2025屆高三數(shù)學一輪復習 指數(shù)函數(shù) 專項訓練

基礎課11指數(shù)函數(shù)

【課時評價?提能】

￡基礎鞏固練

1.若函數(shù)y=a2(2-a)x是指數(shù)函數(shù)，貝ij().

A.a=±lB.a=l

C.a=-1D.a>0,a^l

答案C

解析由條件可知2—a〉0,解得a=-l.故選C.

、2—aWL

_________i

2.函數(shù)f(x)="l—3XT+T^的定義域為().

V2X_]

A.(0,1]B.(-oo,1]

C.(0,1)D.(-oo,0)U(0,1]

答案D

解析欲使函數(shù)f(X)有意義，須滿足除3'T2°,解得已：

所以函數(shù)f(x)的定義域為O,0)U(0,1].故虛D.

3.函數(shù)f(x)=(g-&)x在R上是().

A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)C.減函數(shù)D.增函數(shù)

答案C

解析易得f(x)Wf(-x),且f(x)齊f(-x),所以函數(shù)嶇)=(遮-魚》是非奇非偶函數(shù).

因為0<V3-V2<L所以函數(shù)f(x)=(V^-V^)x在R上是減函數(shù).故選C.

4.若a>l,-l<b<0,則函數(shù)y=ax+b的圖象一定經(jīng)過().

A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限

C.第二、三、四象限D.第一、二、四象限

答案A

解析因為a>l,-l<b<0,所以函數(shù)y=ax+b的大致圖象如圖所示.故選A.

解析由題意得f(x)="的定義域為R,f(0)=0,排除A,C；

2x+2-x

因為f(-x)=#\=f(x),所以f(x)為偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，排除B.故選

Z-x+2A

D.

6.(2024.唐山模擬)已知函數(shù)。)夕-()，若f(m)+f(n)>0,貝lj().

A.m+n>0B.m+n<0

C.m-n>0D.m-n<0

答案A

解析因為y=2x在R上單調(diào)遞增，y=(J在R上單調(diào)遞減，所以嶇)=2、(力

在R上單調(diào)遞增.又f(-x)=2-x-2x=-f(x),所以f(x)=2x-2-x為奇函數(shù)，所以f(m)+f(n)>0

可轉化為f(m)>-f(n)=f(-n),所以m>-n,即m+n>0.故選A.

7.已知在一定的儲存溫度范圍內(nèi)，某食品的保鮮時間y(單位：h)與儲存溫度x(單

位：℃)之間滿足函數(shù)關系y=ekx+b(e為自然對數(shù)的底數(shù)，k,b為常數(shù))，若該食品

在0℃時的保鮮時間為120h,在30℃時的保鮮時間為15h,則該食品在20℃

時的保鮮時間為().

A.60hB.40hC.30hD.20h

答案C

120=e)

由題意可得［解得ek=(［)表,b

解析15=e3°K+be=120,所以當x=20時,

y=ek20+b=(ek)20-eb=(-)表、2。*120=30.故選C.

\8，

8.已知@=0.3%b=0.3°-6,c=(|)則a,b,c的大小關系為().

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

答案B

解析因為函數(shù)y=0.3x是R上的減函數(shù)，且0.5<0.6,所以a>b.

又因為函數(shù)y=x8在(0,+oo)上單調(diào)遞增，且0.3<|,所以a<c.所以b<a<c.故選

B.

。綜合提升練

9.(多選題)若當xe［-2,2］時,ax<2(a>0且a^l),則實數(shù)a的取值范圍可以是(

A.(l,V2)B.(0,巧

C.(f，1)D.(爭+s)

答案AC

解析若a>l,則函數(shù)y=ax在［-2,2］上單調(diào)遞增，欲使ax<2,則a2<2,即l<a<V2;

若0<a<l,則函數(shù)y=ax在［-2,2］上單調(diào)遞減，欲使ax<2,則/<2,即曰<a<l.

故實數(shù)a的取值范圍是(￥，1)U(1,遮).故選AC.

10.(多選題)已知函數(shù)f(x)=Wp則().

A.f(x)是R上的減函數(shù)

B.f(x)的值域為(①，1］

C.f(x)+f(-x)=l

D.f(x)的圖象關于點(0,中心對稱

答案ACD

解析因為函數(shù)y=2x+l是R上的增函數(shù)，所以f(x)是R上的減函數(shù),故A正確;

因為函數(shù)y=2x+l的值域為(1,+CO),所以f(x)的值域為(0,1),故B錯誤；

11nX_

因為f(-x)、F?三匚=/菽，所以f(x)+f(-x)=l,故C正確；

2-x+l/十，1+2X

由C可知f(x)的圖象關于點(0,§中心對稱，故D正確.

故選ACD.

H.若曲線y=2岡+1與直線y=b沒有公共點，則實數(shù)b的取值范圍是.

