2024-2025學(xué)年吉林省第二實驗學(xué)校南湖校區(qū)九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年吉林省第二實驗學(xué)校南湖校區(qū)九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列各數(shù)中5，3.14，?9，π2，3A.2 B.3 C.4 D.52.進(jìn)入春季，有些人會出現(xiàn)花粉過敏癥狀.已知某種花粉顆粒直徑約為0.0000065米，將數(shù)據(jù)0.0000065用科學(xué)記數(shù)法表示為(

)A.6.5×10?6 B.0.65×10?5 C.3.下列計算結(jié)果正確的是(

)A.32?2=3 B.a4.從上面看下面的物體，形狀不相同的是(

)A. B. C. D.5.如圖，小明在點C處測得樹的頂端A仰角為62°，測得BC=10米，則樹的高AB(單位：米)為(

)A.10sin62°

B.10tan62°6.如圖，在等腰Rt△AOB中，∠AOB=90°，E是三角形內(nèi)一點，連接OE，將線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到OF，連接BF，AE.若∠OBF=20°，則∠EAB的度數(shù)為(

)A.45° B.15° C.20° D.25°7.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，按以下步驟作圖：①以B為圓心，任意長為半徑作弧，分別交BA、BC于M、N兩點；②分別以M、N為圓心，以大于12MN的長為半徑作弧，兩弧相交于點P；③作射線BP，交邊AC于D點.若BD=5，點D到AB的距離為3，則△BCD的周長為(

)A.6 B.12 C.15 D.208.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=kx在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點A(2,2)和點B(4,m)，則△AOB的面積為(

)A.2

B.3

C.4

D.5二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。9.單項式?7πx310.若函數(shù)y=mx2+2x+1的圖象與x軸只有一個公共點，則常數(shù)m11.如圖，某小區(qū)物業(yè)想對小區(qū)內(nèi)的三角形廣場ABC進(jìn)行改造，已知AC與BC的夾角為120°，AC=10m，BC=14m，請你幫助物業(yè)計算出需要改造的廣場面積是______m2(結(jié)果保留根號)．12.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，點D為邊AC的中點，點E為線段BD的中點.若AB=3，AE=2，則邊AC的長為______．13.若一次函數(shù)函數(shù)y=(m?2)x的圖象y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是______．14.已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，拋物線的頂點坐標(biāo)為(?1,n)，且與x軸的一個交點的橫坐標(biāo)在?3和?2之間，則下列結(jié)論正確的是______．

①abc<0；

②a+b+c<0；

③3a+c>0；

④關(guān)于x的方程ax三、解答題：本題共7小題，共56分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題8分)

先化簡，再求值：(3?aa?2)÷a?3a16.(本小題8分)

七年級某班為了開展活動，購買了一些體育用品，有15個毽球和6根跳繩，共用去69元，其中每根跳繩的價格比每個毽球價格的3倍還多0.5元，求毽球和跳繩的單價．17.(本小題8分)

如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，AB=CD.過點D分別作DF⊥AB于點F，DE⊥BC于點E，且DE=DF．

(1)求證：四邊形ABCD是菱形；

(2)若∠EDF=60°，AB=3，則四邊形ABCD的面積為______．18.(本小題8分)

圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，△ABC的頂點均在格點上.在給定的網(wǎng)格中，只用無刻度的直尺，在圖①、圖②、圖③中，按下列要求畫圖，只保留作圖痕跡，不要求寫出畫法．

(1)在圖①中畫△ABC的中線CD．

(2)在圖②BC邊上找一點E，連結(jié)AE，使AE平分△ABC的面積．

(3)在圖③中△ABC的內(nèi)部找一點F，使S△FBC=13S19.(本小題8分)

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，拋物線y=x2+bx+c(b、c為常數(shù))與x軸交于A，B(?3,0)兩點，與y軸交于點C(0,?3)，點P在拋物線上，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m．

(1)求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)將此拋物線上P、C兩點之間的部分(包括P、C兩點)記為圖象G.圖象G的最高點與最低點的縱坐標(biāo)差為6時，求m20.(本小題8分)

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點P、Q分別是邊CA、BC上的兩個動點，且PC=2BQ，以PQ，PC為鄰邊作平行四邊形PQMC，作點B關(guān)于直線PQ的對稱點B′，設(shè)BQ=m(0≤m≤4)．

(1)當(dāng)△PCQ的面積為8時，求m的值．

(2)當(dāng)∠BQB′=2∠ABC時，求線段BB′的長．

(3)當(dāng)點B′落在四邊形PQMC的邊上時，直接寫出CQBB′的值．

21.(本小題8分)

【問題探究】在學(xué)習(xí)三角形中線時，我們遇到過這樣的問題：如圖①，在△ABC中，點D為BC邊上的中點，AB=4，AC=6，求線段AD長的取值范圍．我們采用的方法是延長線段AD到點E，使得AD=DE，連結(jié)CE，可證△ABD≌△ECD，可得CE=AB=4，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可求AD的范圍，我們將這樣的方法稱為“三角形倍長中線”.則AD的范圍是：______．

