滿分線性代數(shù)（第二版）課件 第4章 向量組的線性相關(guān)性

第四章向量組的線性相關(guān)性4.1向量與向量組的概念4.2向量組間的線性表示4.3線性方程組的五種表示方法4.4用方程組的向量表示形式來(lái)分析線性方程組4.5向量組線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的定義4.6向量組線性相關(guān)性與齊次線性方程組4.7向量組線性相關(guān)性的形象理解第四章向量組的線性相關(guān)性4.8特殊向量組的線性相關(guān)性4.9向量組的部分與整體定理4.10向量組的延伸與縮短4.11一個(gè)向量與一個(gè)向量組定理4.12向量組的極大線性無(wú)關(guān)組及秩4.13向量組的秩與向量的個(gè)數(shù)4.14“三秩相等”定理第四章向量組的線性相關(guān)性4.15向量組的等價(jià)4.16向量組間的線性表示與秩的定理4.17向量組的“緊湊性”與“臃腫性”4.18向量組的秩和極大無(wú)關(guān)組的求解4.19向量空間的定義(僅數(shù)學(xué)一要求)4.20向量空間的基與維數(shù)(僅數(shù)學(xué)一要求)4.21n維實(shí)向量空間Rn

(僅數(shù)學(xué)一要求)4.22向量在基下的坐標(biāo)(僅數(shù)學(xué)一要求)第四章向量組的線性相關(guān)性4.23過(guò)渡矩陣(僅數(shù)學(xué)一要求)4.24向量的內(nèi)積4.25向量的長(zhǎng)度4.26向量的夾角4.27正交矩陣4.28解向量與自由變量4.29齊次線性方程組解向量的性質(zhì)第四章向量組的線性相關(guān)性4.30齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及通解4.31解空間(僅數(shù)學(xué)一要求)4.32非齊次線性方程組解的性質(zhì)4.33非齊次線性方程組的通解4.34典型例題分析

4.1向量與向量組的概念

1.n維向量由n個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組稱為n維向量。前者為行向量,后者為列向量,ai

稱為n維向量α的第i個(gè)分量。向量就是只有一行或只有一列的矩陣。

2.向量的線性運(yùn)算

向量的加法與數(shù)乘運(yùn)算稱為向量的線性運(yùn)算。因?yàn)橄蛄烤褪翘厥獾木仃?所以向量運(yùn)算滿足矩陣運(yùn)算規(guī)律。

3.向量組

若干個(gè)同維向量構(gòu)成的一組向量稱為向量組。

4.矩陣與向量組

設(shè)m×n矩陣按行分塊,可以將A

看作是m個(gè)n維行向量構(gòu)成的向量組;按列分塊,可以將A看作是n

個(gè)m

維列向量構(gòu)成的向量組。

例如,3×4的矩陣A既可以看成3個(gè)四維行向量,也可以看成4個(gè)三維列向量,如圖4.1所示。圖4.1矩陣與2個(gè)向量組

5.線性組合與線性表示

設(shè)α1,α2,…,αm,β是n維向量組,

若β=k1α1+k2α2+…+kmαm,則稱β是α1,α2,…,αm的線性組合,也稱β可由α1,α2,…,αm線性表示,其中k1,k2,…,km稱為組合系數(shù)。

例如,若顯然有3α1-2α2=α3,則可以

稱α3是α1和α2的線性組合,也可以稱α3可由α1和α2線性表示。

6.n維基本單位向量組

向量組稱為n維基本單位向

量組。n階單位矩陣E

的列(行)向量組就是一個(gè)n維基本單位向量組。任意n維向量α都可以由基本單位向量組線性表示。

7.零向量

所有分量全為零的向量稱為零向量。零向量可以由任意一個(gè)向量組來(lái)線性表示。例如:0α1+0ε2+0α3=0。

4.2向量組間的線性表示

1.向量組間線性表示的概念設(shè)有兩個(gè)向量組T1:α1,α2,…,αm和T2:β1,β2,…,βn,若向量組T2中的每一個(gè)向量都可由向量組T1線性表示,則稱向量組T2可由向量組T1線性表示。

2.用矩陣等式表述向量組間線性表示

例如:有兩個(gè)向量組α1,α2,α3和β1,β2。已知β1=α1+α2+α3,β2=2α1-α2+7α3,于是可以有矩陣等式:

