2024年高考數(shù)學三輪復習：導數(shù)的綜合應用 專項講解與訓練

第6講導數(shù)的綜合應用

“協(xié)助函數(shù)法”證明不等式

［核心提煉］

利用導數(shù)證明不等式的應用技巧為“構(gòu)造協(xié)助函數(shù)”，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)

性或求最值，從而證得不等式，而如何依據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導函數(shù)是用導數(shù)證明不等式的關

鍵.

《例11】設函數(shù)F(x)=lnx-x+1.

(1)探討f(x)的單調(diào)性；

“轉(zhuǎn)化法”解決不等式恒成立中的參數(shù)問題

［核心提煉］

1.利用導數(shù)解決恒成立問題

⑴若不等式F(x)>/在區(qū)間。上恒成立，則等價于在區(qū)間。上

⑵若不等式在區(qū)間，上恒成立，則等價于在區(qū)間，上f(x)儂〈4

2.利用導數(shù)解決能成立問題

(1)若mxG。，f(x)〉/成立，則等價于在區(qū)間，上/'(x)則〉4

(2)若mxG。，f(x)〈/成立，則等價于在區(qū)間，上/'(x)?#/.

畫②(2024?高考全國卷H)設函數(shù)f(x)=(1—*)e：

(1)探討f(x)的單調(diào)性；

(2)當xNO時，/'(x)Wax+l,求a的取值范圍.

【解析】⑴摩(1=(1-2T)e：

令f(x)=0得x=—1—^或x=—1+/.

當xd(-8,一1一/)時，f(x)〈o；當—1+/)時，f(x)>0；當xG(—l+/,+

8)時，f'(x)<0.

所以f(x)在(一8,—1—4),(-1+72,+8)單調(diào)遞減，在(7—鏡，-1+/)單調(diào)遞增.

(2)f(x)=(1+x)(1—x)e：

,當時，設函數(shù)為(x)=(l—x)e"，h'(x)=—xe'<0(x>0),因此力(x)在［0,+8)單調(diào)遞減，而力(0)=

L故力(x)WL所以廣(x)=(x+1)為(x)Wx+lWax+1.

當0〈水1時，設函數(shù)g(x)=e"—x—l,g'(x)=e"-l>0(x>0),所以g(x)在［0,+8)單調(diào)遞增，而g(0)

=0,故e'2x+l.

當0</1時，(1+A)2,(1—{\+x)2—ax—\=x{\—a—x—x),取苞=或~貝U照￡

(0,1),.(1—Xo)(l+xo)?—axo—1—0,故_f(xo)>a￥o+l.

當aWO時，取xo=#2I則xod(0,1),axOXl—xo)(l+xo)2=l2axo+l.

綜上，a的取值范圍是［1,+8).

前畫因窗

對于不等式恒成立問題，可從函數(shù)角度轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，也可以采納分別變量法將變量分別出

來，進而轉(zhuǎn)化為2〉f(幻砥1,或@</(X)血"的形式，通過導數(shù)求出f(X)的最值，進而求得參數(shù)的范圍.

【對點訓練】

(2024?昆明模擬)已知函數(shù)/>(X)=mx~~,g(x)=31nx.

X

(1)當加=4時，求曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程；

(2)若xG(l,/］(e是自然對數(shù)的底數(shù))時，不等式/<x)—g(x)<3恒成立，求實數(shù)小的取值范圍.

44

【解析】：⑴當勿=4時，F(xiàn)(x)=4x-—，f'(x)=4+方，f'(2)=5,

xx

又廣(2)=6,所以所求切線方程為尸5x—4.

(2)由題意知，x￡(l,/］時，勿x—7—31n水3恒成立，

即加(3—1)<3x+3xlnx恒成立，

因為xe(l,點］,所以V—1〉0,則為—恒成立.

VX—12?

.,、3x+3xlnx,/、

令力(％)=---2一~；---，X^.(1,ve］,貝!JR<Mx)min,

x-］v

7./、—3(/+1)?Inx~6

h3=/~21、2

(x—

3(x+1)?Inx+6

=(/-l)2'

因為XW(1,m］,所以、(x)<0,

即爾X)在(1,十］上是減函數(shù).

所以/i(x)向1=從#)=。)次\.

所以0的取值范圍是(一8,￡鳥).

“圖象協(xié)助法”解決函數(shù)零點或方程根的問題

［核心提煉］

探討函數(shù)零點或方程根的狀況，可以通過導數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、改變趨勢等，并借助

函數(shù)的大致圖象推斷函數(shù)零點或方程根的狀況，這是導數(shù)在探討方程中的重要應用.

前⑶已知函數(shù)f(x)=(X—2)e'+a(x—1)2.