【拓展應(yīng)用】

(1)如圖②，在△ABC中，BC=2BD，AD=3，AC=210，∠BAD=90°，求AB的長．

(2)如圖③，在△ABC中，D為BC邊的中點，分別以AB、AC為直角邊向外作直角三角形，且滿足∠ABE=∠ACF=30°，連結(jié)EF，若AD=23，則EF=______.(直接寫出)答案解析1.A

【解析】解：∵5是無理數(shù)，

3.14是有理數(shù)，

?9=?3是有理數(shù)，

π2是無理數(shù)，

38=2是有理數(shù)，

∴其中無理數(shù)是5和π2這2【解析】解：0.0000065=6.5×10?6，

故選：A．

3.【解析】解：A、32?2=22，故此選項不符合題意；

B、a6÷a3=a3，故此選項不符合題意；

C、(3a【解析】解：A、C、D選項的俯視圖都是第一行三個正方形，第二行中間一個正方形，B選項俯視圖是第一行三個正方形，第二行是最左邊一個正方形，

所以形狀不相同的是B選項．

故選：B．

5.C

【解析】解：由題意得：

∠ABC=90°，∠ACB=62°，

在Rt△ABC中，BC=10米，

∴AB=BC?tan62°=10tan62°(米)，

故選：C．

6.【解析】解：∵線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到OF，

∴OE=OF，∠EOF=90°，

∵△OAB為等腰直角三角形，

∴OA=OB，∠AOB=90°，∠OAB=45°，

∵∠AOE+∠EOB=90°，∠EOB+∠BOF=90°，

∴∠AOE=∠BOF，

在△AOE和△BOF中，

OA=OB∠AOE=∠BOFOE=OF，

∴△AOE≌△BOF(SAS)，

∴∠OAE=∠OBF=20°，

∴∠EAB=∠OAB?∠OAE=45°?20°=25°．

故選：D．

7.【解析】解：由作圖可知BD是∠ABC的平分線，

∵點D到AB的距離為3，∠ACB=90°，

∴DC=3，

在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理得：

∴BC=BD2?CD2=52?32=4【解析】解：∵反比例函數(shù)y=kx在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點A(2,2)和點B(4,m)，

∴k=2×2=4，m=44=1，

∴B(4,1)

設(shè)直線OB的解析式y(tǒng)=kx，

∵點B(4,1)在直線上，

∴k=14．

∴直線OB的解析式y(tǒng)=14x，

過點A作AM⊥x軸，交OB于點N.則點N的坐標(biāo)為(2,19.?7π【解析】解：單項式?7πx3y6的系數(shù)是?7π6，

故答案為：?7π【解析】解：有兩種情況：

①當(dāng)m=0時，函數(shù)為y=2x+1，

∵圖象為一條直線，與x軸有一個交點，

∴m=0；

②當(dāng)m≠0時，y=mx2+2x+1的圖象與x軸只有一個公共點，

令y=0，則mx2+2x+1=0，

∴Δ=4?4m=0，

解得：m=1，

故答案為：0或1【解析】解：過點A作AD⊥BC，交BC的延長線于點D，

∵∠ACB=120°，

∴∠ACD=180°?∠ACB=60°，

在Rt△ACD中，AC=10m，

∴AD=AC?sin60°=10×32=53(m)，

∵BC=14m，

∴△ABC的面積=1212.2【解析】解：∠BAC=90°，點E為線段BD的中點，AE=2，

∴BD=2AE=4，

又AB=3，

∴AD=BD2?AB2=7，

∵點D為邊AC的中點，

∴AC=2AD=2【解析】解：∵一次函數(shù)函數(shù)y=(m?2)x的圖象y隨x的增大而減小，

∴m?2<0，

解得：m<2，

故答案為：m<2．

14.②④

【解析】解：由所給函數(shù)圖象可知，

a<0，b<0，c>0，

∴abc>0.故①錯誤；

∵拋物線的對稱軸為直線x=?1，且與x軸的一個交點的橫坐標(biāo)在?3和?2之間，

∴拋物線與x軸的另一個交點的橫坐標(biāo)在0和1之間．

又∵拋物線開口向下，

∴當(dāng)x=1時，函數(shù)值小于零，

即a+b+c<0.故②正確；

∵拋物線的對稱軸為直線x=?1，

∴?b2a=?1，

即b=2a，

又∵a+b+c<0，

∴3a+c<0.故③錯誤；

∵拋物線的頂點坐標(biāo)為(?1,n)，

∴拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與直線y=n?1有交點，

∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c?n+1=0有實根．故④正確．

∴結(jié)論正確的是②④．

故答案為：②④．

15.解：(3?aa?2)÷a?3a2?4

=【解析】利用分式的相應(yīng)的法則對式子進(jìn)行化簡，再代入相應(yīng)的值運算即可．

16.解：設(shè)毽球的單價是x元，則跳繩的單價是(3x+0.5)元，

根據(jù)題意得15x+6(3x+0.5)=69，

解得x=2，

∴3x+0.5=6.5，

答：毽球和跳繩的單價分別為2元和6.5元．

【解析】設(shè)毽球的單價是x元，則跳繩的單價是(3x+0.5)元，購買毽球需要15x元，購買跳繩需要6(3x+0.5)元，于是列方程得15x+6(3x+0.5)=69，解方程求出x的值，再求出代數(shù)式3x+0.5的值即可．

