數(shù)列題集(部分答案)

學(xué)而時習(xí)之，不亦樂乎？AllRightsReservedGuoPeng9/91.解：設(shè)的公差為，則，即解得因此2.3.解：（1）由整理，得解之得：．（2）解法一：由可知，為一個遞減函數(shù)列．因此，在中，必存在一個自然數(shù)，使得，，此時對應(yīng)的就是中的最大值．由于于是，從而．因此最大．4.解：（1），是常數(shù)，為等差數(shù)列．（2）．5.解：(1)由，得解得d=-2.∴.(2),當(dāng)n=13時,最大,最大值為169.6.解：（1），，，因為，，成等比數(shù)列，所以，解得或．當(dāng)時，，不符合題意舍去，故．（2）當(dāng)時，由于，，,，所以．又，，故．當(dāng)時，上式也成立，所以．7.答案缺8.解(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝5，,a1＋9d＝－9，))可解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝9，,d＝－2，))所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝11－2n.(2)由(1)知，Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝10n－n2.因為Sn＝－(n－5)2＋25，所以當(dāng)n＝5時，Sn取得最大值．9.解由S2＝16，S4＝24，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋\f(2×1,2)d＝16，,4a1＋\f(4×3,2)d＝24.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋d＝16，,2a1＋3d＝12.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝9，,d＝－2.))所以等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝11－2n(n∈N*)．(1)當(dāng)n≤5時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.(2)當(dāng)n≥6時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，故Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－n2＋10nn≤5，,n2－10n＋50n≥6.))10.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差。因為所以解得，所以（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，所以即=3，所以的前項和公式為11.解（1）（2）該等差數(shù)陣的第一行是首項為4，公差為3的等差數(shù)列：第二行是首項為7，公差為5的等差數(shù)列：………第行是首項為，公差為的等差數(shù)列，因此，要找2008在該等差數(shù)陣中的位置，也就是要找正整數(shù)，使得所以當(dāng)時，得所以2008在等差數(shù)陣中的一個位置是第1行第669列.12.13.解：（1）……4分（2）……6分?jǐn)?shù)列從第10項開始小于0.……7分（3）是首項為25，公差為的等差數(shù)列，共有10項.…9分所以……10分……114.解：，當(dāng)時，當(dāng)時，∴15.答案缺16.解析：(1)由已知a6=a1＋5d=23＋5d＞0，a7=a1＋6d=23＋6d＜0，解得:－＜d＜－，又d∈Z，∴d=－4(2)∵d＜0，∴{an}是遞減數(shù)列，又a6＞0，a7＜0∴當(dāng)n=6時，Sn取得最大值，S6=6×23＋(－4)=78(3)Sn=23n＋(－4)＞0，整理得：n(50－4n)＞0∴0＜n＜，又n∈N*，所求n的最大值為12.17.解：（1）依題意有，解之得，∴.（2）由（1）知，＝40，，∴＝＝.（3）由（2）有，＝＝－4＋121，故當(dāng)或時，最大，且的最大值為120.18.解：由，得，，，（1）又時，有最小值（2）令即，，，為負(fù)數(shù)，，以后的項為正數(shù)時，時，19.解：(1)…3分………………….6分（2）∵………..9分∴………………..12分20.答案（缺）21.解：（1）∵是與2的等差中項∴∴，解得 ，解得 （2）∵， 又∵ ∴，∵，∴即數(shù)列是等比數(shù)列∵，∴ ∵點在直線x-y+2=0上，∴ ∴，即數(shù)列是等差數(shù)列，又，∴22.解析：(1)設(shè)根據(jù)甲方案第n次的增資額為an，則an=1000n第n年末的增資總額為Tn=500n(n＋1)根據(jù)乙方案，第n次的增資額為bn，則bn=300n第n年末的增資總額為S2n=300n(2n＋1)∴T1=1000，S2=900，T1＞S2只工作一年選擇甲方案T2=3000，S4=3000，T2=S4當(dāng)n≥3時，Tn＜S2n，因此工作兩年或兩年以上選擇乙方案.(2)要使Tn=500n(n＋1)，S2n=an(2n＋1)S2n＞Tn對一切n∈N*都成立即a＞500·可知{500}為遞減數(shù)列，當(dāng)n=1時取到最大值.則a＞500·=(元)，即當(dāng)a＞時，方案乙總比方案甲多增資.23.解：（1）當(dāng)時，①…4分當(dāng)時，，也滿足①式6分所以數(shù)列的通項公式為7分（2）10分14分24.解：由已知得.從而，即.25.解：（1）由題意，，為等差數(shù)列，設(shè)公差為，由題意得，.（2）若，時，故（3）若對任意成立，即對任意成立，的最小值是，的最大整數(shù)值是7。即存在最大整數(shù)使對任意，均有26.解：(1)由.且得……2分,…………4分在中,令得當(dāng)時,T=,兩式相減得,…………6分.………………8分(2),