中考數(shù)學(xué)必考題型復(fù)習(xí)訓(xùn)練：應(yīng)用題

備考中考一輪復(fù)習(xí)點(diǎn)對點(diǎn)必考題型

題型26應(yīng)用題

+考點(diǎn)解析

1.一元二次方程的應(yīng)用

（1）列方程解決實(shí)際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢

驗(yàn)和作答.

（2）列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：

①數(shù)字問題：個位數(shù)為a,十位數(shù)是b,則這個兩位數(shù)表示為10b+a.

②增長率問題：增長率=增長數(shù)量嫄數(shù)量X100%.如：若原數(shù)是a,每次增長的百分率為x,則第一次增

長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2,即原數(shù)義（i+增長百分率）2=后來數(shù).

③形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長.②利用三角形、矩形、菱形、梯

形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程.③利用相似三角形的對應(yīng)比例關(guān)系，列

比例式，通過兩內(nèi)項之積等于兩外項之積，得到一元二次方程.

④運(yùn)動點(diǎn)問題：物體運(yùn)動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運(yùn)行的路線與其他條件會構(gòu)成直角三角形，

可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解.

【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”

a.審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系.

b.設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù).

c.列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程.

d.解：準(zhǔn)確求出方程的解.

e.驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的根是否符合所列方程和實(shí)際問題.

f.答：寫出答案.

2.分式方程的應(yīng)用

（1）列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗(yàn)、答.

必須嚴(yán)格按照這5步進(jìn)行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫出單位

等.

（2）要掌握常見問題中的基本關(guān)系，如行程問題：速度=路程時間；工作量問題：工作效率=工作量工作

時間

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等等.

列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點(diǎn)，要學(xué)會分析題意，提高理解能力.

3.一元一次不等式的應(yīng)用

(1)由實(shí)際問題中的不等關(guān)系列出不等式，建立解決問題的數(shù)學(xué)模型，通過解不等式可以得到實(shí)際問題的

答案.

(2)列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現(xiàn)問題中的不等關(guān)系.因

此，建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵.

(3)列一元一次不等式解決實(shí)際問題的方法和步驟：

①弄清題中數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知數(shù).

②根據(jù)題中的不等關(guān)系列出不等式.

③解不等式，求出解集.

④寫出符合題意的解.

4.一元一次不等式組的應(yīng)用

對具有多種不等關(guān)系的問題，考慮列一元一次不等式組，并求解.

一元一次不等式組的應(yīng)用主要是列一元一次不等式組解應(yīng)用題，其一般步驟：

(1)分析題意，找出不等關(guān)系；

(2)設(shè)未知數(shù)，列出不等式組；

(3)解不等式組；

(4)從不等式組解集中找出符合題意的答案；

(5)作答.

5.一次函數(shù)的應(yīng)用

(1)分段函數(shù)問題

分段函數(shù)是在不同區(qū)間有不同對應(yīng)方式的函數(shù)，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學(xué)合理，又要

符合實(shí)際.

(2)函數(shù)的多變量問題

解決含有多變量問題時，可以分析這些變量的關(guān)系，選取其中一個變量作為自變量，然后根據(jù)問題的條件

尋求可以反映實(shí)際問題的函數(shù).

(3)概括整合

①簡單的一次函數(shù)問題：a建立函數(shù)模型的方法；b分段函數(shù)思想的應(yīng)用.

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②理清題意是采用分段函數(shù)解決問題的關(guān)鍵.

6.二次函數(shù)的應(yīng)用

（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題

在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題.解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次

函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問題中自變量x的取值要使實(shí)際問題有意義，因此在求二次函數(shù)

的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍.

（2）幾何圖形中的最值問題

幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的

討論.

（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題

利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實(shí)際問題時，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)落實(shí)到

平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題.

J五年中考

1.（2019口成都）隨著5G技術(shù)的發(fā)展，人們對各類5G產(chǎn)品的使用充滿期待，某公司計劃在某地區(qū)銷售一

款5G產(chǎn)品，根據(jù)市場分析，該產(chǎn)品的銷售價格將隨銷售周期的變化而變化.設(shè)該產(chǎn)品在第x（x為正整

數(shù)）個銷售周期每臺的銷售價格為y元，y與x之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系.

（1）求y與x之間的關(guān)系式；

=1+1

（2）設(shè)該產(chǎn)品在第x個銷售周期的銷售數(shù)量為p（萬臺），p與x的關(guān)系可以用p-2來描述.根

據(jù)以上信息，試問：哪個銷售周期的銷售收入最大？此時該產(chǎn)品每臺的銷售價格是多少元？

7000f

5000」....

O15x

2.（2018口成都）為了美化環(huán)境，建設(shè)宜居成都，我市準(zhǔn)備在一個廣場上種植甲、乙兩種花卉，經(jīng)市場調(diào)查,

甲種花卉的種植費(fèi)用y（元）與種植面積x（m2）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，乙種花卉的種植費(fèi)用為每平

方米100元.

