結(jié)構(gòu)力學(xué)數(shù)值方法：積分法：結(jié)構(gòu)動力學(xué)積分法教程

結(jié)構(gòu)力學(xué)數(shù)值方法：積分法：結(jié)構(gòu)動力學(xué)積分法教程1緒論1.1結(jié)構(gòu)動力學(xué)的基本概念結(jié)構(gòu)動力學(xué)是力學(xué)的一個(gè)分支，主要研究結(jié)構(gòu)在動態(tài)載荷作用下的響應(yīng)。動態(tài)載荷可以是周期性的（如風(fēng)、海浪、機(jī)器振動），也可以是非周期性的（如地震、爆炸）。結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析通常涉及解決二階微分方程，這些方程描述了結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度和阻尼如何影響其動態(tài)行為。1.1.1質(zhì)量矩陣質(zhì)量矩陣反映了結(jié)構(gòu)各部分的質(zhì)量分布，通常是一個(gè)對角矩陣，其中對角線元素表示各節(jié)點(diǎn)的質(zhì)量。1.1.2剛度矩陣剛度矩陣描述了結(jié)構(gòu)在變形時(shí)的恢復(fù)力，是結(jié)構(gòu)分析中的關(guān)鍵矩陣。在有限元分析中，剛度矩陣由各個(gè)單元的剛度矩陣組合而成。1.1.3阻尼矩陣阻尼矩陣表示結(jié)構(gòu)的能量耗散特性，可以是粘性阻尼、庫侖阻尼或結(jié)構(gòu)阻尼。阻尼矩陣的計(jì)算較為復(fù)雜，有時(shí)采用簡化模型。1.2數(shù)值積分法在結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的應(yīng)用數(shù)值積分法是解決結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題的重要工具，尤其是對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)和非線性問題。常見的數(shù)值積分法包括顯式積分法和隱式積分法。1.2.1顯式積分法顯式積分法如歐拉法、中央差分法和Newmark-β法中的β=0.5,γ=0.5（也稱為Wilson-θ法，θ=1.0）等，計(jì)算速度快，但穩(wěn)定性條件嚴(yán)格，時(shí)間步長受限。1.2.2隱式積分法隱式積分法如Newmark-β法（β>0.5,γ>0.5）和HHT-α法等，雖然計(jì)算量大，但具有更好的穩(wěn)定性，可以使用較大的時(shí)間步長。1.3結(jié)構(gòu)動力學(xué)積分法的發(fā)展歷程結(jié)構(gòu)動力學(xué)積分法的發(fā)展經(jīng)歷了從簡單的歐拉法到更復(fù)雜的Newmark-β法、HHT-α法和廣義α法等。這些方法的改進(jìn)主要集中在提高計(jì)算的精度、穩(wěn)定性和效率。1.3.1歐拉法歐拉法是最簡單的數(shù)值積分法，分為前向歐拉法和后向歐拉法。前向歐拉法不穩(wěn)定，而后向歐拉法雖然穩(wěn)定，但精度較低。1.3.2Newmark-β法Newmark-β法由Newmark在1959年提出，通過調(diào)整β和γ的值，可以在精度和穩(wěn)定性之間找到平衡。當(dāng)β=0.25,γ=0.5時(shí)，Newmark-β法成為線性加速度法，具有無條件穩(wěn)定性。1.3.3HHT-α法HHT-α法由Hilber、Hughes和Taylor在1977年提出，通過引入一個(gè)額外的參數(shù)α，可以進(jìn)一步提高方法的穩(wěn)定性，同時(shí)保持較高的精度。1.3.4廣義α法廣義α法由Chung和Hulbert在1993年提出，是一種高階的隱式積分法，通過調(diào)整α的值，可以在精度、穩(wěn)定性和效率之間找到最佳平衡。1.3.5代碼示例：Newmark-β法importnumpyasnp

defnewmark_beta(M,C,K,F,u0,v0,dt,beta=0.25,gamma=0.5,t_end=10):

"""

Newmark-β法求解結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題

:paramM:質(zhì)量矩陣

:paramC:阻尼矩陣

:paramK:剛度矩陣

:paramF:力向量

:paramu0:初始位移

:paramv0:初始速度

:paramdt:時(shí)間步長

:parambeta:Newmark-β法的β參數(shù)

:paramgamma:Newmark-β法的γ參數(shù)

:paramt_end:模擬結(jié)束時(shí)間

:return:位移、速度和加速度的時(shí)間歷程

"""

n=len(M)

u=np.zeros((n,int(t_end/dt)+1))

v=np.zeros((n,int(t_end/dt)+1))

a=np.zeros((n,int(t_end/dt)+1))

u[:,0]=u0

v[:,0]=v0

#計(jì)算初始加速度

a[:,0]=np.linalg.solve(M,F[:,0]-C@v0-K@u0)

foriinrange(1,int(t_end/dt)+1):

#計(jì)算預(yù)測位移

u_pred=u[:,i-1]+dt*v[:,i-1]+dt**2*(0.5*beta*a[:,i-1]-0.5*(beta-1)*a[:,i-2])

#計(jì)算預(yù)測速度

v_pred=v[:,i-1]+dt*(beta*a[:,i-1]-(beta-1)*a[:,i-2])

#計(jì)算預(yù)測加速度

a_pred=np.linalg.solve(M+dt*gamma*C+dt**2*beta*K,F[:,i]-C@v_pred-K@u_pred)

#更新位移、速度和加速度

u[:,i]=u_pred+dt**2*(beta-0.5)*(a[:,i]-a[:,i-1])

v[:,i]=v_pred+dt*(beta-1)*(a[:,i]-a[:,i-1])

a[:,i]=a_pred

returnu,v,a

#示例數(shù)據(jù)

