談談在全等三角形一章的教學中,如何培養(yǎng)學生的能力

PAGEPAGE1談談在“全等三角形”一章的教學中,如何培養(yǎng)學生的能力九曲江中學全才眾所周知,三角形在整個平面幾何中占有非常重要的位置,不但對三角形的知識鏈起著承前啟后的作用,而且由于三角形知識結構的特點,非常有利于培養(yǎng)學生的能力,這不但是學習平面幾何成敗的關鍵,而且對立體幾何等學科的學習,都將產(chǎn)生深遠的影響一、邏輯思維能力在中學教學大綱中,明確指出了要求學生具備和數(shù)學有密切聯(lián)素的特殊能力,即計算能力、邏輯思維能力和空間思象能力。在這三種能力中,邏輯思維能力是核心,這是由于計算能力和空間思象能力的培養(yǎng)都離不開邏輯思維能力。具備了邏輯思維能力,考慮問題就全面、更有條理,且有根有據(jù)。平面幾何中的邏輯思維能力,主要指邏輯推理能力。在學習三角形中,三角形全等的內容是平面幾何中重要的內容。通過兩個三角形全等,可以用來證明兩條線段相等和兩個角相等,而有關證明兩條直線互相垂直、平行,以至證明有關線段和角不等的問題,往往可以轉化為證明線段相等或角相等的問題來加以解決。證明兩個三角形全等,需要具備三個條件(其中至少有一個條件為邊),這樣思考問題的目標比較明確,減少盲目性,而且由于在所找的條件中,有關的邊等或角等,在圖形中可以借助于直觀的觀察,幫助尋找條件,為證明創(chuàng)造了方便的條件,尤其是本章在安排證題時,有利于由淺入深,循序漸進,由條件比較顯露,到條件比較隱蔽,由證明一次全等,到證明兩次全等,由不添加輔助線,到添加輔助線,由證明相等的問題,到證明不等的問題等等,都可以統(tǒng)籌進行安排,所以在全等三角形一章教學中,應把培養(yǎng)學生的邏輯推理能力放在很重要的地位,使絕大部分學生通過本意的學習,邏輯推理能力能夠“過關”。通過全等三角形的教學,使學生對邏輯推理能力達到什么要求呢?(1)能夠分清定理的條件和結論;(2)能夠運用所學概念、公理、定理以及所給的條件,正確進行推理證明;(3)書寫力求條理、簡明、邏輯關系清楚；(4)逐步掌握分析解題思路的方法在全等三角形一章如何培養(yǎng)學生的邏輯推理能力?1、準確地形成和使用概念概念是所研究的對象的本質屬性在人的思維中的反映,所以,能否正確掌握和運用有關概念,是進行邏輯推理能力的前提。如果同位角，內錯角的概念搞不清楚,那么平行線的性質和判定就不可能學好如果對頂腰三角形它的腰、底、腰上的中點,點到直線的距離等概念不清楚,要證明等腰三角形兩腰中點到底邊的距離相等是很困難的。因此,在學習中,要真正理解和掌握有關概念。在學習概念時,切忌死記硬背定義,要能夠做到抓理解,抓圖示抓應用,也就是抓住概念的本質特征,排除非本質屬性的干擾,二是要能夠正確畫出圖來加深對概念的理解并檢查理解得是否正確。比如,三角形的高這個概念。只記住定義還不算真懂,還必須能畫出三角形的高,而且能夠從圖(1)中判別AD是哪幾個三角形的高(應是六個三角形的高),又如,等腰三角形兩腰上的高不但能畫出等腰銳角三角形中兩腰上的高而且能畫出等腰鈍角三角形和等腰直角三角形中兩腰上的高(圖2)。三是通過應用來加深理解。(圖1)CEDBA(圖1)CEDBAED(D)(E)AED(D)(E)AEBDAEBDACBCBCBCBCBCB(圖2)2、發(fā)展圖形的思象能力平面幾何雖然是結構嚴謹,推理嚴密,邏輯性很強的一門學科,但它卻專門研究圖形的有關性質,而圖形是可以借助于視覺觀察到的,這就為研究圖形的性質,發(fā)展邏輯思維能力創(chuàng)造了有利的條件,這又是幾何學優(yōu)于其他學科的有利條件。觀察一個圖形,需要借助于思象力才能正確加以認識,而在認識圖形的過程中,又可以豐富和發(fā)展想象能力,比如,(圖3)中的線段AB上有三個點D、E、F,問圖中共有多少條線段?缺乏思象能力的學生認為只有四條線段,而具備一些想象力的學生能夠數(shù)出五條或更多一些線段,但由于沒有掌握觀察圖形的規(guī)律,要么就數(shù)不全,要么就有重復。而有豐富想象力的學生,卻能夠按照某一個規(guī)律去數(shù)先從A點向右數(shù),再從D點向左數(shù),再從E點、F點向右去數(shù),便能做到不重不漏。