2024-2025學(xué)年山西省晉中市榆次一中高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年山西省晉中市榆次一中高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)z=1?i1+i+2i，則|A.0 B.12 C.1 D.2.若{a,b,A.b+c，b，b?c B.a，a+b，a?b

C.a+b，3.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且(2b?c)cosA=acosC，b=23，若邊BC的中線等于3，則△ABC的面積為(

)A.93 B.932 4.河南博物院主展館的主體建筑以元代登封古觀星臺為原型，經(jīng)藝術(shù)夸張演繹成“戴冠的金字塔”造型，冠部為“方斗”形，上揚(yáng)下覆，取上承“甘露”、下納“地氣”之意.冠部以及冠部下方均可視為正四棱臺.已知一個(gè)“方斗”的上底面與下底面的面積之比為1：4，高為2，體積為563，則該“方斗”的側(cè)面積為(

)A.24 B.12 C.24D.125.設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為(

)A.15 B.25 C.126.如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取A，B兩點(diǎn)，從A，B兩點(diǎn)分別測得樹尖的仰角為30°、45°，且A，B兩點(diǎn)之間的距離為60m，則樹的高度為(

)

A.(30+303)m B.(30+153)m C.7.已知10個(gè)數(shù)據(jù)：4，5，6，7，8，8.5，9，10，11，11.5，則這組數(shù)據(jù)第40百分位數(shù)是(

)A.8.5 B.8 C.7.5 D.78.已知向量m=(2cos2x,3)，n=(1,sin2x)A.關(guān)于直線x=π12對稱 B.關(guān)于點(diǎn)(5π12,0)對稱

C.周期為2π 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知點(diǎn)M(2,2)和N(5,?2)，點(diǎn)P在x軸上，且∠MPN為直角，求點(diǎn)P的坐標(biāo)(

)A.(1,0) B.(4,0) C.(2,0) D.(6,0)10.如圖，在△ABC中，BC=12，D，E是BC的三等分點(diǎn)，則(

)A.AE=13AB+23AC

B.若AB?AC=0，則AE在AB上的投影向量為11.如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA=AB=2，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點(diǎn)，則(

)A.EF⊥平面PAC

B.四棱錐P?ABCD的外接球的表面積為48π

C.CF與平面ABCD所成角的正弦值為66

D.點(diǎn)A到平面EFC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.經(jīng)過A(0,2)，B(?1,0)兩點(diǎn)的直線的方向向量為(1,k)，則實(shí)數(shù)k的值為______．13.過兩點(diǎn)A(m2+2,m2?3)，B(3?m?m2,2m)的直線14.如圖，若斜邊長為22的等腰直角△A′B′C′(B′與O′重合)放置的△ABC的直觀圖，則△ABC的面積為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

利用空間向量知識完成本題．

(1)如圖15?1，在長方體ABCD?A1B1C1D1中AB=4，BC=3，CC1=2.線段B1C上是否存在點(diǎn)P，使得A1P平行于平面ACD1？

(2)如圖15?2，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，求證直線A116.(本小題15分)

判斷下列各對直線是否平行或垂直：

(1)經(jīng)過A(2,3)，B(?1,0)兩點(diǎn)的直線l1，與經(jīng)過P(1,0)且斜率為1的直線l2；

(2)經(jīng)過C(3,1)，D(?2,0)兩點(diǎn)的直線l3，與經(jīng)過點(diǎn)M(1,?4)且斜率為?5的直線l4．

(3)試確定m的值，使過A(m,1)，B(?1,m)兩點(diǎn)的直線與過P(1,2)，Q(?5,0)兩點(diǎn)的直線：

(Ⅰ)平行；

(Ⅱ17.(本小題15分)

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且cosA=13．

(Ⅰ)求sin2B+C2+cos2A的值；

(Ⅱ)若18.(本小題17分)

甲乙二人有4張撲克牌(分別是紅桃2，紅桃3，紅桃4，方片4)玩游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張．

(1)寫出甲乙抽到牌的所有情況．

(2)若甲抽到紅桃3，則乙抽出的牌面數(shù)字比3大的概率是多少？

(3)甲乙約定，若甲抽到的牌的數(shù)字比乙大，則甲勝；否則乙勝，你認(rèn)為此游戲是否公平？為什么？19.(本小題17分)

如圖，在三棱錐A?BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD的中點(diǎn)．

(1)證明：OA⊥CD；

(2)若△OCD是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E?BC?D的大小為45°，求三棱錐A?BCD的體積．