M=np.array([[1,0],[0,1]])#質(zhì)量矩陣

C=np.array([[0.1,0],[0,0.1]])#阻尼矩陣

K=np.array([[10,-5],[-5,10]])#剛度矩陣

F=np.array([[np.sin(2*np.pi*t)fortinnp.linspace(0,10,1001)],[0for_inrange(1001)]])#力向量

u0=np.array([0,0])#初始位移

v0=np.array([0,0])#初始速度

dt=0.01#時(shí)間步長

#調(diào)用Newmark-β法

u,v,a=newmark_beta(M,C,K,F,u0,v0,dt)1.3.6代碼解釋上述代碼示例展示了如何使用Newmark-β法求解一個(gè)簡單的二維結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題。結(jié)構(gòu)由兩個(gè)節(jié)點(diǎn)組成，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有一個(gè)自由度。質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣都是2x2的矩陣，力向量隨時(shí)間變化，這里假設(shè)第一個(gè)節(jié)點(diǎn)受到正弦力的作用，第二個(gè)節(jié)點(diǎn)不受力。在Newmark-β法中，首先計(jì)算初始加速度，然后在每個(gè)時(shí)間步長內(nèi)，先預(yù)測位移、速度和加速度，再根據(jù)預(yù)測值更新實(shí)際的位移、速度和加速度。這種方法的關(guān)鍵在于選擇合適的β和γ值，以確保計(jì)算的穩(wěn)定性和精度。1.3.7結(jié)構(gòu)動力學(xué)積分法的未來隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，結(jié)構(gòu)動力學(xué)積分法也在不斷進(jìn)步，未來可能會出現(xiàn)更多高效、穩(wěn)定且精確的積分方法，以適應(yīng)更復(fù)雜、更精細(xì)的結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析需求。同時(shí)，人工智能和機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)的應(yīng)用也可能為結(jié)構(gòu)動力學(xué)積分法帶來新的突破，例如通過訓(xùn)練模型預(yù)測結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)，從而減少計(jì)算時(shí)間。2動力學(xué)基礎(chǔ)2.1單自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，單自由度系統(tǒng)（SingleDegreeofFreedom,SDOF）是最基本的模型，用于簡化分析結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)。一個(gè)SDOF系統(tǒng)通常由一個(gè)質(zhì)量塊、一個(gè)彈簧和一個(gè)阻尼器組成，它們通過一個(gè)共同的坐標(biāo)軸連接。系統(tǒng)的動力學(xué)方程可以通過牛頓第二定律導(dǎo)出，表達(dá)為：m其中：-m是質(zhì)量塊的質(zhì)量。-c是阻尼器的阻尼系數(shù)。-k是彈簧的剛度系數(shù)。-x是質(zhì)量塊相對于平衡位置的位移。-x和x分別是位移的一階和二階導(dǎo)數(shù)，即速度和加速度。-Ft2.1.1示例假設(shè)一個(gè)SDOF系統(tǒng)，其中m=10?kg,c=5?Nimportnumpyasnp

fromegrateimportsolve_ivp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定義系統(tǒng)參數(shù)

m=10.0#質(zhì)量

c=5.0#阻尼

k=200.0#彈簧剛度

#定義外力函數(shù)

defF(t):

return50*np.sin(2*np.pi*t)

#定義動力學(xué)方程

defdynamics(t,y):

x,v=y#位移和速度

dxdt=v#位移的一階導(dǎo)數(shù)

dvdt=(F(t)-c*v-k*x)/m#速度的一階導(dǎo)數(shù)

return[dxdt,dvdt]

#初始條件

y0=[0,0]#初始位移和速度

#時(shí)間范圍

t_span=(0,10)

#求解動力學(xué)方程

sol=solve_ivp(dynamics,t_span,y0,t_eval=np.linspace(0,10,1000))

#繪制位移響應(yīng)

plt.plot(sol.t,sol.y[0])

plt.xlabel('時(shí)間(s)')

plt.ylabel('位移(m)')

plt.title('單自由度系統(tǒng)的位移響應(yīng)')

plt.grid(True)

plt.show()2.2多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)（MultipleDegreeofFreedom,MDOF）是SDOF系統(tǒng)的擴(kuò)展，它包含多個(gè)質(zhì)量塊，每個(gè)質(zhì)量塊都有自己的位移自由度。系統(tǒng)的動力學(xué)方程可以表示為一個(gè)矩陣方程：M其中：-M是質(zhì)量矩陣。-C是阻尼矩陣。-K是剛度矩陣。-X是所有質(zhì)量塊位移的向量。-X和X分別是位移向量的一階和二階導(dǎo)數(shù)。-Ft2.2.1示例考慮一個(gè)由兩個(gè)質(zhì)量塊組成的MDOF系統(tǒng)，其中M=100015,C=522importnumpyasnp

fromegrateimportsolve_ivp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定義系統(tǒng)參數(shù)

M=np.array([[10.0,0],[0,15.0]])#質(zhì)量矩陣

C=np.array([[5.0,2],[2,3]])#阻尼矩陣

K=np.array([[200.0,-100],[-100,150]])#剛度矩陣

#定義外力函數(shù)

defF(t):

returnnp.array([50*np.sin(2*np.pi*t),0])

#定義動力學(xué)方程

defdynamics(t,y):

X,V=y[:len(M)],y[len(M):]#位移和速度向量

DXDT=V#位移的一階導(dǎo)數(shù)

DVDT=np.linalg.solve(M,F(t)-np.dot(C,V)-np.dot(K,X))#速度的一階導(dǎo)數(shù)

returnnp.concatenate((DXDT,DVDT))

#初始條件

y0=np.array([0,0,0,0])#初始位移和速度向量

#時(shí)間范圍

t_span=(0,10)

#求解動力學(xué)方程

sol=solve_ivp(dynamics,t_span,y0,t_eval=np.linspace(0,10,1000))

#繪制位移響應(yīng)

plt.plot(sol.t,sol.y[0],label='質(zhì)量塊1')

plt.plot(sol.t,sol.y[1],label='質(zhì)量塊2')

plt.xlabel('時(shí)間(s)')

plt.ylabel('位移(m)')

plt.title('多自由度系統(tǒng)的位移響應(yīng)')

plt.legend()

plt.grid(True)

plt.show()2.3連續(xù)系統(tǒng)的動力學(xué)方程連續(xù)系統(tǒng)，如梁、板或殼體，其動力學(xué)方程通常用偏微分方程表示。對于一維梁，動力學(xué)方程可以表示為：m其中：-mx是沿梁分布的質(zhì)量。-cx是沿梁分布的阻尼。-kx是沿梁分布的剛度。-ux,t是梁在位置x和時(shí)間t的位移。-ux,t2.3.1示例考慮一個(gè)長度為L=1?m的均勻梁，其質(zhì)量、阻尼和剛度分別為mx=1?kgimportnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

importmatplotlib.pyplotasplt

#定義系統(tǒng)參數(shù)

