2024-2025學(xué)年陜西省咸陽實驗中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年陜西省咸陽實驗中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.樣本數(shù)據(jù)15、13、12、31、29、23、43、19、17、38的中位數(shù)為(

)A.19 B.23 C.21 D.182.已知a=(?2,5)，b=(2,1)，則a，b夾角的余弦值等于(

)A.145145 B.5145 C.3.已知m，n為兩條不同直線，α，β為兩個不同平面，且m⊥α，n//β，則下列命題為真命題的是(

)A.若α⊥β，則m⊥n B.若m//n，則α⊥β

C.若m⊥β，則n//α D.若m//β，則n//α4.若函數(shù)f(x)=ln(1+ax)?xA.e2 B.e C.e 5.已知復(fù)數(shù)z=1+2i，則z??1+3i4i?1在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為A.(417,117) B.(6.若集合M={x|sinx=cos2x}，N={x|cosx=sin2x}，則(

)A.M∩N=? B.M∩N=M C.M∪N=R D.M∪N=M7.如果棱臺的兩底面積分別是S，S′，中截面的面積是S0，那么(

)A.2S0=S+S′8.如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P，M分別為線段BD1，BBA.1+22

B.4+22二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z1，z2的共軛復(fù)數(shù)分別為z1?，zA.z1+z2?=z1?+z2? B.|z10.已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5(x1A.數(shù)據(jù)3x1?2，3x2?2，3x3?2，3x4?2，3x5?2的方差為9s2

B.數(shù)據(jù)3x1?2，3x2?2，3x3?2，3x411.如圖1，扇形ABC的弧長為12π，半徑為62，線段AB上有一動點M，弧AB上一點N是弧的三等分點，現(xiàn)將該扇形卷成以A為頂點的圓錐，使得AB和AC重合，則在圖2的圓錐中(

)

A.圓錐的體積為216π

B.當(dāng)M為AB中點時，線段MN在底面的投影長為37

C.存在M，使得MN⊥AB

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.據(jù)統(tǒng)計，某段時間內(nèi)由內(nèi)地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次為5：2：3，現(xiàn)使用分層抽樣的方法從這些旅客中隨機(jī)抽取n人，若青年旅客抽到60人，則n=______．13.在△ABC中，AD是邊BC上的高，若AB=(1,3),BC=(6,3)，則|AD14.max{x1,x2,x3四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

某工廠對一批鋼球產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行了抽樣檢測.如圖是根據(jù)隨機(jī)抽樣檢測后的鋼球直徑(單位：mm)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中鋼球直徑的范圍是[98,103]，樣本數(shù)據(jù)分組為[98,99)，[99,100)，[100,101)，[101,102)，[102,103].已知樣本中鋼球直徑在[100,101)內(nèi)的個數(shù)是20．

(1)求樣本容量；

(2)若該批鋼球產(chǎn)品共1000個，認(rèn)定鋼球直徑在[99,102)的產(chǎn)品為合格產(chǎn)品，試根據(jù)樣本估計這批產(chǎn)品的不合格產(chǎn)品件數(shù)．16.(本小題15分)

設(shè)O為坐標(biāo)原點，向量OZ1、OZ2、OZ3分別對應(yīng)復(fù)數(shù)z1、z2、z3，且z1=a2+(2?a)i，z2=?1+(3?2a)i，z3=2?mi(a,m∈R).已知z17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，且CB⊥BP，CD⊥DP，PA=2，點E，F(xiàn)分別為PB，PD的中點．

(1)求證：PA⊥平面ABCD；

(2)求點P到平面AEF的距離．18.(本小題17分)

記△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a=22c,sinA=cos(B?C)．

(1)求B；

(2)若D是邊BC上一點，且AD=CD=19.(本小題17分)

如圖，A，B是單位圓上的相異兩定點(O為圓心)，且∠AOB=θ(θ為銳角).點C為單位圓上的動點，線段AC交線段OB于點M．

(1)求OA?AB(結(jié)果用θ表示)；

(2)若θ=60°

①求CA?CB的取值范圍；

②設(shè)OM=tOB

參考答案1.C

2.A

3.B

4.A

5.B

6.B

7.A

8.B

9.AD

10.AD

11.BCD

12.200

13.514.2

15.解：(1)因為樣本中鋼球直徑在[100,101)內(nèi)的個數(shù)是20，其頻率為0.40，

所以樣本容量為n=200.4=50．

(2)樣本中這批產(chǎn)品的不合格產(chǎn)品件數(shù)為(0.08+0.08)×50=8，

由樣本估計總體，可知這批產(chǎn)品的不合格產(chǎn)品件數(shù)為16.解：(1)由題意可得z1?+z2=a2?1+(1?a)i，

由于復(fù)數(shù)z1?+z2是純虛數(shù)，則a2?1=01?a≠0，解得a=?1；

(2)由(1)可得z1=1+3i，z2=?1+5i，則點Z1(1,3)，Z217.解：(1)證明：在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，且CB⊥BP，CD⊥DP，

∴AB⊥BC，CD⊥AD，

∵AB∩PB=B，AD∩PD=D，

∴BC⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，

∴PA⊥BC，PA⊥CD，

∵BC∩CD=C，∴PA⊥平面ABCD．

(2)以點A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

∵PA=2，點E，F(xiàn)分別為PB，PD的中點，

∴P(0,0,2)，A(0,0,0)，E(1,0,1)，F(xiàn)(0,1,1)，

AE=(1,0,1)，AF=(0,1,1)，AP=(0,0,2)，

設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z)，

則n?AE=x+z=0n?AF=y+z=0，取x=1，得n=(1,1,?1)，18.解：(1)由sinA=cos(B?C)，可得sin(B+C)=cos(B?C)，

即sinBcosC+cosBsinC=cosBcosC+sinBsinC，

則(sinB?cosB)(sinC?cosC)=0，

若sinB?cosB=0，則tanB=1，

又B∈(0,π)，所以B=π4；

若sinB?cosB≠0，則cosC=sinC，即tanC=1，

且C∈(0,π)，所以C=π4，

但a=22c，由正弦定理可得sinA=22sinC=2>1，不合題意；

綜上所述：B=π4．

(2)因為AD=CD=10，則BD=22c?10，

在△ABD中，由余弦定理可得AD2=A19.解：(1)OA?AB=|OA||AB|cos(π?∠OAB)=?|AB|cos∠OAB=cosθ?1；

(2)當(dāng)θ=60°時，OA?OB=12

①CA?CB=(OA?OC)?(OB?OC)=OA?OB?OA?