(1)探討F(x)的單調(diào)性；

⑵若F(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

【解析】⑴尸(x)=(x—l)e'+2a(x—1)=5—1)(e'+2a).

(i)設a》0,則當xd(—8,1)時，f(x)<0；當x?(l,+8)時，f'(x)>0,所以f(x)在(-8,1)

上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

⑹設a<0,由/(x)=0得x=l或x=ln(7a).

①若4=-與，則八*)=(*一】)(^一。)，所以小滋(-8,+8讓.單調(diào)遞舟.

*

②若<￡>一與，則呵―2aKl,故當x￡(-8,ln(—2a))(J(l>+8附，f(x)>0j當x€(ln(-2a),1對，

f(x)<0,所以犬51(-8,lu(-2a)),(1,+8)上單隔遞增,在(圓一2a),1)上里鞫遵域.

◎若Y-三，則凝一加)>1,故當X￡(-8,l)U(in(-2a),+8)時,(x)X,當xW(l,㈣一㈤對，

f(x)<0>所以犬1),(in(-24i),+8)上里驗遞增，在(I,ln(-2a))上里哪■，減.

(2)(i)設a>0,則由(1)知，/5)在(一8,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

aa3

又/1(!_)=—e,/(2)=a,取6滿意6Vo且6Vln則_f(6)>5(6—2)+a(6—l)2=d(62-]Z?)>0.

所以_f(x)有兩個零點.

(ii)設a=0,則F(設=(x—2)e”,

所以“x)只有一個零點.

Q

(iii)設aVO,若a2一5,

則由(1)知，Ax)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

又當xWl時，f{x)<0,

故Hx)不存在兩個零點；

P

若a<—亍則由⑴知，F(xiàn)(x)在(1,In(—2a))上單調(diào)遞減，在(ln(-2a),+8)上單調(diào)遞增，

又當后1時，Ax)<0,

故/"(X)不存在兩個零點.

綜上，a的取值范圍為(0,.+8).

面園因幽

(1)已知函數(shù)零點x°G(a,6)求參數(shù)范圍的一般步驟是：①對函數(shù)求導；②考察函數(shù)在區(qū)間(a,6)上的單調(diào)

狀況；③數(shù)形結(jié)合分析極值點；④依據(jù)零點的個數(shù)確定極值的范圍，進而求出參數(shù)的范圍.

⑵依據(jù)函數(shù)中的參數(shù)狀況確定函數(shù)的零點，其解決方法是通過導數(shù)分析函數(shù)圖象的大致分布，結(jié)合單調(diào)

性、極值、最值或構(gòu)造函數(shù)詳細分析.涉及的數(shù)學思想是分類探討思想和數(shù)形結(jié)合思想.

【對點訓練】

已知函數(shù)f(x)=包二+6在(1,0)處的切線方程為X一廠1=0.

X

⑴求43,6；

⑵求AA)max；

(3)設。>0,且cWl,若函數(shù)g(x)=logcX-X至少有一個零點，求c的最大值.

【解析】：(l)f(x)的定義域為(0,+8),f'(x)=a(「nx),

所以7(l)=a,而切線X—y—1=0的斜率為1,

所以3=1.

f(l)=0,所以6=0,故乃=1,b=0.

/、?/、心/、Inx，/、1-Inx

(2)由(1)知f(x)=----，f'(x)=----2---，

xx

當OVxVe時，f'(x)>0；當x>e時，f'(x)VO.

所以/Xx)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，所以f(x)則=f(e)=，

e

(3)g(x)=logcX—x的定義域為(0,+°°).

由題意知，存在劉仁(0,+°°),有g(xo)=O.

即logcXQ=Xo.

x。日口iInAb

所以i—苞，即Inc—.

Incxo

1111

由⑵知所以In所以c〈ee.

xoee

1

所以。的最大值為ee.

課時作業(yè)

[基礎達標]

1.(2024?蘭州模擬)設函數(shù)廣(x)在R上的導函數(shù)為r(x),對Vx￡R有廣(X)+F(—X)=X2,在(0,+8)

上，/(工)一水0,若a4一㈤一廣(血》8一4處則實數(shù)〃的取值范圍是()

A.[2,+°°)B.(一8,2]

C.(—8,—2]U[2,+°°)D.[—2,2]

【答案】A.

【解析】令g(x)=F(x)—；V,則g(—x)+g(x)=廣(一入)一：3+-(入)一：￥=0,所以函數(shù)g(x)為奇函數(shù).當

(0,+8)時，g，(入)=/(x)一水0,所以函數(shù)g(x)在(0,+8)上是減函數(shù)，故函數(shù)g(x)在(一8,

0)上也是減函數(shù).由/'(0)=0,可得g(x)在R上是減函數(shù)，所以_f(4一%)一“4=g(4—勿)+；(4—42—gGzz)

=g(4—4-g(4+8-4加28—4以，

所以g(4—血NgE),所以4—勿，解得力22,所以實數(shù)力的取值范圍是［2,+8).