答案解析1.C

【解析】解：∵z=1?i1+i+2i，

∴z=(1?i)(1?i)(1?i)(1+i)+2i=?i+2i=i，

則2.C

【解析】解：由空間向量基本定理得：

對于A選項(xiàng)，因?yàn)閎=12(b+c)+12(b?c)，所以b+c，b，b?c三個(gè)向量共面，不符合題意；

對于B選項(xiàng)，因?yàn)閍=12(a+b)+12(a?b)，所以a，a+b，a?b三個(gè)向量共面，不符合題意；

【解析】解：由題意得，(2b?c)cosA=acosC，

根據(jù)正弦定理得，(2sinB?sinC)cosA=sinAcosC，

2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，

2sinBcosA=sin(A+C)，①

因?yàn)锳+B+C=180°，所以A+C=180°?B，則sinB=sin(A+C)，

代入①得，cosA=12，

由0°<A<180°，得，A=60°，

∵b=23，若如圖邊BC的中線AD等于3，

∴2AD=AB+AC，兩邊平方可得：4AD2=AB2+4.D

【解析】解：由題意可知，記正四棱臺為ABCD?A1B1C1D1，其底面為正方形，側(cè)面為四個(gè)等腰梯形，把該四棱臺補(bǔ)成正四棱錐，如圖所示：

設(shè)AC與BD交于點(diǎn)M，A1C1與B1D1交于點(diǎn)N，

則PM是正四棱錐P?ABCD的高，MN為正四棱臺ABCD?A1B1C1D1的高，

設(shè)A1B1=a，AB=b，則上、下底面的面積分別為a2、b2，

由題意可知a2：b2=1：4，所以b=2a，

在△PAB中，PA1PA=A1B1AB=12，所以5.A

【解析】解：O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，共有C53=10，

其中共線為A，O，C和B，O，D兩種，

故取到的3點(diǎn)共線的概率為P=210=6.A

【解析】解：在△PAB，∠PAB=30°，∠APB=15°，AB=60，

sin15°=sin(45°?30°)=sin45°cos30°?cos45°sin30°

=22×32?22×12=6?7.C

【解析】解：因?yàn)閺男〉酱笈帕袨?，5，6，7，8，8.5，9，10，11，11.5，共10個(gè)數(shù)據(jù)，10×40%=4，

所以這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是第4項(xiàng)與第5項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即7+82=7.5，

故選：C．

8.【解析】解：f(x)=m?n=2cos2x+3sin2x

=cos2x+3sin2x+1

=2sin(2x+π6)+1，

當(dāng)x=π12時(shí)，sin(2x+π6)=sinπ3≠±1，

∴f(x)不關(guān)于直線x=π12對稱，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

當(dāng)x=5π12時(shí)，2sin(2x+π6)+1=1，9.AD

【解析】解：設(shè)P(m,0)，則PM=(2?m,2)，PN=(5?m,?2)，

∵∠MPN為直角，

∴PM?PN=0，即(2?m)(5?m)?4=0，解得m=1或6，

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)或(6,0)．

故選：AD【解析】解：對于選項(xiàng)A，AE=AB+BE=AB+23BC=AB+23(AC?AB)=13AB+23AC，即選項(xiàng)A正確；

對于選項(xiàng)B，因?yàn)锳B?AC=0，所以AB⊥AC，

由題意得E是BC的三等分點(diǎn)，所以AE在AB上的投影向量為13AB，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)C，AD=AC+CD=AC+23CB=AC+23(AB?AC)=2【解析】解：對于A：連接BD，

因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，

可得PA⊥BD

由ABCD為正方形，可得AC⊥BD，

PA?AC=A，PA，AC?平面PAC，

所以BD⊥平面PAC，

又因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PD，PB的中點(diǎn)，則EF//BD，

可得EF⊥平面PAC，故A正確；

對于B：四棱錐P?ABCD的外接球即為以A為頂點(diǎn)，PA，AB，AD為相鄰三邊的正方體的外接球，

則外接球的半徑R=12PA2+AB2+AD2=3，

所以表面積為S表=4πR2=12π，故B正確；

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0)，C(2,2,0)，E(0,1,1)，F(xiàn)(1,0,1)，

對于C：可知平面ABCD的法向量n=(0,0,1)，CF=(?1,?2,1)，

則cos<n，CF>=n?CF|n||CF|=11×6=66，

所以CF與平面ABCD所成角的正弦值為66，故C12.2

【解析】解：根據(jù)題意，A(0,2)，B(?1,0)，則BA=(1,2)，

若經(jīng)過A(0,2)，B(?1,0)兩點(diǎn)的直線的方向向量為(1,k)，設(shè)t=(1,k)，

則有t//BA，即1×k=2×1，解可得k=2．

故答案為：2．

【解析】解：由題意可得：tan45°=m2?3?2mm2+2?(3?m?m2)=1，化為：m2+3m+2=0，解得m=?1，?2．

m=?1時(shí)分母等于0，舍去．【解析】解：根據(jù)題意，直觀圖△A′B′C′為斜邊長為22的等腰直角三角形，則其直角邊邊長為2，

故直觀圖△A′B′C′的面積S′=2，

故原圖△ABC的面積S=22S′=415.解：(1)以直線DA，DC，DD1分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