17.92【解析】(1)證明：∵DE⊥BC于點E，DF⊥AB于點F，

∴∠CED=∠AFD=90°，

∵AB//CD，AB=CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠C=∠A，

在△CDE和△ADF中，

∠C=∠A∠CED=∠AFDDE=DF，

∴△CDE≌△ADF(AAS)，

∴CD=AD，

∴四邊形ABCD是菱形；

(2)解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB=3，∠A+∠B=180°，

∵DE⊥BC于點E，DF⊥AB于點F，∠EDF=60°，

∴∠B=360°?60°?90°?90°=120°，

∴∠A=60°，∠ADF=30°，

∴AF=12AD=32，

∴DF=18.解：(1)如圖①，取格點F、G，連接FG交AB于點D，連接CD，

點D及△ACD就是所求的圖形．

理由：連接AF，則AF/?/BG，AF=BG，

∴∠AFD=∠BGD，

在△ADF和△BDG中，

∠AFD=∠BGD∠ADF=∠BDGAF=BG，

∴△ADF≌△BDG(AAS)，

∴AD=BD=12AB；

(2)線段BC的垂直平分線MN，交BC于E，連接AE，線段AE即為所求；

理由：如圖②，過A作AH⊥BC于H，

∵M(jìn)N垂直平分BC，

∴BE=CE，

∵S△ABE=12BE?AH，S△ACH=12CE?AH，

∴S△ABE=S△ACE，

∴AE平分△ABC的面積．

(3)如圖③，取AB的中點D及格點K，連接CD、AK交于點F，連接BF，點F及△BCF就是所求的圖形．

理由：如圖①，∵△ADF≌△BDG，

∴FD=GD，

∴點D為格點，

取格點I，連接DI，則DI//CK，

∴△DFI【解析】(1)根據(jù)三角形中線的定義畫出圖形即可；

(2)作線段BC的垂直平分線MN，交BC于E，連接AE即可；

(3)取格點D，作BC的垂直平分線交BC于K，連接AK，CD交于F，則S△FBC=19.解：(1)將點B(?3,0)，C(0,?3)代入y=x2+bx+c，得c=?39?3b+c=0，

解得：b=2c=?3，

∴此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=x2+2x?3；

(2)∵y=x2+2x?3=(x+1)2?4，

∴拋物線的頂點坐標(biāo)為(?1,?4)，

分兩種情況：①當(dāng)P點在對稱軸的右側(cè)時，P點的縱坐標(biāo)為?3+6=3，

∴m2+2m?3=3，

解得：m=?1+7或m=?1?7(舍去)；

②當(dāng)P點在對稱軸的左側(cè)時，P【解析】(1)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；

(2)分兩種情況：①①當(dāng)P點在對稱軸的右側(cè)時，P點的縱坐標(biāo)為?3+6=3；②當(dāng)P點在對稱軸的左側(cè)時，P點的縱坐標(biāo)為?4+6=2.根據(jù)題意，得出關(guān)于m的一元二次方程，根據(jù)解一元二次方程的方法，得出符合題意的m值即可．20.解：(1)由題意得BQ=m，BC=6，AC=8，PC=2BQ，

∴CQ=6?m，PC=2m，

∵△PCQ的面積為8，

∴12PC?CQ=8，即12×2m(6?m)=8，

解得：m1=2，m2=4，

∵0≤m≤4，

∴m的值為2或4．

(2)如圖，設(shè)PQ與BB′交于點D，

在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=82+62=10，

∵點B與點B′關(guān)于直線PQ對稱，

∴PQ⊥BB′，BB′=2BD，∠BQB′=2∠BQD，

∵∠BQB′=2∠ABC，

∴∠BQD=∠ABC，

∴AB//PQ，

∴CPAC=CQBC，即2m8=6?m6，

∴m=125，

∵∠BDQ=∠ACB=90°，

∴△BQD∽△ABC，

∴BDAC=BQAB，即BD8=12510，

∴BD=4825，

∴BB′=9625．

(3)當(dāng)點B′落在四邊形PQMC的邊QM上時，如圖，

則∠BQD=∠B′QD，BQ=B′Q，PQ⊥BB′，

∵四邊形PQMC是平行四邊形，

∴QM//PC，

∴∠CQM=∠ACB=90°，

∴∠BQB′=180°?∠CQM=90°，

∴∠BQD=∠B′QD=45°，

∴∠CQP=∠BQD=45°，

∴△CPQ是等腰直角三角形，

∴PC=CQ，即2m=6?m，

解得：m=2，

∴CQ=6?2=4，BQ=2，

∵△BQB′是等腰直角三角形，

∴BB′=2BQ=22，

∴CQBB′=422=2；

當(dāng)點B′落在四邊形PQMC的邊CM上時，如圖，【解析】(1)根據(jù)三角形面積建立方程求解即可；

(2)