L=1.0#梁的長度

n=100#離散化節(jié)點(diǎn)數(shù)

dx=L/(n-1)#節(jié)點(diǎn)間距

m=np.ones(n)*1.0#質(zhì)量分布

c=np.ones(n)*0.1#阻尼分布

k=np.ones(n)*100.0#剛度分布

#構(gòu)建質(zhì)量矩陣

M=diags([m,m],[0,-1],shape=(n,n)).toarray()

M=(M+M.T)*dx**2/2

#構(gòu)建阻尼矩陣

C=diags([c,c],[0,-1],shape=(n,n)).toarray()

C=(C+C.T)*dx/2

#構(gòu)建剛度矩陣

K=diags([-k,2*k,-k],[-1,0,1],shape=(n,n)).toarray()

K=(K+K.T)/dx**2

#定義外力函數(shù)

defF(t):

returnnp.zeros(n)

F[int(n/2)]=50*np.sin(2*np.pi*t)

#定義動力學(xué)方程

defdynamics(t,y):

U,V=y[:len(M)],y[len(M):]#位移和速度向量

DU=V#位移的一階導(dǎo)數(shù)

DV=spsolve(M,F(t)-np.dot(C,V)-np.dot(K,U))#速度的一階導(dǎo)數(shù)

returnnp.concatenate((DU,DV))

#初始條件

y0=np.zeros(2*n)#初始位移和速度向量

#時(shí)間范圍

t_span=(0,10)

#求解動力學(xué)方程

sol=solve_ivp(dynamics,t_span,y0,t_eval=np.linspace(0,10,1000))

#繪制位移響應(yīng)

plt.imshow(sol.y[:n].T,cmap='viridis',aspect='auto',extent=[0,L,0,10])

plt.colorbar(label='位移(m)')

plt.xlabel('位置(m)')

plt.ylabel('時(shí)間(s)')

plt.title('連續(xù)系統(tǒng)的位移響應(yīng)')

plt.show()請注意，上述代碼示例中的連續(xù)系統(tǒng)動力學(xué)方程求解使用了有限元方法進(jìn)行離散化，并通過scipy.sparse.linalg.spsolve函數(shù)求解稀疏矩陣方程。這僅是一個(gè)簡化示例，實(shí)際應(yīng)用中可能需要更復(fù)雜的邊界條件和載荷分布。3數(shù)值積分法原理3.1顯式積分法介紹顯式積分法在結(jié)構(gòu)動力學(xué)中是一種常用的數(shù)值方法，它通過直接計(jì)算當(dāng)前時(shí)間步的加速度、速度和位移，而不需要解線性方程組。這種方法特別適用于解決動力學(xué)問題中的瞬態(tài)響應(yīng)，尤其是當(dāng)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)對時(shí)間的依賴性較強(qiáng)時(shí)。3.1.1原理顯式積分法基于牛頓第二定律，即力等于質(zhì)量乘以加速度。在結(jié)構(gòu)動力學(xué)中，這可以表示為：M其中，M是質(zhì)量矩陣，C是阻尼矩陣，K是剛度矩陣，u，u，和u分別代表加速度、速度和位移向量，F(xiàn)t顯式方法通過將上述微分方程離散化，使用時(shí)間步長Δtu3.1.2代碼示例假設(shè)我們有一個(gè)單自由度系統(tǒng)，質(zhì)量M=1，剛度K=10，阻尼importnumpyasnp

#參數(shù)設(shè)置

M=1.0#質(zhì)量

K=10.0#剛度

C=0.1#阻尼

F=lambdat:np.sin(t)#外力函數(shù)

#時(shí)間步長和總時(shí)間

dt=0.01

total_time=10.0

#初始化位移和速度

u=np.zeros(int(total_time/dt)+1)

v=np.zeros(int(total_time/dt)+1)

u[0]=0.0#初始位移

v[0]=0.0#初始速度

#顯式積分法

forninrange(int(total_time/dt)):

t=n*dt

u[n+1]=u[n]+v[n]*dt+(F(t)-C*v[n]-K*u[n])/M*dt**2

v[n+1]=v[n]+(F(t)-C*v[n]-K*u[n])/M*dt

#打印最終位移和速度

print("Finaldisplacement:",u[-1])

print("Finalvelocity:",v[-1])3.1.3描述上述代碼中，我們首先定義了系統(tǒng)的參數(shù)，包括質(zhì)量、剛度、阻尼和外力函數(shù)。然后，我們初始化了位移和速度向量，并設(shè)置了時(shí)間步長和總時(shí)間。通過中心差分法，我們迭代計(jì)算了每個(gè)時(shí)間步的位移和速度，最終打印出系統(tǒng)的最終位移和速度。3.2隱式積分法介紹隱式積分法與顯式積分法相反，它在計(jì)算當(dāng)前時(shí)間步的響應(yīng)時(shí)，需要解一個(gè)線性方程組。這種方法通常提供更好的數(shù)值穩(wěn)定性，但計(jì)算成本較高。3.2.1原理隱式積分法同樣基于牛頓第二定律，但通過在時(shí)間步Δtu3.2.2代碼示例我們繼續(xù)使用上述單自由度系統(tǒng)的例子，但這次使用Newmark-beta方法來求解。importnumpyasnp

fromscipy.linalgimportsolve

#參數(shù)設(shè)置

M=1.0#質(zhì)量

K=10.0#剛度

C=0.1#阻尼

F=lambdat:np.sin(t)#外力函數(shù)

#Newmark-beta參數(shù)

beta=0.25

gamma=0.5

#時(shí)間步長和總時(shí)間

dt=0.01

total_time=10.0

#初始化位移和速度

u=np.zeros(int(total_time/dt)+1)

v=np.zeros(int(total_time/dt)+1)

u[0]=0.0#初始位移

v[0]=0.0#初始速度

#隱式積分法

forninrange(int(total_time/dt)):

t=n*dt

#構(gòu)建線性方程組

A=np.array([[1,dt],[beta*dt**2,gamma*dt]])

B=np.array([[K,C],[C,M]])

F_n=np.array([F(t),0])

F_n1=np.array([F(t+dt),0])

#解線性方程組

x=solve(np.dot(B,A),np.dot(B,np.array([u[n],v[n]]))+dt*F_n+(1-2*beta)*dt**2*F_n1)

u[n+1]=x[0]

v[n+1]=x[1]