(圖3)FEDAB(圖3)FEDAB對于某些善于思考的學生,他一旦邁進了幾何王國的大門,便抓住一切機會去探索幾何王國的奧秘,只要教師稍加引導,就能打開學生們智慧上的閘門。比如,讓學生考慮,當在一條線段上取一個點時,有三條線段,取兩個點時,有六條線段,取三個點時有十條線段,這里面有什么規(guī)律呢?可以看到：S1=3=1＋2S2=6=1＋2＋3S3=10=1＋2＋3＋4當總結出其中的規(guī)律后,再問在一條線段上取九個點時,只有多少條線段?學生便不是去數(shù)線段,而是能夠運用它的想象力得出：S9=1＋2＋3＋┅＋8＋9＋10=55。如果你再問在一條線段上取九十九個點呢?學生會得出：S99=1＋2＋3＋┅＋98＋99＋100=5050。具備了想象力,就可以把一個圖形在原有的基礎上加以發(fā)展。比如(圖4)中共多少個三角形?學生們便不是數(shù)三角形的個數(shù),而是聯(lián)想到AB邊上線段的條數(shù)(10條),得出三角形的個數(shù)也是十個。CBABFEDACBABFEDA(圖4)(圖5)有時,還需要借助于圖形的聯(lián)系,使問題能夠加以轉化,這同樣需要借助于想象力。比如延長△ABC的AB、BC、AC三條邊,在所得到的三個外角中,最多有幾個銳角?缺乏圖形想象力的學生,只能從三個外角中去思考,而善于通過觀察圖形去聯(lián)想的學生,能通過(圖5)想到每一個外角種它相鄰的內角是互補的,當外角是銳角時,相鄰的內角就是鈍角,這樣就把這道題轉化成“在一個三角形中,最多有幾個鈍角”的問題去加以解決,問題就化難為易了。當遇到圖形比較復雜時,還應把圖形加以分解,分成若干個單一的圖形,這樣在解題過程中就能從比較雜亂的圖形中,理出所要的條件。比如(圖6),以△ABC的AB、AC為邊向外作等邊三角形ABD、ACE,求證：DC=BE。圖形中的三角形很多,線段和角也很多,但包含DC和BE的三角形只有四個,這樣便把證明的范圍縮小了。再根據(jù)所給的條件和借助于形象觀察,分析出只要證明△DAC全等于△BAE就可以了。由于這兩個三角重疊在一起,這就需要借助于想象能力,在頭腦中把它們分離出來,(圖7),就比較容易了。由此看出,發(fā)展對圖形的想能力,對強化概念,發(fā)展思維非常重要的。DECBADECBA(圖6)ABECDAABECDA(圖7)3、循循善誘啟迪思路在平面幾何推理過程中,從己知條件出發(fā),根據(jù)學過的定義、公理、定理,推出求證的結論。為什么有快有慢,或根本考慮不出來呢?一是不善于聯(lián)想和發(fā)展有關定理和條件,二在教給學生分析問題思路上下功夫不夠。己知條件都擺在那里,有關定理也能背下來,但往往用不上,關鍵是缺乏聯(lián)想和發(fā)展,如善于聯(lián)想,對尋求解思路很有幫助。己知：如圖8,△ABC中,AD是∠A的平分線,過D作AC的平行線交AB于E,過E作AD的垂線交AD于F,交BC的延長線于G。求證；∠F=∠GAC分析；由DE∥AC,得到∠3=∠2.由己知∠1=∠2,得到∠1=∠3,這時應想到△EAD是一個等邊三角形,而EF是底邊AD上的高聯(lián)想到EF是AD的垂直平分線,并聯(lián)想到線段垂直平分線的性質,得出∠GDA=∠GAD,而∠B=∠GAD-∠1,∠GAC=∠GAD-∠2,使問題得證CG321EDBACG321EDBA(圖8)在教學中,教師還應該循循善誘,啟迪思路,具體地說,就是善于運用分析法和綜合法。分折法可以簡單概括成“從未知,看需知,逐步靠找已知”,綜合法可以簡單概括成“從己知,看可知,逐步推向未知”,上面的例題,就是應用了綜合法。但往往由于聯(lián)想到的定理較多,思路不易直接看出。因此,在證題時,除應用綜合法外,往往借助于分析法,當兩個思路“接通”時,這便是證題的通路,這種分析問題的方法,就是平時常說的“兩頭堵”的方法。4、循序漸進統(tǒng)籌安排邏輯推理能力的培養(yǎng)需要有一個由淺入深,由簡單到復雜的循序漸進的過程,不能操之過急,在教學中要加強計劃性,做到統(tǒng)籌安排。從給出三個獨立的條件證明兩個三角形全等,到證明兩個角相等或兩條邊相等,再安排有某些元素重合的題目,證明兩個三角形全等,或證明角等,邊等,當有一定基礎后,可以證明垂直、平行等,還可給出通過兩次三角形全等解決的問題。