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（1）直接寫出當(dāng)0WxW300和x>300時，y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）廣場上甲、乙兩種花卉的種植面積共1200m2,若甲種花卉的種植面積不少于200m2,且不超過乙

種花卉種植面積的2倍，那么應(yīng)該怎樣分配甲、乙兩種花卉的種植面積才能使種植總費(fèi)用最少？最少總

3.（2017口成都）隨著地鐵和共享單車的發(fā)展，“地鐵+單車”已成為很多市民出行的選擇，李華從文化宮站

出發(fā)，先乘坐地鐵，準(zhǔn)備在離家較近的A,B,C,D,E中的某一站出地鐵，再騎共享單車回家，設(shè)他

出地鐵的站點(diǎn)與文化宮距離為x（單位：千米），乘坐地鐵的時間外（單位：分鐘）是關(guān)于x的一次函數(shù),

其關(guān)系如下表：

地鐵站ABCDE

X（千米）891011.513

丫1（分鐘）1820222528

（1）求外關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）李華騎單車的時間（單位：分鐘）也受x的影響，其關(guān)系可以用丫22x2-llx+78來描述，請問：

李華應(yīng)選擇在那一站出地鐵，才能使他從文化宮回到家所需的時間最短？并求出最短時間.

4.（2016口成都）某果園有100棵橙子樹，平均每棵樹結(jié)600個橙子，現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些橙子樹以提高果園產(chǎn)

量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計，每多種一

棵樹，平均每棵樹就會少結(jié)5個橙子，假設(shè)果園多種了x棵橙子樹.

（1）直接寫出平均每棵樹結(jié)的橙子個數(shù)y（個）與x之間的關(guān)系；

（2）果園多種多少棵橙子樹時，可使橙子的總產(chǎn)量最大？最大為多少個？

5.（2015口成都）某商家預(yù)測一種應(yīng)季襯衫能暢銷市場，就用13200元購進(jìn)了一批這種襯衫，面市后果然供

不應(yīng)求，商家又用28800元購進(jìn)了第二批這種襯衫，所購數(shù)量是第一批購進(jìn)量的2倍，但單價貴了10元.

（1）該商家購進(jìn)的第一批襯衫是多少件？

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（2）若兩批襯衫按相同的標(biāo)價銷售，最后剩下50件按八折優(yōu)惠賣出，如果兩批襯衫全部售完后利潤不

低于25%（不考慮其他因素），那么每件襯衫的標(biāo)價至少是多少元？

一年模擬

6.（2019口成華區(qū)模擬）隨著人們生活水平的提高，對飲水品質(zhì)的需求也越來越高，某商場購進(jìn)甲、乙兩種

型號的凈水器，每臺甲型凈水器比每臺乙型凈水器進(jìn)價多200元，已知用5萬元購進(jìn)甲型凈水器與用4.5

萬元購進(jìn)乙型凈水器的數(shù)量相等.

（1）求每臺甲型，乙型凈水器的進(jìn)價各是多少元？

（2）該商場計劃花費(fèi)不超過9.8萬元購進(jìn)兩種型號的凈水器共50臺進(jìn)行銷售，甲型凈水器每臺銷售2500

元，乙型凈水器每臺售價2200元，商場還將從銷售甲型凈水器的利潤中按每臺a元（70<a<80）捐獻(xiàn)

給貧困地區(qū)作為飲水改造扶貧資金.設(shè)該公司售完50臺凈水器并捐獻(xiàn)扶貧資金后獲得的利潤為W元，

求W的最大值.

7.（2019口邛睞市模擬）某健身館普通票價為M）元殊，6-9月為了促銷，新推出兩種優(yōu)惠卡：

①金卡售價1200元碳，每次憑卡不再收費(fèi).

②銀卡售價300元為長，每次憑卡另收10元.

普通票正常出售，兩種優(yōu)惠卡僅限6-9月使用，不限次數(shù).設(shè)健身x次時，所需總費(fèi)用為y元.

（1）分別寫出選擇銀卡、普通票消費(fèi)時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）在同一坐標(biāo)系中，若三種消費(fèi)方式對應(yīng)的函數(shù)圖象如圖所示，請求出A、B、C的坐標(biāo)；

（3）請根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出選擇哪種消費(fèi)方式更合算.

8.（2019口武侯區(qū)模擬改口圖，是一座古拱橋的截面圖，拱橋橋洞的上沿是拋物線形狀，當(dāng)水面的寬度為10m

時，橋洞與水面

的最大距離是5m.

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（1）經(jīng)過討論，同學(xué)們得出三種建立平面直角坐標(biāo)系的方案（如圖），你選擇的方案是（填方案

方案二，或方案三），則B點(diǎn)坐標(biāo)是,求出你所選方案中的拋物線的表達(dá)式；

（2）因?yàn)樯嫌嗡畮煨购?，水面寬度變?yōu)?m,求水面上漲的高度.