2.(2024?合肥質(zhì)量檢測(二))已知函數(shù)f(禽=xlnx一%”(e為自然對數(shù)的底數(shù))有兩個極值點，則實數(shù)a

的取值范圍是()

A.(0,-)B.(0,e)

e

C.(-,e)D.(—°°,e)

e

【答案】A.

【解析】由題易知，f'(x)=l+lnx—ae',令，(x)=0,得a少了,函數(shù)/1(x)有兩個極值點，則

J+e

需F(x)=0有兩個實數(shù)根，等價于a=有兩個實數(shù)根,等價于直線y=a與尸的圖象有

l+e.*e1+1”

兩個交點.

1

-1—Inx

人/、1+lnxe,/、x

令g(x)=---;-,貝Ug(x)=-----------，

ee

令力(x)—x,得力(x)在(0,+8)上為減函數(shù)，且力(1)=0,

x

所以當x￡(0,1)時，—分>。,故g'(x)>0,g(x)為增函數(shù)，

當x￡(l,+8)時，力(工)<0,

故HUXo,g(x)為減函數(shù),

所以g(X)max=g(l)

e

又當xf+8時，g(x)-*0,

所以g(x)的圖象如圖所示，故O〈a<1

e

1/1

3.已知函數(shù)/UNxeR)滿意f⑴=1,且f(x)的導數(shù)F(x)芍，則不等式MV)+削勺解集為

【答案】：(一8,—1)U(1,+°°)

【解析】由題意構(gòu)造函數(shù)O=f(x)—所以F'(自=f(X)—；，因為/(x)V；，所以/(x)=

1x1x\

f'即函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞減.因為〃丁)<+所以〃9)一中所以尸(V)V

乙乙乙乙乙

尸(1),而函數(shù)尸(X)在R上單調(diào)遞減，所以即Xd(—8,-1)U(1,+8).

4.(2024?山西八校聯(lián)考)已知函數(shù)/1(x)=(x?+2x+1)e',設力￡[—3,—1],對隨意汨，[t,方+2],

|/U)-/U)I的最大值為.

【答案】：4e

【解析】?依Ifc意:，f(x)=(x：+4x+3H,令可得3或x>-l,令可得-3vrv-I,

所以由數(shù)人x)的單域遞增區(qū)間為(-8,7),(7,+8),單調(diào)速及區(qū)間為(-3,7).因為r€1-3,-

1]>為，?€[<>[+2],人-3)=4<3,人-1)=0,41)=公，

月HiAd1)=4e>-1)=0,

所以瓜川)一心:)的最大值為會.

5.(2024?沈陽質(zhì)量檢測(一))已知函數(shù)_f(x)=ax+xlnx在x=l處取得極值.

⑴求廣(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若y=F(x)—卬一1在定義域內(nèi)有兩個不同的零點，求實數(shù)〃的取值范圍.

【解析】：⑴/(x)=d+lnx+1,f'⑴二石+匚。，

解得a=-1,當己=一1時，f(x)=~x+xlnx,

即(x)=lnx,ff(x)>0,解得x>l；

令/(￡)<0,解得0CKL

所以f(x)在x=l處取得微小值，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).

(2)y=/*(x)一加一1在(0,+8)內(nèi)有兩個不同的零點，可轉(zhuǎn)化為廣(入)=加+1在(0,十8)內(nèi)有兩個不同的

根，也可轉(zhuǎn)化為y=F(x)與夕=勿+1的圖象有兩個不同的交點，

由(1)知，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，1)=-1,

由題意得，/+1>—1即山>一2,①

當0〈水1.時，f{x)=T(—1+lnx)<0；

當x>0且xf0時，f{x}-0；

當XL+8時,明顯廣(x)f+8(或者舉例：當x=e)/(e2)=e2>0).

如圖，由圖象可知，必+1<0,即冰一1,②

由①②可得一2〈冰一1.

6.(2024?蘭州模擬)已知函數(shù)F⑸=—￡+3+8,g(x)=Hnx.

iQ

(1)若Ax)在[―中1)上的最大值為《求實數(shù)力的值；

Zo

(2)若對隨意的xG[l,e],都有g(x)》一V+(a+2)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

9

【解析】：(1)/(x)=—3城+2入=一X(3X一2),令f(x)=0,得x=0或x=)

當Xd(一/0)時，r(x)〈o,函數(shù)/1(.)為減函數(shù);

2

當xd(o,可)時，f'U)>0,函數(shù)f(x)為增函數(shù);

O

9

當x￡(g,1)時，f'(jr)<0,函數(shù)F(x)為減函數(shù).

