黑龍江省大慶市實驗中學(xué)實驗三部2024屆高三上學(xué)期階段考試（二）數(shù)學(xué)試題含答案解析

大慶實驗中學(xué)實驗三部2021級高三階段考試（二）數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題，共60分）一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求.1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是C.的實部為5 D.3.已知拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的一個焦點，則（）A.2 B.4 C.6 D.84.設(shè)是兩條不同的直線，是三個不同的平面.下列命題中正確的命題是（）A.若，則B.若，則C.若，則D若，則5.數(shù)列的通項公式為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充要條件6.若，則（）A. B. C. D.7.設(shè)，，，則（）A B. C. D.8.已知為坐標(biāo)原點，橢圓的左?右焦點分別是，離心率為.是橢圓上的點，的中點為，過作圓的一條切線，切點為，則的最大值為（）A. B.4 C. D.二?多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，至少有一個符合題目要求，每道題全對得5分，部分選對得2分.9.已知，則（）A若，則B.若，則C.的最小值為2D.若向量與向量的夾角為鈍角，則的取值范圍為10.已知函數(shù).記，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A.當(dāng)時，B.函數(shù)的最小值為-1C.函數(shù)在上單調(diào)遞減D.若關(guān)于方程恰有兩個不相等的實數(shù)根，則或11.過雙曲線的右焦點作漸近線的垂線，垂足為，且該直線與軸的交點為，若（為坐標(biāo)原點），該雙曲線的離心率的可能取值是（）A.2 B. C. D.12.如圖，已知正方體的棱長為為底面正方形內(nèi)（含邊界）的一動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在點，使得平面B.三棱錐的體積為定值C.當(dāng)點在棱上時，的最小值為D.若點到直線與到直線的距離相等，的中點為，則點到直線的最短距離是第II卷（非選擇題，共90分）三?填空題：本題共4小題，每空5分，共20分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置13.直線與直線垂直，且被圓截得的弦長為2，則直線的一個方程為__________（寫出一個方程即可）14.如圖，在正三棱柱中，分別是和的中點，則直線與所成的角余弦值為__________.15.已知數(shù)列滿足：，設(shè)數(shù)列的前項和為，若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為__________.16.設(shè)函數(shù)，若不等式有且只有三個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是__________.四?解答題：本大題共6小題，其中17題滿分10分，其余各題滿分12分，共70分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.17.已知函數(shù)（其中）的部分圖像如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象.（1）求與的解析式；（2）令，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.18.如圖所示，在三棱錐中，為等腰直角三角形，點S在以為直徑的半圓上，．（1）證明：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．19.在中，角的對邊分別為，且.（1）求；（2）求的邊中線的最大值.20.已知為數(shù)列的前項和，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，數(shù)列的前項和為，求．21.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線E：的焦點為F，E的準(zhǔn)線交軸于點K，過K的直線l與拋物線E相切于點A，且交軸正半軸于點P.已知的面積為2.（1）求拋物線E的方程；（2）過點P的直線交E于M，N兩點，過M且平行于y軸的直線與線段OA交于點T，點H滿足.證明：直線過定點.22.已知函數(shù)，其中.（1）若是定義域內(nèi)單調(diào)遞減函數(shù)，求a的取值范圍；（2）當(dāng)時，求證：對任意，恒有成立.大慶實驗中學(xué)實驗三部2021級高三階段考試（二）數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題，共60分）一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用整數(shù)集的定義與具體函數(shù)定義域的求法化簡集合，再利用集合的交集運算即可得解.【詳解】因為，，所以.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是C.的實部為5 D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點，得復(fù)數(shù)，通過復(fù)數(shù)的乘法，復(fù)數(shù)模的計算，共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)實部的定義，驗證各選項的結(jié)論.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，則，，A選項錯誤；，B選項正確；，的實部為-3，C選項錯誤；，D選項錯誤.故選：B3.已知拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的一個焦點，則（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】求出雙曲線的焦點坐標(biāo)，然后利用拋物線的定義，求解p即可【詳解】雙曲線的焦點坐標(biāo)，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的一個焦點，所以，可得．故選：C．4.設(shè)是兩條不同的直線，是三個不同的平面.下列命題中正確的命題是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】A【解析】【分析】分析每個選項中的直線與平面的位置關(guān)系，判斷正誤.