#打印最終位移和速度

print("Finaldisplacement:",u[-1])

print("Finalvelocity:",v[-1])3.2.3描述在隱式積分法的代碼示例中，我們首先定義了Newmark-beta方法的參數(shù)β和γ。然后，我們構(gòu)建了一個(gè)線性方程組，其中包含了質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣，以及當(dāng)前和下一個(gè)時(shí)間步的外力。通過解這個(gè)方程組，我們得到了每個(gè)時(shí)間步的位移和速度。3.3數(shù)值穩(wěn)定性與精度分析數(shù)值積分法的穩(wěn)定性與精度是評估其性能的關(guān)鍵指標(biāo)。穩(wěn)定性指的是積分法在長時(shí)間積分過程中保持?jǐn)?shù)值解的準(zhǔn)確性和收斂性的能力。精度則衡量了數(shù)值解與真實(shí)解的接近程度。3.3.1穩(wěn)定性分析顯式積分法的穩(wěn)定性通常受到時(shí)間步長的限制，即存在一個(gè)最大穩(wěn)定時(shí)間步長Δt3.3.2精度分析精度分析涉及比較數(shù)值解與解析解或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)的差異。通常，精度可以通過減小時(shí)間步長或使用更高階的積分方法來提高。然而，減小時(shí)間步長會增加計(jì)算成本，而高階方法可能會影響穩(wěn)定性。3.3.3代碼示例我們可以通過比較不同時(shí)間步長下的解，來分析顯式和隱式積分法的精度。importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#參數(shù)設(shè)置

M=1.0#質(zhì)量

K=10.0#剛度

C=0.1#阻尼

F=lambdat:np.sin(t)#外力函數(shù)

#時(shí)間步長和總時(shí)間

dt_values=[0.01,0.005,0.001]

total_time=10.0

#顯式積分法結(jié)果

u_explicit=[]

fordtindt_values:

u=np.zeros(int(total_time/dt)+1)

v=np.zeros(int(total_time/dt)+1)

u[0]=0.0#初始位移

v[0]=0.0#初始速度

forninrange(int(total_time/dt)):

t=n*dt

u[n+1]=u[n]+v[n]*dt+(F(t)-C*v[n]-K*u[n])/M*dt**2

v[n+1]=v[n]+(F(t)-C*v[n]-K*u[n])/M*dt

u_explicit.append(u)

#隱式積分法結(jié)果

u_implicit=[]

fordtindt_values:

u=np.zeros(int(total_time/dt)+1)

v=np.zeros(int(total_time/dt)+1)

u[0]=0.0#初始位移

v[0]=0.0#初始速度

forninrange(int(total_time/dt)):

t=n*dt

A=np.array([[1,dt],[beta*dt**2,gamma*dt]])

B=np.array([[K,C],[C,M]])

F_n=np.array([F(t),0])

F_n1=np.array([F(t+dt),0])

x=solve(np.dot(B,A),np.dot(B,np.array([u[n],v[n]]))+dt*F_n+(1-2*beta)*dt**2*F_n1)

u[n+1]=x[0]

v[n+1]=x[1]

u_implicit.append(u)

#繪制結(jié)果

plt.figure()

fordt,uinzip(dt_values,u_explicit):

plt.plot(np.arange(0,total_time+dt,dt),u,label=f"Explicitdt={dt}")

fordt,uinzip(dt_values,u_implicit):

plt.plot(np.arange(0,total_time+dt,dt),u,label=f"Implicitdt={dt}")

plt.legend()

plt.xlabel("Time")

plt.ylabel("Displacement")

plt.show()3.3.4描述在上述代碼中，我們使用了不同的時(shí)間步長來求解顯式和隱式積分法，然后將結(jié)果繪制在同一張圖上，以直觀地比較它們的精度。通過觀察不同時(shí)間步長下的曲線，我們可以分析積分法的穩(wěn)定性與精度之間的關(guān)系。通常，更小的時(shí)間步長會提供更精確的解，但計(jì)算成本也會增加。隱式方法在大時(shí)間步長下通常能保持較好的穩(wěn)定性，而顯式方法可能需要更小的時(shí)間步長來避免數(shù)值不穩(wěn)定。4常用積分法在結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的應(yīng)用4.1Newmark-beta方法Newmark-beta方法是一種廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析中的時(shí)間積分算法，特別適用于線性和非線性動力學(xué)問題。該方法由Newmark在1959年提出，通過選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)β和γ，可以實(shí)現(xiàn)不同精度和穩(wěn)定性之間的平衡。4.1.1原理考慮一個(gè)單自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程：m其中，m是質(zhì)量，c是阻尼，k是剛度，u是位移，u是速度，u是加速度，F(xiàn)tNewmark-beta方法通過以下公式離散化上述方程：u其中，Δt是時(shí)間步長，β和γ4.1.2示例假設(shè)我們有一個(gè)單自由度系統(tǒng)，其參數(shù)為m=1?kg,c=0.1?N?simportnumpyasnp

#參數(shù)設(shè)置

m=1.0#質(zhì)量

c=0.1#阻尼

k=10.0#剛度

beta=0.25#Newmark-beta參數(shù)

gamma=0.5#Newmark-beta參數(shù)

dt=0.01#時(shí)間步長

t_end=10.0#模擬結(jié)束時(shí)間

#初始條件

u_n=0.0

u_dot_n=0.0

#時(shí)間積分

t=np.arange(0,t_end,dt)

u=np.zeros_like(t)

u_dot=np.zeros_like(t)

u_dotdot=np.zeros_like(t)

fori,t_iinenumerate(t[:-1]):

#外力

F=np.sin(t_i)

#Newmark-beta方法

u_n1=u_n+u_dot_n*dt+(1/(2*beta))*((F-c*u_dot_n-k*u_n)*dt**2-(1-2*beta)*u_dotdot_n*dt**2)

u_dot_n1=u_dot_n+(1/beta)*((F-c*u_dot_n-k*u_n)*dt-(1-gamma)*u_dotdot_n*dt)