9.（2019口錦江區(qū)模擬）十三五”以來，黨中央，國務(wù)院不斷加大脫貧攻堅的支持決策力度，并出臺配套文

件，國家機(jī)關(guān)各部門也出臺多項政策文件或?qū)嵤┓桨?某單位認(rèn)真分析被幫扶人各種情況后，建議被幫

扶人大力推進(jìn)特色產(chǎn)業(yè)，大量栽種甜橙；同時搭建電商運(yùn)營服務(wù)平臺，開設(shè)網(wǎng)店銷售農(nóng)產(chǎn)品橙.豐收后，

將一批甜橙采取現(xiàn)場銷售和網(wǎng)絡(luò)銷售相結(jié)合進(jìn)行試銷，統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)：同樣多的甜橙，現(xiàn)場銷售可獲利800

元，網(wǎng)絡(luò)銷售則可獲利1000元，網(wǎng)絡(luò)銷售比現(xiàn)場銷售每件多獲利5元

（1）現(xiàn)場銷售和網(wǎng)絡(luò)銷售每件分別多少元？

__1

（2）根據(jù)甜橙試銷情況分析，現(xiàn)場銷售量a（件）和網(wǎng)絡(luò)銷售量b（件）滿足如下關(guān)系式：b壬i2+i2a

-200.求a為何值時，農(nóng)戶銷售甜橙獲得的總利潤最大？最大利潤是多少？

10.（2019口武侯區(qū)模擬）成都市某商場購進(jìn)甲、乙兩種商品，甲商品的購進(jìn)總伽（元）與購進(jìn)數(shù)量x（件）

之間的函數(shù)關(guān)系如圖11所示，乙商品的購進(jìn)總價y（元）與購進(jìn)數(shù)量x（件）之間的函數(shù)關(guān)系如圖匕所示.

（1）請分別求出直線L，匕的函數(shù)表達(dá)式，并直接寫出甲、乙兩種商品的購進(jìn)單價各是多少元？

（2）現(xiàn)該商場購進(jìn)甲、乙兩種商品各100件，甲、乙商品的銷售單價均為70元，銷售一段時間后，商

場對甲商品搞促銷活動，打八折繼續(xù)銷售剩余甲商品，乙商品的銷售單價始終保持不變.若商場規(guī)定甲

2

商品打折前的銷售數(shù)量不得多于甲商品打折后的銷售數(shù)量的t那么甲商品應(yīng)接原銷售單價銷售多少

件，才能使得甲、乙兩種商品全部銷售完后商場獲得最大利潤？最大利潤為多少元？

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n.（2019口雙流區(qū)模擬）某文具店出售一種文具，每個進(jìn)價為2元，根據(jù)長期的銷售情況發(fā)現(xiàn)：這種文具

每個售價為3元時，每天能賣出500個，如果售價每上漲0.1元，其銷售量將減少10個.物價局規(guī)定售

價不能超過進(jìn)價的240%.

（1）如果這種文具要實(shí)現(xiàn)每天800元的銷售利潤，每個文具的售價應(yīng)是多少？

（2）該如何定價，才能使這種文具每天的利潤最大？最大利潤是多少？

12.（2016口荊州）為更新果樹品種，某果園計劃新購幽、B兩個品種的果樹苗栽植培育，若計劃購進(jìn)這兩

種果樹苗共45棵，其中A種樹苗的單價為7元屣，購買B種苗所需費(fèi)用y（元）與購買數(shù)量x（棵）之

間存在如圖所示的函數(shù)關(guān)系.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若在購買計劃中，B種樹苗的數(shù)量不超過35棵，但不少于A種樹苗的數(shù)量，請設(shè)計購買方案，使

13.（2019口鄲都區(qū)模擬）某商店準(zhǔn)備購進(jìn)一批電冰箱和空調(diào)，每臺電冰箱的進(jìn)價比每臺空調(diào)的進(jìn)價多400

元，商店用8000元購進(jìn)電冰箱的數(shù)量與用6400元購進(jìn)空調(diào)的數(shù)量相等.

（1）求每臺電冰箱與空調(diào)的進(jìn)價分別是多少？

（2）已知電冰箱的銷售價為每臺2100元，空調(diào)的銷售價為每臺1750元.若商店準(zhǔn)備購進(jìn)這兩種家電共

100臺，其中購進(jìn)電冰箱X臺（33WxW40）,那么該商店要獲得最大利潤應(yīng)如何進(jìn)貨？

14.（2019口鄲都區(qū)模擬）某果園有100棵橙子樹，每一棵樹平均結(jié)600個橙子.現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些橙子樹以

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提高產(chǎn)量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每一棵所接受的陽光就會減少.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計，每多

種一棵樹，平均每棵樹就會少結(jié)5個橙子.

（1）求果園增種橙子樹x（棵）與果園橙子總產(chǎn)量y（個）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）多種多少棵橙子，可以使橙子的總產(chǎn)量在60420個以上？

15.（2019□成都模擬）某商店購進(jìn)一批單價為8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可銷售100件,

經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種商品的銷售單價每提高1元，其銷售量相應(yīng)減少10件.

（1）求銷售量y件與銷售單價x（x>10）元之間的關(guān)系式；

（2）當(dāng)銷售單價x定為多少，才能使每天所獲銷售利潤最大？最大利潤是多少？

”精準(zhǔn)預(yù)測

1.天水某景區(qū)商店銷售一種紀(jì)念品，這種商品的成本價10元企，已知銷售價不低于成本價，且物價部門

規(guī)定這種商品的銷售價不高于16元承，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售價x（元/

件）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）求每天的銷售利潤W（元）與銷售價x（元/）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出每件銷售價為多少元時，

每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？

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2.八（1）班為了配合學(xué)校體育文化月活動的開展，同學(xué)們從捐助的班費(fèi)中拿出一部分錢來購買羽毛球拍

和跳繩.已知購買一副羽毛球拍比購買一根跳繩多20元.若用200元購買羽毛球拍和用80元購買跳繩,

則購買羽毛球拍的副數(shù)是購買跳繩根數(shù)的一半.