【詳解】對于A項，若，，，則，A項正確；對于B項，若，，可能和相交，B項錯誤；對于C項，若，，直線可能在平面內(nèi)，C項錯誤；對于D項，若，，直線可能在平面內(nèi)，D項錯誤.故選：A.5.數(shù)列的通項公式為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充要條件【答案】D【解析】【分析】為遞增數(shù)列，則對于任意恒成立，由不等式求的取值范圍即可.【詳解】數(shù)列的通項公式為，為遞增數(shù)列，則對于任意恒成立，即對于任意恒成立，故，則“”是“為遞增數(shù)列”的充要條件.故選：D6.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】切化弦，結(jié)合得出，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角公式求解.【詳解】因為，所以，即，所以，即，所以，故選：D．7.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)得其單調(diào)性，可判斷，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此可得，即，所以，又指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增，可得，即.因為，所以，故選：A.8.已知為坐標(biāo)原點，橢圓的左?右焦點分別是，離心率為.是橢圓上的點，的中點為，過作圓的一條切線，切點為，則的最大值為（）A. B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由橢圓的定義和幾何性質(zhì)，求得橢圓的方程為，設(shè)，再由圓的切線長的性質(zhì)，求得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】如圖所示，連接，因為的中點為，所以，所以，又因為，所以，所以橢圓的方程為，設(shè)，則，所以，其中，連接，因為圓，可得圓心，半徑為，又因為為圓的切線，切點為，所以，且，可得，因為，所以當(dāng)時，取得最大值，最大值為.故選：B.二?多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，至少有一個符合題目要求，每道題全對得5分，部分選對得2分.9.已知，則（）A.若，則B.若，則C.的最小值為2D.若向量與向量的夾角為鈍角，則的取值范圍為【答案】AB【解析】【分析】利用向量平行垂直的坐標(biāo)表示，向量模和夾角的坐標(biāo)表示，通過計算驗證各選項中的結(jié)論.【詳解】已知，若，則，解得，A選項正確；若，則，解得，B選項正確；，，當(dāng)時，有最小值，C選項錯誤；當(dāng)時，，，向量與向量的夾角為，D選項錯誤.故選：AB10.已知函數(shù).記，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A.當(dāng)時，B.函數(shù)的最小值為-1C.函數(shù)在上單調(diào)遞減D.若關(guān)于的方程恰有兩個不相等的實數(shù)根，則或【答案】ABD【解析】【分析】由定義作出函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像驗證選項中的結(jié)論.【詳解】在同一直角坐標(biāo)系下作出函數(shù)和的圖像，由函數(shù)定義，得的圖像如圖所示，結(jié)合圖像可知，當(dāng)時，，，A選項正確；函數(shù)的最小值為-1，B選項正確；函數(shù)在上單調(diào)遞增，C選項錯誤；若關(guān)于的方程恰有兩個不相等的實數(shù)根，則或，D選項正確.故選：ABD11.過雙曲線的右焦點作漸近線的垂線，垂足為，且該直線與軸的交點為，若（為坐標(biāo)原點），該雙曲線的離心率的可能取值是（）A.2 B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由題意畫出圖形，首先得出漸近線方程，由點到直線的距離公式表示出，再進一步表示出過由焦點且與漸近線垂直的直線，令可得，結(jié)合離心率公式化為齊次不等式求解即可.【詳解】由題意不妨設(shè)漸近線的方程為，點，其中，所以過點且和漸近線垂直的方程為，令，得，由點到直線的距離公式可知，由題意，即，而，所以，解得，對比各個選項可知該雙曲線的離心率的可能取值是2，，.故選：ABC.12.如圖，已知正方體的棱長為為底面正方形內(nèi)（含邊界）的一動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在點，使得平面B.三棱錐的體積為定值C.當(dāng)點在棱上時，最小值為D.若點到直線與到直線的距離相等，的中點為，則點到直線的最短距離是【答案】ABD【解析】【分析】對于A選項，當(dāng)點P與A重合時，利用線面垂直的判定定理即可判斷；對于B選項，由P到上底面的距離是定值即可判斷；對于C選項，將平面沿旋轉(zhuǎn)至平面共面，即可得到的最小值，從而得以判斷；對于D選項，先得到點P的軌跡方程，將問題轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到直線的最小距離，從而得解.【詳解】對于A選項，如圖，連接，，因為在正方體中，平面，平面，所以，因為為正方形，所以，又因為，，平面，所以平面，因為平面，所以，同理可得，因為，，平面，所以平面，所以當(dāng)點P與A重合時，平面，故A正確；對于B選項，三棱錐的體積就是三棱錐的體積，而P到上底面的距離是定值，所以三棱錐的體積是定值，故B正確；對于C選項，當(dāng)點P在棱上時，把平面沿旋轉(zhuǎn)，使得旋轉(zhuǎn)面與平面共面，連接，如圖，此時取得最小值，在中，，，則，故C錯誤；對于D，由點P到直線與到直線的距離相等，可知P在以為準(zhǔn)線，B為焦點的拋物線上，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，P的軌跡是拋物線，其方程為，因為CD的中點為E，、，所以AE方程:，與AE平行的拋物線的切線方程設(shè)為，聯(lián)立，可得，則由，解得，可得切線方程為，則點P到直線AE的最短距離為，故D正確；故選：ABD.【點睛】本題D選項的結(jié)論的解決關(guān)鍵是利用拋物線的定義，建立平面直角坐標(biāo)系，得到點P的軌跡方程，從而將問題轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到直線AE的距離的最值，從而得解.第II卷（非選擇題，共90分）三?填空題：本題共4小題，每空5分，共20分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置13.直線與直線垂直，且被圓截得的弦長為2，則直線的一個方程為__________（寫出一個方程即可）【答案】（或）【解析】【分析】根據(jù)直線垂直的斜率關(guān)系得的斜率，設(shè)出直線方程，然后根據(jù)弦長公式和點到直線的距離公式可得.