3.一個(gè)向量組可以由自己線性表示

任意向量組α1,α2,…,αm總能由自己線性表示,如αi=0α1+…+1αi+…+0αm,i=1,2,…,m。

4.3線性方程組的五種表示方法

1.代數(shù)形式線性方程組的代數(shù)表示形式如下:

2.具體矩陣形式

線性方程組的具體矩陣表示形式如下:

3.抽象矩陣形式

線性方程組的抽象矩陣表示形式如下:

其中:

4.分塊矩陣形式

線性方程組的分塊矩陣表示形式如下:

5.向量形式

線性方程組的向量表示形式如下:

例如,非齊次線性方程組可以根據(jù)矩陣乘法運(yùn)算規(guī)則寫(xiě)成具體的矩陣形式:

4.4用方程組的向量表示形式來(lái)分析線性方程組

從線性方程組的向量表示形式出發(fā),可以得出以下結(jié)論:(1)向量β可以由向量組α1,α2,…,αn線性表示?非齊次線性方程組x1α1+x2α2+…+xnαn=β有解?R(

α1,α2,…,αn)=R(α1,α2,…,αn,β)。(2)向量β不能由向量組α1,α2,…,αn線性表示?非齊次線性方程組x1α1+x2α2+…+xnαn=β無(wú)解?R(α1,α2,…,αn)<R(α1,α2,…,αn,β)。

4.5向量組線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的定義

1.線性相關(guān)對(duì)于向量組α1α2,…,αm,若存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,km,使得則稱向量組α1,α2,…,αm線性相關(guān)。

2.線性無(wú)關(guān)

對(duì)于向量組α1α2,…,αm,僅當(dāng)k1=k2=…=km=0時(shí),才有

則稱向量組α1α2,…,αm

線性無(wú)關(guān)。

例如,當(dāng)有3α1-2α2-α3=0,稱

α1,α2,α3線性相關(guān)。

例如,當(dāng)分析向量等式

x1ε1+x2ε2+x3ε3=0,發(fā)現(xiàn)只有當(dāng)x1=x2=x3=0時(shí),等式才成立,則稱ε1,ε2,ε3線性無(wú)關(guān)。

4.6向量組線性相關(guān)性與齊次線性方程組

1.線性相關(guān)向量組α1,α2,…,αm線性相關(guān)?齊次線性方程組x1α1+x2α2+…+xmαm=0有非零解?R(α1,α2,…,αm)<m。

2.線性無(wú)關(guān)

向量組α1,α2,…,αm線性無(wú)關(guān)?齊次線性方程組x1α1+x2α2+…+xmαm

=0只有零解?R(α1,α2,…,αm)=m。

根據(jù)以上結(jié)論,既可以通過(guò)齊次線性方程組Ax=0解的情況來(lái)判斷系數(shù)矩陣A的列向量組的線性相關(guān)性,也可以通過(guò)矩陣A的列向量組的線性相關(guān)性來(lái)分析齊次線性方程組Ax=0解的情況。

4.7向量組線性相關(guān)性的形象理解

1.線性相關(guān)定理向量組α1,α2,…,αm

(m≥2)線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個(gè)向量可以由其余向量線性表示。該定理可描述為:若向量組線性相關(guān),則向量之間一定存在某種線性表示的關(guān)系。

2.線性無(wú)關(guān)定理

向量組α1,α2,…,αm

(m≥2)線性無(wú)關(guān)的充要條件是其中任意一個(gè)向量都不能由其余向量線性表示。

該定理可描述為:若向量組線性無(wú)關(guān),則向量之間一定沒(méi)有任何線性表示的關(guān)系。

4.8特殊向量組的線性相關(guān)性

1.基本單位向量組線性無(wú)關(guān)

2.含有零向量的向量組線性相關(guān)

3.只含有一個(gè)向量的向量組

(1)若α≠0,則α線性無(wú)關(guān)。

(2)若α=0,則α線性相關(guān)。

4.含有兩個(gè)向量的向量組

若兩個(gè)向量對(duì)應(yīng)元素成比例,則線性相關(guān),否則線性無(wú)關(guān)。

5.n個(gè)n維向量組

可以通過(guò)行列式來(lái)分析n個(gè)n維向量組的線性相關(guān)性。

(1)|A|=0?Ax=0有非零解?A的列向量組線性相關(guān)。

(2)|A|≠0?Ax=0只有零解?A的列向量組線性無(wú)關(guān)。

6.m個(gè)n維向量(m>n)