（1）求購買一副羽毛球拍、一根跳繩各需多少元？

（2）雙11期間，商店老板給予優(yōu)惠，購買一副羽毛球拍贈送一根跳繩，如果八（1）班需要的跳繩根數(shù)

比羽毛球拍的副數(shù)的2倍還多10,且該班購買羽毛球拍和跳繩的總費(fèi)用不超過350元，那么八（1）班

最多可購買多少副羽毛球拍？

3.已知A、B兩地相距2.甲騎車勻速從A地前往B地，如圖表示甲騎車過程中離A地的路程y（km）

與他行駛所用的時間x（min）之間的關(guān)系.根據(jù)圖象解答下列問題:

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曲)

(2)若在甲出發(fā)時，乙在甲前方O.&m處，兩人均沿同一路線同時出發(fā)勻速前往B地，在第3分鐘甲追

上了乙，兩人到達(dá)B地后停止.請在下面同一平面直角坐標(biāo)系中畫出乙離A地的距離y乙(km)與所用

時間x(min)的關(guān)系的大致圖象；

(3)乙在第幾分鐘到達(dá)B地？

(4)兩人在整個行駛過程中，何時相距0.2on?

4.甲、乙兩地相距300千米，一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發(fā)駛向乙地如圖，如圖，線段OA表示貨

車離甲地距離y(千米)與時間x(小時)之間的函數(shù)圖象；折線BCD表示轎車離甲地距離y(千米)與

時間x(小時)之間的函數(shù)圖象；請根據(jù)圖象解答下到問題：

(1)貨車離甲地距離y(千米)與時間x(小時)之間的函數(shù)式為；

(2)當(dāng)轎車與貨車相遇時，求此時x的值；

(3)在兩車行駛過程中，當(dāng)輛車與貨年相距20千米時，求x的值.

5.某水果店經(jīng)銷一種高檔水果，售價為每千克60元

(1)連續(xù)兩次降價后售價為每千克48.6元，若每次下降的百分率相同.求平均下降的百分率；

(2)已知這種水果的進(jìn)價為每千克48元，每天可售出80千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若售價每漲價1元,

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4千克，設(shè)每千克漲價元，每天獲得的利潤為w元.

當(dāng)售價為多少元時，每天獲得的利潤為最大？最大為多少元？

②水果店老板為保證每天的利潤不低于988元，請直接寫出t的取值范圍是.

6.某工廠用50天時間生產(chǎn)一款新型節(jié)能產(chǎn)品，每天生產(chǎn)的該產(chǎn)品被某網(wǎng)店以每件80元的價格全部訂購，

在生產(chǎn)過程中，由于技術(shù)的不斷更新，該產(chǎn)品第x天的生產(chǎn)成本y（元辭）與*（天）之間的關(guān)系如圖所

示，第x天該產(chǎn)品的生產(chǎn)量z（件）與x（天）滿足關(guān)系式z=-2x+120.

（1）第40天，該廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的利潤是元；

（2）設(shè)第x天該廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的利潤為w元.

①求W與X之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出第幾天的利潤最大，最大利潤是多少？

7.我國為了實(shí)現(xiàn)到達(dá)到全面小康社會的目標(biāo)，近幾年加大了扶貧工作的力度，合肥市某知名企業(yè)為了幫助

某小型企業(yè)脫貧，投產(chǎn)一種書包，每個書包制造成本為18元，試銷過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（萬個）

與銷售單價x（元）之間的關(guān)系可以近似看作一次函數(shù)y=kx+b,據(jù)統(tǒng)計當(dāng)售價定為30元外時，每月銷

售40萬個，當(dāng)售價定為35元外時，每月銷售30萬個.

（1）請求出k、b的值.

（2）寫出每月的利潤w（萬元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)解析式.

（3）該小型企業(yè)在經(jīng)營中，每月銷售單價始終保持在25WxW36元之間，求該小型企業(yè)每月獲得利潤w

（萬元）的范圍.

8.合肥享有“中國淡水龍蝦之都”的美稱，甲、乙兩家小龍蝦美食店，平時以同樣的價格出售品質(zhì)相同的

小龍蝦.“龍蝦節(jié)”期間，甲、乙兩家店都讓利酬賓，在人數(shù)不超過20人的前提下，付款金額y.、y7

（單位：元）與人數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

（1）直接寫出y.,y,關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）小王公司想在“龍蝦節(jié)”期間組織團(tuán)建，在甲、乙兩家店就餐，如何選擇甲、乙兩家美食店吃小龍

蝦更省錢？

/44

91.5倍，當(dāng)售價降低5元時商品的利潤率為25%.若不進(jìn)行任何

推廣年銷售量為1萬件.為了獲得更好的利益，公司準(zhǔn)備拿出一定的資金做推廣，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，每年投入

的推廣費(fèi)萬元時銷售量y（萬件）是x的二次函數(shù)：當(dāng)x為1萬元時，y是1.5（萬件）.當(dāng)x為2萬元

時，y是1.8（萬件）.