答案(。，2)

解析

作出函數(shù)丫=2*+1的圖象，再利用奇偶性作出曲線y=2岡+1,如圖所示，要使該曲

線與直線y=b沒有公共點，只需b<2.

12.已知f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，且滿足f(x)-g(x)=2x.若對任意的x?[-l,|]

都有不等式mf(x)+g(x)<0成立，則實數(shù)m的最大值為.

答案-|

解析易得f(-x)-g(-x)=2-x,

,；f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，，f(x)+g(x)=2-x,

又f(x)-g(x)=2x,.,.f(x)=3且，g(x)=主

當1時，mf(x)+g(x)<0,即m義士生+至2之)，化簡得皿2*+2"長2*-尸,

L2」22

V2x+2-x>0,???ms上二二min.

V2x+2-xZ

1

令仁2X￡產(chǎn)，V2L貝舁=1-2，

1-2」2x+2-xt+1t2+lt2+l

令函數(shù)f(t)=l-島，易得f(t)在《，奩］上單調(diào)遞增,

當t\時，m<2x2-x)3=(1島W嗪-|

2x+2-x

故實數(shù)m的最大值為-|.

。應用情境練

13.已知函數(shù)h(加就魯,若存在實數(shù)XI,X2,…，Xn,其中nez且吟2,使

得h(Xn)=h(Xl)+h(X2)+...+h(Xn-l),則n的最大值為.

答案7

x18

解析由題意得h(X)=l+-：：=1+

2xx+1

e+e+le+ex

因為ex>0,所以ex+5+G2「[工+1=3,當且僅當x=0時，取等號.

ex?ex

18

所以1<1+裝百不7，即h(x)的值域為(1，7],

由題意知，存在實數(shù)Xi,X2,…，Xn,其中nez且近2,

使得h(Xn)=h(Xl)+h(X2)+...+h(xn-i).

因為h(Xn)G(l,7],且h(xi)>l,h(x2)>l,h(xQ>l,

所以h(x)max=7>h(xn)=h(xi)+h(X2)+...+h(xn.i)>(n-1)-1,Bp(n-1)-1<7,

所以2Wn<8,又nGZ,所以n的最大值為7.

14.已知函數(shù)f(x)=l-與a是奇函數(shù)，且x@(3b-5,2b).

7X+1

⑴求a,b的值.

(2)證明：f(x)是區(qū)間(3b-5,2b)上的減函數(shù).

⑶若f(m-l)+f(2m+l)>0,求實數(shù)m的取值范圍.

解析⑴因為f(x)=l-高音，xG(3b-5,2b)是奇函數(shù)，

所以f(O)=l-|=O,且(3b-5)+2b=0,解得a=2,b=l.

此時f(x)=l-怒,xe(-2,2),經(jīng)驗證f(x)是奇函數(shù).

(2)設任意的Xi,X2G(-2,2),且xi<X2,則

〃、〃12x7X1\(12X7*2\_2X7X1」2X7X2_2(7X2

(X2)一1L7X1+J-：hxz+l1--7X1+17x2+l-(-7xl+1)(7X2+1)*

因為X1<X2,所以7X2>7X1,即7X2-7X1X),

又7Xl+l>0,7X2+l>0,所以f(Xl)-f(X2)>0,

即f(Xl)>f(X2).

故f(x)是區(qū)間G2,2)上的減函數(shù).

(3)因為f(m-l)+f(2m+l)>0,所以f(m-l)>-f(2m+l),

因為f(x)是(-2,2)上的奇函數(shù)，所以-f(2m+l)=f(-2m-l),

故f(m-l)>f(-2m-l),

又f(x)是區(qū)間(-2,2)上的減函數(shù)，

m—1<—2m—1,

所以m-1>-2,解得

故實數(shù)m的取值范圍是(-1,0).

15.已知函數(shù)f(x)滿足：①Vm,n?R,f(m)f(n)=f(m+n)恒成立；②f(1)=2.

請寫出一個符合上述兩個條件的函數(shù)f(x)：.

答案f(x)=8x(答案不唯一)

解析因為指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a^l)對于Vm,n@R,f(m)f(n)=f(m+n)恒成立，

所以不妨設f(x)=ax(a>0,a次1).又f(§=2,所以￡=2,解得a=8,故f(x)=8x.(答案

不唯一)

16.若函數(shù)y=M(x)對定義域內(nèi)的每一個值xi,在其定義域內(nèi)都存在唯一的X2,使

得M(XI)M(X2)=1成立，則稱該函數(shù)為“Y函數(shù)”.

(1)判斷定義在[2,3]上的函數(shù)f(x)=x+2是否為“Y函數(shù)”，并說明理由；

(2)若函數(shù)g(x)=2x+1在定義域[m,n](m<0)上是"Y函數(shù)"，求m+n的值；

(3)若函數(shù)h(x)=ax+r(a>l,且實數(shù)r