當(dāng)m>n時(shí),m個(gè)n維向量必線性相關(guān)。

4.9向量組的部分與整體定理

1.線性無(wú)關(guān)若向量組T線性無(wú)關(guān),則向量組T的任意部分向量組也線性無(wú)關(guān)。也可以描述為:整體線性無(wú)關(guān)則部分線性無(wú)關(guān)。例如,若α1,α2

,α3線性無(wú)關(guān),則α1,α2線性無(wú)關(guān),α2,α3線性無(wú)關(guān)。

2.線性相關(guān)

若向量組T的一部分向量組線性相關(guān),則向量組T線性相關(guān)。也可以描述為:部分線性相關(guān)則整體線性相關(guān)。

例如,若α1,α2,α3線性相關(guān),則α1,α2,α3,α4線性相關(guān)。

注意以上兩個(gè)命題都是“單向”的。

4.10向量組的延伸與縮短

設(shè)有兩個(gè)向量組:其中向量組T2稱為向量組T1的“延伸組”,向量組T1

稱為向量組T2的“縮短組”。

1.線性相關(guān)

若向量組T2(延伸組)線性相關(guān),則向量組T1(縮短組)線性相關(guān)。也可以描述為:“長(zhǎng)”線性相關(guān),則“短”線性相關(guān)。

2.線性無(wú)關(guān)

若向量組T1(縮短組)線性無(wú)關(guān),則向量組T2(延伸組)線性無(wú)關(guān)。也可以描述為:“短”線性無(wú)關(guān),則“長(zhǎng)”線性無(wú)關(guān)。

4.11一個(gè)向量與一個(gè)向量組定理

1.定理若向量組α1,α2,…,αn

線性無(wú)關(guān),而向量組α1,α2,…,αn

,β線性相關(guān),則向量β一定可以由向量組α1,α2,…,αn

線性表示,且表示方法唯一。

2.證明

4.12向量組的極大線性無(wú)關(guān)組及秩

1.極大無(wú)關(guān)組定義

設(shè)向量組T的一個(gè)部分組α1,α2,…,αr滿足:

(1)α1,α2,…,αr線性無(wú)關(guān)。

(2)向量組T中任意一個(gè)向量都可以由α1,α2,…,αr線性表示。

則稱α1,α2,…,αr是向量組T的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組,簡(jiǎn)稱極大無(wú)關(guān)組。

2.極大無(wú)關(guān)組舉例

3.向量組秩的定義

向量組α1,α2,…,αm的極大線性無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù),稱為該向量組的秩,記作R(α1,α2,…,αm)。

根據(jù)向量組秩的定義,可以得到以上討論的四個(gè)向量組T1、T2、T3和T4的秩分別為:2、3、3、3。

4.特殊向量組的秩

(1)R(零向量組)=0。

規(guī)定只含零向量的向量組的秩為0。

(2)R(n維基本單位向量組)=n。

4.13向量組的秩與向量的個(gè)數(shù)

1.秩不會(huì)大于其“尺寸”

向量組的秩不會(huì)大于其所含向量的個(gè)數(shù),即

2.降秩則相關(guān)

3.滿秩則無(wú)關(guān)

4.14“三秩相等”定理

1.定理雖然矩陣和向量組是兩個(gè)不同的概念,其秩也有不同的定義,矩陣的秩是矩陣最高階非零子式的階數(shù),而向量組的秩是其極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)。但它們之間也存在相互的聯(lián)系,一個(gè)矩陣既可以看成一個(gè)行向量組,也可以看成一個(gè)列向量組?？梢宰C明矩陣的秩等于其行向量組的秩,也等于其列向量組的秩,即“三秩相等定理”。

2.矩陣的滿秩與降秩

根據(jù)“三秩相等”定理知:

(1)若n階矩陣A行(列)滿秩,則A也列(行)滿秩。

(2)若n階矩陣A行(列)降秩,則A也列(行)降秩。

(3)n階矩陣A的行向量組與列向量組有相同的線性相關(guān)性。

(4)若m<n,則m×n矩陣A列降秩。

(5)若m<n,則m×n矩陣A列向量組線性相關(guān)。

3.向量組秩的求法

根據(jù)“三秩相等”定理,有以下求向量組秩的方法:對(duì)列向量組構(gòu)成的矩陣A=(α1,α2,…,αm)進(jìn)行初等行變換,當(dāng)化為行階梯矩陣B=(β1,β2,…,βm)時(shí),有R(α1,α2,…,αm