由已知條件得A1(3,0,2)，A(3,0,0)，B1(3,4,2)，C(0,4,0)，D1(0,0,2)，

線段B1C上取B1C中點(diǎn)P(32,4,1)，

設(shè)平面ACD1的法向量為n=(x,y,z)，

由AC=(?3,4,0)，AD1=(?3,0,2)，

則n?AC=?3x+4y=0n?AD1=?3x+2z=0，令x=43，則y=1，z=2，

故n=(43,1,2)，

因?yàn)锳1P=(?32,4,?1)，

所以n?A1P=43×(?32)+1×4+2×(?1)=0，

故n⊥A1P，

又A1P?平面ACD1，

故線段B1C上中點(diǎn)P，使得A1P平行于平面ACD1；

(2)證明：設(shè)AB=a，AD=b，AA1=c，則{a,b,c?為空間的一個(gè)基底，且A1C=a+b?c，BD=b?a，BB1=c，

因?yàn)锳B=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，

所以a2=b2=c2=1，a?b=b?c=c?a=12，

在平面BDD1B1上，取BD、BB1為基向量，

則A1C?BD=(a+b?c)?(b?a)=12?1+1?12?【解析】(1)取線段B1C上中點(diǎn)P，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，用向量法求解線面關(guān)系即可；

(2)設(shè)AB=a，AD=b，AA1=c，以它們?yōu)榛妆硎境鯝1C、BD、BB1，結(jié)合已知并應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求證垂直，即可證結(jié)論；

(3)建立空間坐標(biāo)系，用向量法求解距離即可．

16.解：(1)因?yàn)橹本€l1經(jīng)過A(2,3)，B(?1,0)兩點(diǎn)，

所以kl1=3?02+1=1，

所以直線l1的方程為：y?3=1?(x?2)，即y=x+1；

因?yàn)橹本€l2經(jīng)過P(1,0)且斜率為1，

所以直線l1方程為：y=1?(x?1)，即y=x?1，

可得兩條直線的斜率相等，在y軸上的截距不相等，

所以直線l1與直線l2平行；

(2)因?yàn)橹本€l3經(jīng)過C(3,1)，D(?2,0)兩點(diǎn)，所以kl3=13+2=15，

因?yàn)橹本€l4的斜率為?5，

所以kl3?kl4=?1【解析】(1)分別求出兩直線方程，根據(jù)斜率關(guān)系，即可求出直線l2的方程；

(2)求出直線l3的斜率，根據(jù)斜率關(guān)系即可求出直線l4的方程；

(3)(I)根據(jù)兩條平行直線的斜率關(guān)系即可求解出m的值；

(II)根據(jù)兩條垂直直線的斜率關(guān)系即可求解出m的值．

17.解：(Ⅰ)sin2B+C2+cos2A

=12[1?cos(B+C)]+(2cos2A?1)

=12(1+cosA)+(2cos2A?1)

=12(1+13)+(29?1)

=?【解析】(Ⅰ)把所求的式子利用二倍角的余弦函數(shù)公式及三角形的內(nèi)角和定理化簡后，得到一個(gè)關(guān)于cosA的關(guān)系式，把cosA的值代入即可求出值；

(Ⅱ)根據(jù)余弦定理表示出cosA，讓其等于13，然后把等式變?yōu)?3bc=b2+c2?a2，利用基本不等式和a的值即可求出bc的最大值．

18.解：(1)方片4用4′表示，則甲乙抽到牌的所有情況為：

(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，

(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′,2)，(4′,3)，(4′,4)，

共12種不同的情況；

(2)甲抽到3，乙抽到的只能是2，4，4′，

因此乙抽出的牌面數(shù)字比3大的概率是23；

(3)甲抽到的牌的數(shù)字比乙大，有(4,2)，(4,3)，(4′,2)，

(4′,3)，(3,2)共5種情況，【解析】(1)方片4用4′表示，列舉可得共12種不同的情況；

(2)甲抽到3，乙抽到的只能是2，4，4′，所求概率為23；

(3)列舉可得甲勝的概率為P1=19.解：(1)證明：因?yàn)锳B=AD，O為BD的中點(diǎn)，所以AO⊥BD，

又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO?平面ABD，

所以AO⊥平面BCD，又CD?平面BCD，

所以AO⊥CD；

(2)方法一：

取OD的中點(diǎn)F，因?yàn)椤鱋CD為正三角形，所以CF⊥OD，

過