因為A—1)=|+。，^(|)所以>,導.

133

所以A—9)=d+6=d，

所以6=0.

(2)由g(x)2—f+(d+2)x,得(x—Inx)a^x~2x,

因為x￡[l,e],所以InxWlWx,由于不能同時取等號，所以Inx(x,即x—lnx>0,

x-2x

所以aW---(x￡[l,e])恒成立.

jr—Inx

x-2x

令力(x)=—■—，x￡[l,e],

jr—Inx

(x-l)(x+2-21nx)

貝(jr-Inx)2

當x￡[l,e]時，x—120,x+2—21nx=x-\-2(1—Inx)>0,從而“(x)20,

x-2x

所以函數(shù)為(x)=A—In([1,e]上為增函數(shù),

所以力(X)min=力⑴=—L

所以aWT.

7.設函數(shù)f(x)=aln—6x(aWl),曲線y=f(x)在點(1,f(l))處的切線斜率為0.

⑴求b?,

⑵若存在劉河，使得『(加〈言,求a的取值范圍.

【解析】:⑴/㈤=:+(—.

由題設知/(1)=0,解得6=1.

(2)f(x)的定義域為(0,+8),

由(1)知，f{x}=alnx-\--^—x—x,

f(5+(1-a)x—l=H

1a

①若aWj,則^—Wl,故當xd(l,+8)時7，(x)〉0,

21—a

f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增.

所以，存在冊21,使得『(劉)〈等的充要條件為/'(I)〈告，即一—1〈母，解得一小T〈a〈木—1.

Q,1131Z<31

②若〈<水1,則7A-〉1,故當XG［1,產(chǎn)］時，F(xiàn)(入)〈0，當才仁卜乙，+s］時，f'(x)>0,f(x)在

［1，言)上單調(diào)遞減，在高，+8)上單調(diào)遞增.

所以，存在司21,使得『(劉)〈告的充要條件為

a~1

aa

=alnl-a+2(1-a)+3-?3-1,所以不合題意.

③若a〉l,則當xd(l,+8)時f5)<0,/U)在(1,+8)上單調(diào)遞減，且=

綜上，a的取值范圍是(一/—1,-^2—1)U(1,+°°).

x

8.設函數(shù)_f(x)=5一左111x,k>0.

⑴求Ax)的單調(diào)區(qū)間和極值；

⑵證明：若f(x)存在零點，則Ax)在區(qū)間(1,小］上僅有一個零點.

V2kX

【解析】：(1)由/'(X)=3—Ainx(k>0),得x>0且/(x)=x-—=一

2x

由(x)=0,

解得X=5(負值舍去).

/1(*)與/1'(x)在區(qū)間(0,+8)上的改變狀況如下：

X(0,5)小(幣,+°°)

f'(x)一0+

k(l—lnA)

f(x)

2

所以，F(xiàn)(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,胃)，單調(diào)遞增區(qū)間是(5,+8).f(x)在x=0處取得微小值丹5)

k(1—In4)

Hx)無極大值.

2

l*(］—tnJt)

(2)證即：由。加，其外在區(qū)間(0,+8)上的品小值為八反)=-----------

因為人X)存在零點，

所以-----5--------從而欄e

當Qert，"r灌區(qū)間(1,4)上單調(diào)遞及，目.仆自=0,

所以x=m在區(qū)詡1,4］上的唯一零點.

當*>e時，加拉區(qū)間(1,上里調(diào)逐局,且也)=4?,小向="<0,

所以人x)在區(qū)間(I,4)上僅有一個零點.

族上可知，若無)存在零點，則冷灌區(qū)間(I,加上僅有f等氨.

［實力提升］

1.(2024?高考全國卷I)已知函數(shù)f{x}=aex+(a—2)e“一x.

⑴探討廣(x)的單調(diào)性；

⑵若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

【解析】：(l)#x)的定義域為(—8,+8),/5)=2非2'+(。-2)6、一1=(去、-1)(21+1).

3)若aW0,則/(x)<0,所以廣(工)在(一8,+8)單調(diào)遞減.

(五)若己>0,則由/(￡)=0得u=-Ina.

當(—8,—Ina)時，f'(x)<0；當(—Ina,+8)時，f'(x)>0.所以f(x)在(一8,—Ina)單

調(diào)遞減，在(一Ina,+8)單調(diào)遞增.

(2)(i)若W0,由(1)知，Ax)至多有一個零點.

(ii)若己>0,由(1)知，當x=—In己時，f(x)取得最小值，最小值為廣(一Ina)=1--+lna,