#更新狀態(tài)

u_n=u_n1

u_dot_n=u_dot_n1

u_dotdot_n=(F-c*u_dot_n-k*u_n)/m

u[i+1]=u_n

u_dot[i+1]=u_dot_n

u_dotdot[i+1]=u_dotdot_n

#結(jié)果可視化

importmatplotlib.pyplotasplt

plt.figure()

plt.plot(t,u,label='位移')

plt.plot(t,u_dot,label='速度')

plt.plot(t,u_dotdot,label='加速度')

plt.legend()

plt.show()4.2Wilson-θ方法Wilson-θ方法是另一種在結(jié)構(gòu)動力學(xué)中常用的時(shí)間積分算法，它通過引入一個(gè)額外的參數(shù)θ來控制算法的精度和穩(wěn)定性。4.2.1原理Wilson-θ方法的離散化公式如下：u4.2.2示例使用與Newmark-beta方法相同的系統(tǒng)參數(shù)和初始條件，我們可以通過以下代碼實(shí)現(xiàn)Wilson-θ方法的時(shí)間積分：#參數(shù)設(shè)置

theta=1.3#Wilson-θ參數(shù)

#Wilson-θ方法

u_n1=u_n+u_dot_n*dt+(1/theta)*((F-c*u_dot_n-k*u_n)*dt**2-(1-theta)*u_dotdot_n*dt**2)

u_dot_n1=u_dot_n+(1/theta)*((F-c*u_dot_n-k*u_n)*dt-(1-theta)*u_dotdot_n*dt)

u_dotdot_n1=(F-c*u_dot_n1-k*u_n1)/m

#更新狀態(tài)

u_n=u_n1

u_dot_n=u_dot_n1

u_dotdot_n=u_dotdot_n1

#結(jié)果可視化

plt.figure()

plt.plot(t,u,label='位移')

plt.plot(t,u_dot,label='速度')

plt.plot(t,u_dotdot,label='加速度')

plt.legend()

plt.show()4.3中央差分法中央差分法是一種基于中心差分的時(shí)間積分方法，它在計(jì)算加速度時(shí)使用了中心差分公式，因此在計(jì)算上較為簡單，但可能在高頻率響應(yīng)上產(chǎn)生不穩(wěn)定性。4.3.1原理中央差分法的加速度計(jì)算公式如下：u4.3.2示例使用相同的系統(tǒng)參數(shù)和初始條件，我們可以通過以下代碼實(shí)現(xiàn)中央差分法的時(shí)間積分：#中央差分法

u_n1=u_n+u_dot_n*dt+(F-c*u_dot_n-k*u_n)*dt**2/2/m

u_dot_n1=(u_n1-u_n)/dt

u_dotdot_n1=(u_n1-2*u_n+u_n-1)/dt**2

#更新狀態(tài)

u_n=u_n1

u_dot_n=u_dot_n1

u_dotdot_n=u_dotdot_n1

#結(jié)果可視化

plt.figure()

plt.plot(t,u,label='位移')

plt.plot(t,u_dot,label='速度')

plt.plot(t,u_dotdot,label='加速度')

plt.legend()

plt.show()請注意，中央差分法的示例代碼中，為了簡化，我們假設(shè)了在時(shí)間步n?1的位移5積分法的實(shí)現(xiàn)5.1時(shí)間步長的選擇在結(jié)構(gòu)動力學(xué)的數(shù)值積分中，時(shí)間步長的選擇至關(guān)重要，它直接影響到計(jì)算的精度和穩(wěn)定性。時(shí)間步長過小，雖然可以提高計(jì)算精度，但會增加計(jì)算量，延長計(jì)算時(shí)間；時(shí)間步長過大，則可能導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的不穩(wěn)定性，甚至出現(xiàn)數(shù)值解的發(fā)散。因此，合理選擇時(shí)間步長是進(jìn)行結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析的關(guān)鍵步驟之一。5.1.1原則穩(wěn)定性條件：確保數(shù)值積分方法的穩(wěn)定性，避免解的發(fā)散。精度要求：滿足工程分析的精度需求，確保結(jié)果的可靠性。物理現(xiàn)象：考慮結(jié)構(gòu)動力學(xué)中物理現(xiàn)象的時(shí)間尺度，如波的傳播速度、結(jié)構(gòu)的固有頻率等。5.1.2方法顯式方法：如中心差分法，通常需要較小的時(shí)間步長以滿足穩(wěn)定性條件。隱式方法：如Newmark-β方法，可以使用較大的時(shí)間步長，但計(jì)算成本較高。5.1.3示例假設(shè)我們使用中心差分法對一個(gè)單自由度系統(tǒng)進(jìn)行動力學(xué)分析，其運(yùn)動方程為：m其中，m是質(zhì)量，c是阻尼，k是剛度，F(xiàn)tΔ這確保了數(shù)值解的穩(wěn)定性。5.2初始條件的設(shè)定初始條件是結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析的起點(diǎn)，包括初始位移和初始速度。正確設(shè)定初始條件對于獲得準(zhǔn)確的動力響應(yīng)至關(guān)重要。5.2.1原則物理意義：初始條件應(yīng)反映實(shí)際物理狀態(tài)，如結(jié)構(gòu)在靜止?fàn)顟B(tài)下的初始位移和速度。數(shù)值穩(wěn)定性：初始條件的設(shè)定應(yīng)避免引入數(shù)值不穩(wěn)定因素。5.2.2方法直接設(shè)定：根據(jù)工程實(shí)際情況直接設(shè)定初始位移和速度。從靜力分析導(dǎo)出：對于某些情況，可以通過靜力分析的結(jié)果來設(shè)定初始條件。5.2.3示例假設(shè)一個(gè)單自由度系統(tǒng)在t=xx其中，x05.3邊界條件的處理邊界條件在結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析中定義了結(jié)構(gòu)與外界的相互作用，包括固定邊界、自由邊界、以及各種約束條件。正確處理邊界條件是確保分析結(jié)果準(zhǔn)確性的基礎(chǔ)。5.3.1原則物理準(zhǔn)確性：邊界條件應(yīng)準(zhǔn)確反映結(jié)構(gòu)與外界的相互作用。數(shù)值穩(wěn)定性：邊界條件的處理應(yīng)避免引入數(shù)值不穩(wěn)定因素。5.3.2方法直接施加：對于固定邊界，可以直接在數(shù)值積分過程中施加位移約束。使用彈簧模型：對于非固定邊界，可以通過引入虛擬彈簧來模擬邊界條件。5.3.3示例假設(shè)我們分析一個(gè)兩端固定的梁的動力響應(yīng)，其邊界條件可以設(shè)定為：xx其中，L是梁的長度。在數(shù)值積分過程中，這些邊界條件將被直接施加，確保梁的兩端在計(jì)算中始終保持固定。以上內(nèi)容詳細(xì)介紹了在結(jié)構(gòu)動力學(xué)數(shù)值積分中，時(shí)間步長的選擇、初始條件的設(shè)定以及邊界條件的處理。這些步驟是進(jìn)行動力學(xué)分析的基礎(chǔ)，正確實(shí)施將確保分析結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性。6案例分析6.1單自由度系統(tǒng)振動分析在結(jié)構(gòu)動力學(xué)中，單自由度系統(tǒng)是最基本的模型，用于理解振動的基本原理。這類系統(tǒng)通常由一個(gè)質(zhì)量塊、一個(gè)彈簧和一個(gè)阻尼器組成，可以簡化為一個(gè)二階微分方程。數(shù)值積分法，如歐拉法、改進(jìn)歐拉法、龍格-庫塔法等，是求解這類微分方程的有效工具。6.1.1歐拉法示例假設(shè)我們有一個(gè)單自由度系統(tǒng)，其運(yùn)動方程為：m其中，m是質(zhì)量，c是阻尼系數(shù)，k是彈簧剛度，F(xiàn)t是隨時(shí)間變化的外力，x是位移，x是速度，x我們可以使用歐拉法來數(shù)值求解這個(gè)方程。歐拉法是一種一階數(shù)值積分方法，其基本思想是使用當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)來預(yù)測下一時(shí)刻的狀態(tài)。importnumpyasnp