當學生對證題的思路和方法基本掌握以后,再作需添加輔助線的題目,且由易到難來進行安排。在教學中,開始階段可給出圖,及己知、求證,以后再結合字母給出己知、求證。讓學生自己畫圖,以后再給出用文字敘述的題目,由學生自己畫圖,并結合圖中的字母,寫出己知求證。這樣一來安排,可穩(wěn)步提高學生的邏輯推理能力,減少掉隊,防止分化。表面上看起來慢些,但一步一個腳印,防止夾生飯,實際上是是快的。二、創(chuàng)造性的思維能力在平面幾何中,添加輔助線所應具備的能力,是創(chuàng)造性的思維能力。添加輔助線的目的,是為了使分散的條件集中,使隱藏的條件顯現(xiàn),使生疏的問題轉化?？傊?添加輔助線的目的,就是為了“搭橋、鋪路”,使問題化難為易。但由于幾何題目千變萬化,缺乏創(chuàng)造性的思維能力是很難實現(xiàn)的。在教學中,添加輔助線并不是目的,也不要單純地追求所謂的技巧,而應該弄明白為什么要這么添加?怎么想到要這么添加?不這么添加行不行等等?總之,應該教“法”而不是教“招”。如,三角形的內角和定理的結論學生在小學就己知道,中學講這個定理的著眼點不是探求三角形三個內角之間有什么關系,而是怎樣從理論上去證明它,怎樣去思考添加輔助線的方法。采用作平行線。把分散的三個內角集中到一起,使之構成一個平角,從而使問題得到解決。又如,遇到三角形中線的問題,常添加中位線或延長中位線一倍的方法,這樣做的目的,仍是通過平行線或全等三角形達到“遷線”、“遷角”的目的,從而使兩個三角形中的邊角關系轉化到同一個三角形中去解決。如圖9,已知：△ABC中,AB=AC,延長AB到D,使BD=AB,又E是AB的中點,求證：CE=CD。此題是證明線段倍半問題,現(xiàn)有的定理不能直接應用,可添加輔助線(取CD中點F,連結BF,或延長CE到M,使EM=EC,連結BM,或取AC中點N,連結BN等等),使證明線段倍半問題轉化為較熟悉的證明兩條線段相等的問題。EAEABBCCDD(圖9)三、空間想象能力培養(yǎng)空間想象能力,不僅是立體幾何所應承擔的任務,在平面幾何教學中,同樣要注意培養(yǎng)空間想象能力,空間想象能力主要是指對平面圖形的形狀、結構、大小、位置和關系進行觀察、分析和抽象思考的能力。具體地說就是：能根據(jù)所給條件,利用尺規(guī)等工具畫出所需要的圖形畫圖并不是簡單的技術操作,它需要對圖形的有關性質非常熟悉。如,要過直線外一點畫己知直線的平行線這就要在頭腦中聯(lián)想到解決兩直線平行的三個判定定理,三角形中位線平行于三角形的第三邊,以及平行四邊形的對邊平行等等。然后借助于尺規(guī),根據(jù)有關的幾何知識去完成作圖。這就需要借助于空間想象能力,反過來又可培養(yǎng)和發(fā)展空間想象能力。能由文畫圖,由圖想文不管是用文字敘述的題目,還是由字母敘述的題目,都必須在頭腦中想象出它所反映的圖形(這些圖形可能見過,也可能要自己設計)。反之,有了圖形,需要用語言或文字把圖形所反映的空間形狀和位置表達出來,都需要具備空間想象能力。當然,這種能力的培養(yǎng)是需要經(jīng)過一定時間有意識的訓練才有可能得到培養(yǎng)。為了減少學生畫圖的困難,采取題題都給出圖形的辦法,則是后患無窮。能從復雜的圖形中分離出所需要的圖形,并且能從變換的觀點去認識圖形有時考慮問題時,還需借助于運動的觀點去想象,去思考。比如圖10中,已知△ABC中,AB＞AC,求證：∠C＞∠B。此題的證明方法有好幾種,其中一種方法就是作∠BAC的平分線交BC于D,在AB上截取AAEEDCBDCB(圖10)AE=AC,連結ED。利用△AED≌△ACD,得出∠AED=∠C,而∠AED＞∠B,所以∠C＞∠B。這樣添加輔助線是運用了變換中翻折的思想來考慮的,即把短邊AC沿某一線翻折到長邊AB上去,同時就把∠C翻折到!B所在的三角形中外角的位置上,從而利用三角形外角的性質,使問題得證。而這種運用變換的觀點去思考問題,更需要具備空間思象能力。四、作圖能力根據(jù)己知條件按照要求作出圖形,需要具備多種能力,除要求對基礎知識熟練掌握,具備一定的空間想象