7.5正態(tài)分布課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性2

第七章隨機(jī)變量及其分布 7.5正態(tài)分布高二數(shù)學(xué)趙淑紅1.二項(xiàng)分布2.超幾何分布溫故引新一。離散型隨機(jī)變量的分布列，均值，方差。二。離散型隨機(jī)變量的兩種特殊的分布

離散型隨機(jī)變量取可列個(gè)不同值，人們感興趣的是它取某些特定值的概率，離散型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用分布列描述，；

連續(xù)型隨機(jī)變量可能取某個(gè)區(qū)間上的任何值，它等于任何一個(gè)實(shí)數(shù)的概率都為0，通常研究的是它落在某區(qū)間的概率。連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用概率密度函數(shù)（總體密度曲線）描述。在現(xiàn)實(shí)生活中，許多隨機(jī)變量都服從或近似服從正態(tài)分布：在生產(chǎn)中，在正常生產(chǎn)條件下產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)(如零件的尺寸、維的纖度等;在測量中，長度測量誤差，某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重等；在生物學(xué)中，一定條件下生長的小麥的株高、穗長、單位面積產(chǎn)量等；在氣象中，某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度以及降雨量等；高斯分布

高斯是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家，一生中的重要貢獻(xiàn)不勝枚舉，早期德國的10馬克紙幣上印有高斯的頭像和正態(tài)分布曲線，在高斯的科學(xué)貢獻(xiàn)中，對人類文明影響最大的是“正態(tài)分布”，正態(tài)分布也稱高斯分布。正態(tài)分布曲線是一條鐘形曲線．正態(tài)分布廣泛存在于自然界、生產(chǎn)及科學(xué)技術(shù)的許多領(lǐng)域中在生產(chǎn)中，在正常生產(chǎn)條件下產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)(如零件的尺寸、維的纖度等;在測量中，長度測量誤差，某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重等；在生物學(xué)中，一定條件下生長的小麥的株高、穗長、單位面積產(chǎn)量等；在氣象中，某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度以及降雨量等；4問題情境：自動(dòng)流水線包裝的食鹽，每袋標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為400g.由于各種不可控制的因素,任意抽取一袋食鹽,它的質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之間或多或少會(huì)存在一定的誤差(實(shí)際質(zhì)量減去標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量).用X表示這種誤差,則X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量.檢測人員在一次產(chǎn)品檢驗(yàn)中，隨機(jī)抽取了100袋食鹽,獲得誤差X(單位:g)的觀測值如右:-0.6-1.4-0.73.3-2.9-5.21.40.14.40.9-2.6-3.4-0.7-3.2-1.72.90.61.72.91.20.5-3.72.71.1-3.0-2.6-1.91.72.60.42.6-2.0-0.21.8-0.7-1.3-0.5-1.30.2-2.12.4-1.5-0.43.8-0.11.50.3-1.80.02.53.5-4.2-1.0-0.20.10.91.12.20.9-0.6-4.4-1.13.9-1.0-0.61.70.3-2.4-0.1-1.7-0.5-0.81.71.44.41.2-1.8-3.1-2.1-1.62.20.34.8-0.8-3.5-2.73.81.4-3.5-0.9-2.2-0.71.31.5-1.5-2.21.01.31.7-

0.9(1)如何描述這100個(gè)樣本誤差數(shù)據(jù)的分布?(2)如何刻畫誤差這個(gè)隨機(jī)變量X的概率分布?如何看到紛繁蕪雜的數(shù)據(jù)背后隱藏的規(guī)律借助圖表用頻率分布直方圖描述這組誤差數(shù)據(jù)的分布.頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積表示誤差落在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的頻率，所有小矩形的面積之和為1.思考：隨著樣本數(shù)據(jù)量越來越大，讓分組越來越多，組距越來越小，頻率分布直方圖的輪廓會(huì)發(fā)生什么變化？0-6-420-2頻率/組距0.050.100.150.20X46(1)

觀察圖形可知:誤差觀測值有正有負(fù)，并大致成軸對稱地分布在X=0的兩側(cè)，中間高兩頭低，可見小誤差比大誤差出現(xiàn)得更頻繁.n=9n=50n=107頻率分布直方圖的輪廓就越來越穩(wěn)定，接近一條光滑的鐘形曲線.曲線與水平軸之間的區(qū)域的面積為1

總體密度曲線概率密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量誤差X的概率分布規(guī)律PX-60-4-200.150.050.100.20426例如，任意抽取一袋食鹽，怎么研究誤差落在[-2,-1]內(nèi)的概率？

此總體密度曲線(曲線與水平軸之間區(qū)域的總面積為1)描述袋裝食鹽質(zhì)量誤差的概率分布可用圖中黃色陰影部分的面積表示.追問1

圖中的鐘形曲線是一個(gè)函數(shù)嗎？這個(gè)函數(shù)解析式是什么呢?f(x)x

μaABxbO在數(shù)學(xué)家的不懈努力下，找到刻畫隨機(jī)誤差分布的解析式:其中μ∈R，σ>0為參數(shù).正態(tài)密度曲線（簡稱正態(tài)曲線）0YX正態(tài)密度函數(shù)新知探索（2）當(dāng)|x|無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸.x=m（4）在x=μ處達(dá)到峰值(最大值)（3）它關(guān)于直線x=μ對稱若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X~N(μ,σ2).