)=R(A)=R(B)=B的非零行數(shù)。

4.15向量組的等價(jià)

1.向量組等價(jià)的定義若向量組T1:α1,α2,…,αm與向量組T2:β1,β2,…,βn可以相互線性表示,那么稱向量組T1與向量組T2等價(jià)。等價(jià)具有傳遞性:若T1與T2等價(jià),且T2與T3等價(jià),則T1與T3也等價(jià)。

2.等價(jià)的向量組

(1)向量組與其極大無(wú)關(guān)組等價(jià)。設(shè)T1是向量組T的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組,所以T1可以線性表示T中的所有向量;另一方面,T1是T的一部分,當(dāng)然T可以線性表示T1。故T1與T等價(jià)。

(2)向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià)。設(shè)T1和T2是向量組T的兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組,則T與T1等價(jià),且T與T2等價(jià),根據(jù)等價(jià)的傳遞性知T1與T2等價(jià)。

4.16向量組間的線性表示與秩的定理

1.定理(1)若向量組α1,α2,…,αm可由向量組β1,β2,…,βn線性表示,則(2)若向量組α1,α2,…,αm與向量組β1,β2,…,βn等價(jià),則

2.向量組等價(jià)與矩陣等價(jià)

(1)概念上的區(qū)別。

矩陣和向量組是兩個(gè)不同的概念,矩陣等價(jià)和向量組等價(jià)也有不同的定義。若矩陣A經(jīng)過(guò)若干次初等變換化為B,那么矩陣A與B等價(jià)。若向量組T1與向量組T2可以相互線性表示,則向量組T1與T2等價(jià)。

(2)相互關(guān)系。

若矩陣A與B同型,且A的列向量組與B的列向量組等價(jià),則矩陣A與B等價(jià)。

(3)等價(jià)與等秩。

針對(duì)向量組T1和T2,有以下“單向”結(jié)論:

針對(duì)同型矩陣A和B,有以下“雙向”結(jié)論:

4.17向量組的“緊湊性”與“臃腫性”

1.向量組的“緊湊性”

線性無(wú)關(guān)向量組可以形象地理解為“緊湊”的,沒(méi)有“多余”的向量,即任何一個(gè)向量都不能由其余向量線性表示,各個(gè)向量都有自己的“特色”。

2.向量組的“臃腫性”線性相關(guān)向量組可以形象地理解為“臃腫”的,總有“多余”的向量,即至少存在一個(gè)向量能由其余向量線性表示,這個(gè)向量可以形象地理解為“多余”的。

3.向量組“臃腫性”和“緊湊性”的相關(guān)定理

4.18向量組的秩和極大無(wú)關(guān)組的求解

1.定理矩陣A經(jīng)初等行變換化為B,則(1)矩陣A與B對(duì)應(yīng)的任何列向量構(gòu)成的向量組有相同的線性相關(guān)性。(2)矩陣A的行向量組與B的行向量組等價(jià)。

2.向量組極大無(wú)關(guān)組的求法

根據(jù)以上定理可以得到,向量組極大無(wú)關(guān)組的求解及由極大無(wú)關(guān)組線性表示其余向量的方法如下:

對(duì)列向量組構(gòu)成的矩陣A=(α1,α2,…,αm)進(jìn)行初等行變換,當(dāng)化為行最簡(jiǎn)形矩陣B=(β1,β2,…,βm)時(shí),矩陣B非零行的第一個(gè)非零元素所在的列組成的向量組即為B的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組,而其余列向量可以很容易地由該極大無(wú)關(guān)組線性表示。A的極大無(wú)關(guān)組及其余向量由極大無(wú)關(guān)組的線性表示也隨之求得。

4.19向量空間的定義(僅數(shù)學(xué)一要求)

1.定義

設(shè)V是n維向量構(gòu)成的非空集合,且滿足:

(1)對(duì)任意α,β∈V,有α+β∈V(V對(duì)向量加法運(yùn)算封閉)。(2)對(duì)任意α∈V和任意數(shù)k,有kα∈V(V對(duì)向量數(shù)乘運(yùn)算封閉)。則稱集合V為向量空間。