（1）求該商品每件的的成本與售價分別是多少元？

（2）求出年利潤與年推廣費(fèi)x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）如果投入的年推廣告費(fèi)為1萬到3萬元（包括1萬和3萬元），問推廣費(fèi)在什么范同內(nèi)，公司獲得

的年利潤隨推廣費(fèi)的增大而增大？

10.永農(nóng)化工廠以每噸800元的價格購進(jìn)一批化工原料，加工成化工產(chǎn)品進(jìn)行銷售，已知每1噸化工原料

可以加工成化工產(chǎn)品0.8噸，該廠預(yù)計銷售化工產(chǎn)品不超過50噸時每噸售價為1600元，超過50噸時，

每超過1噸產(chǎn)品，銷售所有的化工產(chǎn)品每噸價格均會降低4元，設(shè)該化工廠生產(chǎn)并銷售了x噸化工產(chǎn)品.

（1）用x的代數(shù)式表示該廠購進(jìn)化工原料噸；

（2）當(dāng)x>50時，設(shè)該廠銷售完化工產(chǎn)品的總利潤為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）如果要求總利潤不低于38400元，那么該廠購進(jìn)化工原料的噸數(shù)應(yīng)該控制在什么范圍？

11.某企業(yè)設(shè)計了一款工藝品，每件的成本是50元，為了合理定價，投放市場進(jìn)行試銷.據(jù)市場調(diào)查，銷

售單價是100元時，每天的銷售量是50件，而銷售單價每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售

單價不得低于成本.

（1）當(dāng)銷售單價為70元時，每天的銷售利潤是多少？

（2）求出每天的銷售利潤y（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；

（3）如果該企業(yè)每天的總成本不超過7000元，那么銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大

利潤是多少？（每天的總成本=每件的成本X每天的銷售量）

12.為滿足市場需求，某超市在新年來臨前夕，購進(jìn)一款商品，每盒進(jìn)價是40元.超市規(guī)定每盒售價不得

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45元.根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)；當(dāng)售價定為每盒45元時，每天可以賣出700盒，如果每盒售價每

提高1元，則每天要少賣出20盒.

(1)試求出每天的銷售量(盒)與每盒售價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)每盒售價定為多少元時，每天銷售的利潤P(元)最大？最大利潤是多少？

13.潮州旅游文化節(jié)開幕前，某鳳凰茶葉公司預(yù)測今年鳳凰茶葉能夠暢銷，就用32000元購進(jìn)了一批鳳凰

茶葉，上市后很快脫銷，茶葉公司又用68000元購進(jìn)第二批鳳凰茶葉，所購數(shù)量是第一批購進(jìn)數(shù)量的2

倍，但每千克鳳凰茶葉進(jìn)價多了10元.

(1)該鳳凰茶葉公司兩次共購進(jìn)這種鳳凰茶葉多少千克？

(2)如果這兩批茶葉每千克的售價相同，且全部售完后總利潤率不低于20%,那么每千克售價至少是多

少元？

14.某運(yùn)動品商場欲購進(jìn)籃球和足球共100個，兩種球進(jìn)價和售價如下表所示，設(shè)購進(jìn)籃球x個(x為正整

數(shù))，且所購進(jìn)的兩種球能全部賣出，獲得的總利潤為w元.

(1)求總利潤W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

(2)如果購進(jìn)兩種球的總費(fèi)用不低于5800元且不超過6000元，那么該商場如何進(jìn)貨才能獲利最多？并

求出最大利潤.

(3)在(2)的條件下，若每個籃球的售價降低a元，請分析如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤.

籃球足球

進(jìn)價(元/f)6254

售價(元外)7660

15.山地自行車越來越受到中學(xué)生的喜愛，各種品牌相繼投放市場，某車行經(jīng)營的A型車去年銷售總額為5

萬元，今年每輛銷售價比去年降低400元，若賣出的數(shù)量相同，銷售總額將比去年減少20%.

(1)今年A型車每輛售價多少元？(列方程解答)

(2)該車行計劃今年新進(jìn)一批A型車和B型車共60輛，A型車的進(jìn)貨價為每輛1100元，銷售價與(1)

相同；B型車的進(jìn)貨價為每輛1400元，銷售價為每輛2000元，且B型車的進(jìn)貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量

的兩倍，應(yīng)如何進(jìn)貨才能使這批車獲利最多？

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26應(yīng)用題

+考點(diǎn)解析

1

（1）列方程解決實(shí)際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢

驗(yàn)和作答.

（2）列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：

數(shù)字問題：個位數(shù)為，十位數(shù)是b,則這個兩位數(shù)表示為10b+a.

②增長率問題：增長率=增長數(shù)量/原數(shù)量X100%.如：若原數(shù)是a,每次增長的百分率為x,則第一次增

長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2,即原數(shù)X（1+增長百分率）2=后來數(shù).

③形積問題：利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長.②利用三角形、矩形、菱形、梯

形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程.③利用相似三角形的對應(yīng)比例關(guān)系，列

比例式，通過兩內(nèi)項之積等于兩外項之積，得到一元二次方程.