#參數(shù)設(shè)置

m=1.0#質(zhì)量

c=0.1#阻尼系數(shù)

k=1.0#彈簧剛度

F=lambdat:np.sin(t)#外力函數(shù)

#初始條件

x0=0.0#初始位移

v0=0.0#初始速度

#時(shí)間步長和總時(shí)間

dt=0.01

t_end=10.0

#歐拉法求解

t=np.arange(0,t_end,dt)

x=np.zeros_like(t)

v=np.zeros_like(t)

x[0]=x0

v[0]=v0

foriinrange(1,len(t)):

a=(F(t[i-1])-c*v[i-1]-k*x[i-1])/m#計(jì)算加速度

v[i]=v[i-1]+a*dt#更新速度

x[i]=x[i-1]+v[i]*dt#更新位移

#結(jié)果可視化

importmatplotlib.pyplotasplt

plt.plot(t,x)

plt.xlabel('時(shí)間(s)')

plt.ylabel('位移(m)')

plt.title('單自由度系統(tǒng)振動分析-歐拉法')

plt.show()6.1.2代碼解釋參數(shù)設(shè)置：定義了系統(tǒng)的物理參數(shù)和外力函數(shù)。初始條件：設(shè)定了系統(tǒng)的初始位移和速度。時(shí)間步長和總時(shí)間：定義了模擬的時(shí)間范圍和步長。歐拉法求解：通過迭代計(jì)算，使用當(dāng)前時(shí)刻的加速度、速度和位移來預(yù)測下一時(shí)刻的速度和位移。結(jié)果可視化：繪制了位移隨時(shí)間變化的曲線，直觀展示了系統(tǒng)的振動行為。6.2多自由度系統(tǒng)振動分析多自由度系統(tǒng)比單自由度系統(tǒng)更復(fù)雜，通常涉及多個(gè)質(zhì)量塊和多個(gè)彈簧，每個(gè)質(zhì)量塊都有自己的位移和速度。這類系統(tǒng)的運(yùn)動方程可以表示為一組耦合的二階微分方程，需要使用更高級的數(shù)值積分方法，如Newmark法或Wilson-θ法，來求解。6.2.1Newmark法示例考慮一個(gè)由兩個(gè)質(zhì)量塊組成的多自由度系統(tǒng)，其運(yùn)動方程可以寫為：M其中，M是質(zhì)量矩陣，C是阻尼矩陣，K是剛度矩陣，X是位移向量，X是速度向量，X是加速度向量，F(xiàn)tNewmark法是一種常用的數(shù)值積分方法，可以有效地求解多自由度系統(tǒng)的振動問題。importnumpyasnp

#參數(shù)設(shè)置

M=np.array([[1.0,0.0],[0.0,1.0]])#質(zhì)量矩陣

C=np.array([[0.1,0.0],[0.0,0.1]])#阻尼矩陣

K=np.array([[1.0,-0.5],[-0.5,1.0]])#剛度矩陣

F=lambdat:np.array([np.sin(t),np.cos(t)])#外力函數(shù)

#Newmark參數(shù)

gamma=0.5

beta=0.25

#初始條件

X0=np.array([0.0,0.0])#初始位移

V0=np.array([0.0,0.0])#初始速度

#時(shí)間步長和總時(shí)間

dt=0.01

t_end=10.0

#Newmark法求解

t=np.arange(0,t_end,dt)

X=np.zeros((len(t),2))

V=np.zeros((len(t),2))

A=np.zeros((len(t),2))

X[0]=X0

V[0]=V0

foriinrange(1,len(t)):

#計(jì)算加速度

A[i]=np.linalg.solve(M,F(t[i])-C@V[i-1]-K@X[i-1]-M@(2*beta/dt**2)*(X[i-1]-X[i-2])-C@(gamma/dt)*(V[i-1]-V[i-2]))

#更新速度

V[i]=V[i-1]+dt*(1-gamma)*A[i-1]+dt*gamma*A[i]

#更新位移

X[i]=X[i-1]+dt*(1-2*beta)*V[i-1]+dt**2*(1/2-2*beta)*A[i-1]+dt*2*beta*V[i]+dt**2*beta*A[i]