2.舉例

V1={(1,y,z)T|y,z∈R}:V1

不滿足向量加法封閉性,所以V1不是向量空間。

4.20向量空間的基與維數(shù)(僅數(shù)學(xué)一要求)

1.定義設(shè)V是向量空間,α1,α2,…,αm∈V,且滿足:(1)α1,α2,…,αm線性無(wú)關(guān)。(2)V中任一向量都可以由α1,α2,…,αm線性表示。則稱α1,α2,…,αm為向量空間V的一組基,m稱為V的維數(shù),記為dim(V)=m。向量空間的基相當(dāng)于一個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組;向量空間的維數(shù)相當(dāng)于向量組的秩。

2.舉例

3.向量的維數(shù)與向量空間的維數(shù)

向量的維數(shù)是指向量所含元素的個(gè)數(shù),而向量空間的維數(shù)是這個(gè)空間一個(gè)基所含向量的個(gè)數(shù)。

例如以上討論的V2、V4和V5都是二維向量空間,其中V2和V4中的向量是三維向量,V5中的向量是n維向量。

若一個(gè)向量空間的向量都是n維向量,那么這個(gè)向量空間的最高可能維數(shù)是n。

4.21n維實(shí)向量空間Rn(僅數(shù)學(xué)一要求)

1.定義所有n維實(shí)向量構(gòu)成的集合是一個(gè)向量空間,稱為n維實(shí)向量空間

Rn

。例如所有三維實(shí)向量構(gòu)成的集合,顯然該集合對(duì)向量加法和數(shù)乘是封閉的,所以該集合就是一個(gè)向量空間,把它稱為三維實(shí)向量空間R3。

2.n維實(shí)向量空間Rn的基

(1)n維基本單位向量組ε1,ε2,…,εn是Rn的一組基。

(2)n個(gè)線性無(wú)關(guān)的n維實(shí)向量是Rn的一組基。

例如,若三維列向量α1,α2,α3線性無(wú)關(guān),設(shè)β是R3的任意一個(gè)向量,則4個(gè)三維向量α1,α2,α3

,β必相關(guān),于是β可以由α1,α2,α3

唯一地線性表示,所以α1,α2,α3

是R3的一組基。

(3)n階可逆矩陣的列(行)向量組是

Rn

的一組基。

例如,三階矩陣A滿足|A|≠0,即A可逆,那么A的3個(gè)三維列(行)向量組線性無(wú)關(guān),則它是R3的一組基。

4.22向量在基下的坐標(biāo)(僅數(shù)學(xué)一要求)

1.定義設(shè)α1,α2,…,αm是m維向量空間V的一組基,對(duì)β∈V,有β=x1α1+x2α2+…+xmαm,組合系數(shù)構(gòu)成的向量(x1,x2,…,xm)T稱為β在基α1,α2,…,αm下的坐標(biāo)。

2.舉例

設(shè)α1,α2,α3是向量空間V中的一組基,而V的某向量β可以由α1,α2,α3線性表示為

4.23過(guò)渡矩陣(僅數(shù)學(xué)一要求)

1.定義設(shè)α1,α2,…,αm和β1,β2,…,βm

都是向量空間V的基,它們存在以下關(guān)系式:

2.舉例

4.24向量的內(nèi)積

設(shè)n維列向量α=(a1,a2,…,an)T和β=(b1,b2,…,bn)T,稱數(shù)a1b1+a2b2+…+anbn為向量α與β的內(nèi)積,記作(α,β)或[α,β]。向量的內(nèi)積在不同場(chǎng)合也可以稱為數(shù)量積或點(diǎn)積。根據(jù)矩陣乘法法則,有(α,β)=αTβ=βTα。

4.25向量的長(zhǎng)度

1.向量的幾何含義一個(gè)二維向量可以理解為二維平面上的一個(gè)有方向的線段。一個(gè)三維向量可以理解為三維平面上的一個(gè)有方向的線段。圖4.2給出了一個(gè)二維向量

圖4.2二維向量幾何含義

2.向量的長(zhǎng)度

根據(jù)二維和三維向量的幾何含義,可以得到n維向量長(zhǎng)度的計(jì)算公式。

3.單位化

4.26向量的夾角

1.向量夾角的定義

2.正交向量組

(1)定義:兩兩正交的非零向量組稱為正交向量組。

(2)定理:正交向量組必線性無(wú)關(guān)。

3.正交基及規(guī)范正交基(或標(biāo)準(zhǔn)正交基)(僅數(shù)學(xué)一要求)