運(yùn)動點(diǎn)問題：物體運(yùn)動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運(yùn)行的路線與其他條件會構(gòu)成直角三角形，

可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解.

【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”

a.審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系.

b.設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù).

c.列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程.

d.解：準(zhǔn)確求出方程的解.

e.驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的根是否符合所列方程和實(shí)際問題.

f.答：寫出答案.

2.分式方程的應(yīng)用

（1）列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、歹1、解、驗(yàn)、答.

必須嚴(yán)格按照這5步進(jìn)行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫出單位

等.

（2）要掌握常見問題中的基本關(guān)系，如行程問題：速度=路程時間；工作量問題：工作效率=工作量工作

/44

列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點(diǎn)，要學(xué)會分析題意，提高理解能力.

3.一元一次不等式的應(yīng)用

(1)由實(shí)際問題中的不等關(guān)系列出不等式，建立解決問題的數(shù)學(xué)模型，通過解不等式可以得到實(shí)際問題的

答案.

(2)列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現(xiàn)問題中的不等關(guān)系.因

此，建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵.

(3)列一元一次不等式解決實(shí)際問題的方法和步驟：

弄清題中數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知數(shù).

②根據(jù)題中的不等關(guān)系列出不等式.

③解不等式，求出解集.

④寫出符合題意的解.

4.一元一次不等式組的應(yīng)用

對具有多種不等關(guān)系的問題，考慮列一元一次不等式組，并求解.

一元一次不等式組的應(yīng)用主要是列一元一次不等式組解應(yīng)用題，其一般步驟：

(1)分析題意，找出不等關(guān)系；

(2)設(shè)未知數(shù)，列出不等式組；

(3)解不等式組；

(4)從不等式組解集中找出符合題意的答案；

(5)作答.

5.一次函數(shù)的應(yīng)用

(1)分段函數(shù)問題

分段函數(shù)是在不同區(qū)間有不同對應(yīng)方式的函數(shù)，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學(xué)合理，又要

符合實(shí)際.

(2)函數(shù)的多變量問題

解決含有多變量問題時，可以分析這些變量的關(guān)系，選取其中一個變量作為自變量，然后根據(jù)問題的條件

尋求可以反映實(shí)際問題的函數(shù).

(3)概括整合

/44

建立函數(shù)模型的方法；b分段函數(shù)思想的應(yīng)用.

②理清題意是采用分段函數(shù)解決問題的關(guān)鍵.

6.二次函數(shù)的應(yīng)用

（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題

在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題.解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次

函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問題中自變量的取值要使實(shí)際問題有意義，因此在求二次函數(shù)

的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍.

（2）幾何圖形中的最值問題

幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的

討論.

（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題

利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實(shí)際問題時，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)落實(shí)到

平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題.

￥

1.（2019口成都）隨著5G技術(shù)的發(fā)展，人們對各類5G產(chǎn)品的使用充滿期待，某公司計劃在某地區(qū)銷售一

款5G產(chǎn)品，根據(jù)市場分析，該產(chǎn)品的銷售價格將隨銷售周期的變化而變化.設(shè)該產(chǎn)品在第x（x為正整

數(shù)）個銷售周期每臺的銷售價格為y元，y與x之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系.

（1）求y與x之間的關(guān)系式；

一1+1

（2）設(shè)該產(chǎn)品在第X個銷售周期的銷售數(shù)量為p（萬臺），p與X的關(guān)系可以用p—7X十'T來描述.根

據(jù)以上信息，試問：哪個銷售周期的銷售收入最大？此時該產(chǎn)品每臺的銷售價格是多少元？

彳

7000-r、

5000-------工―

O15x

【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式便可;

/44

(2)設(shè)銷售收入為w萬元，根據(jù)銷售收入=銷售單價X銷售數(shù)量和p-4

列出W與X的函數(shù)

關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求得結(jié)果.

【解析】解:(1)設(shè)函數(shù)的解析式為：y=kx+b(kWO),由圖象可得,

=7000

lSk+b=5000

A=-500

ft=7500

解得,

；.y與x之間的關(guān)系式：y=-500x+7500；

(2)設(shè)銷售收入為w萬元，根據(jù)題意得,

i十；

w=yp=(-500x+7500)(4),

即w=-250(X-7)2+16000,

二當(dāng)x=7時，w有最大值為16000,

此時y=-500X7+7500=4000(元)

答：第7個銷售周期的銷售收入最大，此時該產(chǎn)品每臺的銷售價格是4000元.

2.(2018口成都)為了美化環(huán)境，建設(shè)宜居成都，我市準(zhǔn)備在一個廣場上種植甲、乙兩種花卉，經(jīng)市場調(diào)查,

甲種花卉的種植費(fèi)用y(元)與種植面積x(m2)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，乙種花卉的種植費(fèi)用為每平

方米100元.

(1)直接寫出當(dāng)0WxW300和x>300時，y與x的函數(shù)關(guān)系式;

(2)廣場上甲、乙兩種花卉的種植面積共1200m2,若甲種花卉的種植面積不少于200m2,且不超過乙

種花卉種植面積的2倍，那么應(yīng)該怎樣分配甲、乙兩種花卉的種植面積才能使種植總費(fèi)用最少？最少總

費(fèi)用為多少元？

【點(diǎn)撥】(1)由圖可知y與x的函數(shù)關(guān)系式是分段函數(shù)，待定系數(shù)法求解析式即可.