#結(jié)果可視化

importmatplotlib.pyplotasplt

plt.plot(t,X[:,0],label='質(zhì)量塊1')

plt.plot(t,X[:,1],label='質(zhì)量塊2')

plt.xlabel('時(shí)間(s)')

plt.ylabel('位移(m)')

plt.title('多自由度系統(tǒng)振動分析-Newmark法')

plt.legend()

plt.show()6.2.2代碼解釋參數(shù)設(shè)置：定義了系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和外力函數(shù)。Newmark參數(shù)：設(shè)定了Newmark法的參數(shù)，用于控制算法的穩(wěn)定性和精度。初始條件：設(shè)定了系統(tǒng)的初始位移和速度向量。Newmark法求解：通過迭代計(jì)算，使用Newmark法更新每個(gè)時(shí)間步的加速度、速度和位移向量。結(jié)果可視化：繪制了兩個(gè)質(zhì)量塊的位移隨時(shí)間變化的曲線，展示了系統(tǒng)的振動行為。6.3連續(xù)系統(tǒng)振動分析連續(xù)系統(tǒng)，如梁、板或殼體，其振動分析通常需要使用偏微分方程來描述。數(shù)值積分法，如有限元法或邊界元法，是求解這類問題的常用方法。這里，我們將使用有限元法來分析一個(gè)簡支梁的振動。6.3.1有限元法示例考慮一個(gè)簡支梁，其振動方程可以表示為：ρ其中，ρ是材料密度，A是橫截面積，u是位移，x是梁的坐標(biāo)。使用有限元法，我們可以將梁離散為多個(gè)小段，每段用一個(gè)簡單的模型（如彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)）來近似，然后求解整個(gè)系統(tǒng)的振動。importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#參數(shù)設(shè)置

L=1.0#梁的長度

E=200e9#彈性模量

I=0.001#慣性矩

rho=7800#材料密度

A=0.01#橫截面積

n_elements=10#元素?cái)?shù)量

n_nodes=n_elements+1#節(jié)點(diǎn)數(shù)量

dx=L/n_elements#元素長度

#剛度矩陣和質(zhì)量矩陣

K=diags([12,-36,36,-12],[-2,-1,1,2],shape=(n_nodes,n_nodes)).toarray()/dx**4

M=diags([1,2,2,1],[-1,0,1,2],shape=(n_nodes,n_nodes)).toarray()*rho*A*dx/6

#邊界條件

K[0,:]=0

K[-1,:]=0

K[:,0]=0

K[:,-1]=0

K[0,0]=1

K[-1,-1]=1

#初始條件

u0=np.zeros(n_nodes)#初始位移

v0=np.zeros(n_nodes)#初始速度

#時(shí)間步長和總時(shí)間

dt=0.001

t_end=1.0

#有限元法求解

t=np.arange(0,t_end,dt)

U=np.zeros((len(t),n_nodes))

U[0]=u0

foriinrange(1,len(t)):

#計(jì)算加速度

A=spsolve(M,-K@U[i-1])

#更新速度

v=v0+dt*A

#更新位移

u=u0+dt*v+0.5*dt**2*A

U[i]=u

#結(jié)果可視化

importmatplotlib.pyplotasplt

plt.plot(t,U[:,n_nodes//2],label='梁中點(diǎn)')

plt.xlabel('時(shí)間(s)')

plt.ylabel('位移(m)')

plt.title('連續(xù)系統(tǒng)振動分析-有限元法')

plt.legend()

plt.show()6.3.2代碼解釋參數(shù)設(shè)置：定義了梁的物理參數(shù)，包括長度、彈性模量、慣性矩、材料密度和橫截面積。剛度矩陣和質(zhì)量矩陣：使用有限元法構(gòu)建了梁的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。邊界條件：設(shè)定了梁的兩端為簡支邊界條件。初始條件：設(shè)定了梁的初始位移和速度。有限元法求解：通過迭代計(jì)算，使用有限元法更新每個(gè)時(shí)間步的加速度、速度和位移。結(jié)果可視化：繪制了梁中點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化的曲線，展示了梁的振動行為。以上案例分析展示了如何使用不同的數(shù)值積分方法來求解結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的振動問題，從單自由度系統(tǒng)到多自由度系統(tǒng)，再到連續(xù)系統(tǒng)，每種方法都有其適用的場景和特點(diǎn)。7高級主題詳解7.1非線性動力學(xué)分析7.1.1原理與內(nèi)容非線性動力學(xué)分析是結(jié)構(gòu)力學(xué)中一個(gè)復(fù)雜但至關(guān)重要的領(lǐng)域，它研究結(jié)構(gòu)在非線性響應(yīng)下的動態(tài)行為。非線性可以來源于材料的非線性、幾何的非線性或邊界條件的非線性。在非線性動力學(xué)分析中，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)不再是外力的線性函數(shù)，這增加了分析的難度和復(fù)雜性。材料非線性材料非線性通常指材料在大應(yīng)變或高應(yīng)力狀態(tài)下的行為不再遵循胡克定律。例如，混凝土和鋼材在達(dá)到屈服點(diǎn)后，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系會變得非線性。幾何非線性幾何非線性考慮了結(jié)構(gòu)變形對自身幾何形狀的影響，如大位移和大轉(zhuǎn)動。在這些情況下，結(jié)構(gòu)的剛度矩陣不再是常數(shù)，而是隨位移變化。邊界條件非線性邊界條件非線性涉及到結(jié)構(gòu)與環(huán)境的相互作用，如接觸問題、摩擦和間隙效應(yīng)。這些非線性邊界條件會顯著影響結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)。7.1.2示例：材料非線性分析假設(shè)我們有一個(gè)簡單的單自由度系統(tǒng)，其非線性力-位移關(guān)系由下面的方程描述：F其中，F(xiàn)是作用力，u是位移，k1和kPython代碼示例importnumpyasnp

fromegrateimportsolve_ivp

#定義非線性動力學(xué)方程

defnonlinear_dynamics(t,y,k1,k2,m):

u,v=y

du_dt=v

dv_dt=(-k1*u-k2*u**3)/m

return[du_dt,dv_dt]

#參數(shù)設(shè)置

k1=1000#線性剛度

k2=100#非線性剛度

m=10#質(zhì)量

t_span=(0,10)#時(shí)間跨度

y0=[0.1,0]#初始條件

#解方程

sol=solve_ivp(nonlinear_dynamics,t_span,y0,args=(k1,k2,m),t_eval=np.linspace(0,10,100))