若向量空間V的基α1,α2,…,αm為正交向量組,則該基稱為正交基。

若向量空間V的基α1,α2,…,αm為正交基,且基中每個(gè)向量都是單位向量,那么該基稱為規(guī)范正交基(或標(biāo)準(zhǔn)正交基)。

4.施密特正交化

設(shè)α1,α2,…,αm

是向量空間V的一組基,從基α1,α2,…,αm

出發(fā),找出空間V的一組規(guī)范正交基ξ1,ξ2,…,ξm,這個(gè)過(guò)程稱為規(guī)范正交化。

4.27正交矩陣

1.正交矩陣的定義

如果n階實(shí)方陣A滿足ATA=E,則稱A為正交矩陣。正交矩陣的行(列)向量是兩兩正交的單位向量。

2.正交矩陣的性質(zhì)

從正交矩陣的定義式ATA=E出發(fā),可以證明正交矩陣的以下性質(zhì):

(1)|A|=±1。

(2)若A為正交矩陣,則AT、A-1、A*、Ak

(k為大于0的整數(shù))也是正交矩陣。

(3)若A、B都為正交矩陣,則AB及BA也是正交矩陣。

(4)n階方陣A為正交矩陣?A的列(行)向量組是Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。

(5)正交變換“3不變”:設(shè)向量α,β∈Rn,A為n階正交矩陣,則有

即正交變換不改變向量的內(nèi)積、夾角和長(zhǎng)度。

4.28解向量與自由變量

通過(guò)以下線性方程組的求解來(lái)介紹解向量和自由變量的概念。

4.29齊次線性方程組解向量的性質(zhì)

1.性質(zhì)1若ξ1,ξ2是齊次線性方程組Ax=0的兩個(gè)解向量,則ξ1+ξ2也是Ax=0的解向量。因?yàn)锳ξ1=0,Aξ2=0,所以有A(ξ1+ξ2)=Aξ1+Aξ2=0,故有ξ1+ξ2也是Ax=0的解向量。

2.性質(zhì)2

若ξ是齊次線性方程組Ax=0的解向量,k為任意常數(shù),則kξ也是Ax=0的解向量。

因?yàn)锳ξ=0,所以有A(kξ)=kAξ=0,故有kξ也是Ax=0的解向量。

3.線性組合

綜合性質(zhì)1和性質(zhì)2有:若ξ1,ξ2是齊次線性方程組Ax=0的兩個(gè)解向量,則k1ξ1+k2ξ2也是Ax=0的解向量。其中k1,k2是任意一組常數(shù)。

因?yàn)锳ξ1=0,Aξ2=0,所以有A

(k1ξ1+k2ξ2)=k1Aξ1+k2Aξ2=0,故有

k1ξ1+k2ξ2也是Ax=0的解向量。

4.30齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及通解

1.齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系齊次線性方程組Ax=0解集的極大無(wú)關(guān)組稱為Ax=0的基礎(chǔ)解系。若向量組ξ1,ξ2,…,ξt同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:(1)ξ1,ξ2,…,ξt

都是Ax=0的解向量;(2)ξ1,ξ2,…,ξt

線性無(wú)關(guān);(3)Ax=0的任意一個(gè)解向量都可以由ξ1,ξ2,…,ξt

線性表示。則ξ1,ξ2,…,ξt

是方程組Ax=0的一組基礎(chǔ)解系。

定理:齊次線性方程組Am×nx=0基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)為:n-R(A)。其中,n代表方程組未知數(shù)的個(gè)數(shù),R(A)代表方程組約束條件的個(gè)數(shù),所以n-R(A)為方程組自由變量的個(gè)數(shù),也是基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)。

2.齊次線性方程組的通解

設(shè)ξ1,ξ2,…,ξn-r是Am×nx=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系,則k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r是Am×nx=0的通解,其中k1,k2,…,kn-r是任意一組常數(shù)。

4.31解空間(僅數(shù)學(xué)一要求)

1.解空間齊次線性方程組Ax=0所有解向量構(gòu)成了一個(gè)向量集合V,根據(jù)齊次線性方程組解向量的性質(zhì)1知V對(duì)向量加法是封閉的,根據(jù)齊次線性方程組解向量的性質(zhì)2知V對(duì)向量數(shù)乘也