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（2）設(shè)甲種花卉種植為am2,則乙種花卉種植（1200-a）irf,根據(jù)實(shí)際意義可以確定a的范圍，結(jié)合

種植費(fèi)用y（元）與種植面積x（m2）之間的函數(shù)關(guān)系可以分類討論最少費(fèi)用為多少.

fl30x（0<x<300）

【解析】解：（1）v~15000（x>300）

（2）設(shè)甲種花卉種植為am2,則乙種花卉種植（1200-a）m2.

fa之200

.[a<2（1200-a）

,,,

：.200WaW800

當(dāng)200WaW300時，W^lSOa+lOO（1200-a）=30a+120000.

當(dāng)a=200時.\^in=126000元

當(dāng)300<aW800時，\^=80a+15000+100（1200-a）=135000-20a.

當(dāng)a=800時，W^in=119000元

V119000<126000

二當(dāng)a=800時，總費(fèi)用最少，最少總費(fèi)用為119000元.

此時乙種花卉種植面積為1200-800=400m2.

答：應(yīng)該分配甲、乙兩種花卉的種植面積分別是800m2和400m2,才能使種植總費(fèi)用最少，最少總費(fèi)用

為119000元.

3.（2017口成都）隨著地鐵和共享單車的發(fā)展，“地鐵+單車”已成為很多市民出行的選擇，李華從文化宮站

出發(fā)，先乘坐地鐵，準(zhǔn)備在離家較近的A,B,C,D,E中的某一站出地鐵，再騎共享單車回家，設(shè)他

出地鐵的站點(diǎn)與文化宮距離為x（單位：千米），乘坐地鐵的時間x（單位：分鐘）是關(guān)于x的一次函數(shù),

其關(guān)系如下表：

地鐵站ABCDE

X（千米）891011.513

丫1（分鐘）1820222528

（1）求yi關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）李華騎單車的時間（單位：分鐘）也受x的影響，其關(guān)系可以用y2?x2-llx+78來描述，請問:

李華應(yīng)選擇在那一站出地鐵，才能使他從文化宮回到家所需的時間最短？并求出最短時間.

【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),運(yùn)用待定系數(shù)法，即可求得力關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

=7

(2)設(shè)李華從文化宮回到家所需的時間為y,則丫=%+丫2x2-9x+80,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可

得出最短時間.

【解析】解:(1)設(shè)％=kx+b,將(8,18),(9,20),代入得：

(8k-F2>=18

I9fc4-b=20

(k=2

解得：”=2,

故丫1關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為：y1=2x+2；

(2)設(shè)李華從文化宮回到家所需的時間為y,則

,1_1

+

22~22

y=y1+y2=2x+2x-llx+78x-9x+80,

_4號80-92

4

...當(dāng)x=9時，y有最小值，ymin439.5

答：李華應(yīng)選擇在B站出地鐵，才能使他從文化宮回到家所需的時間最短，最短時間為39.5分鐘.

4.(2016口成都)某果園有100棵橙子樹，平均每棵樹結(jié)600個橙子，現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些橙子樹以提高果園產(chǎn)

量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計，每多種一

棵樹，平均每棵樹就會少結(jié)5個橙子，假設(shè)果園多種了x棵橙子樹.

(1)直接寫出平均每棵樹結(jié)的橙子個數(shù)y(個)與x之間的關(guān)系；

(2)果園多種多少棵橙子樹時，可使橙子的總產(chǎn)量最大？最大為多少個？

【點(diǎn)撥】(1)根據(jù)每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結(jié)5個橙子列式即可；

(2)根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，利用配方法把二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.

【解析】解:(1)平均每棵樹結(jié)的橙子個數(shù)y(個)與x之間的關(guān)系為：y=600-5x(0<x<120)；

(2)設(shè)果園多種x棵橙子樹時，可使橙子的總產(chǎn)量為w,

貝!]w=(600-5x)(100+x)

=-5x2+100x+60000

=-5(x-10)2+60500,

Va=-5<0,

：.w的最大值是60500,

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則果園多種10棵橙子樹時，可使橙子的總產(chǎn)量最大，最大為60500個.

5.（2015口成都）某商家預(yù)測一種應(yīng)季襯衫能暢銷市場，就用13200元購進(jìn)了一批這種襯衫，面市后果然供

不應(yīng)求，商家又用28800元購進(jìn)了第二批這種襯衫，所購數(shù)量是第一批購進(jìn)量的2倍，但單價貴了10元.

（1）該商家購進(jìn)的第一批襯衫是多少件？

（2）若兩批襯衫按相同的標(biāo)價銷售，最后剩下50件按八折優(yōu)惠賣出，如果兩批襯衫全部售完后利潤不

低于25%（不考慮其他因素），那么每件襯衫的標(biāo)價至少是多少元？

【點(diǎn)撥】（1）可設(shè)該商家購進(jìn)的第一批襯衫是x件，則購進(jìn)第二批這種襯衫是2x件，根據(jù)第二批這種襯

衫單價貴了10元，列出方程求解即可；

（2）設(shè)每件襯衫的標(biāo)價y元，求出利潤表達(dá)式，然后列不等式解答.