#輸出結(jié)果

print(sol.t)#時(shí)間點(diǎn)

print(sol.y[0])#位移解釋此代碼示例使用了Python的egrate.solve_ivp函數(shù)來求解非線性動力學(xué)方程。我們定義了一個(gè)非線性動力學(xué)方程，其中包含了線性和非線性剛度項(xiàng)。通過設(shè)置參數(shù)和初始條件，我們求解了單自由度系統(tǒng)的位移隨時(shí)間的變化。7.2隨機(jī)振動分析7.2.1原理與內(nèi)容隨機(jī)振動分析關(guān)注的是結(jié)構(gòu)在隨機(jī)激勵(lì)下的響應(yīng)。隨機(jī)激勵(lì)可以是風(fēng)、地震或機(jī)器運(yùn)行時(shí)的振動，這些激勵(lì)的特性通常用概率分布來描述。隨機(jī)振動分析的目的是評估結(jié)構(gòu)在不確定環(huán)境下的性能和可靠性。隨機(jī)過程隨機(jī)過程是時(shí)間的函數(shù)，其在任何給定時(shí)間點(diǎn)的值都是隨機(jī)變量。在結(jié)構(gòu)動力學(xué)中，隨機(jī)過程通常用來描述激勵(lì)的不確定性。功率譜密度功率譜密度（PSD）是描述隨機(jī)過程頻域特性的關(guān)鍵工具。它提供了激勵(lì)在不同頻率下的能量分布。響應(yīng)統(tǒng)計(jì)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)包括均值、方差和概率分布，它們用于評估結(jié)構(gòu)響應(yīng)的不確定性。7.2.2示例：使用功率譜密度分析隨機(jī)振動假設(shè)我們有一個(gè)結(jié)構(gòu)受到隨機(jī)激勵(lì)，激勵(lì)的功率譜密度（PSD）由下面的方程描述：S其中，Sxxf是激勵(lì)的PSD，f是頻率，Python代碼示例importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定義功率譜密度函數(shù)

defpsd(f,f0):

return1/(2*np.pi)*1/((f/f0)**2+1)

#參數(shù)設(shè)置

f0=10#中心頻率

frequencies=np.linspace(0,100,1000)#頻率范圍

#計(jì)算PSD

psd_values=psd(frequencies,f0)

#繪制PSD

plt.figure()

plt.plot(frequencies,psd_values)

plt.title('功率譜密度')

plt.xlabel('頻率(Hz)')

plt.ylabel('PSD')

plt.show()解釋此代碼示例展示了如何使用Python計(jì)算和繪制隨機(jī)激勵(lì)的功率譜密度。我們定義了一個(gè)PSD函數(shù)，該函數(shù)描述了激勵(lì)在不同頻率下的能量分布。通過設(shè)置中心頻率和頻率范圍，我們計(jì)算了PSD值，并使用matplotlib庫繪制了PSD曲線。7.3結(jié)構(gòu)動力學(xué)的優(yōu)化設(shè)計(jì)7.3.1原理與內(nèi)容結(jié)構(gòu)動力學(xué)的優(yōu)化設(shè)計(jì)旨在通過調(diào)整結(jié)構(gòu)的幾何、材料或邊界條件，以最小化或最大化特定的動力學(xué)性能指標(biāo)，如振動頻率、阻尼比或響應(yīng)峰值。優(yōu)化設(shè)計(jì)通常需要解決復(fù)雜的多目標(biāo)優(yōu)化問題，同時(shí)考慮結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性。優(yōu)化目標(biāo)優(yōu)化目標(biāo)可以是減少結(jié)構(gòu)的重量、成本或振動響應(yīng)，也可以是提高結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性或耐久性。優(yōu)化變量優(yōu)化變量包括結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)、材料屬性和邊界條件。這些變量在優(yōu)化過程中被調(diào)整以達(dá)到優(yōu)化目標(biāo)。優(yōu)化算法優(yōu)化算法用于搜索最優(yōu)解。常見的優(yōu)化算法包括梯度下降法、遺傳算法和粒子群優(yōu)化算法。7.3.2示例：使用遺傳算法優(yōu)化結(jié)構(gòu)的振動頻率假設(shè)我們有一個(gè)簡支梁，其振動頻率需要通過調(diào)整梁的寬度和高度來優(yōu)化。我們使用遺傳算法來搜索最優(yōu)的寬度和高度。Python代碼示例importnumpyasnp

fromdeapimportbase,creator,tools,algorithms

#定義優(yōu)化問題

creator.create("FitnessMax",base.Fitness,weights=(1.0,))

creator.create("Individual",list,fitness=creator.FitnessMax)

#定義遺傳算法參數(shù)

toolbox=base.Toolbox()

toolbox.register("attr_width",np.random.uniform,0.1,1.0)

toolbox.register("attr_height",np.random.uniform,0.1,1.0)

toolbox.register("individual",tools.initCycle,creator.Individual,(toolbox.attr_width,toolbox.attr_height),n=1)

toolbox.register("population",tools.initRepeat,list,toolbox.individual)

#定義評估函數(shù)

defevaluate(individual):

width,height=individual

#假設(shè)振動頻率與寬度和高度的關(guān)系為：f=100*width*height

frequency=100*width*height

returnfrequency,

#注冊評估函數(shù)

toolbox.register("evaluate",evaluate)

#定義遺傳操作

toolbox.register("mate",tools.cxTwoPoint)

toolbox.register("mutate",tools.mutGaussian,mu=0,sigma=0.1,indpb=0.2)

toolbox.register("select",tools.selTournament,tournsize=3)

#創(chuàng)建初始種群

population=toolbox.population(n=50)

#運(yùn)行遺傳算法

result,logbook=algorithms.eaSimple(population,toolbox,cxpb=0.5,mutpb=0.2,ngen=100,verbose=True)

#輸出最優(yōu)解

best_individual=tools.selBest(result,1)[0]

print("最優(yōu)寬度：",best_individual[0])

print("最優(yōu)高度：",best_individual[1])解釋此代碼示例使用了Python的DEAP庫來實(shí)現(xiàn)遺傳算法優(yōu)化。我們定義了一個(gè)優(yōu)化問題，其中目標(biāo)是最大化振動頻率。優(yōu)化變量是梁的寬度和高度。通過設(shè)置遺傳算法的參數(shù)和定義評估函數(shù)，我們運(yùn)行了遺傳算法來搜索最優(yōu)的寬度和高度。最終，我們輸出了找到的最優(yōu)解。以上三個(gè)高級主題的詳細(xì)內(nèi)容和示例代碼，展示了非線性動力學(xué)分析、隨機(jī)振動分析和結(jié)構(gòu)動力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本原理和應(yīng)用方法。通過這些示例，讀者可以