm-i,故B正確；對(duì)于C,c7=^=空，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,—A?+1=

n—14洸min—m

-i

-----n(加一1)(n—m)—n(〃-1)…(n—m+1)=AJ?,故D正確.故選ABD.

n-m

7.［多選/2024湖南湘潭聯(lián)考］從10名男生和8名女生中選出3人去參加創(chuàng)新大賽，則至少

有1名女生的選法種數(shù)為(AC)

At)-C；oB&C務(wù)

C?任。+髭心。+髭D@0瑪+禺。之

解析對(duì)于A,從18名學(xué)生中選取3人，有C；8種不同的選法，從18名學(xué)生中選取3人，

選的都是男生有C；o種不同的選法，所以至少有1名女生的選法有C%—C；o=696(種)，A

正確；

對(duì)于B,心底7=1088X696,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,至少有1名女生的選法有三種情況：1名女生，2名女生，3名女生，所以至少有

1名女生的選法有C^o+C白禺o+C,=360+280+56=696(種),C正確;

對(duì)于D,C^oC^+CjoC1=36O+28O=64O#696,故D錯(cuò)誤.

8.［2024上海市華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)質(zhì)檢］7個(gè)志愿者的名額分給3個(gè)班，每班至少

一個(gè)名額，則有15種不同的分配方法(用數(shù)字作答).

解析7個(gè)志愿者的名額分配給3個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，其實(shí)就是在7個(gè)志愿者的名

額產(chǎn)生的6個(gè)空位中插入2個(gè)“檔板”，共有髭=15(種)不同的分配方法.

9.高考期間，為保證考生能夠順利進(jìn)入某考點(diǎn)，交管部門將6名交警分配到該考點(diǎn)周邊3

個(gè)不同路口疏導(dǎo)交通，每個(gè)路口2人，則不同的分配方法共有90種.

解析根據(jù)題意，分兩步進(jìn)行分析.第一步，將6名交警分成“2,2,2”的三組，有笑舞

A3

=15(種)分組方法；第二步，將分好的三組全排列，對(duì)應(yīng)3個(gè)路口，有A§=6(種)情

況，則共有15X6=90(種)分配方法.

10.某工程隊(duì)有6項(xiàng)工程需要單獨(dú)完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行，工程丙

必須在工程乙完成后才能進(jìn)行，工程丁必須在工程丙完成后立即進(jìn)行，那么安排這6項(xiàng)工

程的不同排法種數(shù)是20(用數(shù)字作答).

解析解法一(特殊元素優(yōu)先法)丙、丁相鄰且順序固定，故將其視為1個(gè)元素，記為

丙丁，則6項(xiàng)工程可視為5個(gè)元素.分成兩步來完成：第一步，從5個(gè)位置中選擇3個(gè)位置

排列甲、乙、丙丁這3個(gè)特殊元素，又甲、乙、丙丁的相對(duì)順序固定，故不同的排法有髭

=10（種）；第二步，將余下的2項(xiàng)工程任意排列到剩下的2個(gè)空位置上，不同的排法有

A，=2（種）,由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可知不同排法共有10X2=20（種）.

解法二（插空法）分成兩步來完成：第一步，將相對(duì)順序固定的甲、乙、丙、丁排列

好，丙、丁相鄰且順序固定，從而形成3個(gè)特殊元素（丙、丁視為1個(gè)元素），共有1種

排法；第二步，將余下的2項(xiàng)工程逐個(gè)插入，排法共有C：&=20（種）.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)

原理，安排這6項(xiàng)工程的不同排法共有1X20=20（種）.

解法三丙、丁相鄰且順序固定，故將其視為1個(gè)元素，記為丙丁，其余4項(xiàng)工程各視為

1個(gè)元素.對(duì)5個(gè)元素全排列，共有A髀中排法.其中，甲、乙、丙丁這3個(gè)特殊元素的位置共

有Af種不同的排法，而符合要求的甲、乙、丙丁的排法僅有1種，所以安排這6項(xiàng)工程的

不同排法共有5=20（種）.

A3

能力像，'「二＞'1

11.[2024河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬]某院派出醫(yī)護(hù)人員共5人，分別派往/,B,C三個(gè)區(qū)，每

區(qū)至少一人，甲、乙主動(dòng)申請(qǐng)前往/區(qū)或2區(qū)，且甲、乙恰好分在同一個(gè)區(qū)，則不同的安

排方法有（C）

A.12種B.18種C.24種D.30種

解析用捆綁法將甲、乙兩人看成一個(gè)整體，若甲、乙和另一人共3人分為一組，則有

2c叢芻=12（種）安排方法；若甲、乙兩人分為一組，另外三人分為兩組，一組1人，一組

2人,則有禺C1A褐=12（種）安排方法.

綜上，共有12+12=24（種）安排方法.故選C.

12.[2024浙江省名校聯(lián)考]某校銀杏大道上共有20盞路燈排成一列，為了節(jié)約用電，學(xué)校

打算關(guān)掉3盞路燈，且頭尾2盞路燈不能關(guān)閉，關(guān)掉的相鄰2盞路燈之間至少有2盞亮的

路燈，則不同的方案種數(shù)是（B）

A.324B.364C.560D.680

解析將20盞路燈分成2盞，15盞，3盞共3組，先將15盞亮的路燈排成一列，把3盞

關(guān)掉的路燈插空，因?yàn)轭^尾2盞路燈不能關(guān)閉