【解析】解:（1）設(shè)該商家購進(jìn)的第一批襯衫是x件，則購進(jìn)第二批這種襯衫是2x件，依題意有

1320028800

-------H=---

110,

解得x=120,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=120是原方程的解，且符合題意.

答：該商家購進(jìn)的第一批襯衫是120件.

（2）3x=3X120=360,

設(shè)每件襯衫的標(biāo)價y元，依題意有

（360-50）y+50X0.（13200+28800）X（1+25%）,

解得yN150.

答：每件襯衫的標(biāo)價至少是150元.

一年模擬

1.（2019口成華二診）隨著人們生活水平的提高，對飲水品質(zhì)的需求也越來越高，某商場購進(jìn)甲、乙兩種型

號的凈水器，每臺甲型凈水器比每臺乙型凈水器進(jìn)價多200元，已知用5萬元購進(jìn)甲型凈水器與用4.5

萬元購進(jìn)乙型凈水器的數(shù)量相等.

（1）求每臺甲型，乙型凈水器的進(jìn)價各是多少元？

（2）該商場計劃花費(fèi)不超過9.8萬元購進(jìn)兩種型號的凈水器共50臺進(jìn)行銷售，甲型凈水器每臺銷售2500

元，乙型凈水器每臺售價2200元，商場還將從銷售甲型凈水器的利潤中按每臺a元（70<a<80）捐獻(xiàn)

給貧困地區(qū)作為飲水改造扶貧資金.設(shè)該公司售完50臺凈水器并捐獻(xiàn)扶貧資金后獲得的利潤為W元，

求W的最大值.

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【點(diǎn)撥】(1)設(shè)每臺乙型凈水器的進(jìn)價是X元，則每臺甲型凈水器的進(jìn)價是(x+200)元，根據(jù)數(shù)量=總

價+單價結(jié)合用5萬元購進(jìn)甲型凈水器與用4.5萬元購進(jìn)乙型凈水器的數(shù)量相等，即可得出關(guān)于x的分

式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)購進(jìn)甲型凈水器m臺，則購進(jìn)乙型凈水器(50-m)臺，根據(jù)總價=單價X數(shù)量結(jié)合總價不超過

9.8萬元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，再由總利潤=每臺利潤X

購進(jìn)數(shù)量，即可得出W關(guān)于m的一次函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題.

【解析】解:(1)設(shè)每臺乙型凈水器的進(jìn)價是x元，則每臺甲型凈水器的進(jìn)價是(x+200)元，

500004500。

依題意，得：工+200-x,

解得：x=1800,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=1800是原分式方程的解，且符合題意，

.,.x+200=2000.

答：每臺甲型凈水器的進(jìn)價是2000元，每臺乙型凈水器的進(jìn)價是1800元.

(2)設(shè)購進(jìn)甲型凈水器m臺，則購進(jìn)乙型凈水器(50-m)臺，

依題意，得：2000m+1800(50-m)W98000,

解得：mW40.

W=(2500-2000-a)m+(2200-1800)(50-m)=(100-a)m+20000,

V100-a>0,

W隨m值的增大而增大，

二當(dāng)m=40時，W取得最大值，最大值為(24000-40a)元.

2.(2019口青羊二診)某健身館普通票價為10元漲，6-9月為了促銷，新推出兩種優(yōu)惠卡：

①金卡售價1200元為長，每次憑卡不再收費(fèi).

②銀卡售價300元朦，每次憑卡另收10元.

普通票正常出售，兩種優(yōu)惠卡僅限6-9月使用，不限次數(shù).設(shè)健身x次時，所需總費(fèi)用為y元.

(1)分別寫出選擇銀卡、普通票消費(fèi)時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)在同一坐標(biāo)系中，若三種消費(fèi)方式對應(yīng)的函數(shù)圖象如圖所示，請求出A、B、C的坐標(biāo)；

(3)請根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出選擇哪種消費(fèi)方式更合算.

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【點(diǎn)撥】(D理解題目意思：健身館普通票價為40元嫌，沒有其他費(fèi)用了，健身的時間是x小時，那

么普通的消費(fèi)就可以列出來；而銀卡售價300元用，每次憑卡另收10元，健身的時間是x小時，那么

銀卡票消費(fèi)也可以用一元一次方程列出來；

(2)能夠根據(jù)圖象，用二次一方程組的知識求交點(diǎn)坐標(biāo)，理解一次函數(shù)的特征，看圖求坐標(biāo)；

(3)根據(jù)一次函數(shù)的特征來比較數(shù)的大小；當(dāng)x的值為交點(diǎn)時，它們的費(fèi)用是相同的；當(dāng)小于交點(diǎn)的x

值時，位于下面的函數(shù)圖象，其y值最小；當(dāng)大于交點(diǎn)的x值時，位于下面的函數(shù)圖象，其y值最小.

【解析】解:(1)根據(jù)題意可得：銀卡消費(fèi)：y=10x+300普通消費(fèi)：y=40x

(y=40x

(2)令y=10x+300中的x=0,則y=300故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,300),聯(lián)立卜=10*+30。解得：

(x=10

17=40。故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(10,