【詳解】因為直線與直線垂直，所以，直線斜率為，設(shè)直線的方程為，即，圓的圓心為，半徑為.圓心到直線的距離，則有，解得或，故直線的方程為或.故答案為：（或）14.如圖，在正三棱柱中，分別是和的中點，則直線與所成的角余弦值為__________.【答案】【解析】【分析】分別取中點，易證得四邊形和均為平行四邊形，根據(jù)平行關(guān)系可知所求角為或其補角，利用余弦定理可求得結(jié)果【詳解】分別取中點，連接，因為三棱柱為正三棱柱，所以為等邊三角形，設(shè)，,，所以四邊形和均為平行四邊形，（或其補角）即為直線與所成角；又，,所以直線與所成的角余弦值為,故答案為：.15.已知數(shù)列滿足：，設(shè)數(shù)列的前項和為，若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】已知條件求出，裂項相消求出，由不等式恒成立，列不等式求實數(shù)的取值范圍.【詳解】數(shù)列滿足：，時，時，，得，即，時也滿足，則有.，，不等式恒成立，即，解得或.即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：16.設(shè)函數(shù)，若不等式有且只有三個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，把不等式轉(zhuǎn)化為，令，求得，令，得到，結(jié)合，得到存在唯一的使得，得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合的值和題設(shè)條件，得出，即可求解.【詳解】由函數(shù)，若不等式，即，因為，可化為，令，可得，令，可得，所以在R上單調(diào)遞增，又由，所以存在唯一的使得，當(dāng)時，，可得，所以單調(diào)遞減，當(dāng)時，，可得，所以單調(diào)遞增，且，又因為，所以當(dāng)原不等式有且僅有三個整數(shù)解時，有，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】方法點睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．四?解答題：本大題共6小題，其中17題滿分10分，其余各題滿分12分，共70分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.17.已知函數(shù)（其中）的部分圖像如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象.（1）求與的解析式；（2）令，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由圖象可得出函數(shù)的最小正周期和的值，可求出，再將點代入函數(shù)解析式，結(jié)合可求得，寫出；再由的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；（2）用輔助角公式和誘導(dǎo)公式得出，再利用正弦函數(shù)的遞增區(qū)間得出x的取值范圍.【小問1詳解】由圖像可知，所以，又圖像過點，所以，因為，所以，所以，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，所以【小問2詳解】因為，所以所以，解得，單調(diào)遞增區(qū)間為18.如圖所示，在三棱錐中，為等腰直角三角形，點S在以為直徑的半圓上，．（1）證明：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證明線面垂直，平面，根據(jù)平面與平面垂直的判定可證結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出法向量，利用線面角的公式求解.【小問1詳解】設(shè)的中點為O，連接，．因為為等腰直角三角形，且，所以，，且．因為S在以為直徑的圓上，所以．故，故．又因為，直線平面，所以平面，因為平面，所以平面平面．【小問2詳解】以O(shè)為坐標(biāo)原點，，所在直線分別為x，y軸，過點O且垂直于平面的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，．由得，所以，從而得，所以．所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，，不妨取，則．因為，故直線與平面所成角的正弦值為．19.在中，角的對邊分別為，且.（1）求；（2）求的邊中線的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接由二倍角公式，正弦定理邊化角即可得解.（2）首先利用向量模的公式，再結(jié)合余弦定理以及基本不等式即可得解，注意取得條件是否滿足.【小問1詳解】由題意，結(jié)合已知有，所以，而，所以，而，所以，解得.【小問2詳解】由題意，所以，而由余弦定理有，所以，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即，所以，即的邊中線的最大值為.20.已知為數(shù)列的前項和，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，數(shù)列的前項和為，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用與的關(guān)系可得，再利用等差數(shù)列的定義及條件即求；（2）由題可得，再分組求和即得.【小問1詳解】當(dāng)時，，又，所以；當(dāng)時，，所以，即，所以，所以，化簡，得，即當(dāng)時，，所以為等差數(shù)列，又，，所以公差，所以．【小問2詳解】由（1）知為以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，所以．21.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線E：的焦點為F，E的準(zhǔn)線交軸于點K，過K的直線l與拋物線E相切于點A，且交軸正半軸于點P.已知的面積為2.（1）求拋物線E的方程；（2）過點P的直線交E于M，N兩點，過M且平行于y軸的直線與線段OA交于點T，點H滿足.證明：直線過定點.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意假設(shè)得直線l：，聯(lián)立拋物線方程求得，，再利用三角形面積即可求得，由此得解；（2）根據(jù)題意設(shè)得：，聯(lián)立拋物線方程求得，再依次求得T，H的坐標(biāo)，從而求得直線的方程，化簡可得為，由此得證.【小問1詳解】由題可知，，準(zhǔn)線，，因為直線l的斜率存在且不為0，所以設(shè)l：，聯(lián)立，消去x，得，因為l與E相切，所以，所以或，因為交y軸正半軸于點P，所以,因此，解得，所以，故，所以，所以（負(fù)值舍去），所以拋物線E的方程為.【小問2詳解】由（1）知，又l：