當(dāng)μ=0,σ=1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.f(x)x

μaABxbO

若X~N(μ,σ2)，則P(X≤x)為圖中區(qū)域A的面積，P(a≤X≤b)為區(qū)域B的面積.1.若X～N(2,3)，則X的密度函數(shù)是()E(X)=__，D(X)=___。

2.X～N(μ,σ2)，若E(X)=3，

D(X)=4，則μ=______，σ=______，X的密度函數(shù)是()

.

2932

a-a-x1-x2

x2

x1練習(xí)若X～N(1,σ2)，且P(X<0)=a，則(1)P(X>1)=_________；(2)P(X>0)=_________；(3)P(0<X<1)=_______；(4)P(X<2)=_________；(5)P(0<X<2)=_______.0.51-a0.5-a1-a1-2a012-1-2xy-334μ=1正態(tài)曲線下對稱區(qū)域的面積相等課本87頁練習(xí)2習(xí)題1，P(X≤-a)=P(X≥a)P(-x1≤X≤-x2)=P(x2≤X≤x1)思考3一個(gè)正態(tài)分布X~N(μ,σ2)由參數(shù)μ和σ完全確定，這兩個(gè)參數(shù)對正態(tài)曲線的形狀有何影響?它們反映正態(tài)分布的哪些特征?追問

一個(gè)正態(tài)分布由參數(shù)μ和σ完全確定，這兩個(gè)參數(shù)對正態(tài)曲線的形狀有何影響?它們反映正態(tài)分布的哪些特征?X~N(μ,σ2)若X~N(μ,σ2)，則E(X)=μ,D(X)=

σ2.012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2

σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；

σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置，σ反映了X相對于均值μ的離散程度.例李明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到:坐公交車平均用時(shí)30min，樣本方差為36；騎自行車平均用時(shí)34min，樣本方差為4.假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布.

(1)估計(jì)X，Y的分布中的參數(shù)，在同一坐標(biāo)系中畫出X和Y的分布密度曲線

(2)如果某天有38min可用，李明應(yīng)選擇哪種交通工具?如果某天只有34min可用，又應(yīng)該選擇哪種交通工具?說明理由.解：(1)作業(yè)：導(dǎo)學(xué)案76頁1，3.78頁，80頁隨檢的2，3.固學(xué)案30頁2，3，4，5，6，8X~N(30,62)Y~N(34,22)

所以，若有38min可用，則騎自行車不遲到的概率大，應(yīng)騎自行車；若只有34min可用，則坐公交車不遲到的概率大，應(yīng)坐公交車.（2）由圖可知，P(X>38)>P(Y>38)，

P(X≤34)>0.5=P(Y≤34)X~N(μ,σ2)，P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973在一次試驗(yàn)中，X的取值幾乎總是落在區(qū)間[μ-3σ,μ+3σ]內(nèi)，在此區(qū)間以外取值的概率大約只有0.0027，通常認(rèn)為這種情況幾乎不可能發(fā)生,稱為小概率事件.在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ,

σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3σ原則.善用正態(tài)分布的

3σ原則解題作業(yè)：課本87頁練習(xí)1，習(xí)題的2，3，4.導(dǎo)·固學(xué)案的剩余題(1)曲線在x軸的上方，與x軸不相交；(3)曲線與x軸之間的面積為1；(4)當(dāng)μ一定時(shí)，σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.正態(tài)曲線的性質(zhì)：(5)參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置，σ反映了隨機(jī)變量的分布相對于均值μ的離散程度.歸納總結(jié)在實(shí)際問題中，參數(shù)μ,σ可以分別用樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差來估計(jì)，故有(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=μ對稱，且在x=μ處取得最大值；

A導(dǎo)學(xué)案P110課本87頁

2.設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,22)，隨機(jī)變量Y~N(0,32)，畫出分布密度曲線草圖，并指出P(X≤-2)與P(X≤2)的關(guān)系，以及P(|X|≤1)與P(|Y|≤1)之間的大小關(guān)系.O1-1xyσ=3σ=22-2解：作出分布密度曲線如圖示，由圖